青海省西寧市第十四中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知直線/過(guò)直線％->+2=。和2%+y+l=0的交點(diǎn)，且與直線1-3歹+2=0垂直，貝直線/的

方程為（）

A.+y+2=0B.J%—y+2=u

C.%+3y+2=0D.x—3y+2—0

2.在等比數(shù)列｛%｝中，若9ali=81,則=（）

A.6B.9C.±6D.±9

22

3.以橢圓土+二=1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為焦點(diǎn)、以橢圓焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線方程為（）

84

22

A.----------=1D.----------=1C.---v2=lD.--一v2=l

44844"8"

4.如圖所示，438-44GA為正方體，給出以下四個(gè)結(jié)論：①平面C4A；②直

線用C與2。所成的角為60。；③二面角c-耳2-G的正切值是百；④NG與底面/BCD

所成角的正切值是收；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）

C.①②④D.①②

5.已知數(shù)列｛%｝滿足%=2,。用=產(chǎn)

則數(shù)列｛〃〃｝前2025項(xiàng)的積為（）

1一凡

1

A.2B.3C.——D.6

2

22

6.已知雙曲線、-2=1（°>0/>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳耳，且寓閭=2,當(dāng)點(diǎn)用到漸

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

近線的距離為g時(shí)，該雙曲線的離心率e為（）

A.—B.-C.2+6D.—

333

7.已知直線x-島+8=0和圓工2+必=/">（））相交于48兩點(diǎn).若|/⑼=6,貝>的值為

（）

A.3B.V3

C.5D.V5

8.已知橢圓C：土+L=1（加>0且〃zw6）,直線x+3.y-4=0與橢圓C相交于4,2兩

6m

點(diǎn)，若（1,1）是線段的中點(diǎn)，則橢圓的焦距為（）

A.2B.4C.272D.行

二、多選題

9.已知等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S"，若S8>0,S9<0,則下列選項(xiàng)正確的有（）

A.%〉。

B.%〉。

C.｛%｝中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為出

D.數(shù)列｛，｝的前〃項(xiàng)和7；最大項(xiàng)為錄

10.已知拋物線C:/=4y的焦點(diǎn)為己O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M（%,%）在拋物線C上，若|九值|=5,

則（）

A.尸的坐標(biāo)為（1,0）B.%=4

C.\OM\=245D.S,OFM=2

I1.已知圓C：（x+2y+y2=4,直線/：M+x+2y-l+m=0（“e&）.則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)加=0時(shí)，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1

B.對(duì)于任意實(shí)數(shù)〃?，直線/恒過(guò)定點(diǎn)1）

C.若圓C與圓x2+j?一2x+8y+a=0恰有三條公切線，貝h=8

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

D.若動(dòng)點(diǎn)。在圓C上，點(diǎn)￡(2,4),則線段中點(diǎn)M的軌跡方程為/+(y-2)2=l

三、填空題

12.若5是。與，的等差中項(xiàng)，3是。與6的等比中項(xiàng)，貝!!/+〃=.

13.己知產(chǎn)為圓(x+l)2+V=1上任意一點(diǎn)，A,B為直線3x+4y-7=0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

\AB|=2,則面積的取值范圍是.

14.如圖，在正四面體0/8C中，E,尸分別為4B,0c的中點(diǎn)，則無(wú)與前的夾角的余

弦值為.

四、解答題

15.如圖，在四棱錐P-/8CD中，底面48CD為正方形，PAABCD,PA=AB=2,

點(diǎn)、M、N分別為AP、BC的中點(diǎn).

(1)證明：直線AGV〃平面尸8；

⑵求點(diǎn)B到平面MND的距離.

16.已知圓Af一qx-2ay-40=0的圓心在直線x-_y+1=0上，直線/:y=x+6.

⑴求。的值；

(2)求圓M關(guān)于直線/對(duì)稱的圓AT的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑶過(guò)(2)中的點(diǎn)AT作圓M的切線機(jī)，求直線加的一般式方程.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

22

17.已知橢圓氏"+勺=1k>6>0),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為橢圓上任意一點(diǎn)，K，月分別

ab

為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且其離心率為孝，過(guò)點(diǎn)M(O,1)的動(dòng)直線/與橢圓相交于A,

B兩點(diǎn).

(1)求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵當(dāng)手時(shí)，求直線/的方程

18.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S",且邑=452，a2n=2an+l.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列｛2｝滿足2+&+…+%=1-5,“eN*,求抄“｝的前〃項(xiàng)和北.

19.如圖，/BCD為圓柱0(7的軸截面，￡下是圓柱上異于的母線.

Q)若AB=BC=&,當(dāng)三棱錐8-DE■尸的體積最大時(shí)，求二面角3-。尸-E的正弦值.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《青海省西寧市第十四中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)12345678910

答案ABADADCBBCDBD

題號(hào)11

答案BCD

1.A

【分析】聯(lián)立兩直線方程求得交點(diǎn)，再由已知直線方程求出所求直線的斜率，代入直線方程

的點(diǎn)斜式得答案.

x-y+2=0

【詳解】聯(lián)立,解得

2x+j+1=0

直線x-y+2=0和2x+y+l=0的交點(diǎn)為(-1,1),

又直線I和直線x-3y+2=0垂直，

...直線/的斜率為-3.

則直線/的方程為y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.

故選：A.

2.B

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】在等比數(shù)列｛%｝中，若。=81,則%。7a9%1=(%%5)2=81，

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得。嗎$=d>0，故%%5=9.

故選：B.

3.A

【分析】確定雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，進(jìn)而可得雙曲線方程.

22

【詳解】橢圓(+?=1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為卜2亞,0),(2在0),

橢圓焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0),

即雙曲線的焦點(diǎn)為卜2亞,0),(260),頂點(diǎn)為(-2,0),(2,0),

所以雙曲線方程為工-上=1.

44

故選：A.

4.D

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

【分析】逐一分析選項(xiàng)，①根據(jù)線面垂直的判斷定理證明；②根據(jù)3。//耳2,異面直線與。

與瓦）所成的角是/。聲。；③NCOG是二面角c-4〃-G的平面角，直接求

tanZCOQ與底面ABCD所成角是NC/C.

【詳解】①連接4G，

BQ1±4G,BQ】_LAAX,

/.BXDXJ_平面441G，

,BQ、±AC{,

同理：BXCLACX,BiD、cB]C=B],

.?./GJ_平面CBQ,故①正確；

②：BD//4A，異面直線B、c與BD所成的角是/口2?；蚱溲a(bǔ)角，

.?.四。“是等邊三角形，

ZD^C=60°,故②正確;

③4Gn42=。，連接oc,/coq是二面角。一4〃一G的平面角，

tan/COG=血,故③不正確；

④??,CC1_L平面48CD,

NC/C是與底面/反力所成角，

【點(diǎn)睛】本題考查幾何體中的線線，線面位置關(guān)系的判斷，意在考查空間想象能力，邏輯推

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

理能力，屬于基礎(chǔ)題型.

5.A

【分析】求出數(shù)列的一個(gè)周期為4,且。1的%g=1，從而得到數(shù)列｛%｝前2025項(xiàng)的積.

1+Q11+2.1+。2_1一3_1

【詳解】因?yàn)閝=2,所以出=二=二=一3

l-a2-1+3-2

1?1——11?]+—

1+%_2-1"_1+。4-3-

--------------：------,a5--------------------9z

1-。31+131-?41-1

23

故｛6｝為一個(gè)周期為4的數(shù)列,

其中可〃2〃3〃4=2x(-3)X

因?yàn)?025=4x506+1,所以數(shù)列應(yīng)｝前2025項(xiàng)的積為I506x4=2.

故選：A

6.D

【分析】由雙曲線寫(xiě)出漸近線和焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到線距離公式列方程可得6=g,再由雙

曲線參數(shù)關(guān)系及離心率公式求結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)可得雙曲線漸近線為笈±@=0,且8(c,0),

be1i_____6

所以，3+萬(wàn)=5,即6=：，又由用=2c=2nc=l,所以a=〃2-7=浮,

所以e=￡=拽.

a3

故選：D

7.C

AB

【分析】求出圓心到直線的距離d,再利用產(chǎn)\+d2,化簡(jiǎn)求值,即可得到答案.

【詳解】圓一+/=’(>>0)的圓心為(0,0),圓心到直線的距離公式為

-.'IAB1=6

故r=-\/32+42=5

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

故選：c.

8.B

【分析】根據(jù)點(diǎn)差法求解中點(diǎn)弦問(wèn)題求解即可.

【詳解】設(shè)）（再,%），8（%，%），則再+*2=必+%=2,

2222

將/,3的坐標(biāo)代入橢圓方程得：士+里=1,、+二=1,

6m6m

2_22_2

兩式相減，得：西一如+-=0,

6m

次（再+%2）

變形為"也

再—x26（%+%）

又直線"2的斜率為二:一!'所以一丁一痣,即機(jī)=2,

因此橢圓的焦距為2）6—加=4，

故選：B.

9.BCD

【分析】由題設(shè)可得；〃4+4〉0,結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)判斷A、B、C；再由S”的正負(fù)分界點(diǎn),

判斷北最大項(xiàng)判斷D.

4(%+%)=4(%+%)>0

由題意,9,、門(mén)C

【詳解】可得

一⑷+初=9%<0%<0

、2

所以〃4>0,%<0，&+〃5<0，B正確，A錯(cuò)誤;

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,

貝"<0,%>0,

所以｛。"｝為遞減數(shù)列，且。4>°，?4>~a5>即

且當(dāng)“V4時(shí)，|%|單調(diào)遞減，當(dāng)”25時(shí)，單調(diào)遞增，

所以｛%｝中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為。5，故C對(duì)；

因?yàn)楫?dāng)"V4時(shí)，??>0,當(dāng)"25時(shí)，a?<0,Sg>0,S9<0,

所以￡的前8項(xiàng)為正，第9項(xiàng)開(kāi)始均為負(fù),

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

故(最大項(xiàng)為4，D對(duì).

故選：BCD

10.BD

【分析】根據(jù)拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及拋物線的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】由拋物線C:/=4＞，可得。=2,所以]=1,且焦點(diǎn)在y軸正半軸上，

則焦點(diǎn)尸(0』)，所以A錯(cuò)誤；

由拋物線的定義可得|九固=%+1=5,解得%=4,所以B正確；

由乂)=4,可得x：=16,所以七=±4,則|0叫=&+"=4行,所以C不正確；

由凡?？?|x0|=2,所以D正確.

故選：BD.

II.BCD

【分析】對(duì)于A,通過(guò)計(jì)算圓心到直線的距離進(jìn)行分析即可，對(duì)于B,對(duì)直線方程變形求解

即可，對(duì)于C,由兩圓有3條公切線可得兩圓相外切，從而可求出。的值，對(duì)于D,設(shè)DE的

中點(diǎn)為(xj),則可得動(dòng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2x-2,2y-4)代入圓C方程中化簡(jiǎn)可得答案

【詳解】對(duì)于A,圓C:(x+2)2+/=4的圓心為(-2,0),半徑『=2,當(dāng)加=0時(shí)，直線

l-.x+2y-l=0,則圓心c到直線/的距離為d=上翌=述，因?yàn)?一還＜1,所以圓C

V555

上只有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1,所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,由加x+x+2y—l+加=0的￡尺)，得冽(x+l)+(x+2y—l)=0,由于加ER,所以

[x+1-0fx=—1

cI八，得〔，所以直線/恒點(diǎn)(T1)，所以B正確，

[x+2y-l=0['=1

對(duì)于C,因?yàn)閳A。與圓x2+j?-2x+8y+a=0恰有三條公切線，所以兩圓相外切，由

x2+j；2-2x+8y+tz=0,得(x-l)，+(y+4)?=17-。，所以J(-2-廳+(0+45=5=J17-O+2,

解得。=8,所以C正確，

對(duì)于D,設(shè)DE1的中點(diǎn)為(x,y),則可得動(dòng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2x-2,2y-4),因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)D在圓C

上，所以(2x-2+2y+(2y-4y=4,化簡(jiǎn)得/+°；_2)2=1,所以線段DE中點(diǎn)M的軌跡方

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

程為*+（y-2）2=1,所以D正確,

故選：BCD

12.82

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的定義列式計(jì)算即可.

【詳解】由已知。+6=10,ab=9,

所以/+〃玉+萬(wàn)族-2ab=100-18=82.

故答案為：82.

13.[1,3]

【解析】AP/3底|/切=2,高為點(diǎn)P到直線3x+4y-7=0的距離，所以只需求出點(diǎn)尸到直

線3x+4y—7=0的距離的范圍即可.

【詳解】解：圓心到直線的距離為士4=2>1,所以圓與直線相離，

5

則圓上一點(diǎn)P到直線3x+4y-7=0的距離d的范圍為[1,3],

又|，5|=2,所以△尸的面積；x2xl〈S（；x2x3,即SE[1,3],

故答案為：[1,3]

【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓上的點(diǎn)到直線的距離，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,

屬于中檔題.

2

14.——

3

【分析】利用正四面體的性質(zhì)、向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得解.

【詳解】解：設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為1,

設(shè)a=7,OB=b^^=~c，貝電卜國(guó)川=1,

ZAOB=ZBOC=ZAOC=60°,

rr|r||ri1「r百田1rr田內(nèi)i

a-b=|<2|HcosNAOB=—,b-c=|/）||c|cosNBOC=—,c-a=|c||（7|cosZ.AOC=—.

?；E,b分別為45,OC的中點(diǎn)，△045,△OBC是等邊三角形，

：.OE=^+b）,BF=OF-OB=^c-b,\OE\=^F\=^,

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

OEBF

CQS(OE.BF^=

1一一1三一1一五1112

-a-c+—b'C-----a'b---p。

,4422門(mén)=2

-23,

4

???瓦與麗的夾角的余弦值為-：2.

2

故答案為：-

15.（1）證明見(jiàn)解析

⑵①

21

【分析】（1）取尸。中點(diǎn)。，利用平行的傳遞性構(gòu)建平行四邊形MQCN,證得“N//C。，則

直線MNH平面PCD可證.

（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面法向量，直線的方向向量，利用點(diǎn)到平面

的距離公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）證明：取尸D中點(diǎn)。,

MQHAD,MQ=；AD=1

,?,點(diǎn)均為中點(diǎn),

又正方形中NCIIAD,NC=1,MQ//NC,MQ=NC,

.??四邊形MQCN為平行四邊形，,MN//C。，

又MTV平面PCD,C0u平面PCD,

直線MV〃平面PC。；

（2）因?yàn)槠矫?8cZ）為正方形，且尸/,底面/BCD,

所以AB,AD,AP兩兩互相垂直，

所以分別以/B,AD,/尸為x，F(xiàn)，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

Z/

則有“(0,0,1)8(2,0,0),。(0,2,0),N(2,1,0),

可得加=(0,2,-1),麗=(2-1,0),W=0,1,0),

設(shè)平面A/ND的法向量為〃=(xj,z),

nMD=02y-z=0

則有《即

心面=02x-y=0

令X=l,得萬(wàn)=(1,2,4),

\BN-n\|(0,1,0)-(1,2,4)|^2721

所以點(diǎn)3到平面MND的距離d=

網(wǎng).同V2121

則點(diǎn)B到平面MND的距離為名包.

21

16.⑴a=2

(2)(x+4)2+(y-7)2=45.

(3)2x—y+15=0x—2,y+18—0.

【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程確定圓心，結(jié)合點(diǎn)在直線上，列方程解方程;

（2）設(shè)％）,根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，列方程，解方程即可；

（3）設(shè)點(diǎn)斜式方程，由直線與圓相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離列方程，解方程.

【詳解】（1）由已知圓A/:x?+y2-ox-2ay-40=0,

則圓心”[■I，。],

又圓心M在直線x-y+1=0上，

BP--a+l=0,解得a=2；

2

（2）由（1）得圓“：/+/一2苫一4>一40=0,即（x-l）2+（y-2『=45,

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

即可(1,2),半徑-3囪，

設(shè)"'(七,%),則m以中點(diǎn)為(號(hào)上當(dāng)了］，且七”=比二1，

I22)/T

%+2Jo+1?6

所以由對(duì)稱可知,

歹0—2

/一1

%=-4

乂二7

即”(-4,7),

所以圓”(x+47+(廣7『=45；

(3)根據(jù)題意可得直線加的斜率存在,

則可設(shè)直線m的方程為＞-7=Mx+4),

BPkx—y+4左+7=0,

解得k=2或k=；,

故直線機(jī)的方程為y_7=2(x+4)或了-7=；(x+4),

即一般式方程為2x-y+15=0或x-2y+18=0.

【解析】(1)首先根據(jù)題意得到-=一，，再解方程組即可得到答案.

a2

(2)首先設(shè)出直線方程y三丘+1,與橢圓聯(lián)立，利用根系關(guān)系和弦長(zhǎng)公式即可得到方程

4左J5/+1=0,再解方程即可得到答案.

【詳解】(1)由題意知

解得/=4,b2=2.

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為?。綥

（2）當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，|/a=20，不符合題意.

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y三6+1,

f22

土匕=]

聯(lián)立＜42,得（2左之+1）/+4區(qū)—2=0,

y=kx+\

其判別式A=（4左/+8（2左2+1）=8（4左2+1）＞0,

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)分別為（玉,無(wú)）,（巧，%），則%+，2=

A,82^TT,12--2F71,

4卡

所以\AB\=J1+42)2―4上科2=/+左2?2行+1=

:k~T~

整理得4左4一5〃+1=。，解得〃=1或左

所以左=±1或左=士;.

綜上，直線/的方程為尸±x+l或k土;x+1.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查直線與橢圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，本題中將直線方程代入橢圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程，再利根系關(guān)系和弦長(zhǎng)公式得到所求的等量關(guān)系為解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能

力，屬于中檔題.

18.⑴%=2〃-1；

STa2〃+3

(2)(=3--—

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛&｝的首項(xiàng)為4,公差為d,由基本量法列方程組解得qS,得通

項(xiàng)公式;

（2）求出通項(xiàng)公式“，用錯(cuò)位相減法求和.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為3,公差為d.

4〃]+6d=8al+4d

由J=4s2,a=2a+1得

2nn%+(2n-l)d=2q+2(〃-l)d+1'

%—1

解得

d=2

所以%=l+2(/?-l)=2n-l；

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

byb.b,1

(2)由」+工+一葉n二=1—菽,%N可得

axa2an2

」b、1

當(dāng)r〃=1時(shí)，—=-,

ax2

當(dāng)“22時(shí)，2=1一:一［1一苴］二:，

所以《=5'"eN*，4=；xq“=^pl,"eN*,

un乙乙

DT1352n-l

又看=5+合+夢(mèng)+…+h

11352n—321

-~T-lT~lT+…-!--------------1---;-

22223242n2〃+i

兩式相減得

IT1(2222、2〃T31

22(2223242"J2"422"-2"」

所以北=3-絲

19.（1）證明見(jiàn)解析

（2）f

【分析】（1）先證明/E7力是平行四邊形，再結(jié)合圓柱的性質(zhì)得到平面。斯；

（2）利用等積轉(zhuǎn)換知識(shí)結(jié)合圓柱的性質(zhì)先找到體積最大值時(shí)好的相對(duì)位置，再找出

二面角的平面角或利用空間向量求得二面角的大小.

【詳解】（1）證明：如圖，連接NE,由題意知為。。的直徑，所以/ELBE.因?yàn)轷?/p>

是圓柱的母線,

所以/?！ㄋ?。=斯，所以四邊形NE