猜想08銳角三角函數(shù)（易錯(cuò)必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

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銳角三角函數(shù)的定義（共4小題）二.同角三角函數(shù)的關(guān)系（共2小題）

三.特殊角的三角函數(shù)值（共5小題）四.解直角三角形（共4小題）

五.解直角三角形的應(yīng)用（共2小題）六.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共9小題）

七.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共4小題）

?題型通關(guān)專訓(xùn)?

銳角三角函數(shù)的定義（共4小題）

1.（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）在中，ZC=90°,AB=5,BC=3,則tan4的值是（）

A.AB.Ac.3D.3

5354

【分析】先在中，利用勾股定理求出/C的長，再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：；/。=90°,48=5,BC=3,

?'?^C=VAB2-BC2=752-32=4,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?太倉市期末）在RtZX/BC中，ZC=90°,AB=4,/C=3,那么cos/的值是（）

A.3B.近_c.3D.A

5443

【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：在Rt^A8C中，ZC=90°,48=4,』C=3,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）在Rt448C中，ZC=90°,AB=\3,CB=5,的余弦值為一旦

【分析】在中，利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：在RtZ\48C中，ZC=90°,AB=13,CB=5,

BC5

??cosB

AB13,

故答案為：_L.

13

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?濟(jì)南期末）如圖，己知RtZUBC中，/C=90°,/C=3,BC=4,則sin5=_m

5

【分析】先根據(jù)已知條件，得出Z8的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出本題的答案.

【解答】解：在Rt448C中，/C=3,BC=4,

*.AB=5,

.?.sin3=^^=2

AB5

故答案為：1.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，在解題時(shí)要根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義找出相應(yīng)的對(duì)應(yīng)邊

是解題的關(guān)鍵.

二.同角三角函數(shù)的關(guān)系（共2小題）

5.（2022秋?西安期末）在RtZUBC中，ZC=90°,BC=3,sinA=3，則taiL4=（）

5

B-1c-4D-i

【分析】在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出/3=5,然后利用勾股定理求出/C=4,最后利

用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：在RtZ\48C中，ZC=90°,BC=3,inA=—'

s5

.,BC3.

.,ABD==—=5,

tanA3

5

二/0=VAB2-BC2=V52-32=4,

..BC3

..taih4A=■=—=—，

AC4

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?興化市期末）在△/8C中，NC=90°,taih4=2,則siiL4的值為（）

A.恒B.2疾C.4D.2

552

【分析】先利用正切的定義得到tan/l=器=2,則設(shè)/C=x,BC=2x,利用勾股定理表示出=

然后利用正弦的定義求解.

【解答】解：如圖：

B

?'?^=7BC2+AC2=V5^

ABV5x5

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系：利用一個(gè)銳角的一個(gè)三角函數(shù)值表示出邊之間的關(guān)系，再利

用勾股定理表示出第三邊，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求這個(gè)角的另兩個(gè)三角函數(shù)值.

三.特殊角的三角函數(shù)值（共5小題）

7.（2022秋?云州區(qū)期末）已知Na為銳角，且sina=1,則/a=（）

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，判斷即可.

【解答】解：為銳角，且sina=YL

2

Za=60°，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

8.（2022秋?關(guān)B州期末）若sin（x+15°）=乂3,則銳角x=45°.

2

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可解答.

【解答】解：?.,sin（x+15°）

2

/.x+15°=60°,

解得：x=45°,

故答案為：45.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

9.（2022秋?永定區(qū)期末）ZUBC中，/A,都是銳角，若coS=1,tanS=1,則/C=105°.

2

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得/N=30°,Z5=45°,然后利用三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計(jì)算

即可解答.

【解答］解：cosA—^1-,tanB=l,

2

.?.//=30°,ZB=45°,

；.NC=180°--ZB=105",

故答案為：105°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

10.（2022秋?甘井子區(qū)校級(jí)期末）J5cos45°tan45°=1.

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：V2cos45°tan45°

=近又返-義1

2

=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

11.（2023春?朝陽區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：2cos30°-tan600+tan45°sin600?

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：2cos30°-tan60°+tan45°/sin60°

=2X--遙+1--

222

=Vs-V3+1-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

四.解直角三角形（共4小題）

12.（2022秋?承德縣期末）如圖，在中，ZBAC^9Q°,4D_L3c于點(diǎn)。，下列結(jié)論正確的是

ACDCBCAB

【分析】根據(jù)垂直定義可得//DB=/NDC=90°,然后在Rt^/DC中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可

判斷/,B,再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可判斷C,最后利用同角的余角相等可得NC

=/BAD,從而在中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出cos/B/D=坦，即可判斷。.

AB

【解答】解：

；.N4DB=NADC=90°,

在RtZ\4DC中，cosC=%，tanC=35>,

ACCD

故/、3不符合題意；

在RtZ\A4c中，sinC=-^.,

BC

故。符合題意；

VZB+ZBAD=9Q°,/B+/C=90°,

：.ZC=ZBAD,

在RtABAD中，cosZBAD=^-,

AB

cosC—cos/BAD=-^5-,

AB

故。不符合題意；

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

13.（2022秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△/BC中，ZABC=45a,NACB=30°,48=4,則/C=4\萬

【分析】過點(diǎn)N作垂足為。，在Rt^/5D中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出/￡>的長，然后

在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：過點(diǎn)/作垂足為D,

在RtZ\/8￡>中，ZABC=45°,AB=4,

；.4D=4B,sin45°=4X也=2近,

2

在RtZXADC中，ZACB=30°,

：.AC=2AD=4\）^2,

故答案為：4版.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

14.（2022秋?煙臺(tái)期末）如圖，將△/BC放在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)4,B,C在格點(diǎn)上,

則tan5=_工:_.

一2―

【分析】先利用勾股定理的逆定理證明△NBC是直角三角形，從而可得/A4c=90°,然后在

中，利用銳角三角函數(shù)是定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：由題意得：

AB2=22+22=S,

3=12+12=2,

CS2=l2+32=10,

:.AB2+AC2=BC2,

：./\ABC是直角三角形,

ZBAC=9Q°,

在RtzXNBC中，AC=?,AB=2近,

AB2V22

故答案為：1.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

15.（2022秋?桐柏縣期末）如圖，在中，ZACB=90°,。是的中點(diǎn)，連接CD,過點(diǎn)3作

CD的垂線，交CO延長線于點(diǎn)E.已知/C=30,cosA=旦.則sin/D3E的值為工

COSA5—25「

【分析】過點(diǎn)C作垂足為尸，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出/2=50,從而利

用勾股定理求出BC=40,然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得CD=LB=25,再利用面積法求

2

出C尸=24,從而在RtZXCDF中，利用勾股定理求出。尸=7,進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)的定義求出sin/

DC尸的值，最后利用等角的余角相等可得/即可解答.

【解答】解：過點(diǎn)。作CFL4B,垂足為尸,

在RtzX/BC中，/C=30,COSA=3,

5

.?./8=_^_=乎=50,

cosAA

5

5C=VAB2-AC2=V502-302=4。,

:。是的中點(diǎn)，

：.CD=—AB^25,

2

,/△48C的面積=匕小。尸=匕。。3,

22

：.AB-CF=AC-CB,

503=30X40,

：.CF=24,

在RtACDF中，DF=JCD2-CF2=^252-242=7'

'：BE±CD,

：.ZE=90°,

：.ZEDB+ZEBD=90°,

VZFCD+ZCDF=90°,NCDF=/BDE,

：.ZEBD=ZDCF,

sinZDBE—smZDCF=-^—,

25

故答案為：J_.

25

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，直角三角形斜邊上的中線，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適

當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

五.解直角三角形的應(yīng)用（共2小題）

16.（2022秋?承德縣期末）消防車是救援火災(zāi)的主要裝備.圖①是一輛登高云梯消防車的實(shí)物圖，圖②是

其工作示意圖，起重臂ZC（20米W/CW30米）是可伸縮的，且起重臂/C可繞點(diǎn)/在一定范圍內(nèi)上下

轉(zhuǎn)動(dòng)，張角NC4E（90。W/C4EW150。），轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)/距離地面的高度為4米.

（1）當(dāng)起重臂NC的長度為24米，張角/。石=120°時(shí)，云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面的高度CF的

長為16米.

（2）某日一棟大樓突發(fā)火災(zāi)，著火點(diǎn)距離地面的高度為26米，該消防車在這棟樓下能否實(shí)施有效救援？

請(qǐng)說明理由（參考數(shù)據(jù)：百七1.7）（提示：當(dāng)起重臂NC伸到最長且張角/C4E最大時(shí)，云梯頂端C可

以達(dá)到最大高度）

【分析】（1）過點(diǎn)/作垂足為足先在Rt^/GC中求出CG,再利用直角三角形的邊角間關(guān)

系求出CF；

（2）先計(jì)算當(dāng)NC長30米、/。￡=150。時(shí)救援的高度，再判斷該消防車能否實(shí)施有效救援.

，F(xiàn)G=N￡=4米，ZEAG=ZAGC=ZAGF=90°.

,：ZCAE=120°,

:.NCAG=NCAE-NEAG=30°.

在RtzX/GC中，

：sin/C4G="，NC的長度為24米，

AC

.".CG=^CXsin30°

=24X」

2

=12（米）.

：.CF=CG+GF

=4+12

=16（米）.

答：云梯消防車最高點(diǎn)。距離地面的高度CF的長為16米;

故答案為：16；

（2）如圖，過點(diǎn)。作CH_L4E,交E4的延長線于點(diǎn)

BED

當(dāng)4C=30米，ZCAE=150°時(shí)，

/HAC=3Q°.

在RtZ\，〃C中，

：cos//￡4C=里

AC

：.AH=cosZHACXAC

=cos30°X30

士任_乂30

2

=15百

^1.7X15

=25.5（米）.

：.HE=AE+AH

=4+25.5

=29.5（米）.

由題意知，四邊形TffiFC是矩形，

；.CF=HE=29.5米，

V29.5>26,

，該消防車能夠?qū)嵤┯行Ь仍?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系及線段的和差關(guān)系是解決本題

的關(guān)鍵.

17.（2022秋?南宮市期末）桑梯是我國古代發(fā)明的一種采桑工具.圖1是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》

中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖2所示，已知Z8=/C=1.5米，/。=1.2米，/C與45的張角為a,

為保證安全，a的調(diào)整范圍是30°WaW60°,8C為固定張角a大小的繩索.

D

圖1圖2

（1）求繩索8c長的最大值.

（2）若a=40°時(shí)，求桑梯頂端。到地面的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin70°^0.94,cos70°口0.34,tan70°

-2.75,最后結(jié)果精確到0.01米）

【分析】（1）根據(jù)題意可得：當(dāng)/A4C=a=60。時(shí)，繩索8C的長最大，然后根據(jù)已知易得△NBC是等

邊三角形，從而利用等邊三角形的性質(zhì)可得5C=/B=/C=L5米，即可解答;

（2）過點(diǎn)。作DEL8C,垂足為E,利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得/N3C=/C=

70°,再根據(jù)已知可得。C=2.7米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）由題意得:

當(dāng)NB/C=a=60°時(shí)，繩索8C的長最大,

：/5=/。=1.5米,

AABC是等邊二角形,

：.BC^AB=AC^1.5米,

繩索長的最大值為1.5米;

（2）過點(diǎn)。作?！闖_8C,垂足為E,

BEC

AZDEC=90°,

?.,45=40=1.5米，ZBAC=a=40°,

：.ZABC=ZC=^-（180°-/BAC）=70°,

2

：4D=1.2米，

：.DC=AD+AC=2.7（米），

在RtZXDEC中，DE=DC-sinl0°^2.7X0.94^2.54（米），

桑梯頂端D到地面BC的距離約為2.54米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的

關(guān)鍵.

六.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共9小題）

18.（2023春?懷化期末）如圖，為了測量古塔的高，小明在點(diǎn)/測得看古塔頂點(diǎn)C處的仰角為30。，然后

向古塔方向前進(jìn)到40米的點(diǎn)8處測得古塔頂點(diǎn)C的仰角是60°,4、B、。在同一直線上，那么古塔

CD的高是34.6米.（&-1.414,百-1.732,結(jié)果保留一位小數(shù)）

ABD

【分析】根據(jù)題意可得：CDLAD,/8=40米，ZA=30°,ZCBD=6Q°,然后利用三角形的外角性

質(zhì)可得N/=N/C2=30°,從而可得A8=3C=40米，最后在RtZkCB。中，利用銳角三角函數(shù)的定義

進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：由題意得：CDLAD,/2=40米，//=30°,NCBD=60°,

,/ZCBD是△48C的一個(gè)外角,

：.ZACB=ZCBD-ZA=30°,

.?.N/=N/C2=30°,

.*./3=BC=40米,

國=（米）,

在RtZkCAD中，CD=BC'sm60°=40X2034.6

2

古塔CD的高約為34.6米，

故答案為:34.6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

19.（2022秋?宜賓期末）如圖，斜坡。M的坡角/MON=30°,在坡面8處有一棵樹氏4,小彭在坡底O

處測得樹梢/的仰角為45°,沿坡面。河上行30米到達(dá)。處，測得N/D2=30°.

U）求D4的長；

（2）求樹A4的高度（結(jié)果保留根號(hào)）.

【分析】（1）由題意得：ZAON=45°,。。=30米，從而可得//OD=15°,再利用三角形的外角性

質(zhì)可得,然后利用等角對(duì)等邊即可解答；

（2）過點(diǎn)。作DA7/ON,交48的延長線于點(diǎn)X,從而利用平行線的性質(zhì)可得,

進(jìn)而可得//￡>//=60°,然后在Rt^4D〃中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出?！ǖ拈L，再在RtA

BDH中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出3H的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）由題意得：ZAON=45°,。。=30米，

■:NMON=30°,

：.N40D=NA0N-NMON=45°-30°=15°,

,/ZADB是△NOD的一個(gè)外角,

：.NOAD=ZADB-/AOD=15°,

ZAOD=ZOAD=15°,

.?.00=40=30米，

：.DA的長為30米；

(2)過點(diǎn)。作D8〃0N,交43的延長線于點(diǎn)H,

VZADB=30°,

AZADH=ZADB+ZBDH=60°，

由題意得：ZAHD=90°,

在中，4。=30米，

：.AH=AD*sm60°=30X^-=15V3（米），

2

DH=AD，cos60°=30X工=15（米），

2

在RtZXBD"中，BH=DH-tan30°=15X近=5百（米），

3

：.AB=AH-BH=15\R-5V3=10V3（米），

...樹8/的高度為10加米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合

圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

20.（2022秋?大連期末）數(shù)學(xué)興趣小組測量建筑物N8的高度.如圖，在建筑物前方搭建高臺(tái)CD進(jìn)行

測量.高臺(tái)CD到的距離5。為6米，在高臺(tái)頂端。處測得點(diǎn)/的仰角為40°,測得點(diǎn)3的俯角為

30°.

（1）填空：ZADB=70°；

（2）求建筑物N3的高度（結(jié)果保留整數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：sin40°-0.64,cos40°心0.77,tan40°-0.84,愿處1.73）

【分析】（1）過點(diǎn)。作垂足為￡,根據(jù)題意可得：/ADE=40：/BDE=30°,然后利用

角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（2）根據(jù)題意可得：DE=BC=6米,然后分別在Rt44D￡和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求

出的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）過點(diǎn)。作。垂足為￡,

A

NADE=4Q°,ZBDE=30°,

ZADB=ZADE+ZBDE=40°+30°=70°，

故答案為：70；

（2）由題意得：DE=BC=6米,

在RtZXADE中，ZADE=40°，

：.AE=DE-tan40°仁6X0.84=5.04（米）,

在RtZkOEB中，ZBDE=30°，

；.3E=DE?tan30°=6Xm=2?、3.46（米），

3

：.AB=AE+EB=5.04+3.469（米）,

，建筑物48的高度約為9米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

21.（2022秋?閔行區(qū)期末）2022年11月12日10時(shí)03分，搭載天舟五號(hào)貨運(yùn)飛船的長征七號(hào)遙六運(yùn)載火

箭，在海南文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射.天舟五號(hào)貨運(yùn)飛船重約13.6噸，長度50=10.6米，貨物倉的直

徑可達(dá)3.35米，是世界現(xiàn)役貨物運(yùn)輸能力最大、在軌支持能力最全面的貨運(yùn)飛船，堪稱“在職最強(qiáng)快遞

小哥”.已知飛船發(fā)射塔垂直于地面，某人在地面/處測得飛船底部D處的仰角45°,頂部8處的仰角

為53°,求此時(shí)觀測點(diǎn)N到發(fā)射塔CD的水平距離（結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin53°七0.80,

cos53°^0.60,tan53°仁1.33）

B

【分析】根據(jù)題意可得：ZACD=90°,然后在Rt^NCD和中，分別利用銳角三角函數(shù)的定

義求出2C,CD的長，最后根據(jù)20=10.6米，列出關(guān)于/C的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：由題意得：ZACD=90°,

在RtZk/CO中，ZDAC=45°,

：.DC=AC'tan450=AC,

在RtZ\/3C中，NBAC=53°,

，3C=/Utan53°^133AC,

：=10.6米，

：.BC-CD=10.6,

：.1.33AC-AC=10.6,

：.AC^32A米，

...此時(shí)觀測點(diǎn)/到發(fā)射塔CD的水平距離約為32.1米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

22.（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）某市在地鐵施工期間，相關(guān)部門在施工路段設(shè)立了矩形安全警示牌/BCD

（如圖所示），小東同學(xué)在距離安全警示牌8米（斯的長）遠(yuǎn)的建筑物上的窗口尸處，測得安全警示牌

頂端/點(diǎn)和底端3點(diǎn)的俯角分別是30°和45°,求安全警示牌寬N3的值.（結(jié)果保留根號(hào)）

□

P

□y

、X、、

、、、、

口'、、、、

0''、地鐵拖工

'、、、注意安全c

□BC

EF

【分析】延長歷1交尸〃于點(diǎn)G,根據(jù)題意可得：所=PG=8米，ZPGA=90°,在Rt△aG中，利用

銳角三角函數(shù)的定義求出GZ的長，再在Rt^PGB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出G3的長，最后進(jìn)

行計(jì)算即可解答.

【解答】解：如圖：延長A4交于點(diǎn)G,

地鐵拖工

、、注意安全

BC

EF

由題意得：

所=PG=8米，ZPGA=90°,

在Rtz\R4G中，/GH=30°,

：.AG=PG-tan30°=8X^3_=M（米），

33

在RtZXPGB中，NGPB=45°,

/.G5=PG?tan45°=8X1=8（米），

：.AB=GB-GA=（8-|V3）米，

3

???安全警示牌寬N3的值為（8-|V3）米.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

23.（2022秋?槐蔭區(qū)期末）無人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測.如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基

地用無人機(jī)對(duì)一塊試驗(yàn)田進(jìn)行監(jiān)測作業(yè)時(shí)，在距地面高度為135根的/處測得試驗(yàn)田右側(cè)邊界N處俯角

為43°,無人機(jī)垂直下降40%至8處，又測得試驗(yàn)田左側(cè)邊界M處俯角為35°,求九W的長.

（參考數(shù)據(jù)：tan43°仁0.9,sin43°20.7,cos35"20.8,tan35°20.7,結(jié)果保留整數(shù)）

【分析】根據(jù)題意可得：N/VO=43°,/BMO=35°,AOLMN,然后在Rt^/ON中，利用銳角三角

函數(shù)的定義求出NO的長，再利用線段的和差關(guān)系求出2。的長，最后在中，利用銳角三角函

數(shù)的定義求出MO的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：由題意得:

ZANO=43°,/BMO=35°,AOLMN,

在RtZk/ON中，AO=\35m,

0N=—131=150(m),

tan430.9

：AB=40%,

.'.BO=AO-AB=95(m),

在RtAAfflO中，MO=_OB°7135.7(加)，

tan350.7

：.MN^NO+MO^150+135,7^286(m),

的長約為286m

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

24.（2023春?零陵區(qū)期末）2023年“水州陸港杯”中國龍舟公開賽（湖南一水州站）在冷水灘瀟湘平湖舉

行，為確保此次龍舟競賽水域安全，特別是謹(jǐn)防青少年在觀賽時(shí)溺水，某單位在一處觀賽臺(tái)后方小山坡

上豎立了“防溺水”宣傳牌.小剛為了測得宣傳牌的高度，他站在山坡底端C處，測得宣傳牌頂端/的

仰角/。。=45°,然后小剛從山坡底端C沿著傾斜角為30。的斜坡走了20米，到達(dá)E處平臺(tái)”與宣

傳牌底端3水平，此時(shí)測得宣傳牌頂端/的仰角/2口=60°,求“防溺水”宣傳牌的高度.

【分析】延長4s交CD于點(diǎn)凡根據(jù)題意可得：AFLCF,EDLCD,BF=DE,BE=DF,然后在RtA

皮)C中，利用含30度角的直角三角形性質(zhì)求出DE和CD的長，再設(shè)3￡=。b=工米，則CF=(x+108)

米，最后在Rt448￡中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出/歹的長，再在中，

利用銳角三角函數(shù)的定義求出/尸的長，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

由題意得：AF1CF,EDVCD,BF=DE,BE=DF,

在RtZXEDC中，CE=20米，NDCE=3Q°,

：.DE=^CE^10（米），CD=4^DE=10如（米）,

：.BF=DE=lO^z,

設(shè)3￡=￡>人=x米，

：.CF=DF+CD=（x+10代）米，

在中，ZAEB=60°,

AB=BE,tan60o（米），

：.AF=AB+BF=（?x+10）米，

在RtZXN/C中，ZACF=45°,

：.AF=CF-tan45°=（x+10%）米，

V3x+io=x+ioV3>

解得：x=10,

.'.AB=yf3x=10^3（米），

“防溺水”宣傳牌的高度為10我米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合

圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

25.(2022秋?商河縣期末)如圖大樓的高度為37%,小可為了測量大樓頂部旗桿/C的高度，他從大樓

底部3處出發(fā)，沿水平地面前行32根到達(dá)。處，再沿著斜坡。E走20機(jī)到達(dá)E處，測得旗桿頂端C的

仰角為30°.已知斜坡￡￡)與水平面的夾角N￡￡)G=37°,圖中點(diǎn)N,B,C,D,E,G在同一平面內(nèi)(結(jié)

果精確到0.1/77)

(1)求斜坡ED的鉛直高度EG和水平寬度GD.

(2)求旗桿的/C高度.

(參考數(shù)據(jù)：sin37°-0.60,cos37°-0.80,tan37°-0.75,遙-1.73)

【分析】(1)在Rt^OEG中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)過點(diǎn)E作E7九L8C,垂足為〃，根據(jù)題意可得：DB=32m,則￡〃=G3=48"z,然后在中,

利用銳角三角函數(shù)的定義求出S的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：(1)在RtZkDEG中，NEDG=37°,DE=20m,

:.EG=DE?sin37°-20X0.60=12(m),

DG=DE,cos37°^20X0.80=16(m),

...斜坡ED的鉛直高度EG約為12加，水平寬度GD約為16根;

(2)過點(diǎn)￡作垂足為〃，

由題意得：DB=32m,

：.EH=GB=GD+DB=16+32=48(m),

在RtZXCEX中，/CEH=30°,

：.CH=EH*tm30°=48義退~=16愿(冽)，

3

；.AC=CH+BH-AB=166+12-37仁2.7Cm),

旗桿的NC高度約為2.7〃?.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

26.（2022秋?北倍區(qū)校級(jí)期末）如圖是某景區(qū)的觀光扶梯建設(shè)示意圖.起初工程師計(jì)劃修建一段坡度為3：

2的扶梯/瓦扶梯總長為米.但這樣坡度太陡，扶梯太長容易引發(fā)安全事故.工程師修改方案:

修建NC、OE兩段扶梯，并減緩各扶梯的坡度，其中扶梯NC和平臺(tái)CD形成的//CO為135°,從E

點(diǎn)看。點(diǎn)的仰角為30°,/C段扶梯長20米.（參考數(shù)據(jù)：&比1.41，通~1.72）

（1）求點(diǎn)/到3E的距離.

（2）段扶梯長度約為多少米？（結(jié)果保留1位小數(shù)）

【分析】（1）過點(diǎn)N作《尸上即，垂足為尸，根據(jù)已知可設(shè)N歹=3x米，則8尸=2x米，然后在廠

中，利用勾股定理求出米，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（2）延長DC交/產(chǎn)于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作?！╛LM,垂足為〃，根據(jù)題意可得：DGLAG,DH=GF,再

利用平角定義可得N/CG=45°,然后在Rt^NCG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出/G的長，從而求

出。X,尸G的長，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）過點(diǎn)N作/垂足為R

:扶梯N8的坡度為3：2,

???A-F_--3，

BF2

設(shè)/尸=3x米，貝！I3尸=2%米，

在RtZ\4BF中，AB=7AF2+BF2=V（3x）2+（2x）2=百^（米），

米，

"\/~L3x=10\[l3,

.*.x=10,

.\AF=3x=30（米），

???點(diǎn)4到成的距離為30米；

（2）延長QC交/產(chǎn)于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作?！?，斯，垂足為“，

由題意得：

DGLAG,DH=GF,

VZACD=U5°,

AZACG=180°-N4a）=45°,

在RtZXZCG中，/C=20米，

???4G=4C?sin450=20X退_=10企（米）,

2

'.'AF=30米,

：.DH=GF=AF-AG=(30-1072)米，

在RtZXDEX中，ZDEH=30°,

：.DE=2DH=6Q-20^2^31.8(米)，

DE段扶梯長度約為31.8米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，含30度角的直角三角形，根

據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

七.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題(共4小題)

27.(2023春?橋西區(qū)期末)學(xué)校在小明家南偏東30°方向上，距小明家以小明家所在位置為坐標(biāo)原

點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，1g為一個(gè)單位長度，則學(xué)校所在位置的坐標(biāo)為()

A.(-3V3._3)B.(-3,-SV3)C.(-3^3?3)D.(3,-3V3)

【分析】過點(diǎn)N作軸，垂足為比在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出N8

和。8的長，即可解答.

：.AB=^-AO^3(km),03=^43=3禽(km),

二點(diǎn)/的坐標(biāo)為(3,-3時(shí))，

...學(xué)校所在位置的坐標(biāo)為(3,-3愿)，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件畫出

圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

28.（2023春?廈門期末）如圖所示的四邊形/BCD是正在建設(shè)的某景區(qū)示意圖，2—C—D—/是環(huán)繞景

區(qū)的道路，點(diǎn)。在點(diǎn)/的北偏西45°方向，點(diǎn)8在點(diǎn)/的正東方向，點(diǎn)。在點(diǎn)8的正北方向，經(jīng)測量

AD^km,AB^\km.設(shè)計(jì)單位計(jì)劃在該景區(qū)內(nèi)修建一個(gè)觀景平臺(tái)P,并鋪設(shè)若干條小路連接景區(qū)道路.其

中點(diǎn)尸在點(diǎn)N的正北方向，在點(diǎn)。的正東方向.

（1）求/P的長度；

（2）延長。尸與交于點(diǎn)E,測得CE=2而Z,設(shè)計(jì)單位設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)小路的方案：

方案1：鋪設(shè)小路?！旰?P；

方案2：鋪設(shè)小路CP和NP.

要使得鋪設(shè)小路的總長度更短，應(yīng)選擇哪種鋪設(shè)方案，并說明理由.

【分析】（1）根據(jù)題意可得：APLDP,ZDAP=45°,然后在Rt^4D尸中，利用銳角三角函數(shù)的定義

求出NP的長，即可解答；

（2）在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出。P的長，然后根據(jù)題意可得：DELBC,ABLBC,

PE=AB=lkm,AP=BE=?km,從而可得。￡=（^2+1）km,再在RdCPE中，利用銳角三角函數(shù)

的定義求出。尸的長，最后分別求出方案一和方案二鋪設(shè)小路的總長度，比較即可解答.

【解答】解：（1）由題意得：APLDP,ZDAP=45°,

在RtZkADP中，AD=2km,

尸=/D?cos45°=2X^Z_=>/2（km），

2

??AP的長度為方"；

（2）要使得鋪設(shè)小路的總長度更短，應(yīng)選擇鋪設(shè)方案二，

理由：在RtZ\4DP中，AD=2km,ND4P=45°,

???QP=4D?sin450=2X理=加（左加），

2

由題意得：DE±BC,ABLBC,PE=4B=lkm,AP=BE=?km,

：.DE=DP+PE=（5/2+Dkm,

在RtZ\CPE中，CE=2km,

-'-CP=7PE24CE2=712+22=（km）,

:?方案DE+AP—y/~^+l+y/2,—（2^2+1）km；

方案二：CP+AP=（V5+V2）km,

（2A/2+1）km>（V5+V2）km，

，要使得鋪設(shè)小路的總長度更短，應(yīng)選擇鋪設(shè)方案二.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

29.（2023春?豐都縣期末）在奧林匹克運(yùn)動(dòng)的故鄉(xiāng)古希臘，奧林匹亞阿爾菲斯河岸的巖壁上保留著古希臘

人的一段格言：“如果你想聰明，跑步吧!如果你想強(qiáng)壯，跑步吧!如果你想健康，跑步吧!”古人對(duì)聰明、

強(qiáng)壯、健康的奔跑追求，至今仍然在愛跑步的人群中得到傳承.跑步已經(jīng)成為一種大眾化運(yùn)動(dòng)，越來越

多的人從跑步中受益.如圖，四邊形/BCD是一個(gè)環(huán)湖公園的步行道，AB=AD=4km,3在/正東方；

。在。正東方，。在/的東北方，。在2北偏東60°