重難點02利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的零點（含隱零點問題）

明考情?知方向

三年考情分析2025年考向預(yù)測

2022年，第20題第（2）問，考察隱零點的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點，常涉及函

數(shù)單調(diào)性，函數(shù)圖象，通常轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，根據(jù)圖

象，畫出圖象（畫圖常涉及極限）

重難點題型解讀

題型1判斷（討論）零點（根）個數(shù)問題

（1）直接法：令無）=0,則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個；

（2）零點存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間,,以上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖

象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）可確定函數(shù)的零點個數(shù)；

1.（2023?黑龍江哈爾濱?三模）已知/Gj=eJsinx-x.

（1）若g（.二2,證明：存在唯一零點；

⑵當(dāng)XW（YO,兀）時，討論〃X）零點個數(shù).

2.(24-25高三上?湖南永州?開學(xué)考試)已知函數(shù)，〃x)=(x+l)e2R+l,g(x)=(x+ire2+(1-fl)x+1.

⑴若4=1,求“X)的極值；

⑵當(dāng)a<0時，討論了(X)零點個數(shù)；

ZL77Y

3.(2023?天津河?xùn)|?一模)已知函數(shù)/(冗)=依---,^(x)=ln-.

x2

⑴求函數(shù)了(尤)在點(1]⑴)處的切線方程；

(2)F(x)=g(x)-f(x),0<a<-,x>0.

4

(i)證明F(刈+尸[^]=0；

(ii)求函數(shù)F(x)在區(qū)間[0,上零點的個數(shù)證明.

Y

4.(23-24高二下.天津河北?期中)已知函數(shù)/(x)=/.

7A

__

]

O1

____i__i__1_

⑴判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)〃x)的極值;

⑵畫出函數(shù)“X)的大致圖象；

(3)討論方程/(x)=a[aeR)的解的個數(shù).

5.(23-24高二下.海南三亞.階段練習(xí))給定函數(shù)/(x)=(尤+1)/.

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并求出/(x)的極值；

(2)畫出函數(shù)的大致圖象；

(3)求出方程f(x)=a(aeR)的解的個數(shù)

題型2證明函數(shù)零點唯一

00&式

i

(1)零點存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間句上是連續(xù)不斷的曲線，且〃。)/修)<0,再結(jié)合函數(shù)的圖:

象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數(shù)的零點個數(shù)；

(2)函數(shù)的單調(diào)性

i

1.(23-24高三上?天津北辰?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=專"+w在點處的切線與直線/:x+y=O垂

直，已知函數(shù)/z(x)=ln(x+l)-辦—1,其中〃伍.

⑴設(shè)函數(shù)g(x)=4(%)-求函數(shù)g(%)的單調(diào)性.

⑵證明：,⑺有唯一零點.

2.(2024?江西新余?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=-aIn%+(2a+l)x-x2.

⑴若。=；,求/(x)在(1"(1))處的切線方程.

⑵討論/(尤)的單調(diào)性.

(3)求證：若a>0,/(x)有且僅有一個零點.

3.(2024?江蘇?模擬預(yù)測)已知函數(shù)“xhalnx+V+S在尤=1處的切線經(jīng)過原點.

⑴判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)求證：函數(shù)/'(尤)的圖象與直線y=5x有且只有一個交點.

4.(2024?廣西賀州?一模)己知函數(shù)/(%)=尤+lnx+4,aeR.

2x

(1)若討論的單調(diào)性；

2

⑵若關(guān)于x的方程f(x)=-有且只有一個解，求a的取值范圍.

e

題型3數(shù)形結(jié)合法討論零點(根)的個數(shù)

數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點1

的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點，在確定函數(shù)零點的唯一性時往往要利用

ii

函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點存在定理，有時可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=〃lnx+,，awR.

x

⑴若函數(shù)g(x)=/(x)-X在定義域上單調(diào)遞減，求〃的取值范圍；

(2)當(dāng)?！?時,討論函數(shù)/(x)=〃lnx+，零點的個數(shù).

x

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(%—2)e，一依+alnx(〃￡R).

⑴當(dāng)”=-1時，求函數(shù)〃%)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)Q<e時，討論"%)的零點個數(shù).

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(力=干-blnx+l.

⑴當(dāng)6=1時，若/⑺K1恒成立，求實數(shù)〃的值.

⑵當(dāng)。=1時，討論“X）的零點個數(shù).

x

4.（24-25高三上?北京?期中）已知函數(shù)=p

x

⑴求函數(shù)y=的圖象在點⑴）處的切線/的方程;

（2）當(dāng)%＞0時，求證：/（%）＞%；

⑶討論函數(shù)＞=/（%）-灰（b￡R且為常數(shù)）零點的個數(shù).

5.（24-25高三上?湖北?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=（x-2）e」

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵討論關(guān)于*方程/⑺=。的解的個數(shù).

題型4根據(jù)零點（根）個數(shù)求參數(shù)范圍

轉(zhuǎn)化法

~y=/(%)

(1)將方程轉(zhuǎn)化為,

[y=k

(2)畫圖

(3)根據(jù)圖象求參數(shù)范圍

1.(2024?天津?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/G(MG+Z)

⑴求曲線y=/(x)在x=-l處的切線方程；

⑵求證：er>x+l；

(3)函數(shù)/?(x)=〃x)-a(x+2)有且只有兩個零點，求a的取值范圍.

2.(24-25高三上?北京?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(無)=(x-l)e，—

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求“X)的零點個數(shù).

⑶g(x)=/(x)-機在區(qū)間T，：上有兩個零點，求機的范圍？

3.(23-24高二下?天津?期中)已知x=3是函數(shù)/5)=。111(1+尤)+/-10元的一個極值點.

⑴求。；

⑵求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑶若函數(shù)y=f(x)-6有3個零點，求6的取值范圍.

4.(23-24高二上?北京?期末)已知函數(shù)=

⑴求曲線y=/(x)在點⑴)處的切線方程；

⑵求的單調(diào)區(qū)間和極值.

(3)若關(guān)于x的方程/(力=左有唯一的實數(shù)根，直接寫出實數(shù)k的取值范圍.

5.(2024?云南昆明?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃同=今之

(1)當(dāng)。=2時，求/■(*)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：若曲線y=f(x)與直線y=3有且僅有兩個交點，求。的取值范圍.

6.(2024?重慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)加,g⑴=2e、_g..

⑴當(dāng)。=4時，求函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

⑵若g(x)>0恒成立，求。的取值范圍；

⑶若"(》)=〃力—(%)有三個極值點，求。的取值范圍.

題型5隱零點的應(yīng)用

第1步：用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，列出零點方程/'(5)=0,并結(jié)合/(X)的單調(diào)性

得到零點的范圍；

第2步：以零點為分界點，說明導(dǎo)函數(shù)/'(%)的正負，進而得到了(幻的最值表達式；

第3步：將零點方程/'(1)=0適當(dāng)變形，整體代入/(X)最值式子進行化簡：

i

(1)要么消除/(X)最值式中的指對項

(2)要么消除其中的參數(shù)項；

I

從而得到了(X)最值式的估計.

I

1.(24-25高三上?天津?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-fl(x-l)eA,其中aeR.

⑴若a=—1,求曲線y=/(x)在點(1"。))處的切線方程；

(2)若10<a<一,

e

(i)證明：函數(shù)/(x)恰有兩個零點；

(ii)設(shè)與為函數(shù)/(%)的極值點，占為函數(shù)/(x)的零點，且花>%，證明：3%-%>2.

2.(23-24高二下?天津?期末)已知/(x)=41n(ax+b)-x2—1.

⑴若y=/0)在(0,〃0))處的切線方程為8元—y-l=O,求實數(shù)。涉的值；

⑵當(dāng)b=0時，若M“到+/+1)+2彳(。-4)+。30對任意％e(0,+8)恒成立，求實數(shù)4的取值范圍;

⑶若/(無)有零點，求證：a2+^2>|.

3.(2024.天津北辰.三模汨知/(乃=/曲線y=/⑺在點尸(%,/(%0))(^0>0)處的切線為/：V=g(x).

(1)當(dāng)％=。時，求直線/的方程；

(2)證明：/與曲線y=f(x)有一個異于點尸的交點(與"(凡))，且％<0；

⑶在(2)的條件下，令迎=人求f的取值范圍.

4.(23-24高二下?天津?期中)已知函數(shù)/(力=配“一》一4,g(x)=x2-2x,aeR.

⑴求函數(shù)y=/(-x)的導(dǎo)數(shù)；

⑵若對任意的為e[Le],x2e[l,2],使得〃占)見(%)成立，求。的取值范圍；

(3)設(shè)函數(shù)/2(x)=〃x)-lnx,若在區(qū)間(0,e)上存在零點，求a的最小值.

5.(23-24高三上?天津西青?期末)已知函數(shù)/(x)=e*-a尤和g(x)=ax-lnx.

⑴若曲線數(shù)>=/(尤)與y=g(x)在X=1處切線的斜率相等，求a的值；

⑵若函數(shù)f(x)與g。)有相同的最小值.

①求a的值；

②證明：存在直線y=6,其與兩條曲線y=/(x)與y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右三個交點

的橫坐標成等差數(shù)列.

限時提升練

(建議用時：60分鐘)

一、單選題

—x,x＞0

e

1.(2023.天津河西.二模)〃x)=,若g(x)=?/(x)-l有且只有兩個零點，則實數(shù)機的取

-e"+1--,x＜0

2

值范圍是()

A.根＞2或機＜—eB.根＞—2或根,e

C.機＜2或機＞一6D.機＜一2或m,e

一x2—1%x＜0

2.(23-24高三上.天津?期中)己知函數(shù)〃元)=.2',若函數(shù)y=/(x)-辰有且只有3個零點，

ln(x+l),x＞0

則實數(shù)%的取值范圍為()

A.B.[I,1)C.(1,+s)D.

3.(2023?河北?三模)已知函數(shù)/(x)=e'+x-xa-alnx在區(qū)間(le?)上恰有2個零點，則實數(shù)。的取值范

圍是()

2

A.(e,—)B.(0,ey)D.(O,e)

二、填空題

左/_Y1%<0

v;，若"X）恰有兩個零點，則上的取值范

｛e-kx,x>0

圍是_____

xe"-1x>0II

5.（2024.天津濱海新.三模）已知函數(shù)/（x）=_'若函數(shù)g（尤）=/（x）-反2_司（左eR）（e為

XXU.

自然對數(shù)的底數(shù)）恰有4個零點，則左的取值范圍是.

6.（2024.天津紅橋二模）函數(shù)〃x）=|2x-制-|山乂有且只有一個零點，則機的取值范圍是.

7.（2024?天津.一模）已知定義在（0,+e）上的函數(shù)/'（%）滿足〃x）=〃5x）,當(dāng)xe[l,5）時，〃x）=lnx.若

在區(qū)間[1,25）內(nèi)，函數(shù)g（x）=〃x）-依有三個不同零點，則實數(shù)。的取值范圍為.

k2+.Yv0

8.（23-24高三上?天津和平?開學(xué)考試）函數(shù)/（x）=l=一，關(guān)于x的方程〃x）=依有2個不相等

ln（x+l）,x>0

的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是.

三、解答題

9.（2023?天津河西?一模）已知函數(shù)f（x）=2alnx-x+a,g（x）=（a-；）尤2-g.

⑴當(dāng)。=1時，

①求曲線y=八尤）的單調(diào)區(qū)間和極值；

②求曲線y=/（尤）在點（e