第12講切點(diǎn)弦與中點(diǎn)弦問(wèn)題

【人教A版2019】

1.圓錐曲線的切線和切點(diǎn)弦

(1)切線方程：

過(guò)圓錐曲線A^+Cy+Dx+Ey+F^A.C不全為0)上的點(diǎn)M(xo,yo)的切線的方程為

Axx+Cyy

00+JD￡±ZO+￡Z±>+尸=。

(2)切點(diǎn)弦方程：

當(dāng)M(xo,yo)在曲線外時(shí)，過(guò)M可引該二次曲線的兩條切線，過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的弦所在直線的方程為:

Axx0+Cyy0++F=0

上述兩條為一般結(jié)論.特別地:

22

①對(duì)于橢圓￡+奈=心6>0）,其上有一點(diǎn)M（xo,yo）,則過(guò)該點(diǎn)作切線得到的切線方程答+紫=1.

當(dāng)M在橢圓外時(shí)，過(guò)M引兩條切線得到兩個(gè)切點(diǎn)，則過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的直線方程為答+等=1.

（2）更為一般地，當(dāng)二次曲線有交叉項(xiàng)時(shí)，即圓錐曲線形式為過(guò)點(diǎn)

M（xo,yo）有對(duì)應(yīng)的一條直線為Nxxo+yXoj^++Cyy0+D+E，；+F=0；當(dāng)M在原圓錐

曲線上時(shí)，這條直線為過(guò)M的切線；當(dāng)M在曲線外時(shí)，過(guò)M可引該二次曲線的兩條切線，這條直線為過(guò)

這兩個(gè)切點(diǎn)的弦的直線.

?題型歸納

【題型1圓錐曲線的切線方程的求解】

22

【例1.1］（23-24高二上.江西吉安?期末）已知過(guò)圓錐曲線篙+?=1上一點(diǎn)P（x。,%）的切線方程為崇+乎=

22

1.過(guò)橢圓三+-=1上的點(diǎn)4（3,-1）作橢圓的切線則過(guò)a點(diǎn)且與直線/垂直的直線方程為（）

124

A.%—y—3=0B.x+y-2=0

C.2%+3y—3=0D.3%—y—10=0

【例1.2］（23-24高三上.江西南昌?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，若拋物線C:y2=2p%的準(zhǔn)線與圓

M:（%+l）2+y2=1相切于點(diǎn)直線48與拋物線C切于點(diǎn)8,直線48的方程為（）

A.%+y+2=0B.%—y+2=0

C.%+y+2=。或％—y+2=0D.％+2y+2=0或%—2y+2=0

【變式1.1］（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C：/-2*=1上點(diǎn)p（百,1）.求雙曲線C在點(diǎn)P處的切

線2的方程.

【變式1.2］（23-24高二上.山東青島.期末）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸在拋物線C：必=2pjc（p〉0）上，點(diǎn)

尸為拋物線C的焦點(diǎn)，記P到直線％+2=0的距離為小且d—|PF|=1.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)（0,1）的直線/與拋物線C相切，求直線/的方程.

【題型2圓錐曲線的切點(diǎn)弦問(wèn)題】

【例2.1】（2024.甘肅臨夏.一模）過(guò)點(diǎn)P（-1,2）作兩條直線與拋物線C4=4x相切于點(diǎn)A,B,則弦長(zhǎng)|4B|等

于（）

A.8B.6C.4D.2

【例2.2］（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：/=4y,過(guò)直線】：x+2y=4上的動(dòng)點(diǎn)P可作C的兩條切

線，記切點(diǎn)為4B,則直線4B（）

A.斜率為2B.斜率為±2C.恒過(guò)點(diǎn)（0,-2）D.恒過(guò)點(diǎn)（一1,一2）

【變式2.1］（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P（3,l）作雙曲線C：/_丫2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,

B,求直線A8的方程.

22

【變式2.2］（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系久。了中，已知橢圓。京+琶=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)

與拋物線y2=8&x的焦點(diǎn)重合，且橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為8百.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)P是直線y=-4x+20上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為N,問(wèn)直線

是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

模塊二N圓錐曲線中的中點(diǎn)弦

?知識(shí)梳理

1.直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A（xi,山），3（X2,竺），則稱線段A5為弦，與這條弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題是

一類綜合性很強(qiáng)的問(wèn)題，被稱為中點(diǎn)弦問(wèn)題.

2.中點(diǎn)弦的有關(guān)問(wèn)題解法

解決圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題的常規(guī)思路有兩種：

（1）通過(guò)方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解.

（2）點(diǎn)差法，設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程，得到兩個(gè)等式，兩式相減即得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)P（xo,%）與

它和原點(diǎn)連線的斜率的關(guān)系.

相關(guān)結(jié)論：

①在橢圓中有：當(dāng)X0不為零時(shí)，—kAB=--^2,令左。尸=出,即左”?如3=—%；

XQax（）CL

②在雙曲線中有：當(dāng)X0不為零時(shí)，普如3="；

③在拋物線中有：yokAB=P-

點(diǎn)差法只能用于一類與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題.

3.橢圓的“中點(diǎn)弦問(wèn)題”

（1）解決橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種方法

①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根

與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.

②點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中

點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.

設(shè)/（而,切），8（工2,歹2），代入橢圓方程7"+方=1

①一②可得（』2）-2）+（"+?〃"一"）=0,

ab

設(shè)線段A8的中點(diǎn)為尸（沏,為），當(dāng)兩行2時(shí)，有余+￥=在

因?yàn)槭珿o,/。）為弦48的中點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)尸（沏,"）與直線A8的斜率之間的關(guān)系，這就是處理弦

中點(diǎn)軌跡問(wèn)題的常用方法.

（2）弦的中點(diǎn)與直線的斜率的關(guān)系

線段AB是橢圓三+條=1（。>6>0）的一條弦，當(dāng)弦AB所在直線的斜率存在時(shí)，弦的中點(diǎn)M的坐標(biāo)

為（沏,%），則弦A3所在直線的斜率為-發(fā)，即左皈?MB=-與.

ay（）a

4.雙曲線的“中點(diǎn)弦問(wèn)題”

“設(shè)而不求”法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題：

①過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，使這點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的

這類問(wèn)題中，則不能確定.要注意檢驗(yàn).

②在解決此類問(wèn)題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.常用的解題技巧是如何應(yīng)用直線方程將

為外轉(zhuǎn)化為能用韋達(dá)定理直接代換的4+X2,而X2.垂直關(guān)系有時(shí)用向量的數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫，要注意轉(zhuǎn)化.

?題型歸納

【題型3橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題】

【例3.1】（2024.安徽蕪湖?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓9+1=1,一組斜率前勺平行直線與橢圓相交，則這些直線

被橢圓截得的段的中點(diǎn)所在的直線方程為（）

A.y=B.y=—2xC.y=—D.y=2x

【例3.2］（23-24高二上?山西太原?期末）在橢圓［+1=1中，以點(diǎn)M（2,|）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為

（）

A.%—2y+1=0B.3%—4y=0

C.3x+4y—12=0D.8%—6y—25=0

【變式3.1］（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知橢圓5/+9V=45,橢圓的右焦點(diǎn)為F.

（1）求過(guò)點(diǎn)尸且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)；

（2）判斷點(diǎn)4（1,1）與橢圓的位置關(guān)系，并求以4為中點(diǎn)的橢圓的弦所在的直線方程.

22

【變式3.2］（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓l（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y?=4x的

焦點(diǎn)重合，離心率為也

（1）求橢圓C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)F（-*0）作斜率為|的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，求弦PQ中點(diǎn)坐標(biāo).

【題型4雙曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題】

【例4.1］（23-24高二上?天津和平?期末）直線/與雙曲線/一9=1交于A,8兩點(diǎn)，線段A8的中點(diǎn)為點(diǎn)

M(—1,—4),則直線/的斜率為()

4499

A.--B.-C.--D.-

9944

22

【例4.2](23-24高三上?內(nèi)蒙古呼和浩特?開學(xué)考試)設(shè)A,8為雙曲線千—±=1上的兩點(diǎn)，若線段的

o16

中點(diǎn)為M(l,2),則直線A3的方程是()

A.x+y-3=0B.2%+y—3=0C.%—y+1=0D.%—2y+3=0

22

【變式4.11(23-24高二上?陜西寶雞?期末)已知雙曲線C+—a=l(a>0,b>0)的漸近線方程是y=±2%,

實(shí)軸長(zhǎng)為2.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若直線[與雙曲線C交于4B兩點(diǎn)，線段4B的中點(diǎn)為M(3,2),求直線I的斜率.

【變式4.2](2024高三下.全國(guó).專題練習(xí))已知雙曲線廣亍-y2=1的左右頂點(diǎn)分別為&、

(1)求以41、4為焦點(diǎn)，離心率為1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線1過(guò)點(diǎn)C(l,l)與雙曲線「交于4B兩點(diǎn)，若點(diǎn)C恰為弦AB的中點(diǎn)，求出直線/的方程；

【題型5拋物線的中點(diǎn)弦問(wèn)題】

【例5.1X23-24高二下?云南曲靖?期末)已知直線咬拋物線C:/=—18丫于股可兩點(diǎn),且〃%的中點(diǎn)為(3,—2),

則直線[的斜率為()

A.-3B.--C.-D.--

693

【例5.2】(23-24高三下?安徽?開學(xué)考試)已知拋物線C:/=2py(p>0)的準(zhǔn)線為、=-2,點(diǎn)PQ在拋物線

C上，且線段PQ的中點(diǎn)為(-2,4),則直線PQ的方程為()

A.%+2y-6=0B.%+3y—10=0

C.2x+y=0D.2%+3y—8=0

【變式5.1](2024?陜西渭南.模擬預(yù)測(cè))己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)

A(x0,2p)在C上,且sin〃MF=等.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知直線/交C于M,N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)為(2,1),求直線/的方程.

【變式5.2](23-24高二下.四川雅安.開學(xué)考試)設(shè)拋物線C:/=—2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,4(%。,—9)是拋

物線C上的點(diǎn),S.\AF\=15.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知直線/交拋物線C于M,N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)為(-2,-11),求直線/的方程.

1.圓錐曲線焦點(diǎn)弦求解策略：

(1)兩焦半徑之和(之差)；

(2)“弦長(zhǎng)”公式;

(3)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，焦點(diǎn)弦|AB|=?呷徑，。為直線的傾斜角;

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，焦點(diǎn)弦|AB|=I】_.徑可，。為直線的傾斜角.

1esin\j

2.橢圓的焦點(diǎn)弦

弦長(zhǎng)：(1)兩焦半徑之和；

⑵“弦長(zhǎng)”公式；

r\12

(3)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，區(qū)耳=礙鬲后最喃，。為直線的傾斜角.

2b2

通徑:

3.雙曲線的焦點(diǎn)弦

弦長(zhǎng)：（1）兩焦半徑之和或之差；

⑵“弦長(zhǎng)”公式；

0入2

（3）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，科目=萬(wàn)飛而司，，為直線的傾斜角.

通徑：岑.

4.拋物線的焦點(diǎn)弦

弦長(zhǎng)：（1）兩焦半徑之和或之差；

（2）“弦長(zhǎng)”公式：拋物線產(chǎn)2Pxs>0）上一點(diǎn)A（x°,珀與焦點(diǎn)F（g,0）的距離為四|=x0+g若MN為拋

物線了2=2?0>0）的焦點(diǎn)弦，則焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為|肱7|=左1+尤2+。（尤1戶2分別為MN的橫坐標(biāo)）.

設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為45,%）,3（元2,外），則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的弦長(zhǎng)公式為：

標(biāo)準(zhǔn)方程弦長(zhǎng)公式

y2=2px(p>0)\AB\=x\+x2+p

y2=-2px(p>0)\AB\=p-(xi+x2)

x2=2py(p>0)\AB\=y\^yi+p

x2=-2py(p>Q)\AB\=p-(yi+y2)

⑶當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，|AB|=si^,。為直線的傾斜角.

通徑：2p.

?題型歸納

【題型6橢圓的焦點(diǎn)弦問(wèn)題】

【例6.1]（23-24高三上.浙江?期末）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:9+?=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸1、F2,P為

第一象限內(nèi)C上一點(diǎn).若IP&I=2|PFzl，則直線OP的斜率為（）

A.—B.—C.—D.V15

774

【例6.2X2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知斜率不為0的直線1過(guò)橢圓。:三+*=1的左焦點(diǎn)尸且交橢圓于4,

B兩點(diǎn)，y軸上的點(diǎn)M滿足*=\MB\,則需的取值范圍為（）

A.弓，爭(zhēng)B.（?，爭(zhēng)C.玲，|）D.[V2,+8）

【變式6.1]（2024?青海玉樹?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓（7:?+《=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F>F2,過(guò)

尸2的直線咬C于4、B兩點(diǎn)（不同于左、右頂點(diǎn)），UBR的周長(zhǎng)為4VL且（日,-?）在C上.

⑴求C的方程；

（2）若?陽(yáng)&|=三,求直線/的方程.

22

【變式6.2]（23-24高三下.江西.階段練習(xí)）已知橢圓后展+琶=l（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)分別為0,F2,

E的離心率為弓，斜率為左的直線/過(guò)E的左焦點(diǎn)，且直線/與橢圓E相交于A,8兩點(diǎn).

⑴若k=1,\AB\=I，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若船=5,fc<0,求A的值.

【題型7雙曲線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題】

【例7.1]（23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）過(guò)雙曲線/—4=1的右焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于4B兩點(diǎn)，若

\AB\=16,則這樣的直線有（）

A.一條B.兩條

C.三條D.四條

【例7.2]（23-24高三上?湖北武漢?開學(xué)考試）設(shè)雙曲線%/-9=1的左右焦點(diǎn)為F],F2,左頂點(diǎn)為4點(diǎn)

“是雙曲線E在第一象限中內(nèi)的一點(diǎn)，直線M0交雙曲線E的左支于點(diǎn)N,若NA"MFz，貝“MFzl=（）

A.-B.-C.-D.—

4234

22

【變式7.1]（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）設(shè)雙曲線靠—l（a>0,6>0）,其中兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為&（

-C,0),F2(C,0),經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于A、8兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)

【變式7.2](23-24高二上?內(nèi)蒙古包頭?階段練習(xí))已知雙曲線/一步=1,&分別是雙曲線的左、右

焦點(diǎn).

⑴尸為雙曲線上一點(diǎn)，^F1PF2=120°.①求AFiPF2的面積；②求IPF1I+IPF2I的值.

(2)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)尸2且傾斜角為60。的直線與雙曲線交于4,B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|4B|的值.

【題型8拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題】

【例8.1](24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知P(4,4)是拋物線C:*=2Px(p>0)上一點(diǎn)，過(guò)C的焦點(diǎn)F的

直線[與C交于4B兩點(diǎn)，則+4|BF|的最小值為()

A.6B.7C.8D.9

【例8.21(24-25高三上?廣東?開學(xué)考試)已知拋物線C:y2=2Pxe>0)的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線1交C于M,N

兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)為E,過(guò)E作線段MN的中垂線交x軸于點(diǎn)R,過(guò)M,N兩點(diǎn)分別作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足

分別為4B.線段4B的中點(diǎn)為P,則篙=()

11

A.1B.-C.2D.-

23

【變式8.1](23-24高二下?云南保山?階段練習(xí))已知點(diǎn)F是拋物線C:y2=4%的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線/交拋物

線C于RQ兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴證明：Q,O,M三點(diǎn)共線；

(2)若方=16而，求直線/的方程.

【變式8.2］（23-24高二上?遼寧?期末）已知拋物線C：x2=4y,過(guò)點(diǎn)P（1,O）作直線

（1）若直線2的斜率存在，且與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線/的方程.

（2）若直線2過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F,且交拋物線C于4,B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|4B|.

A課后提施（19題）

一、單選題

1.（23-24高二?全國(guó)?課后作業(yè)）過(guò)橢圓9+?=1的焦點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦的長(zhǎng)分別為（）

A.8、6B.4、3C.2、V3D.4、2百

2.（23-24高二上.湖北武漢?期中）過(guò)點(diǎn)（4,3舊）作直線，使它與雙曲線9=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的

直線有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

3.（23-24高二上?新疆?期末）已知直線/與拋物線C:y=2/相交于力1兩點(diǎn)，若線段4B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）,

則直線1的方程為（）

A.4%—y=0B.2x—y=0

C.8x—y-6=0D.%—2y+3=0

4.（23-24高二上.天津階段練習(xí)）已知M（4,2）是直線/被橢圓/+4y2=36所截得的線段AB的中點(diǎn)，則

直線/的方程為（）

A.2x+y-8=0B.x+2y—8=0C.x—2y—8=0D.2x—y-8=0

5.（2024.河南焦作.模擬預(yù)測(cè)）己知直線y=x—1交曲線C:y2=4x于4,B兩點(diǎn)（點(diǎn)4在點(diǎn)B的上方）,F為

C的焦點(diǎn)，則鼻=（）

A.2V3B.2V2C.2D.V2

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6.（23-24高二.全國(guó).課后作業(yè)）過(guò)雙曲線器-拳=l（a>0）的右焦點(diǎn)F作直線I與雙曲線交于4,B兩點(diǎn)，使

得|48|=6,若這樣的直線有且只有兩條，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,1]U(3,+oo)B.(0,1)U(3,+oo)

C.(0,1)D.(3,+8)

7.（23-24高二上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）雙曲線1左右焦點(diǎn)分別為尸2,過(guò)點(diǎn)尸2直線k與雙曲線右

支交于48兩點(diǎn)，弦4B的中垂線交工軸于P,若|AB|=|PF2|,則該雙曲線漸近線方程為（）

A.%±2y=0B.2%±y=0C.V3x±y=0D.x±V3y=0

8.（23-24高三下.河南.階段練習(xí)）己知橢圓C:/+q=1,離心率為過(guò)P（l,2）的直線分別與C相切于4

2

B兩點(diǎn)，則直線4B方程為（）

A.尤+y—1=0或x+4y—1=0B.x+4y-1=0

C.x+y-1=0D.久+y+1=0或x+4y-1=0

二、多選題

9.（23-24高二下.湖南?期末）已知拋物線C:y2=4x,直線1過(guò)C的焦點(diǎn)F,且與C交于M,N兩點(diǎn)，則（）

A.C的準(zhǔn)線方程為x=-2

B.線段MN的長(zhǎng)度的最小值為4

C.存在唯一直線使得F為線段MN的中點(diǎn)

D.以線段MN為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切

10.（23-24高二上?山西呂梁?期中）已知雙曲線E過(guò)點(diǎn)（一2,3金）且與雙曲線?一?=1共漸近線，直線/與

雙曲線E交于4B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)4B且與雙曲線E相切的兩條直線交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論正確的是（）

A.雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是［—1

818

B.若4B的中點(diǎn)為（1,4）,則直線1的方程為9x—16y+55=0

C.若點(diǎn)4的坐標(biāo)為Oi，%），則直線4P的方程為9%6-4yly+36=0

D.若點(diǎn)P在直線3x—4y+6=0上運(yùn)動(dòng)，則直線計(jì)亙過(guò)點(diǎn)（3,6）

11.（23-24高二上.浙江杭州?期中）設(shè)橢圓的方程為［+?=1,斜率為左的直線/不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。，且與橢

圓相交于A,2兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，則（）

A.kAB,k0M=-1

B.若則直線/的方程為2%+y—3=0

C.若直線/的方程為y=x+2,則

D.若直線/的方程為、=久+2,則|力用=?

三、填空題

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12.(23-24高二下?甘肅白銀?期末)已知雙曲線過(guò)點(diǎn)P