考點鞏固卷25排列組合及二項式定理（十一大考點）

考點預(yù)猿

號點⑺分類及分步的簡單應(yīng)用

考點U2排列數(shù)及組合式的運豆

考點U3捆維法及插空法

播

列號息（）4倍縮法及隔板法

ff合l考點U5染色問題

及

二考點U6（部分）平均分組問題

?

多點07利用二項展開式求指定項

式

5

考點”8兩個3「、乘積的九一

理

導(dǎo)點09三項展開式的指定項

tAio二項式系數(shù)之和及系數(shù)之和

考點11二項式系數(shù)的靛值及系數(shù)的栽值

。考點訓(xùn)緇

考點01分類及分步的簡單應(yīng)用

1.360的不同正因數(shù)的個數(shù)為（）

A.24B.36C.48D.42

【答案】A

【分析】根據(jù)質(zhì)因數(shù)分解，結(jié)合分步計數(shù)原理進行求解即可.

【詳解】因為360=23x32x5,所以360有4x3x2=24個不同的正因數(shù).

故選：A

2.如圖，小黑圓表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連.連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線

單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點/向結(jié)點3傳遞信息（）

5

A.26B.24C.20D.19

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形得出從/到3傳播路徑有4條，寫出每條途徑傳播的最大信息量，再求和,

即得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，結(jié)合圖形知，

從4到2傳播路徑有4條，如圖所示；

途徑①傳播的最大信息量為3,途徑②傳播的最大信息量為4；

途徑③傳播的最大信息量為6,途徑④傳播的最大信息量為6；

所以從/向8傳遞信息，單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為3+4+6+6=19,

故選：D.

3.某人從上一層到二層需跨10級臺階，他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為

二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步，從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階,

則他從一層到二層可能的不同走法共有（）種.

A.10B.9C.8D.12

【答案】A

【分析】利用計數(shù)原理直接計算即可.

【詳解】按題意要求，不難驗證這6步中不可能沒有三階步，也不可能有多于1個的三階步.

因此，只能是1個三階步，2個二階步，3個一階步.

為形象起見，以白、黑、紅三種顏色的球來記錄從一層到二層跨越10級臺階的過程：

白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步，

每一過程可表為3個白球、2個黑球、1個紅球的一種同色球不相鄰的排列.

下面分三種情形討論.

(1)第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側(cè)，

此時，共有4個黑白球之間的空位放置紅球，所以此種情況共有4種可能的不同排列；

(2)第1球不是白球.

(i)第1球為紅球，則余下5球只有一種可能的排列；

(ii)若第1球為黑球，則余下5球因紅、黑球的位置不同有兩種不同的排列，

此種情形共有3種不同排列：

(3)第6球不是白球，同(2),共有3種不同排列.

總之，按題意要求從一層到二層共有4+3+3=10種可能的不同過程.

故選：A

4.魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學(xué)院厄爾諾?魯比克教授于1974年發(fā)明的機械益

智玩具.魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎

的智力游戲之一.已知經(jīng)典三階魔方(如圖)自由轉(zhuǎn)動之后的色塊組合約有4.3x1019種，現(xiàn)將下圖已還原的

魔方按5步打亂，且每一步互相獨立，則共有()種打亂方式.

55

A.AhB.A|7C.18D.19

【答案】C

【分析】按魔方的正面和側(cè)面進行分析，得到每一次的旋轉(zhuǎn)方式共有18種，即可得到答案

【詳解】若以紅色的一面為正面，分成三行三列，每一行可以左右旋轉(zhuǎn)，每一列可以上下旋轉(zhuǎn)，此時有

3x2+3x2=12種旋轉(zhuǎn)方式;

接著側(cè)面(以綠色一面為例)，每一列都可以上下旋轉(zhuǎn)，此時有3x2=6種旋轉(zhuǎn)方式，

故每一次旋轉(zhuǎn)魔方，共有12+6=18種旋轉(zhuǎn)方式，

所以按5步打亂，且每一步互相獨立，則共有185種打亂方式.

故選：C

5.一個圓的圓周上均勻分布6個點，在這些點與圓心共7個點中，任取3個點，這3個點能構(gòu)成不同的等

邊三角形個數(shù)為.

【答案】8

【分析】利用圓的對稱性，分兩種情況：相鄰兩個點和圓心、相間隔的三點，即可求出結(jié)果.

【詳解】如圖1,由圓上相鄰兩個點和圓心可構(gòu)成等邊三角形，共有6個；

如圖2,由圓上相間隔的三點可構(gòu)成等邊三角形，共有2個；

所以，7個點中，任取3個點，這3個點能構(gòu)成不同的等邊三角形個數(shù)為6+2=8個.

考點02排列數(shù)及組合數(shù)的運算

6.5A；+4C；=()

A.74B.98C.124D.148

【答案】C

【分析】根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)公式，計算即可.

4x3

【詳解】5A^+4C；=5x5x4+4x—=124.

故選：C.

7.若C；=C；,則A；=()

A.90B.42C.12D.10

【答案】A

【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求出”即可.

【詳解】根據(jù)C：=C：r"，且C：=C；,所以"=3+7=10,A；=A；o=10x9=90.

故選：A.

8.(多選)己知〃，加eN*,n>m,則()

A.〃A"=A：B.C2-C：+=C：

c.加C：=("l)CWD.A：+〃ZA：T=A3

【答案】ABD

【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式判斷各選項即可.

【詳解】對于A,=〃!=&,故A正確;

_5+1）!n\（及+1）!一〃!（〃一加）〃!（及+1—〃+加）

對于B,c^-cr1

（加+1）!（〃一加）!（加+1）!（〃一加）!

n!（m+1）

"L’故B正確;

（加+1）!（〃一加）!

riInI（H-1）!（H-1）

對于C,因為“禺="而二研二『『5-1）之

且疝w(〃——1),所以機故C錯誤;

n\+m-nl（〃一加+1）?加+加?加（及+1）?加5+1）!」A'"

對于D,A；+小丁故D正

（〃一加）!（n-rn+1）!（H-m+1）!（n-m+1）!（W-7M+1）!n+l

確.

故選：ABD.

9.(多選)下列四個關(guān)系式中，一定成立的是()

A.3C；-2C；=148

，一

B.A”7=---------(">m>1,m,neN)

[ni-ny.

C.A?="A：；("2mN2,m,neN)

D.C；+C；+C：+…+C；°=328

【答案】AC

【分析】根據(jù)排列數(shù)公式和排列數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確化簡、運算，即可求解.

4x7x65x4

【詳解】對于A中，由3C；—2C；=3x/「—2x==148,所以A正確；

3x2x12x1

(〃一1)1(〃―1)1

對于B中，由A『(")二_1)丁甘所以B錯誤；

MI(YI-1)I

對于C中，由=_\=的二：,所以C正確；

11xIOxQxR

對于D中，由C：+C；+C"…+C：o=C：+C：+C；+C"…+C：o-l=C：「1=」”~?—1=329,所以D錯

4x3x2xl

'n

厭.

故選：AC.

10.（多選）下列等式中，正確的是（）

A.A；=C；+50B.C；o=9OC.A；=C：D.A：=C〉A(chǔ)：

【答案】ACD

【分析】計算出排列數(shù)和組合數(shù)后判斷.

、5x4

【詳解】A：=5X4X3=60,C；=*=10,60=10+50,A正確；

瑪0=告2=45,B錯；

A；=5x4=20,*----------=20,C正確；

3x2x1

7x6x5

A；=7x6x5x4=840,C〉A(chǔ)：=----------x4x3x2xl=840,D正確.

3x2x1

故選：ACD.

考點03捆綁法及插空法

11.A,B,C,D,E,尸六人站成一排，滿足/,8相鄰，C,。不相鄰的不同站法的種數(shù)為（）

A.48B.96C.144D.288

【答案】C

【分析】根據(jù)相鄰捆綁法和不相鄰問題插空法即可由排列數(shù)計算求解.

【詳解】由于42相鄰，所以先將42看作一個整體捆綁起來與瓦廠進行全排列，

然后將C,。插入到已排好隊的兩兩之間以及首尾的空隙中即可，

故共有A；A；Aj=144,

故選：C

12.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）黃金分割最早見于古希臘和古埃及.黃金分割又稱黃金率、中外比，即

把一條線段分成長短不等的。，6兩段，使得長線段。與原線段6的比等于短線段6與長線段。的比，即

a-.（a+b^b-.a,其比值約為0.618339.…小王酷愛數(shù)學(xué)，他選了其中的6,1,8,3,3,9這六個數(shù)字組成

了手機開機密碼，如果兩個3不相鄰，則小王可以設(shè)置的不同密碼個數(shù)為（）

A.180B.210C.240D.360

【答案】C

【分析】用插入法求解.

【詳解】先把6,1,8,9排列，然后選兩個空檔插入3,總方法為A：C；=240.

故選：C.

13.為全面推進鄉(xiāng)村振興，永州市舉辦了“村晚興鄉(xiāng)村”活動，晚會有《走，去永州》《揚鞭催馬運糧忙》《數(shù)

幸福》《鄉(xiāng)村振興唱起來》四個節(jié)目，若要對這四個節(jié)目進行排序，要求《數(shù)幸?！放c《鄉(xiāng)村振興唱起來》

相鄰，則不同的排列種數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【答案】12

【分析】利用捆綁求得正確答案.

【詳解】由于《數(shù)幸福》與《鄉(xiāng)村振興唱起來》相鄰，所以兩者“捆綁”，

則不同的排列種數(shù)為A；A；=12種.

故答案為：12

14.2023年春節(jié)在北京工作的五個家庭，開車搭伴一起回老家過年，若五輛車分別為4瓦。,。,￡,五輛車

隨機排成一排，則A車與B車相鄰，A車與C車不相鄰的排法有（）

A.36種B.42種C.48種D.60種

【答案】A

【分析】利用捆綁法和插空法可求出結(jié)果.

【詳解】將A車與B車?yán)υ谝黄甬?dāng)一個元素使用，有A；=2種捆法，

將除C車外的3個元素全排，有A；=6種排法，

將C車插入，不與A車相鄰，又3種插法，

故共有2x6x3=36種排法.

故選：A

15.為慶祝廣益中學(xué)建校130周年，高二年級派出甲、乙、丙、丁、戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動，

活動結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有（）

種.

A.40B.24C.20D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.

【詳解】由題意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，

先令丙、丁兩人相鄰用捆綁法A；,再把丙、丁與戊排列在一起A；,最后插空令甲、乙兩人不相鄰A；,則不

同的排法共有A；xA；xA；=2x2x6=24種.

故選：B.

16.第二十二屆哈爾濱國際經(jīng)濟貿(mào)易洽談會（簡稱“哈洽會”）將于2023年6月15日至19日在哈爾濱國際

會展體育中心舉辦，搭建展示和對接的平臺，進一步激活發(fā)展?jié)撃埽苿印耙粠б宦贰苯ㄔO(shè).本屆“哈洽會”線

下展覽總面積共計6萬平方米，擬設(shè)中俄地方經(jīng)貿(mào)合作主題展區(qū)、港澳臺及國際展區(qū)、省區(qū)市合作展區(qū)、

產(chǎn)業(yè)合作展區(qū)、龍江振興展區(qū)、機械設(shè)備展區(qū)六大展區(qū)、展區(qū)布局如圖所示，則產(chǎn)業(yè)合作展區(qū)與龍江振興

展區(qū)相鄰的概率為（）

ABCDEF

【答案】A

【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再利用捆綁法求出產(chǎn)業(yè)合作展區(qū)與龍江振興展區(qū)相鄰的事件數(shù)，最后利

用古典概型的概率公式計算可得.

【詳解】依題意基本事件總數(shù)為A：種，其中產(chǎn)業(yè)合作展區(qū)與龍江振興展區(qū)相鄰的事件有A；A；種，

A2A51

故產(chǎn)業(yè)合作展區(qū)與龍江振興展區(qū)相鄰的概率尸="=1

故選：A

考點04倍縮法及隔板法

17.某學(xué)校組織6x100接力跑比賽，某班級決定派出B,C,D,E,尸等6位同學(xué)參加比賽.在安排這6

人的比賽順序時要保證/要在8之前，。和尸的順序不能相鄰，則符合要求的安排共有（）

A.240種B.180種C.120種D.150種

【答案】A

【分析】先考慮。和尸的順序不能相鄰，用插空法，然后考慮/要安排在8之前與/要安排在8之后的數(shù)

量一樣多，從而可得結(jié)論.

【詳解】解：6位同學(xué)參加接力賽跑，先考慮。和尸的順序不能相鄰，其他四人的順序數(shù)為A：

種，。和尸進行插空共有A：A；種，在所有符合條件的排序中，N要安排在8之前與/要安排在8之后的數(shù)

量一樣多，所以，符合要求的順序有:A：A；=240種.

故選：A.

18.方程石+、2+當(dāng)+%+/=9的非負整數(shù)角星的組的個數(shù)為（）

A./B.，

C.C；C；D.C；C；

【答案】A

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的14個完全相同的小球分成5部分，利用隔板法即可得解.

【詳解】依題意，可知者,馬,七戶4/5為非負整數(shù)，

因為西+x2+退+X4+x$=9,所以(國+l)+(x2+l)+(x3+l)+(x4+l)+(x5+1)=14,

從而將問題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的14個完全相同的小球分成5部分，

一共有13個間隔，利用4個隔板插入即可，故共有C%種.

故選：A

19.甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買到了六張連號的電影票.若甲、乙兩人必

須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為()

A.360B.480C.600D.720

【答案】B

【分析】先求得六人的全排列數(shù)，結(jié)合題意，利用定序排列的方法，即可求解.

【詳解】由題意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有A，=720種不同的排法，

其中甲、乙、丙三人的全排列有A；=6種不同的排法，

其中甲、乙在丙的同側(cè)有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4種排法，

4

所以甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為720x：=480種.

故選：B.

20.小明準(zhǔn)備在陽臺種植玫瑰、百合、牡丹和蘭花4種盆栽，共種8盆，并且每種花至少種1盆，則小明買

盆截的方法共有種.

【答案】35

【分析】利用“擋板法”求得正確答案.

【詳解】8個元素，中間有7個空位，將3個擋板放入即可，

所以小明買盆截的方法共有C；=35種.

故答案為：35

21.某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車多于4輛.現(xiàn)從這7個車隊中抽出10輛車組成一個運輸隊，且每個

車隊至少抽1輛，則不同的抽法種數(shù)為（）

A.84B.120C.63D.301

【答案】A

【分析】利用隔板法將9個空種插入6個隔板，即可解決問題.

【詳解】將10輛車排好，10輛車中間形成9個空，從這9個空中選6個，插入隔板，

等價于將這10輛車分成7份，每一種插法對應(yīng)一種抽法，故共有C；=84種不同的抽法，

故選：A.

22.在一次學(xué)校組織的研究性學(xué)習(xí)成果報告會上，有4代CAE、尸共6項成果要匯報，如果3成果不能最

先匯報，而4按先后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的匯報安排種數(shù)為（）

A.100B.120C.300D.600

【答案】A

【分析】利用間接法和縮倍法求解.

【詳解】不考慮限制條件共有《種，3最先匯報共有種，

如果8不能最先匯報，而按先后順序匯報（不一定相鄰）有￡==100.

4

故選：A.

考點05染色問題

23.如圖所示，將四棱錐S-/3CQ的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有4

種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為（）

A.120B.96C.72D.48

【答案】C

【分析】分為反。同色，且4c同色；民。同色，而4c不同色；4c同色，而瓦。不同色三種情況，分

別計算，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，求和即可得出答案.

【詳解】由題意知，s與48C,。任意一點均不同色.

只用3種顏色，即民。同色，且4c同色，此時不同染色方法的種數(shù)為A；=24；

用4種顏色，此時可能8,。同色，而4c不同色或4c同色，而8,。不同色.

若民。同色，而4c不同色，此時不同染色方法的種數(shù)為A：=24；

若4c同色，而瓦。不同色，此時不同染色方法的種數(shù)為A：=24.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，不同染色方法的種數(shù)為24+24+24-72.

故選：C.

24.中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘

骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1,2,3,8,現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域

涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有7

種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）

A.1050種B.1260種C.1302種D.1512種

【答案】C

【分析】由題意可得，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，先涂區(qū)域1,再涂區(qū)域2,再分區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏

色不同、區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同，最后根據(jù)分步乘法原理即可求解.

【詳解】由題意可得，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，即可確定整個傘面的涂色.

先涂區(qū)域1,有7種選擇；再涂區(qū)域2,有6種選擇.

當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時，區(qū)域3有5種選擇，剩下的區(qū)域4有5種選擇.

當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域4有6種選擇.

故不同的涂色方案有7x6x（5x5+6）=1302種.

故選：C

25.如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的5個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色,

現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有種.

1

【答案】72

【分析】根據(jù)給定信息，利用用色多少分類，再結(jié)合分步乘法計數(shù)原理列式計算作答.

【詳解】觀察圖形知，2區(qū)與4區(qū)不相鄰，3區(qū)與5區(qū)不相鄰，且不相鄰的區(qū)域可用同1種顏色涂色，因此

計算涂色方法可用3色和4色，

使用3種顏色，則2區(qū)與4區(qū)同色，3區(qū)與5區(qū)必同色，涂2區(qū)與4區(qū)有4種方法，

涂3區(qū)與5區(qū)有3種方法，涂1區(qū)有2種方法，則涂色方法有4x3x2=24（種）；

使用4種顏色，選取同色的方案有2種，涂同色的兩塊有4種方法，涂另外3塊依次有3,2,1種方法，

則涂色方法有2x4x3x2x1=48（種），

所以不同的涂色方法共有48+24=72（種）.

故答案為：72

26.用5種不同的顏色給如圖標(biāo)有4,B,C,。的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，且相鄰（有公共邊）

兩部分不同顏色，則不同的涂色方法共有.

【答案】260

【分析】分3,。兩部分顏色相同與不同兩種情況，再結(jié)合乘法計數(shù)原理求解即可.

【詳解】當(dāng)B,O兩部分顏色相同時，先涂8,。兩部分，有5種選擇，再分別涂4C均有4種選擇，故

共5x4x4=80種情況：

當(dāng)B,。兩部分顏色不相同時，先涂8,。兩部分，有5x4=20種選擇，再分別涂/,C均有3種選擇，故

共20x3x3=180種情況；

故總共有80+180=260種情況.

故答案為：260

27.現(xiàn)有紅、黃、青、藍四種顏色，對如圖所示的五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個不同部分），要求每個區(qū)

域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區(qū)域）的顏色不同，則最多使用三種顏色的不同涂色方案有一

種.（用數(shù)字作答）

【分析】由題，假設(shè)六塊區(qū)域為4民瓦足分析6個區(qū)域的涂色方案，再根據(jù)分步計數(shù)原理可得答案.

【詳解】若使用三種顏色，從4種顏色中選3種，有C；=4種方法，從3種顏色中選一種涂在/處，有3

種方法，剩下的每塊區(qū)域都有兩種涂色方案，共計2$種方案，

再減去只是用兩種顏色的情況，則由分步計數(shù)原理可知，不同的涂色方案數(shù)為

4x3x（32-2）=360種涂法；

若只使用兩種顏色，則有C；C；=12種涂法；

所以符合要求的涂法種數(shù)有360+12=372種.

考點06（部分）平均分組問題

28.2023年3月5號是毛澤東主席提出“向雷鋒同志學(xué)習(xí)”60周年紀(jì)念日，某志愿者服務(wù)隊在該日安排4位

志愿者到兩所敬老院開展志愿服務(wù)活動，要求每所敬老院至少安排1人，每個志愿者都要參加活動，則不

同的分配方法數(shù)是（）

A.8B.12C.14D.20

【答案】C

【分析】根據(jù)分組分配問題，結(jié)合排列組合即可求解.

【詳解】將4名志愿者分配到兩所敬老院，則由以下兩種分配方案：

①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，則有C；C；=8種，

c；c；c；c；

②兩所敬老院各安排兩名志愿者，則有=6種,

故共有8+6=14種方案,

故選：C

29.某冷飲店有“桃喜芒芒”“草莓瞰啜”“蜜桃四季春”“芋圓葡萄”四種飲品可供選擇，現(xiàn)有四位同學(xué)到店每人

購買一杯飲品，則恰有兩種飲品沒人購買的概率為（）

219八1515

A.—B.—C.—D.—

64641632

【答案】A

【分析】根據(jù)題意按照分組分配問題的步驟，首先計算出恰有兩種飲品沒人購買的總數(shù)，再計算出四種飲

品四人隨意選擇的總數(shù)，即可求得其概率.

【詳解】解決該問題，可以將四位同學(xué)先分為2,2或3,I兩堆，共有冬+瑪種分堆方法，

再從4種飲品中選出2種，分配給兩堆人，

fC2、

故共有3+C：xA；=84種方法.

QA21

所以恰有兩種飲品沒人購買的概率為「=77=77.

464

故選：A

30.為進一步在全市掀起全民健身熱潮，興義市于9月10日在萬峰林舉辦半程馬拉松比賽.已知本次比賽設(shè)

有4個服務(wù)點，現(xiàn)將6名志愿者分配到4個服務(wù)點，要求每位志愿者都要到一個服務(wù)點服務(wù)，每個服務(wù)點

都要安排志愿者，且最后一個服務(wù)點至少安排2名志愿者，有（）種分配方式

A.540B.660C.980D.1200

【答案】B

【分析】按照最后一個服務(wù)區(qū)有2名志愿者和3名志愿者進行分配，即1+1+2+2和1+1+1+3,分別求出

其方法種數(shù)，即可得出答案.

【詳解】由題知可按照最后一個服務(wù)區(qū)有2名志愿者和3名志愿者進行分配，

①6=1+1+2+2,有C34占8=540；

A2

②6=1+1+1+3,有或C；C；C：=120,

共有540+120=660（種）.

故選：B.

31.將4名學(xué)生志愿者分配到/、8、C社區(qū)參加志愿活動，每名志愿者只分配到1個社區(qū)，每個社區(qū)至少

分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】C

【分析】先分組，再分配，求出分配方案.

【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將4名大學(xué)生分為3組，兩組均為1人，一組為2人，

共有空4=6種分組方法，

②將分好的3組安排參加3個社區(qū)參加志愿活動，有A；=6種情況，

則有6x6=36種分配方案.

故選：C.

32.有5名學(xué)生志愿者到3個小區(qū)參加疫情防控常態(tài)化宣傳活動，每名學(xué)生只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少

安排1名學(xué)生，則不同的安排方法為.

【答案】150

【分析】先分組，然后排列，從而求得正確答案.

【詳解】若分組為3+1+1,則方法數(shù)有C；A；=60；

C2c2

若分組為2+2+1,則方法數(shù)有+A；=90；

A?

所以不同的安排方法為60+90=150種.

故答案為：150

33.某高中安排6名同學(xué)（不同姓）到甲、乙、丙3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，若每名同學(xué)只去一個

小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，其中張同學(xué)不去乙小區(qū)，則不同的分配方案種數(shù)為（）

A.90B.360C.240D.180

【答案】B

【分析】分張同學(xué)單獨一組和其他同學(xué)一組兩種情況，先排張同學(xué)，然后對其他5人進行分組分配即可.

【詳解】（1）張同學(xué)單獨一組：由于張同學(xué)不去乙小區(qū)，所以先排張同學(xué)共有C；=2種，再將其余5人分成

兩組共有C"C；=15中，分配到另外兩個小區(qū)共有A；=2,所以此類情況共有2x15x2=60種；

（2）張同學(xué)與其他同學(xué)一組：先安排張同學(xué)共有C；=2種，然后將其余5人分成三組共有

卜

3?=25種，再將三組分配到三個小區(qū)共A；=6種，所以此類情況共有2x25x6=300種.

綜上，不同的分配方案共有360種.

故選：B

考點07利用二項展開式求指定項

34.已知的展開式中的常數(shù)項是672,貝()

A.39B.29C.2D.1

【答案】C

【分析】寫出二項式通項42整理后讓x的次數(shù)為0,得出廠的值，再根據(jù)題意常數(shù)項的系數(shù)列出等式方程

即可得出。的值.

【詳解】展開式的通項為j=%(辦廣=c?/m9，令9-'=0,得廠=6,.?.常數(shù)項

是Qi=.鹿=672,故a=2.

故選：C

35.在二項式(6一1］的展開式中，常數(shù)項是.

21

【答案】-y/-10.5

］寸9一3左

【分析】根據(jù)二項展開式的公式可知￡+1=-LC*丁，進而可得常數(shù)項.

2.

當(dāng)工一二0,即左=3時，展開式第左+1項為常數(shù)項,

此時口--T，

21

故答案為：—

2

36.若〃eZ,M3<?<6,若［x-j)的展開式中存在常數(shù)項，則該常數(shù)項為.

【答案】-8

【分析】利用二項式定理的通項公式及常數(shù)項的特點即可求解.

【詳解】由題意可知，的展開式中的通項公式為is

令〃一4r=0,解得

4

又因為〃EZ,且3<〃W6,

所以〃=4/=:=1,

4

所以卜一H的展開式中的常數(shù)項為%=(-2)七：4=(-2)x4=-8.

故答案為：-8.

37.已知的展開式中共有7項，則有理項共—項.(用數(shù)字表示)

【答案】4

【分析】先求"，然后化簡通項，由指數(shù)為整數(shù)可得.

【詳解】因為的展開式中共有7項,所以"=6,

則通項T.C"［-斯姬二

3/

當(dāng)r=0,2,4,6時，6-—eZ,相應(yīng)項為有理項，故有理項共有4項.

故答案為：4

38.若16+￡］的展開式中各項系數(shù)和為64,則該二項式展開式中所有有理項的系數(shù)之和為

【答案】32

【分析】二項展開式各項系數(shù)和可用賦值法得到"=6,再計算有理數(shù)項的系數(shù)即可.

【詳解】令%=1可得(1+1)"=64,即”=6.

展開式通向為4+i=c：（岡2=c：x『

當(dāng)左=0時，7]=C°X3=X3,

當(dāng)后=2時，4=C>°=15,

當(dāng)左=4時，7；=C%-3=15r3,

當(dāng)左=6時，T]=C：x-6=x-15,

所以有理項系數(shù)之和為1+15+15+1=32.

故答案為：32.

39.若的二項展開式中/的系數(shù)是-16,則實數(shù)。的值是.

【答案】2

【分析】利用二項式展開式通項/+1=（-1）%（；無8-",結(jié)合對應(yīng)項的「值列方程求參數(shù)即可.

【詳解】題設(shè)二項式展開式通項為卻1=&產(chǎn)，（一與，=（-l）ZC；-2，，r=0,1,2,-,8,

X

所以r=l,即4=—8辦6,故—8a=—16,則a=2.

故答案為：2

考點08兩個多項式乘積的指定項

40.一組數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列為1,2,3,4,5,8,記這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為小則（2+x2）（l-J

展開式中的常數(shù)項為（）

A.12B.-8C.8D.10

【答案】A

【分析】根據(jù)上四分位數(shù)的計算可得〃=5,再根據(jù)（2+x2）［l-￡j5=21-￡［+x2］「￡|5,分別求解兩項

中的常數(shù)項求和即可.

【詳解】因為6x75%=4.5,故取數(shù)據(jù)從小到大第5個數(shù)，所以77=5.

又11-J中常數(shù)項為1,5的項為CKFx'J=”,

故(2+x2)(l-展開式中的常數(shù)項為2xl+/x[=12.

故選：A.

41.己知(G-2)(X+1)4的展開式中x3的系數(shù)為—2,則實數(shù)。=.

【答案】1

【分析】寫出展開式通項，進而確定特定項系數(shù).

【詳解】二項式(X+1)4展開式的通項為C)”,

所以(ax-2)(x+l『的展開式通項為C?x4F?ax=a-C：x5f或.(-2)=-2C2x4^,

(5—q=3[K=2

所以令/,，解得1，

[4-々=3[r2=1

所以展開式中/的系數(shù)為aC+(-2)C；=6a-8=-2,

解得a=l,

故答案為：1.

42.(2023?福建龍巖?統(tǒng)考二模)已知(a+x)(l+x)6的展開式中x?的系數(shù)為21,貝IJ。=.

【答案】1

【分析】利用二項式定理計算即可.

【詳解】由二項式定理可知(1+"的展開式中含的項分別為C；,xl5.x=6xCxl4.x2=i5x2,

故(a+x)(l+"的展開式中含X,的項為。*15/+x-6x=(15a+6)x?,即15a+6=21na=1.

故答案為：1

43.(x+y)(x-2y)6的展開式中含//項的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】-100

【分析】利用二項式定理可得展開式通項，分別令r=3和r=2即可加和確定所求系數(shù).

rrr6rr

【詳解】???(x-2^)6展開式通項為：Tr+l=(~2y)=(-2)C6x-y,

.?.令r=3可得x(x-2y『展開式中含x、3項的系數(shù)為：(_2)3亡=一160；

令r=2可得y(x-2爐展開式中含x"項的系數(shù)為：(一2『或=60；

，(x+y)(x-2力展開式中含//項的系數(shù)為_160+60=-100.

故答案為：-100.

44.[2丫+^][-5]的展開式中/的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】24

【分析】依題意+再寫出jx-J]展開式的通項，從而求出展開

IX八X)\XJxyX)\X)

式中/的系數(shù).

【詳解】0^f2x+-￥x--T=2xL--Y+-L--T,

kJCJkJCJkXJJCkXJ

其中□-￡|展開式的通項公式為(+[=C"j]_r|=(-iyc；x6-2r(0<r<6,H.reN),

所以Qx+-|J的展開式中含V的項為2x?建/-x-?C；/=24/,

所以的展開式中Y的系數(shù)為24.

故答案為：24

45.若0+ax2)(l+x)6的展開式中X，的系數(shù)為一45,則實數(shù)。的值為.

【答案】-4

【分析】求出(l+x)6的通項為，令X=4和x=2求出(l+af)(i+x)6的展開式中X’的系數(shù)，15+15a=-45,解

方程即可求出答案.

【詳解】(1+亦2)(1+外6=(l+x)6+ax2(l+x)6,

r

(l+x)6的通項為：Tr+l=C'6x,

令x=4時，C：=15；令x=2時，C：=15,

所以(1+ax?)(1+苫v的展開式中X，的系數(shù)為-45,

所以15+15a=—45,解得：ci——4.

故答案為：-4.

考點09三項展開式的指定項

46.：-1：展開式中的常數(shù)項為.(用數(shù)字做答)

【答案】49

【分析】利用分類計數(shù)原理求解即可.

r年鏟、(25/2.Y222八

[詳角牛]IXH---1I=\x~\----1II----1IIXH----1IIXH----1I

展開式中得到常數(shù)項的方法分類如下：

(1)4個因式中都不取x,則不取,，全取一1,相乘得到常數(shù)項.

X

常數(shù)項為C：(-1)4=1;

(2)4個因式中有1個取x,則再取1個工，其余因式取T,相乘得到常數(shù)項.

常數(shù)項為C：xcd(-l)2=24；

(3)4個因式中有2個取x,則再取2個工，相乘得到常數(shù)項.

常數(shù)項為C/亡曰：=24.

合并同類項，所以展開式中常數(shù)項為1+24+24=49.

故答案為：49.

47.(x+2y-3z)6的展開式中中2z3的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【答案】-6480

【分析】(x+2y-3z)6=[(x+2y)-3z]6,然后兩次利用通項公式求解即可；

【詳解】因為(x+2y-3z)6=[(x+2y)-3z]6,

設(shè)其展開式的通項公式為：=晨。+2y廠?(-3z)r=C；(x+2〉嚴(yán)x(-3)r-zr,0<r<6,reN,

令尸=3,

得(x+2yy的通項公式為C。3f.(2歹『=Cfx2加鏟加.j；w,0<m<3,mGN,

令"1=2,

所以(x+2y+3zy的展開式中，xy3z2的系數(shù)為C：x(-3)3xC；x2?=-6480,

故答案為：-6480

48.若"為一組從小到大排列的數(shù)1,2,3,5,6,8的第六十百分位數(shù)，貝U(2x-y+l)"的展開式中/式的

系數(shù)為.

【答案】-40

【分析】利用第〃百分位數(shù)的定義求出"，再利用組合的應(yīng)用列式計算作答.

【詳解】由6x60%=3.6,得力=5,

23

于是(2x-y+l)5展開式中含//的項為c；(2xy,C3(_y)3=_40xy,

所以(2x-y+1)5的展開式中的系數(shù)為-40.

故答案為：-40

49.已知常數(shù)機>0,(2x-依+11的二項展開式中f項的系數(shù)是780,則加的值為.

【答案】3

【分析】轉(zhuǎn)化為+,利用展開式的通項公式討論計算即可.

【詳解】(2x-?+l[=[2x—三]+1],設(shè)其通項為7^=C(2x-/]；，(r46/eN),

MkM6r2t

設(shè)上工-3的通項為Tk+；=C](2x)(-mx-')=Ct,,x(2)x(-m)'x~~(k<6-r,keN),

要求Y項的系數(shù)，只有，,為偶數(shù)，

當(dāng)廠=0,6--2左=2n左=2,此時/項的系數(shù)為c：xC；x2’=240二，

當(dāng)r=2,6—尸一2左=2=k=1,止匕時一項的系數(shù)為C；XC；X23(—冽Y=-480m,

當(dāng)r=4,6——一2左=2=左=0,止匕時f項的系數(shù)為C：XC；X22(—冽)°=60,

當(dāng)r=6,6—丫-2k=2=k=—\,不合題意，

故一項的系數(shù)為240m2—480m+60=780（加>0）=>加=3

故答案為：3

50.已知二項式［-x+q］的展開式中含亍的項的系數(shù)為-40,則”.

【答案】2

【分析】+表示有5個+因式相乘，根據(jù)!的來源分析即可求出答案.

【詳解】「一x+"J表示有5個j-x+j1因式相乘，§來源如下：

有1個，…力提供:,有3個］…提供x,有1個「…力提供常數(shù)，

此時亍系數(shù)是C；C：（-獷a=-40,即-20a=-40,解得：a=2

故答案為：2.

考點10二項式系數(shù)之和及系數(shù)之和

525

51.設(shè)（2%-I）=%++a2x4-----Fa5x,則q+電、---卜牝二（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】先令X=0計算出。0的值，再令X=1計算出％+4+。2+…+。5的值，由此可計算出〃+1。2+…+。5

的值.

【詳解】令X=O,所以

令X=1,所以=%+4+%+…+。5=1，

所^以％+。2+，，，+。5=1+1=2,

故選：D.

52.右（2x—3）=1+%（x—1）+出（％—1）+…+—1）+Q］2（x—1），則（）

A.4=-］B.Q0—%%—〃3+…+%0—%1+〃12=—3微

C.%+&+…+%2=-2D./+墨+…+$+翁=-1

【答案】D

【分析】將(2x-3)管化為[-l+2(x7)/，利用二項式通項公式可求得旬，判斷A；根據(jù)二項式的系數(shù)和式

的特征，利用賦值法可分別判斷B,C,D.

【詳解】由題意可知(2x-3)「=[-l+2(x-l)]\故/=或(-1產(chǎn)=1,A錯誤；

由(2x—3)=Qo+Q](x—])+%(x—1)+?,?+〃]](x—1)+〃]2(x—1)，

令X=0,可得〃0—%+〃2—。3-----F%0_%1+%2=3口，B錯誤；

令"x=2,貝lj(7Q+%+a?+,,?+12I2=(4—3)12=1,

故。1+出+…+42=1一%=1-1=0,C錯誤;

令X=：則「x|一312=%+爭當(dāng)+…+$+|^=0,

故今+|1■+…+$+1^=。-4=-1'D正確，

故選：D

4432

53.(x-1)=(74X+a3x+a2x+axx+aQ,貝|%一%+2-q=.

【答案】15

【分析】由函數(shù)觀點結(jié)合賦值法即可求解.

44