第三章排列、組合與二項(xiàng)式定理章末題型大總結(jié)

01知識(shí)導(dǎo)圖

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

排

列

、

組

合概念：一般地，從《個(gè)不同對(duì)象中取出m(mww)個(gè)對(duì)象并成

一組，稱為從《個(gè)不同對(duì)象中取出機(jī)個(gè)對(duì)象的一個(gè)組合

與

二

cm_A":…[”一(加-1)]_〃！

組合數(shù)公式:"

項(xiàng)"-mx(m-\)x???x2x1-

式

定

理

題型總結(jié)

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用分組分配問(wèn)題

求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)

三項(xiàng)式展開(kāi)問(wèn)題

二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)最值問(wèn)題

二項(xiàng)式系數(shù)和問(wèn)題

整除和余數(shù)問(wèn)題

楊輝三角及應(yīng)用

02

題型01兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

解題錦囊

1.使用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的思路

（1）選擇使用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題時(shí),要根據(jù)我們完成某件事情采取的方式,確定是分類還是分步,要抓住兩個(gè)

原理的本質(zhì).

（2）分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是“類”，分類時(shí),首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn),然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)

下進(jìn)行分類;其次分類時(shí)要注意,完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類,并且分別屬于不同類的兩種方法是

不同的方法.

（3）分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是“步”，分步時(shí)首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn);其次,分步時(shí)還要注意

滿足完成一件事必須并且只有連續(xù)完成這幾個(gè)步驟后,這件事才算完成,只有滿足了上述條件,才能用分步乘法計(jì)

數(shù)原理.

2.使用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題

對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理，又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問(wèn)題,我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D

或列出表格，使問(wèn)題更加直觀、

清晰.

【典例1］（24-25高三上?廣東汕頭?期中）一個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a,b,c.三位

數(shù)中，當(dāng)且僅當(dāng)有兩個(gè)數(shù)字的和等于第三個(gè)數(shù)字時(shí)稱為"有緣數(shù)"（如213,134等）若a,b,ce{1,2,3,4,5},

且a,b,c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為"有緣數(shù)"共個(gè).

【變式1］（23-24高二下?陜西西安?期中）5名同學(xué)分別從4個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)為（）

A.9B.20C.54D.45

【變式2］（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）從0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)中任選5個(gè)組成一個(gè)沒(méi)有重

復(fù)數(shù)字的"五位凹數(shù)1出的必"（滿足1>%>%<%<%），則這樣的“五位凹數(shù)"的個(gè)數(shù)為（）

A.126個(gè)B.112個(gè)C.98個(gè)D.84個(gè)

【變式3】（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）汽車制造的專業(yè)化流程是：設(shè)計(jì)效果圖玲制作油泥模型好生產(chǎn)樣

車玲對(duì)樣車檢驗(yàn)玲投入生產(chǎn).已知A市、B市、C市分別有3個(gè)、10個(gè)、7個(gè)能設(shè)計(jì)效果圖的設(shè)計(jì)院，A市有

2個(gè)能制作油泥模型的制作中心,8市有6個(gè)能生產(chǎn)樣車的生產(chǎn)車間，C市有1處能對(duì)樣車檢驗(yàn)的檢驗(yàn)中心，

A市、8市、C市、。市、E市分別有8,8,6,3,2家能實(shí)際投入生產(chǎn)的生產(chǎn)廠家，從設(shè)計(jì)到實(shí)際生產(chǎn)，

有種選擇方法.

【變式4］（24-25高三上?廣東?階段練習(xí)）小明去超市從4種功能性提神飲料和5種電解質(zhì)飲料中選3瓶

進(jìn)行購(gòu)買，若每種飲料至多買一瓶，則功能性提神飲料和電解質(zhì)飲料都至少買1瓶的買法種數(shù)為.（用

數(shù)字作答）

題型02排列、組合數(shù)的計(jì)算問(wèn)題

lf====================================

II解題錦囊

應(yīng)用排列、組合數(shù)公式時(shí)應(yīng)注意的三個(gè)方面

II

II（1）準(zhǔn)確展開(kāi).應(yīng)用排列數(shù)、組合數(shù)公式展開(kāi)時(shí)要注意展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)要準(zhǔn)確；

（2）合理約分.若運(yùn)算式是分式形式，則要先約分后計(jì)算；

II

（3）合理組合.運(yùn)算時(shí)要結(jié)合數(shù)據(jù)特點(diǎn)，應(yīng)用乘法的交換律、結(jié)合律，進(jìn)行數(shù)據(jù)的組合，可以提高運(yùn)算

11的速度和準(zhǔn)確性.

【典例2］（23-24高二下?貴州遵義?期中）（多選）下列選項(xiàng)中正確的有（）

A.

6

B.A；；-A；=81A；

C.湍=4950

D.C；+C：+C；+C；+C；+C；+C；+C：o=164

【變式1】（23-24高二下?山東棗莊.期中）下列公式錯(cuò)誤的是（）

wT

A，A"=(n-m)!D=_____—_____c./y+cjrD.竄

?n

【變式2］（23-24高二下?云南?期中）（1）求C；+6C；+2C；+5c+3C；+4C；+7C；的值;

（2）若等式〃C：+A：=4C"不成立，求正整數(shù)〃的值.

【變式3】（23-24高二下.廣東清遠(yuǎn)?期中）不等式A；＜6A/的解集為.

題型03隊(duì)列排序問(wèn)題

I解題錦囊||

1、解有“相鄰元素”的排列問(wèn)題的方法

1II

對(duì)于某些元素必須相鄰的排列，通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個(gè)整體和其他元素一起參與||

!排列，再考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間的順序。11

1II

I2、解有“不相鄰元素”的排列問(wèn)題的方法|

對(duì)于某些元素不相鄰的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每?jī)蓚€(gè)元素之間形成“空”，”

1II

I然后將不相鄰的元素進(jìn)行“插空”。||

3、解有限制元素（位置）的排列問(wèn)題的方法II

解有限制元素或特殊位置的排列問(wèn)題，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考慮其他元素或位置，當(dāng)?

1以元素為主或以位置為主。II

|4、定序問(wèn)題

定序通常指在排列組合問(wèn)題中，某些元素的順序是固定的，而其他元素則可以自由排列。解決這類問(wèn)II

!題的基本方法是使用“除法”原則，即將所有元素一起排列，然后除以那些順序固定元素的全排列數(shù)。

.____4

角度1限制元素問(wèn)題

【典例3］（23-24高二下?江蘇南通?期中）學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的8個(gè)節(jié)目的演出順序，學(xué)生的節(jié)目

有6個(gè)，教師的節(jié)目有2個(gè)，如果教師的節(jié)目既不排在第一個(gè)，也不排在最后一個(gè)，那么不同的排法數(shù)為

（）

A.A；B.A：A；C.D.

【變式11（23-24高二下?四川遂寧?階段練習(xí)）北京時(shí)間2023年10月26日19時(shí)34分，神舟十六號(hào)航天

員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開(kāi)"家門"，歡迎遠(yuǎn)道而來(lái)的神舟十七號(hào)航天員乘組（湯洪波，

唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮隨后，兩個(gè)航天員乘組拍下“全家福”，共同向全國(guó)人民報(bào)平安.若這6

名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與江新林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排

法有（）

A.144種B.204種C.1580種D.240種

【變式2】（23-24高二下?北京豐臺(tái)?期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1

名到第5名的名次（無(wú)并列情況）.甲、乙、丙去詢問(wèn)成績(jī).老師對(duì)甲說(shuō)："你不是最差的."對(duì)乙說(shuō)："很遺

憾，你和甲都沒(méi)有得到冠軍."對(duì)丙說(shuō)："你不是第2名."從這三個(gè)回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情

況種數(shù)為（）

A.44B.46C.52D.54

【變式3】（23-24高二下?山東濟(jì)寧?期中）某中學(xué)元旦晚會(huì)共由7個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求:

節(jié)目甲必須排在乙的前面，丙不能排在最后一位，該晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有種.（用

數(shù)字作答）

角度2相鄰與不相鄰問(wèn)題

【典例4］（23-24高二下?廣西柳州?期中）某中學(xué)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，甲、乙、丙、丁、戊、戌六名志愿者站

成一排拍照留念，其中甲和乙相鄰，甲和丙不相鄰，則不同的排列方式共有（）

A.180種B.190種C.192種D.240種

【變式1】（23-24高二下?浙江?期中）東陽(yáng)市一米陽(yáng)光公益組織主要進(jìn)行"敬老"和"助學(xué)”兩項(xiàng)公益項(xiàng)目，某

周六，組織了七名大學(xué)生開(kāi)展了"筑夢(mèng)前行，陽(yáng)光助學(xué)”活動(dòng)后，大家合影留念，其中米一同學(xué)想與佳艷、劉

西排一起，且要排在她們中間，則全部排法有（）種.

A.120B.240C.480D.720

【變式2］（23-24高二下?云南大理?期中）在學(xué)校組織的一次活動(dòng)結(jié)束后，3名男生和2名女生站成一排

照相留念，其中2名女生不相鄰，則不同的站法有（）

A.120種B.72種C.48種D.24種

【變式3】（23-24高二下?江蘇泰州?階段練習(xí)）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠(yuǎn)的意義和

價(jià)值.它具有紅黑兩種陣營(yíng)，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現(xiàn)將3個(gè)紅色的"將""車""馬"棋子與2個(gè)

黑色的"將""車"棋子排成一列，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.共有120種排列方式

B.若兩個(gè)"將"相鄰，則有24種排列方式

C.若兩個(gè)"將"不相鄰，則有72種排列方式

D.若同色棋子不相鄰，則有12種排列方式

角度3定序問(wèn)題

【典例5】7人站成一排.

（1）甲必須在乙的前面（不一定相鄰），則有多少種不同的排列方法？

（2）甲、乙、丙三人自左向右的順序不變（不一定相鄰），則有多少不同的排列方法？

【變式1】（23-24高二下.湖北?期中）14名同學(xué)合影，站成前排5人后排9人，現(xiàn)攝影師要從后排9

人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（）

A.C；A；B.C；A；C.D.C：A；

【變式2】某4位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來(lái)了2位同學(xué)要加入，如果保持原來(lái)4位同學(xué)的相對(duì)順

序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（）

A.10B.20C.24D.30

題型04數(shù)字排列問(wèn)題

II解題錦囊1

;數(shù)字排列問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解決原則：

II（1）常見(jiàn)的數(shù)字排列問(wèn)題：①組成的數(shù)為“奇數(shù)”“偶數(shù)”“被某數(shù)整除的數(shù)”；②在某一定范圍內(nèi)的數(shù)的II

1問(wèn)題；③各位數(shù)字和為某一定值問(wèn)題；④各位數(shù)字之間滿足某種關(guān)系問(wèn)題等.

IIII

II（2）解決原則①明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置（末II

!位或首位）由誰(shuí)占領(lǐng)分類，分類中再按特殊位置（或特殊元素）優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，11

IIII

II可采用間接法求解.②要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位,|

J

【典例6】用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無(wú)重復(fù)的數(shù)字？

（1）六位奇數(shù)；

（2）個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)；

（3）不大于4310的四位偶數(shù).

【變式1】（23-24高二下?天津南開(kāi)?期中）用。~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)（）

A.720B.648C.320D.328

【變式2】（23-24高二下?江蘇連云港?月考）從0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù).

（1）可以組成多少個(gè)三位數(shù)？

（2）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

（3）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？

【變式3】（23-24高二下.廣東東莞?月考）從1到7這7個(gè)數(shù)字中取2個(gè)偶數(shù)、3個(gè)奇數(shù)，排成一個(gè)無(wú)重復(fù)

數(shù)字的五位數(shù).求：

（1）共有多少個(gè)五位數(shù)？

（2）其中偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有多少個(gè)?

（3）其中兩個(gè)偶數(shù)不相鄰的有多少個(gè)？

題型05涂色問(wèn)題

=================;-----:=================D

|11|解題錦囊

II

II涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”

在處理涂色問(wèn)題時(shí)，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一

II

II對(duì)不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)II

II行涂色即可。

IL===================================J

【典例7］（23-24高二下?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）如圖，用四種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色（四種顏售

全部使用），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有（）

K

A.72種B.96種C.170種D.168種

【變式1】春節(jié)期間，某地政府在該地的一個(gè)廣場(chǎng)布置了一個(gè)如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個(gè)區(qū)域.現(xiàn)

有5種不同的花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能布置相同的花卉，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，則不同的

布置方案有（）

A.120種B.240種C.420種D.720種

【變式2】（23-24高二下?江蘇連云港?月考）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每

個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有（）種.

A.480B.800C.380D.770

【變式3］（23-24高二下?重慶?期中）給正六邊形ABCDEP的六條邊涂色，現(xiàn)有3種不同的顏色可以

選擇，要求相鄰兩條邊顏色不同，則不同的涂法有（）種

A.99B.96C.66D.80

【變式4】（23-24高二下?山東泰安?期中）現(xiàn)有四種不同顏色的彩燈裝飾五面體AB-CDEF的六個(gè)頂點(diǎn)，

要求A,8用同一種顏色的彩燈，其它各棱的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同顏色的彩燈，則不同的裝飾方案共有種.

（用數(shù)字作答）

題型06分組分配問(wèn)題

（T-------------------------------------------------------------------------------------------------

|,解題錦囊

111、解題思路：先分組后分配，分組是組合問(wèn)題，分配是排列問(wèn)題；

2、分組方法：①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘；②部分均勻分組，有加組元素個(gè)數(shù)相同，則

II分組后除以〃2!;③完全非均勻分組，只要分組即可；

3、分配：①相同元素的分配問(wèn)題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問(wèn)題，分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分

II組后分配；③有限制條件的分配問(wèn)題，采用分類求解；

IL________________________________________________________________________________________

【典例8]（24-25高三上?重慶?開(kāi)學(xué)考試）第41屆全國(guó)青少年信息學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（CCFNOI2024）于2024

年7月16~22日在重慶市育才中學(xué)成功舉辦.在本次競(jìng)賽組織過(guò)程中，有甲、乙等5名育才新教師參加了接

待、咨詢、向?qū)齻€(gè)志愿者服務(wù)項(xiàng)目，每名新教師只參加一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，每個(gè)服務(wù)項(xiàng)目至少有一名新教師

參加.若5名新教師中的甲、乙兩人不參加同一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，則不同的安排方案有（）種

A.108B.114C.170D.240

【變式1]（2024?山西運(yùn)城?高三統(tǒng)考期末）第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)預(yù)計(jì)2024年7月26日至8月11日在法國(guó)

巴黎舉辦，這屆奧運(yùn)會(huì)將新增2個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目和3個(gè)表演項(xiàng)目.現(xiàn)有三個(gè)場(chǎng)地A,B,C分別承擔(dān)這5個(gè)新增

項(xiàng)目的比賽，且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方法有（）

A.170種B.300種C.720種D.1008種

【變式2】（23-24高二下?上海?期中）從2男4女中安排3人到三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每個(gè)場(chǎng)館1人，且至

少有1位男生入選，不同的安排方法有一種.

【變式3】（24-25高三上?山東煙臺(tái)?開(kāi)學(xué)考試）安排4名大學(xué)生到兩家公司實(shí)習(xí)，每名大學(xué)生只去一家公

司，每家公司至少安排1名大學(xué)生，則大學(xué)生甲、乙到同一家公司實(shí)習(xí)的概率為（）

【變式41（23-24高二下?福建泉州?月考）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，

最憶是杭州”，名為“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個(gè)吉祥物，是一組承載深厚文化底蘊(yùn)的機(jī)器人.為了宣傳

杭州亞運(yùn)會(huì)，某校決定派5名志愿者將這三個(gè)吉祥物安裝在學(xué)?？萍紡V場(chǎng)，每名志愿者只安裝一個(gè)吉祥物，

且每個(gè)吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為

【變式5】（23-24高二下?江蘇鹽城?期中）某校將12名優(yōu)秀團(tuán)員名額分配給4個(gè)不同的班級(jí)，要求每個(gè)班

級(jí)至少一個(gè)，則不同的分配方案有種.

題型07求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)

解題錦囊

二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，是指展開(kāi)式中的某一項(xiàng)，如第〃項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等，求解二項(xiàng)展開(kāi)式中

［的特定項(xiàng)的關(guān)鍵點(diǎn)如下：

II（1）求通項(xiàng)，利用（a+b）"的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式。+1孰0「方'（加，1,2,…，〃）求通項(xiàng).

（2）列方程（組）或不等式（組），利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)及特定項(xiàng)的特征，列出方程（組）或不等式（組）.

（3）求特定項(xiàng)，先由方程（組）或不等式（組）求得相關(guān)參數(shù)，再根據(jù)要求寫出特定項(xiàng).

IL=________________________________________________________________________

【典例9］（23-24高二下.上海黃浦?期中）在卜+君y『的展開(kāi)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有一項(xiàng).

【變式1】（23-24高二下?浙江麗水?期中）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（）

A.-225B.-252C.252D.225

【變式2】（2024?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)郡中學(xué)?？家荒＃ㄓ葻o(wú)一的展開(kāi)式中含/項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.20B.-20C.30D.-30

【變式3］（23-24高二下.四川內(nèi)江?期中）（2-x）6的展開(kāi)式中，/的系數(shù)是（）

A.160B.-160C.240D.-220

題型08三項(xiàng)式展開(kāi)問(wèn)題

?解題錦囊

這類問(wèn)題主要有以下解題方法：

I（1）通過(guò)變形先把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再用二項(xiàng)式定理求解.

（2）兩次利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解.

I（3）由二項(xiàng)式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項(xiàng)式看作幾個(gè)因式之積，要得

?到特定項(xiàng)看有多少種方法從這幾個(gè)因式中取因式中的量.

［地例］10］（23-24高二下?重慶巴南?期中）［尤2一：+2］的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）

A.544B.559C.495D.79

【變式1123-24高二下.江蘇無(wú)錫?期中）G+y—2＞展開(kāi)式中一產(chǎn)的系數(shù)為（）

A.80B.-60C.30D.-30

【變式2］（23-24高二下.廣東茂名.期中）［石+土+］的展開(kāi)式中，的系數(shù)為.

【變式3】（23-24高二下.河南?月考）在（1+彳+2?°的展開(kāi)式中，丁丁項(xiàng)的系數(shù)是.

題型09二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)最值問(wèn)題

解題錦囊11

II

II1、二項(xiàng)式系數(shù)先增后減中間項(xiàng)最大,|

（1）如果二項(xiàng)式的事指數(shù)〃是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；

（2）如果二項(xiàng)式的累指數(shù)〃是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)餐，勺+i的二項(xiàng)式系數(shù)c?1，cF相等且最大.

11如求（a+bx）"（a,bGR）的展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)分別為4,4,…，II

II

II\Ak>Ak-i9.I

||A〃+l，且第七項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用/,從而解出上來(lái)，即得.

11〔A侖4+1，||

11II

L________________________________________________________________________________u

【典例11］（23-24高二下?重慶?期中）（多選）在"j”的展開(kāi)式中，含一項(xiàng)的系數(shù)為-11,則下

列選項(xiàng)正確的有（）

A.CI=—1

B.展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為0

C.展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)是第6項(xiàng)

D.展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)是第7項(xiàng)

【變式1】若展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則〃=（）

A.9B.10C.11D.12

【變式2］的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開(kāi)式中系數(shù)最

大的項(xiàng)的系數(shù)為.

【變式3］（23-24高二下.福建福州.期中）在"-口的展開(kāi)式中，

（1）求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和；

（2）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

（3）系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？

題型10二項(xiàng)式系數(shù)和問(wèn)題

解題錦囊

系數(shù)和問(wèn)題常用“賦值法”求解：賦值法是指對(duì)二項(xiàng)式中的未知元素賦值，從而求得二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)

［系數(shù)和的方法.求解有關(guān)系數(shù)和題的關(guān)鍵點(diǎn)如下：

①賦值，觀察已知等式與所求式子的結(jié)構(gòu)特征，確定所賦的值，常賦的值有：一1,0,1等.

②求參數(shù)，通過(guò)賦值，建立參數(shù)的相關(guān)方程，解方程，可得參數(shù)值.

II③求值，根據(jù)題意，得出指定項(xiàng)的系數(shù)和.

II_________________________________________________________________________________________________

【典例12］（23-24高二下?貴州?階段練習(xí)）在）-的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.二項(xiàng)式系數(shù)之和為64B.各項(xiàng)系數(shù)之和為上

64

C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為25戶3D.常數(shù)項(xiàng)為1?5

216

【變式1］（23-24高二下?甘肅蘭州?期中）設(shè)（x-1）6=%+4（X-2）+—+3（X-2）6,則

+出+%+,,,+〃6=.

2022

【變式2】（23-24高二下?四川內(nèi)江?期中）若（1-2尤）2°22=%+%尤+4/+“44必工,則

佝+色+與+.?.+■=

°22222022------------

525

【變式3】（23-24高二下.江蘇連云港?期中）設(shè)（1-2x）=a0+a.x+a^+L+a5x.

（1）求火的值；

（2）求同+聞+同+㈤+岡的值.

【變式4】（23-24高二下.河南?期中）已知（x-l）（x+2）6=旬+卬彳+的/+…+,則

q+2%+3%+4%+5%+6%-（）

A.722B.729C.-7D.-729

【變式5］（23-24高二下?安徽滁州?期末）若（以+：）的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,各項(xiàng)系數(shù)

之和為243,則展開(kāi)式中/的系數(shù)是（）

A.32B.64C.80D.180

題型11整除和余數(shù)問(wèn)題

【典例12］（23-24高二下?江蘇南通?階段練習(xí)）若且5。2°24+〃能被17整除，貝心的最小值為（）

A.0B.1C.15D.16

【變式1】已知（3X-1廣4=4+平+生召+1+%）獷2024,貝lJq+%+L+%024被3除的余數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

【變式2】中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)b,機(jī)（相＞0）為整數(shù),

若。和b同時(shí)除以機(jī)所得的余數(shù)相同，則稱。和b對(duì)模機(jī)同余，記為。三6（mod〃z）.若a=C；o+C；o+…+/,

6Z=Z?（modlO）,貝!Jb的值可以是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

題型13楊輝三角及應(yīng)用

,

解題錦囊?

1、在同一行中，每行兩端都是1,與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等；?

2、在相鄰的兩行中，除1以外的其余各數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)字之和.

由此可知，當(dāng)二項(xiàng)式次數(shù)不大時(shí)，可借助“楊輝三角”直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).I

L===================================2

【典例15］（23-24高二下?云南?期中）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書中展

示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

n4楊輝三角

第

0行

r方

4*g1行1

算

2行1I

T7方

第

r3行121

爭(zhēng)

4行1331

ftr?14641

￡5行

駕

方15101051

￡6行

q

章1615201561

7行

夸

聾8172135352171

行

第918285670562881

aDr行

彎

第1193684126126843691

彎

貨1or1104512021025221012045101

耳lff111551653304624623301655511I

A.1+C；+C；+C；=C；

B.第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)

C.第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為2:11

D.第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大

【變式1】（23-24高二下.湖北?期中）如圖，在“楊輝三角”中從左往右第3斜行的數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列:

1,3,6,10,15,...,則該數(shù)列前10項(xiàng)的和為（）

第

0行

第

1行

第

2行121

第

3行1331

第

4行14641

第

5行55

1010

第

6行6

152015

A.66B.120C.165D.220

【變式2】如圖，在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開(kāi)始按箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：1,2,3,

3,6,4,10,5,L,則此數(shù)列的前30項(xiàng)的和為（）

第1行11

第2行1201

第3行13<-31

第4行14<-641

_X

第5行15<-101051

A.680B.679C.816D.815

【變式3】“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項(xiàng)式展開(kāi)式中的組合數(shù)在三角形數(shù)

表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示,則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯(cuò)誤的是

第0行（。+6）。1

第1行11

第2行Q+6）2121

第3行（a+b）31331

第4行（4+8）414641

第5行（。+6）515101051

第6行（。+，）61615201561

第7行（a+b）7172135352171

第行辦

8J+18285670562881

A.第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于第9行的第8個(gè)數(shù)

B.第2023行中第1012個(gè)數(shù)和第1013個(gè)數(shù)相等

C.記“楊輝三角”第"行的第i個(gè)數(shù)為生，則士（2%，）=3"

1=1

D.第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為2:3

第三章排列、組合與二項(xiàng)式定理章末題型大總結(jié)

01知識(shí)導(dǎo)圖

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

排

列

、

組

合概念：一般地，從n個(gè)不同對(duì)象中取出機(jī)（用W"）個(gè)對(duì)象并成

一組，稱為從《個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的一個(gè)組合

與

二?A?=…]”_(加_1)]_〃！

組合數(shù)公式:C=

-

項(xiàng)"A?-mx(MI-1)x???x2x1-

式

組合數(shù)性質(zhì)：⑴c，=c；r；⑵以"+以=（2胃

定

理r|Cl?=C：=l|

H二項(xiàng)式系數(shù)的畫-Tc3=c3而

H二項(xiàng)式定理卜

二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：或+kCfa"-*"（其中0近1W〃,AeN,"eN.）|

1■［楊輝三角］

題型總結(jié)

02題型精講

題型01兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

解題錦囊

1.使用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的思路

（1）選擇使用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題時(shí),要根據(jù)我們完成某件事情采取的方式,確定是分類還是分步,要抓住兩個(gè)

原理的本質(zhì).

（2）分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是“類”，分類時(shí),首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn),然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)

下進(jìn)行分類;其次分類時(shí)要注意,完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類,并且分別屬于不同類的兩種方法是

不同的方法.

（3）分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是“步”，分步時(shí)首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn);其次,分步時(shí)還要注意

滿足完成一件事必須并且只有連續(xù)完成這幾個(gè)步驟后,這件事才算完成,只有滿足了上述條件,才能用分步乘法計(jì)

數(shù)原理.

2.使用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題

對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理，又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問(wèn)題,我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D

或列出表格，使問(wèn)題更加直觀、

清晰.

【典例1】3.（24-25高三上?廣東汕頭?期中）一個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為b,c.三

位數(shù)中，當(dāng)且僅當(dāng)有兩個(gè)數(shù)字的和等于第三個(gè)數(shù)字時(shí)稱為"有緣數(shù)"（如213,134等）若a,6,ce（1,2,3,4,5},

且a,b,c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為"有緣數(shù)"共個(gè).

【答案】24

【分析】利用"有緣數(shù)"的定義，利用分類討論的思想，求出所有的三位數(shù).

【詳解】解：根據(jù)題意知在123,4,5中，能組成有緣數(shù)的組合有；1,2,3；1,3,4；1,4,5:2,3,5；

由1,2,3組成的三位自然數(shù)為123,132,213,231,312,321,"有緣數(shù)”共6個(gè)；

同理：由1,3,4組成的三位數(shù)為"有緣數(shù)"是6個(gè)；

由1,4,5組成的三位數(shù)為"有緣數(shù)"是6個(gè)；

由2,3,5組成的三位數(shù)為"有緣數(shù)”是6個(gè)；

所以三位數(shù)為"有緣數(shù)"的個(gè)數(shù)為：4x6=24個(gè).

故答案為：24.

【變式1123-24高二下?陜西西安?期中）5名同學(xué)分別從4個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)為（）

A.9B.20C.54D.45

【答案】A

【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可計(jì)算.

【詳解】因?yàn)槊棵瑢W(xué)都有4種選擇，

所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知不同選法的種數(shù)為：4x4x4x4x4=45.

【變式2】（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）從0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)中任選5個(gè)組成一個(gè)沒(méi)有重

復(fù)數(shù)字的"五位凹數(shù)WzWM"（滿足外>%>/<%<%），則這樣的“五位凹數(shù)"的個(gè)數(shù)為（）

A.126個(gè)B.112個(gè)C.98個(gè)D.84個(gè)

【答案】A

【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得.

【詳解】第一步，從0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)中任選5個(gè)共有C；種方法，

第二步,選出的5個(gè)數(shù)中，最小的為。3，從剩下的4個(gè)數(shù)中選出2個(gè)分給49，由題意可知，選出后。1，。2，。4,火

就確定了，共有C：種方法，

故滿足條件的"五位凹數(shù)"C；C；=126個(gè)，

【變式3】（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）汽車制造的專業(yè)化流程是：設(shè)計(jì)效果圖玲制作油泥模型好生產(chǎn)樣

車玲對(duì)樣車檢驗(yàn)好投入生產(chǎn).已知A市、B市、C市分別有3個(gè)、10個(gè)、7個(gè)能設(shè)計(jì)效果圖的設(shè)計(jì)院，A市有

2個(gè)能制作油泥模型的制作中心,2市有6個(gè)能生產(chǎn)樣車的生產(chǎn)車間，C市有1處能對(duì)樣車檢驗(yàn)的檢驗(yàn)中心，

A市、B市、C市、。市、E市分別有8,8,6,3,2家能實(shí)際投入生產(chǎn)的生產(chǎn)廠家，從設(shè)計(jì)到實(shí)際生產(chǎn)，

有種選擇方法.

【答案】6480

【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理可求得總的方法數(shù).

【詳解】共分五步：第一步，設(shè)計(jì)效果圖，共計(jì)3+10+7=20種方法；

第二步，制作油泥模型，有2種方法；第三步，生產(chǎn)樣車，有6種方法；

第四步，對(duì)樣車檢驗(yàn)，有1種方法；第五步，投入生產(chǎn)，共計(jì)8+8+6+3+2=27種方法.

所以從設(shè)計(jì)到實(shí)際生產(chǎn)有20x2x6x1x27=6480種選擇方法.

【變式4］（24-25高三上?廣東?階段練習(xí)）小明去超市從4種功能性提神飲料和5種電解質(zhì)飲料中選3瓶

進(jìn)行購(gòu)買，若每種飲料至多買一瓶，則功能性提神飲料和電解質(zhì)飲料都至少買1瓶的買法種數(shù)為.（用

數(shù)字作答）

【答案】70

【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計(jì)數(shù)原理及組合計(jì)數(shù)問(wèn)題列式計(jì)算即得.

【詳解】依題意，兩種飲料都至少買1種的買法種數(shù)為C；c；+c；c；=30+40=70.

故答案為：70

題型02排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算問(wèn)題

Ir=

解題錦囊

應(yīng)用排列、組合數(shù)公式時(shí)應(yīng)注意的三個(gè)方面

（1）準(zhǔn)確展開(kāi).應(yīng)用排列數(shù)、組合數(shù)公式展開(kāi)時(shí)要注意展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)要準(zhǔn)確；

（2）合理約分.若運(yùn)算式是分式形式，則要先約分后計(jì)算；

（3）合理組合.運(yùn)算時(shí)要結(jié)合數(shù)據(jù)特點(diǎn)，應(yīng)用乘法的交換律、結(jié)合律，進(jìn)行數(shù)據(jù)的組合，可以提高運(yùn)算

的速度和準(zhǔn)確性.

【典例2］（23-24高二下?貴州遵義?期中）（多選）下列選項(xiàng)中正確的有（）

A.

6

B.A；；-A；=81A；

C.湍=4950

D.C；+C：+C；+C；+C；+C；+C；+C：o=164

【答案】CCD

【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)锳j+A；=24+20=|,所以A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，因?yàn)锳t-A?=10!-9!=9!x（10-l）=9x9!=81x8!,所以A：>A；=81A；,故B正確;