難點與解題模型10平行線中的常見的四種“拐角”模型

題型一：“豬蹄”模型（含“鋸齒”模型）

題型二：“鉛筆”模型

題型三：“雞翅”模型

題型四：“骨折模型”

題型一：“豬蹄”模型（含“鋸齒”模型）

一、“豬蹄”模型

豬蹄模型的基本特征：一組平行線，中間有一個點，分別與平行線上的點構(gòu)成“豬蹄”。

豬蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）

步驟總結(jié)

步驟一：過豬蹄（拐點）作平行線

步驟二：借助平行線的性質(zhì)找相等或互補的角

步驟三：推導(dǎo)出角的數(shù)量關(guān)系

模型結(jié)論：∠B＋∠D＝∠DEB．

二、鋸齒模型

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）證明方法

AB∥DE∠B+∠E=∠C

遇拐點做平行

線（方法不唯

一）

AB∥DE∠B+∠M+∠E=∠C+∠N

a∥b所有朝左角之和等于所有朝右角的和

【中考母題學(xué)方法】

【典例1-1】（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，直線AB∥CD，將一個含60角的直角三角尺EGF按圖中

方式放置，點E在AB上，邊GF、EF分別交CD于點H、K，若BEF64，則GHC等于（）．

A．44B．34C．24D．14

【典例1-2】（2020·湖南·中考真題）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）

A．70°B．65°C．35°D．5°

【典例1-3】（2024?茌平區(qū)一模）如圖，AB∥EF，C90，則，，的關(guān)系是（）

A．90B．90

C．180D．

【典例1-4】（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）傳統(tǒng)文化如同一顆璀璨的明珠，熠熠生輝，為增強學(xué)生體質(zhì)，同時

讓學(xué)生感受中國傳統(tǒng)文化，某校將國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)“抖空竹”引入陽光特色大課間．如圖①是某同學(xué)“抖

空竹”時的一個瞬間，小紅同學(xué)把它抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖②，已知AB∥CD，AEC131，BAE57，

則DCE的度數(shù)為（）

A．64B．65C．74D．75

【典例1-5】（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）下面是解答一道幾何題時兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，

完成證明．

已知：如圖，．

求證：??∥??

∠???=∠?+∠?

方法二

方法一

證明：如圖，延長，交于點F．

????

證明：如圖，過點E作

??∥??

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式1-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）汽車前照燈的反射鏡具有拋物線的形狀，它們是拋物面(如圖)，明亮的

光束是由位于拋物線反射鏡焦點F上的光源產(chǎn)生的，此時光線沿著與拋物線的對稱軸AB平行的方向射出，

若FCD40，F(xiàn)GH70，則光線FC與FG形成的CFG的度數(shù)為（）

A．90B．100C．110D．120

【變式1-2】（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，AB∥CD，OBOD，若ABO36，則ODC的度數(shù)為

（）

A．36B．54C．D．

【變式1-3】（2024·甘肅·模擬預(yù)測）如圖1，是我7國2具°有自主知識產(chǎn)權(quán)、1用0于8°探索宇宙的單口徑球面射電望

遠鏡“中國天眼”．如圖2，是“中國天眼”接收來自宇宙的電磁波的原理圖，其中EG為豎直方向的饋源（反

射面），入射波AO經(jīng)過三次反射后沿OA水平射出，且OA∥OA，已知入射波AO與法線的夾角135，

則AOF（）

A．70B．60C．45D．35

【變式1-4】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖，已知a∥b，若AB與BC的夾角為105，155，則2的

度數(shù)為（）

A．105B．125C．130D．150

【變式1-5】（2024·江蘇常州·一模）如圖，直線ab，點A在直線a上，點C在直線b上，ABBC，若144，

則2．

【變式1-6】問題情境：如圖1，已知∥，．求的度數(shù)．

????∠???=108°∠???+∠???

經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得

．∠???+∠???=360°?

∠問?題??遷=移2：52如°圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，，．

(1)當(dāng)點P在A、B兩點之間運動時，、、之間∠?有?何?數(shù)=量∠?關(guān)系∠？??請?說=明∠?理由．

(2)如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（∠點??P?與點∠?A、∠B?、O三點不重合），請你直接寫出、、之間

的數(shù)量關(guān)系．∠???∠?∠?

(3)問題拓展：如圖4，∥，是一條折線段，依據(jù)此圖所含信息，把你

所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡潔?的?數(shù)1學(xué)?式?子?表?達1?為?1??2??????1??．?

題型二：“鉛筆”模型

從豬蹄模型可以看出，點E是凹進去了，如果點E是凸出來，如下圖：

那么，像這樣的模型，我們就稱為鉛筆頭模型。

模型結(jié)論：∠B+∠E+∠D=360°

【中考母題學(xué)方法】

【典例2-1】（崇川區(qū)校級三模）如圖，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E=120°，則∠C的度數(shù)是（）

A．80°B．100°C．120°D．140°

【典例2-2】（2024春?啟東市校級月考）如圖，直線a∥b，∠1＝28°，則∠3＝度，∠3+∠4+∠5＝

度．

【典例2-3】請在橫線上填上合適的內(nèi)容．

（1）如圖（1）已知AB//CD，則BDBED．

解：過點E作直線EF//AB．

∴FEB（）．（）

∵AB//CD，EF//AB，

∴（）//（）．（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）

∴FED（）．（）．

∴BDBEFFED．

∴BDBED．

（2）如圖②，如果AB//CD，則BBEDD（）

【典例2-4】如圖，已知AB∥CD．

（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；

（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．

（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；

（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式2-1】（江蘇模擬）如圖，是賽車跑道的一段示意圖，其中AB∥DE，測得∠B=140°，∠D＝120°，

則∠C的度數(shù)為（）

A．120°B．100°C．140°D．90°

【變式2-2】問題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．

??∥??∠???=130°∠???=120°∠???

思路點撥：

小明的思路是：如圖2，過P作，通過平行線性質(zhì)，可分別求出、的度數(shù)，從而可求出

的度數(shù)；??∥??∠???∠???∠???

小麗的思路是：如圖3，連接，通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識可求出的度數(shù)；

小芳的思路是：如圖4，延長?交?的延長線于E，通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的∠?相??關(guān)知識可求出

的度數(shù)．????∠???

問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進行推理計算，你求得的的度數(shù)為°；

問題遷移：∠???

（1）如圖5，，點P在射線上運動，當(dāng)點P在A、B兩點之間運動時，，．、

、之間?有?何∥?數(shù)?量關(guān)系？請說??明理由；∠???=∠?∠???=∠?∠???

∠（?2）∠在?（1）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫

出、、間的數(shù)量關(guān)系．

∠???∠?∠?

【變式2-3】（1）如圖1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接寫出結(jié)果）

（2）如圖2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接寫出結(jié)果）

（3）如圖3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接寫出結(jié)果）

（4）如圖4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接寫出結(jié)果）

題型三：“雞翅”模型

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

AB∥DE∠1=∠2+∠3

AB∥DE∠1+∠3-∠2=180°

【中考母題學(xué)方法】

【典例3-1】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）抖空竹是我國的傳統(tǒng)體育，也是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．明代

《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間

流行的歷史至少在600年以上．如圖，通過觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：

AB∥CD，BAE94，DCE122，則E的度數(shù)為（）

A．28B．38C．18D．25

【典例3-2】AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點．

（1）如圖1，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）如圖2，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）如圖3，點E在射線BA上，過點E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點G在直線CD上，作∠BEG

的平分線EH交PC于點H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度數(shù)．

【典例3-3】（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)課上老師提出了如下問題：

如圖，，當(dāng)與滿足什么關(guān)系時，?

小明認為∠?=160°∠?時∠?，他解答這個問??題∥的?思?路和步驟如下，請根據(jù)小明的思路完成下面的作．

圖．與填．空．∠：??∠?=20°??∥??

解：用直尺和圓規(guī)，在的右側(cè)找一點M，使（只保留作圖痕跡）．

??∠???=∠?

∵，

∴①∠?_?_?__=__∠_?______

∵

∴∠??∠?②??_=__2_0_°____，

∵∠???=，°

∴∠?=160°③__________，

∴④∠?_+__∠_?__?_?__=____°

∴．

所以??滿∥足??的關(guān)系為：當(dāng)時，．

∠??∠?=20°??∥??

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式3-1】如圖，若AB//CD，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為

【變式3-2】問題探究：

如下面四個圖形中，ABCD．

（1）分．別．說出圖1、圖2、圖3、圖4中，∠1與∠2、∠3三者之間的關(guān)系．

（2）請你從中任．選．一．個．加以說明理由．

解決問題：

（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于O點的燈泡發(fā)出兩束光線OB、OC經(jīng)燈碗反射后平

行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．

【變式3-3】已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點，連接PA、PD．

（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；

（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．

1

（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．

2

題型四：“骨折模型”

模型結(jié)論：∠E=∠B-∠D

【中考母題學(xué)方法】

【典例4-1】（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，