試卷第=page22頁，共=sectionpages8888頁難點03全等三角形的應用?？碱}型（5大熱考題型）題型一：全等三角形的性質題型二：添加條件證明三角形全等題型三：全等三角的綜合問題題型四：角平分線性質定理題型五：線段垂直平分線的性質與判定題型一：全等三角形的性質【中考母題學方法】【典例1】（2024·山東濟南·中考真題）如圖，已知，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的性質、三角形內角和定理等知識點，掌握全等三角形的對應角相等成為解題的關鍵．先根據(jù)三角形內角和定理求得，然后根據(jù)全等三角形的對應角相等即可解答．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴．故選C．【變式1-1】（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，，，點，分別是邊，上的動點，且，連接，，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的性質，等腰三角形的判定和性質．將拼接到，連接交于點，推出，當點與點重合時，的值最小，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖，將拼接到，連接交于點，則，，，，，當A，，三點共線，即點與點重合時，的值最小，，，，，，，即最小時，的度數(shù)為．故選：C．【變式1-2】（2024·河北秦皇島·二模）如圖，，有以下結論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查的是全等三角形的性質；掌握三角形全等的性質是解題的關鍵．根據(jù)已知找準對應關系，運用三角形全等的性質“全等三角形的對應角相等，對應邊相等”求解即可．【詳解】解：，，，故③正確；，即，故④正確；與不是對應邊，不能求出二者相等，也不能求出，故①、②錯誤；∴正確的有③④共2個．故選：B．【變式1-3】（2024·四川成都·模擬預測）如圖，，，且，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的性質以及直角三角形的性質等知識，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，故答案為：．5．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，，．

(1)求證：；(2)若，則__________°．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．（1）利用即可證得；（2）先根據(jù)三角形內角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的性質即可得出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：在和中，，；（2）解：，，，由（1）知，，故答案為：20．【中考模擬即學即練】1．（2024·江蘇南通·模擬預測）下面四個幾何體中，主視圖、左視圖、俯視圖是全等圖形的幾何圖形是（

）A．圓柱 B．正方體 C．三棱柱 D．圓錐【答案】B【分析】本題考查簡單幾何體的三視圖及全等圖形的概念，熟練掌握常見幾何體的三視圖是解題的關鍵．根據(jù)簡單幾何體的三視圖逐個判斷即可．【詳解】解：A．圓柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是圓形，故此選項不符合題意；B．正方體的三視圖都是正方形，且大小一樣，即全等，故此選項符合題意；C．三棱柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是三角形，故此選項不符合題意；D．圓錐的主視圖和左視圖是三角形，俯視圖是帶圓心的圓，故此選項不符合題意；故選：B．2．（2024·江蘇常州·模擬預測）如圖，在四邊形中，對角線平分，，點在上，．若，，，則的長為．【答案】/【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識，解題關鍵是注意探究題中的隱含條件，通過適當添加輔助線構造全等三角形和相似三角形；根據(jù)角平分線的特點，在上截取，連結，構造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性質求出的長；【詳解】解：如圖，在上取一點，使，連接，平分，，，，，，，，，即，，即，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：3．（2024·上?！つM預測）如圖，已知點A，B，C在同一直線上，點B在點A，C之間，點D，E在直線同側，，，，連接DE，設，，，下列結論正確的數(shù)量為（

）（1）（2）（3）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質，過點作,則四邊形、是矩形，即可判斷（1）；根據(jù)可以得，然后根據(jù)勾股定理即可判斷（3）；根據(jù)全等三角形得到，然后利用勾股定理判斷（2）．【詳解】（1）過點作,交于點,過點作,交于點.∵,∴,又∵,∴,∴四邊形為矩形，同理可得，四邊形也為矩形，∴,∴在中,直角邊.故（1）正確，符合題意；（2）∵,∴,在中，,,故（2）正確，不符合題意；，，又，，，，，，，，，，故（3）正確，符合題意；故選:.4．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，和都是等腰直角三角形，，，，連接．(1)求證：；(2)直接寫出和的位置關系．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形兩銳角互余，對頂角相等，證明是解答本題的關鍵．（1）先證明，然后根據(jù)即可證明；（2）延長交于點F，交于點N，由全等三角形的性質得，由可證，進而可證結論成立．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵，，∴；（2）延長交于點F，交于點N∵，∴∵，∴，∵，，∴，∴．5．（2024·山西·模擬預測）綜合與實踐【問題情境】“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中，，將和按圖2所示方式擺放，其中點B與點F重合（標記為點B）．當時，延長交于點G，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【數(shù)學思考】（1）請你解答以上老師提出的問題；【深入探究】（2）老師將圖2中的繞點B逆時針方向旋轉，使點E落在內部，讓同學們提出新的問題并請你解答此問題．“善思小組”提出問題：如圖3，當時，過點A作交的延長線于點M，與交于點N．證明：．【拓展提升】（3）如圖4，當時，過點A作于點H，若，，求的長．【答案】（1）正方形，見解析；（2）見解析；（3）【分析】對于（1），先根據(jù)“三個角是直角的四邊形是矩形”證明四邊形為矩形，再根據(jù)得，即可得出答案；對于（2），先根據(jù)“等角對等邊”得，進而確定，再根據(jù)三角形面積相等得，然后由（1）得出答案；對于（3），設，的交點為，并作，根據(jù)得出，再根據(jù)“等角對等邊”得，再根據(jù)勾股定理求，進而求出，然后由，求出，可得，再證明，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得，即可得出答案．【詳解】（1）結論：四邊形為正方形．

理由如下：，，，，，，四邊形為矩形．，．矩形為正方形；

（2）證明：，，，．，即，，，．由（1）得，；

（3）解：如圖，設，的交點為，過作于點，，，，，，，．，，．，點G是BD的中點，由勾股定理得，．，，即，．，，，，，，即的長為．【點睛】本題主要考查了正方形的判定，全等三角形的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定，余弦等，勾股定理是求線段的長的常用方法．題型二：添加條件證明三角形全等【中考母題學方法】【典例1】（2024·山東德州·中考真題）如圖，C是的中點，，請?zhí)砑右粋€條件，使．【答案】或【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定定理，是解決問題的關鍵．要使，已知，，則可以添加一對邊，從而利用來判定其全等，或添加一對夾角，從而利用來判定其全等（填一個即可，答案不唯一）．【詳解】解：∵C是的中點，∴，∵，∴添加或，可分別根據(jù)判定（填一個即可，答案不唯一）．故答案為：或．【典例2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，中，D是上一點，，D、E、F三點共線，請?zhí)砑右粋€條件，使得．（只添一種情況即可）【答案】或（答案不唯一）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答．根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案不唯一．【詳解】解：∵∴，，∴添加條件，可以使得，添加條件，也可以使得，∴；故答案為：或（答案不唯一）．【變式2-1】（2024·湖南株洲·模擬預測）如圖，銳角三角形中，，點，分別在邊，上，連接，．下列命題中，假命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質．由，可得，再分別利用全等三角形的判定和性質即可得出結論．【詳解】解：∵，∴，若，又，，∴，∴，則原命題是真命題，故選項A不符合題意；若，∴，又，，∴，∴，則原命題是真命題，故選項B不符合題意；若，又，，不能證明與全等，則與不一定相等，則原命題是假命題，故選項C符合題意；若，又，，∴，∴，∵，∴，則原命題是真命題，故選項D不符合題意；故選：C．【變式2-2】（2024·四川成都·模擬預測）如圖，已知與相交于點O，．只添加一個條件，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根據(jù)全等三角形的判定方法，逐項進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，．A．添加不能判斷，故此選項錯誤；B．添加可以根據(jù)或能夠判斷，故此選項錯誤；C．添加，不能判斷，故此選項錯誤；D．添加，不能判斷，故此選項錯誤．故選：B．【變式2-3】（2024·貴州黔東南·一模）如圖，點A，B，C，D在同一直線上，，，______．

求證：．在①；②這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充在上面的橫線上，并加以解答．【答案】見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，選擇①利用證明，即可；選擇②，利用，證明，即可．【詳解】證明：選條件①，，在和中，．選條件②，，在和中，．【中考模擬即學即練】1．（2024·北京西城·二模）如圖，點為線段的中點，，點分別在射線上，與均為銳角，若添加一個條件一定可以證明，則這個條件不能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．由于，，則可根據(jù)全等三角形的判定方法可對各選項進行判斷．【詳解】解：如圖：點為線段的中點，，，A、當添加時，，故本選項不符合題意；B、當添加時，不能確定，故本選項符合題意；C、當添加時，，故本選項不符合題意；D、當添加時，，故本選項不符合題意．故選：B．2．（2024·黑龍江雞西·二模）如圖，已知，，請你添加一個條件（一個即可）：，使．【答案】(合理即可）【分析】本題是開放性題目，考查了全等三角形的判定，由已知條件：，，再添加一組角相等或即可證明全等．【詳解】添加條件：；證明：∵，，∴，故答案為：(合理即可）．3．（22-23八年級上·福建福州·期中）如圖，，點D，E分別在與上，與相交于點F．只填一個條件使得，添加的條件是：．【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查的是全等三角形的判定定理，根據(jù)全等三角形的判定定理添加條件即可．【詳解】添加的條件是：∵，，∴故答案為：（答案不唯一）．4．（2024·北京·模擬預測）如圖，，是的兩條高線，只需添加一個條件即可證明（不添加其它字母及輔助線），（不添加其它字母及輔助線），這個條件可以是．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了添加條件使三角形全等，添加，通過“”即可證明．熟練掌握三角形全等的判定是解此題的關鍵．【詳解】解：添加，是的兩條高線，，在和中，，，故答案為：（答案不唯一）．5．（2024·河南安陽·模擬預測）如圖，在和中，與相交于點，，添加一個條件可以證明．(1)①；②；③；④，上面四個條件可以添加的是______（填序號）．(2)請你選擇一個條件給出證明．【答案】(1)①③(2)詳見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定：（1）添加①或③，即可；（2）添加①，根據(jù)等腰三角形的判定可得，從而得到，可證明，即可；添加③，可得，可證明，即可．【詳解】（1）解：上面四個條件可以添加的是①；故答案為：①③（2）若添加①；∵，∴，∵，∴，在和中，∵，，，∴，∴；若添加③；∵，，∴，在和中，∵，，，∴，∴．6．（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，，．若________，則．請從①；②；③這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結論成立，并說明理由．【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質，①根據(jù)平行線的性質得出，再由全等三角形的判定和性質得出，結合圖形即可證明；②得不出相應的結論；③根據(jù)全等三角形的判定得出，結合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．【詳解】解：選擇①；∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即；選擇②；無法證明，無法得出；選擇③；∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即；故答案為：①或③（答案不唯一）7（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，點，在線段上，且．請從①；②；③中．選擇一個合適的選項作為已知條件，使得．你添加的條件是：__________（只填寫一個序號）．添加條件后，請證明．【答案】①（或②）【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質及平行線的判定，解答的關鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質并靈活運用．利用全等三角形的判定定理進行分析，選取合適的條件進行求解，再根據(jù)全等三角形的性質及平行線的判定證明即可．【詳解】解：可選取①或②（只選一個即可），證明：當選?、贂r，在與中，，，，，，，在與中，，，，；證明：當選?、跁r，在與中，，，，，，，在與中，，，，；故答案為：①（或②）題型三：全等三角的綜合問題【中考母題學方法】【典例1】（2024·山東·中考真題）【實踐課題】測量湖邊觀測點和湖心島上鳥類棲息點之間的距離【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具【實踐活動】某班甲小組根據(jù)湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點．測量，兩點間的距離以及和，測量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：米，，．畫出示意圖，如圖【問題解決】（1）計算，兩點間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：如圖2，選擇合適的點，，，使得，，在同一條直線上，且，，當，，在同一條直線上時，只需測量即可．（2）乙小組的方案用到了________．（填寫正確答案的序號）①解直角三角形

②三角形全等【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據(jù)現(xiàn)場地形狀況選擇可實施的方案．【答案】（1），兩點間的距離為米；（2）②【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質的應用，解直角三角形的應用，靈活應用知識點是解本題的關鍵；（1）如圖，過作于，先求解，，再求解及即可；（2）由全等三角形的判定方法可得，可得，從而可得答案.【詳解】解：如圖，過作于，∵米，，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴（米）；即，兩點間的距離為米；（2）∵，，當，，在同一條直線上時，∴，∴，∴，∴只需測量即可得到長度；∴乙小組的方案用到了②；【典例2】（2024·重慶·中考真題）在中，，點是邊上一點（點不與端點重合）．點關于直線的對稱點為點，連接．在直線上取一點，使，直線與直線交于點．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖1，若，用等式表示線段與之間的數(shù)量關系，并證明；(3)如圖2，若，點從點移動到點的過程中，連接，當為等腰三角形時，請直接寫出此時的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由三角形內角和定理及外角定理結合即可求解；（2）在上截取，連接，交于點H，連接，先證明，再證明四邊形是平行四邊形，可得，記與的交點為點N，則由軸對稱可知：，，再解即可；（3）連接，記與的交點為點N，由軸對稱知，，，，當點G在邊上時，由于，當為等腰三角形時，只能是，同（1）方法得，，中，，解得，然后，解直角三角形，表示出，，即可求解；當點G在延長線上時，只能是，設，在中，，解得，設，解直角三角形求出，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，

∵，，∴∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：，在上截取，連接，交于點H，

∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵點關于直線的對稱點為點，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，記與的交點為點N，則由軸對稱可知：，，∴中，，∴，∴，∴；（3）解：連接，記與的交點為點N，

∵，∴，由軸對稱知，當點G在邊上時，由于，∴當為等腰三角形時，只能是，同（1）方法得，，∴，∴，∵，∴，∴中，，解得，∴，而，∴為等邊三角形，∴，設，∵，∴，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，∴；當點G在延長線上時，只能是，如圖：

設，∴，，∴，∵，∴，∵∴在中，，解得，∴，設，則，，在中，，由勾股定理求得，在中，，，∴，∴，∴，綜上所述：或．【點睛】本題考查了三角形的內角和，外角定理，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，解直角三角形，等腰三角形的分類討論，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．【變式3-1】（2023·湖南岳陽·一模）如圖，在中，，、是邊上的點．請從以下三個條件：①；②；③中，選擇一個合適的作為已知條件，使得．

(1)你添加的條件是______（填序號）；(2)添加了條件后，請證明．【答案】(1)①（答案不唯一）(2)見解析【分析】（1）利用全等三角形的判定定理進行分析，選取合適的條件進行求解即可；（2）結合（1）進行求解即可．【詳解】（1）解：可選?、倩颌郏ㄖ贿x一個即可），故答案為：①（答案不唯一）；（2）證明：當選取①時，，，在與中，，，；當選?、蹠r，，，在與中，，，．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，解答的關鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質并靈活運用．【變式3-2】（2024九年級下·全國·專題練習）如圖，在和中，點A、E、B、D在同一條直線上，，，只添加一個條件，不能判斷的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，先證明，再根據(jù)三角形全等的判定方法做出選擇即可．【詳解】解：∵，∴，A、∵，，，∴，∴，該選項不符合題意；B、∵，，，∴，該選項不符合題意；C、，，不能判斷，該選項符合題意；D、∵，，，∴，該選項不符合題意．故選：C．【變式3-2】（2024·四川南充·模擬預測）如圖，在中，，，將沿邊所在直線翻折得，連接交于點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查由翻折，全等三角形的性質，由翻折得到，即可得到，，，然后根據(jù)余角的性質得到即可．【詳解】∵將沿邊所在直線翻折得，∴，，∴，，，∴，故選：A．【變式3-3】（2023·四川成都·二模）如圖，是內的一條射線，D、E、F分別是射線、射線、射線上的點，D、E、F都不與O點重合，連接，添加下列條件，能判定的是（

）A．， B．，，C．， D．，【答案】B【分析】運用全等三角形的判定方法逐項判定即可．【詳解】解：A.，不符合對應邊、對應角相等，故不能證明，故不符合題意；

B.，，，運用HL可證，故符合題意；C.，不符合對應邊、對應角相等，故不能證明，故不符合題意；D.，再加上隱含條件,運用SSA不能證得，故不符合題意．

故選B．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，知道SSA不能判定三角形全等是解答本題的關鍵．【變式3-4】（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，在中，的平分線交于點D，過點D作于點E．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)的長為．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質得到，再證明即可得到；（2）根據(jù)勾股定理求得，設，則，，再應用勾股定理即可求解．本題考查了解平分線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】（1）解：是的角平分線，，，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，，∴，設，則，，在中，，即，解得：，∴的長為．【變式3-5】（2024·浙江寧波·三模）如圖，在的方格紙中，有，僅用無刻度的直尺，分別按要求作圖：(1)在圖1中，找到一格點，使與全等；(2)在圖2中，在上找一點，使得．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查作圖—應用與設計作圖，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）構造平行四邊形即可；（2）取格點，，連接交于點，連接即可（利用相似三角形的性質,證明:）．【詳解】（1）解：如圖1中，點即為所求；（2）如圖2中，點即為所求．【中考模擬即學即練】1．（2024·山東煙臺·中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線為的平分線的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，中垂線的性質和判定，根據(jù)作圖痕跡，逐一進行判斷即可．【詳解】解：第一個圖為尺規(guī)作角平分線的方法，為的平分線；第二個圖，由作圖可知：，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴為的平分線；第三個圖，由作圖可知，∴，，∴∴，∴為的平分線；第四個圖，由作圖可知：，，∴為的平分線；故選D．2．（2024·湖南·模擬預測）如圖，在正方形中，線段繞點C逆時針旋轉到處，旋轉角為，點F在直線上，且，連接．(1)如圖1，當時，求證：．(2)如圖2，取線段的中點G，連接，已知，請直接寫出在線段旋轉過程中（）面積的最大值．【答案】(1)見解析(2)面積的最大值為【分析】（1）連接，計算得到，利用證明，推出是等腰直角三角形，據(jù)此即可證明；（2）過點作的垂直，交直線于點，連接，相交于點，連接，利用直角三角形的性質推出點在以點為圓心，為半徑的一段弧上，得到當點、、在同一直線上時，有最大值，則面積的最大值，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：連接．，，，，，．，是等腰直角三角形，；（2）解：過點作的垂線，交直線于點，連接，相交于點，，連接，由（1）得是等腰直角三角形，又點為斜邊的中點，，即，四邊形是正方形，．，點在以點為圓心，為半徑的一段弧上，當點、、在同一直線上時，有最大值，則面積的最大值，．面積的最大值為．【點睛】本題考查的是正方形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、直角三角形的性質、勾股定理，掌握相關的判定定理和性質定理是解題的關鍵．3．（2024·湖北·一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內交于點A，與y軸交于點C，與x軸交于點B，C為的中點，．(1)求的值；(2)當，時，求x的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，（1）過點A作y軸的垂線，垂足為D，證明進而求出結論；（2）先求出，根據(jù)圖象寫出結論即可．【詳解】（1）解：過點A作y軸的垂線，垂足為D．點C為的中點，，又；，∴，∴，設，點A在第一象限，則，即，∴．（2）因為，所以B?2,0由，得，所以，．當時，x的取值范圍是：．4．（2023·北京門頭溝·二模）如圖，在中，，點在延長線上，且，將延方向平移，使點移動到點，點移動到點，點移動到點，得到，連接，過點作于．

(1)依題意補全圖形；(2)求證：；(3)連接，用等式表示線段，的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)，理由見詳解【分析】（1）按要求作圖即可；（2）根據(jù)平移的性質可求，再求，即可得證；（3）連接、，可證，從而可得，，再證，從而可得，，從而可證，即可得證．【詳解】（1）解：如圖

（2）證明：由平移得：，，，，，，，，．（3）解：．理由：如圖，連接、，

，，在和中，()，，；，，；由平移得：；在和中，()，，，，，，，．【點睛】本題考查了平移的性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理，掌握相關的判定方法及性質，并會根據(jù)題意作出輔助線是解題的關鍵．5．（2024·浙江寧波·模擬預測）在等邊三角形外側作直線，點關于直線的對稱點為，連接，交于點，連接．

(1)依題意補全如圖；(2)若，求；(3)若，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系并證明．【答案】(1)見解析(2)(3)，理由見解析【分析】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，軸對稱的性質，等邊三角形的性質等知識點，靈活運用這些知識點是解題的關鍵．（1）依題意補全圖形；（2）由等腰三角形的性質和外角性質即可求解；（3）連接交于點，證明，過點作于點，設，，則，，根據(jù)勾股定理求出，在中，由勾股定理得出，代入相關數(shù)據(jù)得出，由，可得出結論．【詳解】（1）解：過點作直線的垂線，交于點，取點，使得，連接，交于點，連接，則點為點關于直線的對稱點，圖1為所求的圖：（2）如圖2：連接，

∵點與點關于直線對稱，∴，，∴，，∴，即，∵，，∴，∴，∴，在與中，，，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：，理由如下：如圖，連接交于點，∵點與點關于直線對稱，∴，，∴，，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∵，∴在與中，∴∵是等邊三角形∴∴，過點作于點，設，，則，，在中，，在中，，∴，∵，，∴6．（2024·貴州遵義·模擬預測）如圖①，在中，，，點在邊上，連接，點在射線上，連接．(1)如圖，將繞點逆時針旋轉得到，連接，．求證：；(2)若點是的中點，連接，求的最小值；(3)如圖②，若于點，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．【分析】（1）利用旋轉的性質得到，，利用等式的性質得到，再利用全等三角形的判定定理解答即可；（2）利用勾股定理求得，利用旋轉的性質得到是等腰直角三角形，則當最小時，最?。焕么咕€段最短可知：當時，最小，利用三角形的面積公式求得，則結論可求；（3）過點A作交于點，利用全等三角形的判定與性質得到，設，則，利用勾股定理列出關于的方程，解方程即可得出結論．【詳解】（1）證明：繞點A逆時針旋轉得到，，.，，..在和中，；（2）解：在中，，點是的中點，，，連接，則是等腰直角三角形，如圖，則當最小時，最小，垂線段最短，當時，最小，當時，，，．的最小值為．（3）解：過點A作交于點，如圖，.，，.，，，，.在和中，，，，．為等腰直角三角形，.設，則，在中，，，解得：，，負數(shù)不合題意，舍去，．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，線段中點的意義，直角三角形的性質，勾股定理，垂線段最短的性質，熟練掌握性質的性質是解題的關鍵．7．（2024·四川樂山·模擬預測）如圖，在中，，作的中點，過作，分別交AB、于、，我們稱為等腰的“內接直角三角形”．設，．(1)如圖①，當時，若a=2，時，求內接直角三角形的斜邊的長．(2)如圖②，當時，求證：內接直角三角形的斜邊滿足：；(3)拓展延伸：如圖③，當時，若、分別在、的延長線上，與，還滿足（2）的關系式嗎？若滿足，證明你的結論；若不滿足，請?zhí)剿髋c，滿足的數(shù)量關系式，并證明你的結論．【答案】(1)(2)見解析(3)，理由見解析【分析】（1）過點作的垂線交的延長線于點，連接，根據(jù)平行線的性質，則，根據(jù)對頂角相等，全等三角形的判定和性質，則，得，，根據(jù)勾股定理的應用，即可；（2）過點作的平行線交的延長線于點，連接，過點作的垂線，交的延長線于點，根據(jù)等腰三角形的性質，則，根據(jù)全等三角形的判定和性質，則，，，根據(jù)勾股定理，則，即可；（3）過點作的垂線交的延長線于點，連接，根據(jù)平行線的性質，則，根據(jù)對頂角相等，全等三角形的判定和性質，則，根據(jù)勾股定理，則，進行解答，即可．【詳解】（1）解：如圖，過點作的垂線交的延長線于點，連接，∵，∴，∴，∵點是的中點，∴，又∵，∴，∴，，又∵，∴，在中，由勾股定理得：．（2）如圖，過點作的平行線交的延長線于點，連接，過點作的垂線，交的延長線于點，∵，，∴，∵點是的中點，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，，，∴，，∴，在中，，即．（3）如圖，過點作的垂線交的延長線于點，連接，∵，∴，∵點是的中點，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，在中，，【點睛】本題考查等腰三角形，全等三角形，勾股定理的知識，解題的關鍵是掌握等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理的應用，進行解答，即可．題型四：角平分線性質定理【中考母題學方法】【典例1】（2024·山東德州·中考真題）如圖中，，，垂足為D，平分，分別交，于點F，E．若，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查相似三角形的判定與性質、角平分線的性質、勾股定理、三角形的面積等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質以及角平分線的性質是解答的關鍵．設，，利用勾股定理求得，，再證明得到，再利用角平分線的性質和三角形的面積得到即可求解．【詳解】解：∵，設，，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∵平分，∴點F到、的距離相等，又點A到、的距離相等，∴，即，故選：A．【典例2】（2024·山東青島·中考真題）已知：如圖，四邊形，E為邊上一點．求作：四邊形內一點P，使，且點P到的距離相等．【答案】見解析【分析】本題考查作圖-復雜作圖，角平分線的性質，解題的關鍵是掌握作角平分線和作一個角等于已知角的尺規(guī)作圖方法．作的平分線，以E為頂點，為一邊作，交于P，點P即為所求．【詳解】解：作的平分線，以E為頂點，為一邊作，交于P，如圖，點P即為所求．【變式4-1】（2024·四川綿陽·模擬預測）如圖，在中，的平分線交于點于點，若的周長為12，則的周長為4，則為（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查角平分線的性質、全等三角形的性質與判定，根據(jù)角平分線的性質可得，，證得，可得，再根據(jù)三角形周長可得，即可求解．【詳解】解：∵平分，，，∴，，又∵，∴，∴，∵的周長為4，的周長為12，∴，，∴，∴，故選：B．【變式4-2】（2025·湖南·模擬預測）如圖，在中，，E是邊上一點，連接，在右側作，且，連接．若，，則四邊形的面積為．【答案】60【分析】本題考查等邊對等角，平行線的性質，角平分線的性質，勾股定理：過點作，，根據(jù)等邊對等角結合平行線的性質，推出，進而得到，得到，進而得到四邊形的面積等于，設，勾股定理求出的長，再利用面積公式求出的面積即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分，過點作，，則：，∵，且，∴，∴四邊形的面積，∵，∴，設，則：，由勾股定理，得：，∴，解：，∴，∴，∴四邊形的面積為60．故答案為：60．【變式4-3】如圖，的外角的平分線與相交于點P，若點P到的距離為3，則點P到的距離為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質．如圖，過作于，于，于，則，由的外角的平分線與相交于點P，可得，然后作答即可．【詳解】解：如圖，過作于，于，于，則，

∵的外角的平分線與相交于點P，∴，∴點P到的距離為3，故選：B．【變式4-4】（2024·陜西西安·三模）如圖，已知銳角，，請用尺規(guī)作圖法，在內部求作一點P．使．且．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】本題考查了作圖—復雜作圖，先作的平分線，再作的垂直平分線，直線交于點，則點即為所求，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，也考查了等腰三角形的性質．【詳解】解：如圖，點即為所求，．44．（2024·四川樂山·一模）如圖，在中，，BD是的一條角平分線，點、、分別在BD、、上，且四邊形是正方形．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查角平分線的判定及性質，直角三角形的兩銳角互余以及正方形的性質，掌握角平分線的判定及性質是本題的解題關鍵．（1）過點作于點，根據(jù)角平分線定理的性質及正方形的性質得，利用角平分線的判定即可得證；（2）利用全等得到線段，，利用正方形，得到四邊都相等，從而利用與、及AB的關系求出的長．【詳解】（1）證明：過點作于點∵正方形，∴，于，于∵BD平分，于，于∴∵于，∴點在的平分線上即平分；（2）解：∵中，，，∴∵平分，∴，∵，，∴，∴，同理得由（）得∵，，∴，∵∴即解得【變式4-5】（2024·甘肅蘭州·模擬預測）如圖，在矩形中，的平分線交于點，于點，于點，與交于點．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，求的長．【答案】(1)正方形；理由見解析(2)1【分析】本題主要考查了正方形的判定與性質，矩形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握矩形的性質，全等三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．（1）根據(jù)矩形性質及得，則四邊形為矩形，再根據(jù)是的平分線得，由此即可得出結論；（2）根據(jù)四邊形為正方形，得，證明和全等得，由此可得的長．【詳解】（1）解：四邊形為正方形．理由如下：四邊形為矩形，．，，∴四邊形為矩形，∵是的平分線，．四邊形為正方形．（2）解∶∵四邊形為正方形，，．，．∵是的平分線，．在和中，，．【中考模擬即學即練】1．如圖，在中，，用尺規(guī)作圖法作出射線，交于點，，為上一動點，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本題考查基本作圖——作角平分線，角平分線的性質定理，垂線段最短．當時，根據(jù)垂線段最短可知，此時的值最小．再根據(jù)角平分線的性質定理可得，即得．【詳解】解：當時，根據(jù)垂線段最短可知，此時的值最?。勺鲌D知：平分，∵，∴，∵，∴．∴的最小值為5，故選：D．2．（2024·廣東中山·模擬預測）如圖，，，，若，則．【答案】4【分析】作于H，根據(jù)角平分線的性質求出，根據(jù)含角直角三角形的性質求出，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：作于H．∵，，，∴，．∵，∴，∴∴，∴∴∴．故答案為：4．【點睛】本題考查了三角形外角的性質、角平分線的性質、等邊對等角、含角的直角三角形的性質，勾股定理等知識，掌握角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．3．（2023·北京·模擬預測）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，適當長為半徑作弧，分別交于點M，N；②分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點P；③作射線交于點D．若，的面積為4，則的面積為．

【答案】6【分析】利用基本作圖得到平分，再根據(jù)角平分線的性質得點D到、的距離相等，于是利用三角形面積公式得到的面積的面積，從而可計算出的面積．【詳解】解：由作法得平分，則點D到、的距離相等，∴的面積的面積，∵的面積為4，∴的面積是6．故答案為：6．【點睛】本題考查了基本作圖：熟練掌握基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線也考查了角平分線的性質．4．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點D，E；②分別以D，E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；③作射線，交于點F，若，則的長為．【答案】/【分析】作于點，根據(jù)作圖軌跡可知射線為的角平分線，可得，再求出的度數(shù)，根據(jù)解直角三角形求出的長，從而可得的長，根據(jù)即可解題．【詳解】解：由作圖軌跡可知：射線為的角平分線，如圖，作于點，，射線為的角平分線，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了作角平分線，角平分線性質，含角的直角三角形，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握并運用相關知識．5．（2024·青?！ひ荒＃┤鐖D，在中，，平分，交于點，過點作于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，勾股定理，（1）由角平分線的性質得到，證明，由全等三角形的性質即可得證；（2）由勾股定理求出，由（1）知，由，即可得解；掌握角平分線的性質和勾股定理是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵平分，，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，由（1）知：，∴，∴的長為．6．（2024·廣東·模擬預測）如圖，已知矩形的平分線交的延長線于點E．(1)尺規(guī)作圖：過點B作的垂線交于點G（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)在（1）所作的圖形中，連接，若平分，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）以點B為圓心，畫弧交于兩點，再以這兩個交點為圓心畫弧交于一點，連接B與這點，并延長交于于一點，即為G；（2）根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等，得出，再證明因為四邊形是矩形，所以，用等角對等邊，得，結合，則結合勾股定理，得，，因為，所以，即可作答．本題考查了尺規(guī)作圖——作垂線，角平分線的性質，勾股定理，矩形的性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖（1）所示，即為所求．（2）證明：如圖（2），∵平分，∴又∵，∴∴．∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴．∵平分，∴．又∵，∴，，∵，∴7．（2024·江蘇南京·三模）我們知道：三角形的三條角平分線交于一點（內心）、三條中線交于一點（重心）、…（1）如圖1，的中線相交于點，連接，易證，可得．如圖2．的中線相交于點，同理易證①．于是，點與點重合，三角形的三條中線交于一點．這樣證明兩個點（與）是同一點的方法也稱為“同一法”．（2）如圖3，是的角平分線，求證：．由此，得到結論：三角形內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例．（3）根據(jù)（2）中得到的結論用“同一法”證明：的三條角平分線交于一點．（4）在中，，，是的角平分線，且，則．【答案】（1）；（2）①；②；（3）見解析；（4）【分析】本題考查了三角形的中位線性質、相似三角形的判定與性質、角平分線的判定與性質、勾股定理等知識，理解題中“同一法”是解答的關鍵．（1）利用三角形的中位線性質和相似三角形的判定和性質可得結論；（2）利用角平分線的性質和三角形的面積公式求解即可；（3）利用角平分線的判定與性質和“同一法”的證明方法解答即可；（4）過A作于H，由（2）中結論，得，設，則，設，則，，由勾股定理可得，，然后列方程求解x值即可．【詳解】解：（1）如圖1，的中線相交于點，連接，∴是的中位線，∴，，∴，∴，則．如圖2．的中線相交于點，連接，則是的中位線，∴，，∴，∴，則．則點與點重合，即三角形的三條中線交于一點．故答案為：；（2）根據(jù)所給證明過程，結合角平分線的性質得①，再根據(jù)等量代換可得②，故答案為：①；②；（3）證明：如圖，、分別是的平分線，設、相交于點O，過O分別作于P，于Q，，則，，∴，又，，∴平分，即的三條角平分線交于點O；如圖，、分別是的平分線，設、相交于點，過分別作于P，于Q，于H，則，，∴，又，，∴平分，即的三條角平分線交于點，綜上，點O和點重合，故可得結論：的三條角平分線交于一點；（4）過A作于H，∵是的角平分線，，，∴由（2）中結論，得，設，則，設，則，，由勾股定理得，，，由得，由得，∴，則，解得（負值已舍去），∴．8．（2023·陜西西安·一模）在平面直角坐標系中，點在軸的負半軸上，點在軸的正半軸上，點與點關于軸對稱．(1)如圖1，，平分交于，交于，請直接寫出與的數(shù)量關系為________；(2)如圖2，平分交于，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，，點在的垂直平分線上，作交的延長線于，連接，試探究與的數(shù)量和位置關系．【答案】(1)相等(2)(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質和判定證明全等直接求解即可；（2）根據(jù)中線倍長模型構造全等，然后證明二次全等找到角度之間的關系，列方程求解即可；（3）作出手拉手模型構造全等，說明線段的數(shù)量和位置關系即可．【詳解】（1）平分交于，交于，在和中,，點與點關于軸對稱，（2）取關于橫軸的對稱點，連接，延長至，使得，連接．在和中,在和中,平分交于在中，則在中，解得，（3）過作交延長線于點，連接,在和中,是等腰三角形與的數(shù)量和位置關系是【點睛】此題考查全等三角形的綜合題型，解題關鍵是巧妙作出合適的輔助線，意在利用已知的條件推論全等而得到角等或邊等的關系．10．【思維啟迪】（1）如圖1，是的中線，延長到點．使，連接，則與的數(shù)量關系為________，位置關系為________．【思維應用】（2）如圖2，在中，，點為內一點，連接，，延長到點，使，連接，若，請用等式表示，，之間的數(shù)量關系，并說明理由；【思維探索】（3）如圖3，在中，，，點為中點，點在射線上（點不與點，點重合），連接，過點作，垂足為點，連接．若，，請直接寫出的長．【答案】（1）相等，平行；（2）；（3）的長為或．【分析】（1）直接利用即可求證全等，繼而得到，故；（2）①延長至點F，使得，連接，則是的垂直平分線，得到，可證明，則，，在中，由勾股定理得：，則等量代換出；（3）當點在線段上時，延長至點H，使得，連接并延長交于點G，同上可得：，可證明，則，故，在中，由勾股定理求得，那么，中，由勾股定理求得，則；當點在延長線上時，構造上述輔助線，同理可求．【詳解】解：（1）由題意得，∵，∴，∴，∴，故答案為：相等，平行；（2）延長至點F，使得，連接，∵，即，∴是的垂直平分線，∴，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴；（3）當點在線段上時，延長至點H，使得，連接并延長交于點G，同上可得：，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理求得，∴，∴中，由勾股定理求得，∴；當點在延長線上時，構造上述輔助線，同上可得：，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理求得，∴，∴中，由勾股定理求得，∴，綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理，平行線的判定與性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握知識點，正確構造全等三角形是解決本題的關鍵．題型五：線段垂直平分線的性質與判定【中考母題學方法】【典例1】（2024·山東濟南·中考真題）如圖，在正方形中，分別以點A和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和，作直線，再以點A為圓心，以的長為半徑作弧交直線于點（點在正方形內部），連接并延長交于點．若，則正方形的邊長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，設交于點H，正方形邊長為，由作圖知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，證明，推出，推出，得到，即得．【詳解】連接，設交于點H，正方形邊長為，由作圖知，，垂直平分，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形和線段垂直平分線綜合．熟練掌握正方形性質，線段垂直平分線性質，勾股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理，梯形中位線性質，是解決問題的關鍵．【典例2】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，的邊的垂直平分線交于點，連接．若，，則．【答案】3【分析】本題考查線段垂直平分線的性質，關鍵是由線段垂直平分線的性質推出．求出，由線段垂直平分線的性質推出．【詳解】解：，，，在的垂直平分線上，．故答案為：3．【典例3】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線分別交邊于點E、F．若，，則．【答案】【分析】本題主要考查三角形相似的判定和性質以及勾股定理，熟練掌握三角形的判定和性質是解題的關鍵．設與相交于點，證明，根據(jù)相似的性質進行計算即可；【詳解】解：的垂直平分線分別交邊于點E、F．，，，，，，，，，，，，令，，解得或（舍去），．故答案為：．【變式5-1】（2024·陜西渭南·二模）如圖，點A為和的公共頂點，已知，，請你添加一個條件，使得．（不再添加其他線條和字母）(1)你添加的條件是______；(2)根據(jù)你添加的條件，寫出證明過程．【答案】(1)(2)過程見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定；（1）根據(jù)題意添加的條件即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到證明．【詳解】（1）解：．（2）證明：∵，∴，即．在和中，，，，∴，∴．【變式5-2】（2023·四川眉山·模擬預測）如圖，在中，邊的垂直平分線交于，交于，若平分，，則度．【答案】【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，掌握垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．由線段垂直平分線和角平分線的定義可得，在中由三角形內角和定理可求得．【詳解】解：在線段的垂直平分線上，，，平分，，又，，故答案為：．【變式5-3】（2024·四川廣元·中考真題）點F是正五邊形邊DE的中點，連接并延長與CD延長線交于點G，則的度數(shù)為．

【答案】/18度【分析】連接，，根據(jù)正多邊形的性質可證，得到，進而得到是的垂直平分線，即，根據(jù)多邊形的內角和公式可求出每個內角的度數(shù)，進而得到，再根據(jù)三角形的內角和定理即可解答．【詳解】解：連接，，

∵五邊形是正五邊形，∴，∴，∴，∵點F是的中點，∴是的垂直平分線，∴，∵在正五邊形中，，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查正多邊形的性質，內角，全等三角形的判定及性質，垂直平分線的判定，三角形的內角和定理，正確作出輔助線，綜合運用相關知識是解題的關鍵．【變式5-4】（2024·四川南充·中考真題）如圖，在中，點D為邊的中點，過點B作交的延長線于點E．(1)求證：．(2)若，求證：【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，中垂線的判定和性質：（1）由中點，得到，由，得到，即可得證；（2）由全等三角形的性質，得到，進而推出垂直平分，即可得證．【詳解】（1）證明：為的中點，．

；

在和中，

；（2）證明：垂直平分，．【中考模擬即學即練】1．（2024·福建莆田·模擬預測）如圖，在中，，，求作的三等分線．閱讀以下作圖步驟：（1）分別以點A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點D，E，作直線交于點F，交于點H，畫射線；（2）以點C為圓心，適當?shù)拈L為半徑畫弧，交于點M，交于點N；（3）分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部交于點G，畫射線，則射線即為所求．下列說法不正確的是（

）A． B． C． D．為等邊三角形【答案】B【分析】由垂直平分線段可判斷A，由30度角的性質可判斷B，由等邊三角形的判定可判斷D，由三線合一可判斷C．【詳解】解：∵，，∴，由作