難點(diǎn)07圓的基本性質(zhì)的?？碱}型

（6大熱考題型）

題型一：圓的基本和最值問(wèn)題

題型二：垂徑定理及其應(yīng)用

題型三：圓心角、弦、弧之間的關(guān)系

題型四：圓周角定理

題型五：圓周角定理的推論和應(yīng)用

題型六：圓內(nèi)接四邊形

題型一：圓的基本和最值問(wèn)題

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB3，BC1，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，C

同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB，CD向終點(diǎn)B，D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作直線l，過(guò)點(diǎn)A作直線

l的垂線，垂足為G，則AG的最大值為（）

3

A．3B．C．2D．1

2

【典例2】（2023·山東淄博·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展探究活

動(dòng)．

(1)操作判斷

小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．

試判斷：△ACF的形狀為_(kāi)_______．

(2)深入探究

小紅在保持矩形ABCD不動(dòng)的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB2，AD4．

探究一：當(dāng)點(diǎn)F恰好落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CG與DF相交于點(diǎn)M，如圖②．求CMF的面積．

探究二：連接AE，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，如圖③．

求線段DH長(zhǎng)度的最大值和最小值．

【變式1-1】（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在O點(diǎn)，另一端綁一重物．將此

重物拉到A點(diǎn)后放開(kāi)，讓此重物由A點(diǎn)擺動(dòng)到B點(diǎn)．則此重物移動(dòng)路徑的形狀為（）

A．傾斜直線B．拋物線C．圓弧D．水平直線

【變式1-2】（2023·江蘇宿遷·中考真題）在同一平面內(nèi)，已知O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，

點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（）

A．2B．5C．6D．8

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·安徽合肥·三模）如圖，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)45得到線段CP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45得到線段DP，連接AD，BC，交點(diǎn)為Q．若AB6，

點(diǎn)H是線段AB的中點(diǎn)，則QH的最小值為（）

A．3B．323C．32D．2

2．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB3，E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)B關(guān)于

AE的對(duì)稱點(diǎn)為B，連接BD．若BD的最大值與最小值之比為2，則AD的長(zhǎng)為．

3．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)C是A上一動(dòng)點(diǎn)，B為一定點(diǎn)，D隨著C點(diǎn)移動(dòng)而移動(dòng)，EG為BD

的垂直平分線，CBD90，BD2BC，EG4BC，若☉A半徑為2，點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離為4，則在C點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CE的最大值為．

4．（2024·河北秦皇島·一模）某校社團(tuán)實(shí)踐活動(dòng)中，有若干個(gè)同學(xué)參加．先到的n個(gè)同學(xué)均勻圍成一個(gè)以O(shè)

點(diǎn)為圓心，1m為半徑的圓圈，如圖所示（每個(gè)同學(xué)對(duì)應(yīng)圓周上一個(gè)點(diǎn)）．

（1）若n6，則相鄰兩人間的圓弧長(zhǎng)是m．（結(jié)果保留π）

（2）又來(lái)了兩個(gè)同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移a米，再左右調(diào)整位置，使這n2個(gè)同學(xué)之

間的圓弧長(zhǎng)與原來(lái)n個(gè)同學(xué)之間的圓弧長(zhǎng)相等．這n2個(gè)同學(xué)排成圓圈后，又有一個(gè)同學(xué)要加入隊(duì)伍，重

復(fù)前面的操作，則每人須再往后移b米，才能使得這n3個(gè)同學(xué)之間的圓弧長(zhǎng)與原來(lái)n個(gè)同學(xué)之間的圓弧

b

長(zhǎng)相同，則．

a

5．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以點(diǎn)A為圓心的圓交數(shù)軸于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)A

的右側(cè)），若A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為1，3，則點(diǎn)C表示的數(shù)是．

6．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB2，BC3，M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且BM1，則

線段MD的最大值為．

7．（2023·四川樂(lè)山·模擬預(yù)測(cè)）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】

小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)O為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫(huà)圓，然后半徑依次增加一個(gè)間距畫(huà)同心圓，

描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位置有一定的規(guī)律．

【提出問(wèn)題】

小明通過(guò)觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫(huà)圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖象上．

【分析問(wèn)題】

小明利用已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以圓心O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的橫線所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O且垂直于橫線的直線

為y軸，相鄰橫線的間距為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示，當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的同

心圓上時(shí)，其坐標(biāo)為_(kāi)__________．

【解決問(wèn)題】

請(qǐng)幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立．

【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)P0,m，m為正整數(shù)，以O(shè)P為直徑畫(huà)M，是否存在所描的點(diǎn)在M上，若存在，

求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

8．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．A，B兩點(diǎn)均為格點(diǎn)，

請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺找出經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓的圓心O，并保留作圖痕跡．

9．（2025·湖北十堰·模擬預(yù)測(cè)）如圖，O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，F(xiàn)是圓上一點(diǎn)，D是BF的中點(diǎn)，

連接CF交OB于點(diǎn)G，連接BC．

(1)求證：GEBE；

(2)若AG6，BG4，求CD的長(zhǎng)．

題型二：垂徑定理及其應(yīng)用

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在O中，弦AB的長(zhǎng)為8，圓心O到AB的距離OE4，則O

的半徑長(zhǎng)為（）

A．4B．42C．5D．52

【變式2-1】（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，圓形拱門(mén)最下端AB在地面上，D為AB的中點(diǎn)，C為拱

門(mén)最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過(guò)拱門(mén)所在圓的圓心，若AB1m，CD2.5m，則拱門(mén)所在圓的半徑為（）

A．1.25mB．1.3mC．1.4mD．1.45m

【變式2-2】（2024·新疆·中考真題）如圖，AB是O的直徑，CD是O的弦，ABCD，垂足為E．若CD8，

OD5，則BE的長(zhǎng)為（）

A．1B．2C．3D．4

【變式2-3】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在O中，直徑ABCD于點(diǎn)E，CD6,BE1，則弦

AC的長(zhǎng)為．

【變式2-4】（2024·江西·中考真題）如圖，AB是O的直徑，AB2，點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C的

弦DEAB，將DBE沿DE翻折交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)DE的長(zhǎng)為正整數(shù)時(shí)，線段FB的長(zhǎng)為．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2023·廣東東莞·一模）如圖，AB是O直徑，點(diǎn)C在O上，CDAB垂足為D，點(diǎn)E是O上動(dòng)點(diǎn)

（不與C重合），點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，若AD3，CD6，則DF的最大值為．

2．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知O的半徑為5，AB是O的弦，P是弦AB的延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，若PA8，PB2，

則圓心O到弦AB的距離為（）

A．41B．6C．30D．4

3．（2024·山西長(zhǎng)治·模擬預(yù)測(cè)）明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了“筒車”（一種水利灌溉工

具）的工作原理．如圖2，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓．已知圓心O在水面上方，且O

被水面截得弦長(zhǎng)為8米，O半徑長(zhǎng)為6米，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦所在直線的距

離是（）????

A．2米B．4米C．625米D．625米

4．（2024·云南怒江·一模）如圖，AB是O的弦，半徑OCAB，垂足為D，設(shè)AB6，CD1，則O的

半徑長(zhǎng)為（）

A．3B．4C．5D．6

5．（2024·四川成都·二模）如圖，AB是O的弦，若O的半徑OA10，圓心O到弦AB的距離OC6，

則弦AB的長(zhǎng)為()

A．8B．12C．16D．20

6．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，分別是以AB，AC為直徑的兩個(gè)半圓，其中AC是半圓O的一條弦，

E是AC中點(diǎn)，D是半圓ADC中點(diǎn)．若AB6，DE1，且AC3，則AC的長(zhǎng)為（）

A．33B．43C．32D．42

7．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，OA是O的半徑，弦BCOA于點(diǎn)D，連接OB．若O的半徑為5cm，

BC的長(zhǎng)為8cm，則AD的長(zhǎng)是cm．

8．（2024·上海嘉定·二模）如圖在圓O中，AB是直徑，弦與AB交于點(diǎn)E，如果AE1，EB9，AEC45，

點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，連接OM，并延長(zhǎng)OM與圓O交于?點(diǎn)?N，那么MN．

9．（2024·湖南·二模）如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是O中

弦AB的中點(diǎn)，CD經(jīng)過(guò)圓心O交O于點(diǎn)D，且AB8m，OC3m，則CDm．

10．（2024·廣東湛江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在破殘的圓形殘片上，弦AB的垂直平分線交弧AB于點(diǎn)C，交弦AB

于點(diǎn)D，已知AB8cm，CD2cm．

(1)求作此殘片所在的圓的圓心O（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；

(2)求出（1）中所作圓的半徑．

11．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）某校組織九年級(jí)學(xué)生前往某蔬菜基地參觀學(xué)習(xí)，該蔬菜基地欲修建一頂大棚．如

圖，大棚跨度AB8m，拱高CD2m．

同學(xué)們討論出兩種設(shè)計(jì)方案：

方案一，設(shè)計(jì)成圓弧型，如圖1，已知圓心O，過(guò)點(diǎn)O作OCAB于點(diǎn)D交圓弧于點(diǎn)C．連接OA．

方案二，設(shè)計(jì)成拋物線型，如圖2，以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐

標(biāo)系．

(1)求方案一中圓的半徑；

(2)求方案二中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(3)為擴(kuò)大大概的空間，將大棚用1米高的垂直支架支撐起來(lái)，即AEBF1m．在大棚內(nèi)需搭建2m高的

植物攀爬竿，即GMHN2m，GMAB于點(diǎn)P，HNAB于點(diǎn)Q，GH與OC交于點(diǎn)K．請(qǐng)問(wèn)哪種設(shè)

計(jì)的種植寬度MN要大些?（不考慮種植間距等其他問(wèn)題，且四邊形GMNH是矩形）

題型三：圓心角、弦、弧之間的關(guān)系

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023·河北·中考真題）如圖，點(diǎn)P1~P8是O的八等分點(diǎn)．若P1P3P7，四邊形P3P4P6P7的周長(zhǎng)分

別為a，b，則下列正確的是()

A．a(chǎn)bB．a(chǎn)bC．a(chǎn)bD．a(chǎn)，b大小無(wú)法比較

【變式3-1】（2022·山東聊城·中考真題）如圖，AB，CD是O的弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)P．已知P30，

AOC80，則BD的度數(shù)是（）

A．30°B．25°C．20°D．10°

【變式3-2】（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，將一個(gè)量角器與一把無(wú)刻度直尺水平擺放，直尺的長(zhǎng)邊與量

角器的外弧分別交于點(diǎn)A，B，C，D，連接AB，則BAD的度數(shù)為．

【變式3-3】（2021·四川巴中·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，且AB＝6，點(diǎn)C是弧AB中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)

弧AB上的一點(diǎn)，∠ADC＝30°，則圓心O到弦AB的距離等于（）

3

A．33B．C．D．

32

2

【中考模擬3即學(xué)即練】

1．（2025·湖北十堰·一模）“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個(gè)“老碗”（圖①）的

形狀示意圖AB是O的一部分，D是AB的中點(diǎn)，連接OD，與弦AB交于點(diǎn)C，連接OA，OB．已知

AB24cm，碗深CD8cm，則O的半徑OA為（）

A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm

2．（2024·云南昆明·一模）如圖，是O的直徑，BCCDDE．若BOC34，則AOE的度數(shù)是

（）??

A．68B．78C．88D．112

3．（2023·福建莆田·模擬預(yù)測(cè)）如圖，O中AB的度數(shù)為60，AC是O的直徑，那么OBC等于（）

A．30B．45C．60D．120

4．（2024·山東青島·中考真題）如圖，A，B，C，D是O上的點(diǎn)，半徑OA3，ABCD，DBC25，

連接，則扇形AOB的面積為（）

??

5555

A．πB．πC．πD．π

48212

5．（2024·廣東揭陽(yáng)·三模）如圖，在O中，AB2CD，那么（）

A．AB2CDB．AB2CD

．．與的大小關(guān)系無(wú)法比較

CAB2CDDAB2CD

6．（2023·云南大理·一模）如圖，在O中，是O的直徑，AB8cm，C、D為弧的三等分點(diǎn)，M

是上一動(dòng)點(diǎn)，CMDM的最小值是??cm．??

??

7．（2024·河南駐馬店·三模）如圖，在扇形AOB中，AOB90，BO2，C為BO的中點(diǎn)，D為AB上

一點(diǎn)，且2BDAD，連接AC，DC，在OC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)CD取最小值時(shí)，△ACO的周長(zhǎng)

為．

8．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是半徑為5的O的直徑，C是ABD的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，連

接AC，AD，OC．??????

(1)求證：OCAD．

(2)若BE1，求的長(zhǎng)．

??

(3)如圖2，作CFAB于點(diǎn)H，交于點(diǎn)F，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若OH1，求AG的長(zhǎng)．

??????

題型四：圓周角定理

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，O是VABC的外接圓，AO∥BC，連接CO并延長(zhǎng)交O于

1

點(diǎn)D．分別以點(diǎn)A,C為圓心，以大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點(diǎn)M．直線OM交BC于

2

點(diǎn)E，連接AE，下列結(jié)論一定正確的是（）

A．ABADB．ABOE

C．AODBACD．四邊形AOCE為菱形

【變式4-1】（2024·海南·中考真題）如圖，AD是半圓O的直徑，點(diǎn)B、C在半圓上，且ABBCCD，

點(diǎn)P在CD上，若PCB130，則PBA等于（）

A．105B．100C．90D．70

【變式4-2】（2024·北京·中考真題）如圖，O的直徑AB平分弦CD（不是直徑）.若D35，則C

【變式4-3】（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，AB是O的直徑，E35，則BOD（）

A．80B．100C．120D．110

【變式4-4】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，AD是O的直徑，AB是O的弦，半徑OCAB，連接

CD，交OB于點(diǎn)E，BOC42，則OED的度數(shù)是（）

A．61B．63C．65D．67

【變式4-5】（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，ABC60，BACCAD45，

ABAD2，則O的半徑是（）

62232

A．B．C．D．

3322

【變式4-6】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，AB是O的內(nèi)接正n邊形的一邊，點(diǎn)C在O上，ACB18，

則n．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）如圖，是O的直徑，弦CDAB于點(diǎn)E，CDB30，O的半徑

為2，則弦的長(zhǎng)為()??

??

3

A．3B．C．23D．9

2

2．（2024·浙江溫州·三模）如圖，AB，DE是O的直徑，弦CDAB，連結(jié)BC，BE，若BCD，則

CDE的度數(shù)為（）

A．2B．3C．90D．902

3．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OCAB，垂足為D，弦CE與AB交于點(diǎn)F，連接AE，

AC，BC．

(1)求證：BACE；

(2)若AB8，DC2，CE310，求CF的長(zhǎng)．

4．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等邊VABC內(nèi)接于O，P是AB上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），連

接AP，BP，CP，與PC相交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)C作CM∥BP交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．

??

(1)寫(xiě)出圖中一對(duì)相似三角形：_________；

(2)求證：△ACM≌△BCP；

(3)若PA1，PB2，求四邊形PBCM的面積．

5．（2023·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，在O中，點(diǎn)A，B，C，D為圓周的四等分點(diǎn)，AE為切線，連接ED，

并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)F，連接BF交AC于點(diǎn)G．

(1)求證：AD平分CAE；

(2)求證：ADE≌ABG；

(3)若AE3，AG3GC，求cosCBF的值．

題型五：圓周角定理的推論和應(yīng)用

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·西藏·中考真題）如圖，AC為O的直徑，點(diǎn)B，D在O上，ABD60，CD2，則

AD的長(zhǎng)為（）

A．2B．22C．23D．4

【變式5-1】（2024·湖北·中考真題）如圖，是半圓O的直徑，C為半圓O上一點(diǎn)，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)

1

長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BA于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N?，?分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧

2

在ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)D，畫(huà)射線，連接AC．若CAB50，則CBD的度數(shù)是（）

??

A．B．25C．20D．15

【變3式0°5-2】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，AB是O的直徑，CD是O的弦，連接AD、BC、BD．若

BCD20，則ABD．

【變式5-3】（2024·山東泰安·中考真題）如圖，AB是O的直徑，C，D是O上兩點(diǎn)，BA平分CBD，

若DAOD=50°，則A的度數(shù)為（）

A．65B．55C．50D．75

【變式5-4】（2024·湖北·中考真題）AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C為半圓上一點(diǎn)，且CAB50．①以點(diǎn)B為

1

圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交AB,BC于D,E；②分別以DE為圓心，大于DE為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；

2

③作射線BP，則ABP（）

A．40B．25C．20D．15

【變式5-5】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，VABC內(nèi)接于O，是直徑，若B25，則CAD

．??

【變式5-6】（2023·浙江紹興·中考真題）如圖是67的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，半圓ACB上的點(diǎn)

A，B，C，O均落在格點(diǎn)上．請(qǐng)按下列要求完成作圖：要求一：僅用無(wú)刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；

要求二：保留作圖痕跡．

(1)在圖中作出弧BC的中點(diǎn)D．

(2)連結(jié)AC，作出BAC的角平分線．

(3)在AB上作出點(diǎn)P，使得APAC．

【變式5-7】（2024·寧夏·中考真題）如圖，在VABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AB為直徑的O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，

點(diǎn)P是邊AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合）．請(qǐng)僅．用．無(wú)．刻．度．直．尺．按要求作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法．

(1)過(guò)點(diǎn)A作一條直線，將VABC分成面積相等的兩部分；

(2)在邊AB上找一點(diǎn)P，使得BPCP．

【變式5-8】（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，AB是O的直徑，BC,BD是O的兩條弦，點(diǎn)C與點(diǎn)D

在AB的兩側(cè)，E是OB上一點(diǎn)（OEBE），連接OC,CE，且BOC2BCE．

(1)如圖1，若BE1，CE5，求O的半徑；

(2)如圖2，若BD2OE，求證：BD∥OC．（請(qǐng)用兩種證法解答）

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2025·湖北黃石·一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AC，BD為對(duì)角線，BD經(jīng)過(guò)圓心O．若BAC44，

則DBC的度數(shù)為（）

A．44B．46C．48D．56

2．（2024·浙江寧波·二模）如圖，已知鈍角VABC內(nèi)接于O，過(guò)點(diǎn)C作CEAC交AB于點(diǎn)E，若

CE3,BC4,AC9，則O的半徑為（）

A．210B．10C．6D．8

3．（2024·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖，VABC內(nèi)接于O，AB是O的直徑，D是O上一點(diǎn)，若C是BD的中

點(diǎn)，連接OC，OBC50，則ACD．

4．（2024·江蘇徐州·三模）如圖，以VABC的邊BC為直徑的O分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，連接OD、

OE．若A62，則DOE°．

5．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C，D在O上，連接AC，AD，CD，若ADC38，

則BAC的度數(shù)為．

題型六：圓內(nèi)接四邊形

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AB是O的直徑，

若BEC20，則ADC的度數(shù)為（）

A．100B．110C．120D．130

【變式6-1】（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，分別延長(zhǎng)圓內(nèi)接四邊形ABCD的兩組對(duì)邊，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)

E，F(xiàn)．若E5441，F(xiàn)4319，則A的度數(shù)為（）

A．42B．4120C．41D．4020

【變式6-3】（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，E為AD延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，AOC128，則CDE等于（）

A．64B．60C．54D．52

【變式6-4】（2024·吉林·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD，交CD于點(diǎn)E．若

BEC50，則ABC的度數(shù)是（）

A．50B．100C．130D．150

【變式6-5】（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，AB是O的直徑，ACD內(nèi)接于O，CDDB，AB，CD

的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，且DEAD．

(1)求證：△CAD∽△CEA；

(2)求ADC的度數(shù)．

【變式6-6】（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，ABC為O的內(nèi)接三角形，為O的直徑，將ABC沿

直線翻折到ABD，點(diǎn)D在O上．連接，交于點(diǎn)E