河?xùn)|區(qū)2024?2025學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測

局二數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.

第I卷（選擇題共45分）

一、選擇題：（本題共9個小題，每小題5分，共45分.每小題給出的四個選項只有一個符合

題目要求）

1設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},8={2,3,4},則AD（七可=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D,{1,3}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)交集、補集的定義可求Ac（科5）.

【詳解】由題設(shè)可得a3={1,5,6},故Ac（包到={1,6},

故選：B.

2.若xeR,則“工〉1”是<i”成立的（）

x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)分式不等式和一元二次不等式的解法，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.

【詳解】由4〉1,解得0<%<1,

由工2<1，解得一Ivxvl,

所以“工〉1”是“爐<1”成立的充分不必要條件.

X

故選：A.

3.函數(shù)〃％）=（2—*-2）8院的圖象大致為（）

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除兩個選項，再取一個特殊值即可得到正確選項即可.

【詳解】由/(—x)=(2"—2-，)cos(—x)=—(2一'—2，cosx=—/(無)可得：/(%)是奇函數(shù)，

故A,B是錯誤的；

又由〃1)=QT—2)cosl=_*cosl<0,故D是錯誤的；

故選：C.

4.某校根據(jù)學(xué)生情況將物理考試成績進行賦分，目的是為了更好地對新高考改革中不同選科學(xué)生的考試成

績進行橫向?qū)Ρ龋?jīng)過對全校300名學(xué)生的成績統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這些同學(xué)物理

成績大于等于60分的人數(shù)為()

A.270B.240C.180D.150

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)頻率之和為1得到方程，求出機=0.005,進而求出物理成績大于等于60分的人數(shù).

【詳解】10(m+2和+0.015+0.020x2+0.030)=1,解得根=0.005,

故物理成績大于等于60分的人數(shù)為300x[l-10x(0.005+0.015)]=240.

故選：B.

5.己知a=log32,6=2",c=logQ,則這三個數(shù)的大小順序是()

2

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【解析】

【分析】可以得出°</°g32<l,2">2,/ogQ<°,然后即可得出。，b,c的大小順序.

2

【詳解】解：,?,0=1臉1<1幅2<1幅3=1,2">2，磕3<%1=0,

22

:.c<a<b.

故選：C.

【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的定義，考查了計算和推理能力，屬于基

礎(chǔ)題.

6.如圖，正三棱柱A5C-4及C的底面邊長為1,高為3,己知產(chǎn)為棱A4的中點，分別在棱與民

上，3。=2,CE=1,記四棱錐4—BgED,三棱錐F-AQE與三棱錐A-DEF的體積分別為匕乂,匕,

A.K（匕B%<匕C.匕=匕+匕D,2匕=3%

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)條件分別計算出K，%,匕的值，即可求解.

【詳解】由題意知：K=/一甌及=；倉'停S四邊形.「ED=；倉'停1

—磔=%*=；4S"=；4弼1弋，

\匕=匕+匕，%>%=%，2K>3%.

故選：C.

7.已知函數(shù)/（x）=cos2x+sin2x,則下列說法中，正確的是（）

A.7（%）的最小值為—1

B.7（%）在區(qū)間-天7上單調(diào)遞增

c.“X）的最小正周期為2兀

D.〃尤）的圖象可由g（x）=J5cos2尤的圖象向右平移9個單位得到

8

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)選項的內(nèi)容，我們可以利用輔助角公式把函數(shù)解析式化為余弦型函數(shù)形式，結(jié)合余弦型函數(shù)的

最值性質(zhì)、單調(diào)性性質(zhì)、最小正周期公式、圖象平移的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】/（%）=cos2x+sin2x=A/2COS^2X-^.

IT57r

A：當2元一^=2左兀+兀（左wZ）時，即當犬=左兀+-^-（左wZ）時，

函數(shù)/（%）的最小值為-0,所以本選項說法不正確；

,己不是［—兀,0］的子集,

4’4

所以本選項說法不正確；

2兀

C：/（九）的最小正周期為《-=兀，因此本選項說法不正確;

D：g（x）=0cos2x的圖象向右平移J個單位得到

O

故選：D

22

8.拋物線c：2內(nèi)的焦點產(chǎn)是雙曲線——匚=1（0（根＜1）的右焦點，點尸是曲線G，G的

交點，點。在拋物線的準線上，ARPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線C2的離心率為

A.V2+1B.2亞+3C.2710-3D.2廂+3

【答案】A

【解析】

【分析】

先由題和拋物線的性質(zhì)求得點P的坐標和雙曲線的半焦距C的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可

求得離心率.

【詳解】由題意知，拋物線焦點b(1,0),準線與x軸交點廠(-1,0),雙曲線半焦距c=l,設(shè)點。(-l,y)

AFPQ是以點尸為直角頂點的等腰直角三角形，即|尸盟=歸@,結(jié)合尸點在拋物線上，

所以尸。工拋物線的準線，從而軸，所以P(l,2),

:.2a=\PF'\-\PF\=242-2

即a=A/2—1.

故雙曲線的離心率為e--j=一-=A/2+1.

故選A

【點睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)

鍵，屬于中檔題.

(49)

9.已知且a/?>0,則ab的最小值為()

+/?2(Q+6)2,

111

A.——B.——D.-

42cI4

【答案】B

【解析】

g(a+Z?)2-(a2+Z?2)j

【分析】將ab變形為二,借鑒“1”的妙用的處理方式，以及基本不等式求解即可.

(491

【詳解】ab

、/+/72+8)2,

f、4(a+b)2+9(/+/)

lr491

-13

a2+b2a+by2a2+b2a+b)2

因為4(a++b/)~9(4+片)

>0,

4(Q+/?)2+9(/+/)2

114(a+/?)9(/+/)-13=1(12-13)=-1

>—

故二2,2-132X2

2a+b-2/+/a+b)

7

4(a+bY9(a2+b2)

當且僅當二~~?=△----J,且ab>0,也即/+^=4ab，且。>>0時取得等號.

。(a+A)

(49\1

故"-―---------的最小值為-一.

{a~+b-?(a+b)-J2

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題處理的關(guān)鍵是能夠觀察到a。,/+〃,(。+人丫三者之間的關(guān)系，同時要熟練掌

握“1”的妙用的處理方式.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題5分，共30分)

10.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=—則復(fù)數(shù)z的虛部為________

1+31

【答案】—##0.1

10

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算直接化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)定義可得解.

ii(l-3i)3+i31.

詳解z-1+3i-(l+3i)(l—3i)一而一布+記i，

所以復(fù)數(shù)z的虛部為工.

10

故答案為：一.

10

11.在［2丁—的展開式中，/的系數(shù)是____.

Ixj

【答案】-160

【解析】

【分析】寫出已知二項式展開式的通項，進而寫出對應(yīng)項，即可得系數(shù).

【詳解】已知二項式的展開式通項公式為&=&(2%3嚴(二廠=(_1),26-晨產(chǎn)-4,,r=0,l,--.,6,

令18—4r=6,可得廠=3,則北=(一L23(2)6=一160力

故答案為：-160

12.已知圓(x+l)2+y2=4與拋物線丁2=2內(nèi)5>0)的準線交于A3兩點，且|/回=26，則P的值

為.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)題意得到|AD|=追，再利用勾股定理求出|CD|,由圓心到準線的距離可得答案.

【詳解】設(shè)圓（尤+1）?+/=4的圓心坐標為C（-1,0）,連接AC3C,

拋物線準線與x軸交于點。，則|4必=出，

所以=

所以圓心到準線的距離為一彳一（一1）=1，

解得2=4,或。=0（舍去）.

故答案為：4.

13.某廠產(chǎn)品有70%的產(chǎn)品不需要調(diào)試就可以出廠上市，另30%的產(chǎn)品經(jīng)過調(diào)試以后有80%能出廠，則

該廠產(chǎn)品能出廠的概率；任取一出廠產(chǎn)品，求未經(jīng)調(diào)試的概率.

35

【答案】①.0.94②.—

47

【解析】

【分析】答題空一：根據(jù)題意設(shè)出事件，利用全概率公式即可求解；答題空二：利用空一結(jié)果，根據(jù)貝葉

斯公式即可求解.

【詳解】設(shè)事件A表示產(chǎn)品能出廠上市，事件用表示產(chǎn)品不需要調(diào)試，為表示產(chǎn)品需要調(diào)試,

則有尸（4）=70%=0.7,尸（與）=30%=0.3,尸（A|4）=l,P（A|B2）=0.8,

由全概率公式可得：

P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）=1X0.7+0.8X0.3=0.94；

由貝葉斯公式可得:

p（B）,尸（明）P>I4）P（4）1x0.7=35

I1'P（A）P（A）0.9447,

35

故答案為：0.94；—

47

14.在等腰梯形ABC。中，AB//DC,AB=4,BC=CD=2,￡是腰5C的中點，則題.而的值為

；若P是腰A。上的動點，則|2而一定|的最小值為.

【答案】①.-8②.373

【解析】

【分析】作出輔助線，求出各邊長，建立平面直角坐標系，得到求出通?磅=-8,設(shè)

AP=mAD>0<m<l,故。［”一1,百加），求出2而—定=（5-%,一6-點九），故

【詳解】過點。作。OJ_A3于點。,

因為等腰梯形A5CD中，ABIIDC,AB=4,BC=CD=2,

4-2i_________

所以A。；一=1,由勾股定理得DO=NAEP-A0)2=6,

以0為坐標原點，03,0。所在直線分別為瑞丁軸，建立空間直角坐標系,

故4（—1,0）,0（0,6）,3（3,0）,。（2,6b

E是腰5C的中點，故E

所以AE?ED—

設(shè)1?=加而，0<m<l,P(s,t),

s+\-ms=m—l

則(s+1/)=加

t-y/3mt—y/3m

故尸（7〃-1,也小）,

2PB-PC=PB+[PB-PC^=PB+CB=^-m-

故答案為：-8,3A/3

fe'T+1%>0

15.已知函數(shù)〃"二{2'~，若g(%)=/(x)—依+Q—l有三個不等零點，則實數(shù)〃的取值范

圍是.

【答案】(e,4)

【解析】

【分析】函數(shù)g(x)=/(%)-依+a-l有三個不等零點轉(zhuǎn)化為方程”x)-G；+a-1=0有三個不等實根.

分兩種情況討論：當尤<0時，a=(x-l)———+4,令夕(x)=(x—1)———+4,結(jié)合以無)的單調(diào)性

x-1x-1

1Y—1

討論根的情況；當無之0時，得ei=a(x—1),當。=0時，顯然方程無實根；當awO時，一=一^，

ae

令/z(x)=t?,x20,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得答案.

e

【詳解】由g(x)=/(x)—依+a—1有三個不等零點，等價于/(￡)—ox+a—1=0有三個不等實根，

當x<0時，/(x)=f+2x-3,

由/(%)-依+。-1=。,得/+2x-4=a(x-l),

日nx2+2x—4(x—I)2+4(x—1)—11.

即”----------=-------------------=(x-1)--------+4,

x-1x-1x-1

令O(x)=(x-1)———+4,

x-1

由于9(%)在(-oo,0)上單調(diào)遞增，故9(%)<°(0)=4,

故當〃之4時，方程。二(%—1)-------n4無實根；

X-1

當QV4時，方程Q=(X—1)--------^4在1G(—00,0)上有一實根.

X—1

當工20時，/(x)=ex-1+1,由/(￡)一依+〃-1=0,得e"T=〃(x—l)

當。=0時，顯然方程無實根；

1x—1x—12—x

當時，一二FP，令/1(%)二丁「%20，〃(%)=a，

aeee

當0<x<2時，〃(x)>0,所以/?(%)(0,2)上單調(diào)遞增；

當x>2時，/z'(x)<0,所以丸。)在(2,+“)單調(diào)遞減；

即當x=2時，函數(shù)/z(x)取得極大值五(2)='

e

〃(0)=—e；7z(l)=0；當0<%<1時，h{x)<0；當尤>1時,/?(%)>0,

作出函數(shù)力(龍)的圖象如圖,

要使/(可—3：+。—1=0有三個不等實根，需滿足：在xe(-8,0)上有一實根，在xe[0,+s)上有兩個

實根.

由圖可知丫=,與〃(％)的圖象有兩個交點時，0<!<1，即a〉e,

aae

綜上，e<a<4,即實數(shù)。的取值范圍是(e,4).

故答案為：(e,4).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于零點問題常轉(zhuǎn)化成方程根的個數(shù)問題，分離常數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，討論單調(diào)性，數(shù)

形結(jié)合利用兩函數(shù)圖像的交點得到參數(shù)的范圍.

三、解答題：（本大題5個題，共75分）

16.VABC的內(nèi)角A&C的對邊分別為“,仇。，已知5sinB=4sinA,5c=?2cosB+abcosA-

（1）求a,b；

（2）若c=6,——J.

【答案】（1）a=5;b=4

⑵3拒

-16-

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正余弦定理角化邊即可得出答案；

（2）先利用余弦定理求出cosB,再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求出sinB,以及二倍角公式求出sin2笈和

cos2B,最后再根據(jù)正弦的差角公式即可得出答案.

【小問1詳解】

（〃2+。2_匕2b1+C1

因為5c=6i2cosB+abcosA，由余弦定理有：5c—aa-----------vb----------=,所以〃=5；

I2ac2bcJ

因為5sinB=4sinA,由正弦定理得：5b=4a,所以人=4,

所以Q=5,Z?=4.

【小問2詳解】

因為。=6,所以cos3="+c2—.2=25+36—16=J]_cos2§=也,

lac2x5x644

3J7，,1

sin2B=2sinBcosB=---,cos2B=cos2B-sin2B=—,

88

.兀）.?？谪?兀”3幣一垂）

sin2B---|=sm26cossin—cos26=---------.

I3）3316

17.如圖，在四棱錐P—A5CD中，平面ABC。，AD±CD,AD//BC,

PF1

PA^AD=CD=2,BC=3,E為中點，點產(chǎn)在線段PC上，且一=-.

PC3

（2）求直線與平面A即所成角的正弦值；

（3）求平面AE尸與平面AEP所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵—

3

（3）1

3

【解析】

【分析】（1）以。為原點，建立空間直角坐標系，由已知寫出。、A、C的坐標，由點坐標可得反，

DA，麗的坐標，即有加.方X=0，加?加=0，根據(jù)線面垂直的判定即可證CD_L平面PAD;

PF1

（2）由已知點坐標及花=§,可寫出赤、衣的坐標，進而求面AE尸的一個法向量而，根據(jù)直線方

向向量與平面法向量夾角的坐標表示，求直線尸￡＞與平面AEF所成角的正弦值；

（3）由坐標系易知皮=（0,2,0）為平面R4E的法向量，結(jié)合（2）所得法向量而，根據(jù)兩個平面法向量夾

角的坐標表示，即可求二面角的余弦值，進而求其正弦值.

【小問1詳解】

證明：如圖，以。為原點，分別以ZM,。。為x軸，》軸，過。作A尸平行線為z軸，建立空間直角坐標

系，

則0（0,0,0）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,尸（2,0,2）,得反=（0,2,0）,DA=（2,0,0）,麗=（2,0,2）,

所以加?力印=0，DCDP=0＞即反，方X，DCLDP＞又DAcDP=D，所以平面

PAD；

【小問2詳解】

解：由磯1,0,1）可是荏=（一1,0,1），

由而△定=222，可得嗚，■，所以市+224

，

3353-335353

設(shè)機=（無,y,z）為平面AE尸的法向量,

in?AE=—%+z=0

則一＞224不妨設(shè)x=l,則y=-1,2=1,故加=(1,一1,1),

in?AF=——九+—y+—z=0

333

4_V6

設(shè)直線尸。與平面AE戶所成角為6,所以sin6=cos

A/3.2A/2-3'

則直線PD與平面AEF所成角的正弦值為顯；

3

【小問3詳解】

解：因為配=（0,2,0）為平面場的法向量，設(shè)二面角尸—AE—尸的大小為a,

|m.DC|——，所以sina=Y5.則二面角/一AE1—P的正弦值為V6

所以|cosa\=.j=

HIDCIV3-23-3?一3

18.已知橢圓E：T+1=l（a〉6〉0）一個頂點A（0,-2）,以橢圓E的四個頂點為頂點的四邊形面積為

4忖

（1）求橢圓E的方程;

（2）過點P（0,-3）的直線/斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點2,C,直線AB,AC分別與直線

,=一3交于點N,當|PM|+|PW（15時，求左的取值范圍.

22

【答案】(1)工+匕=1；(2)[-3,-1)0(1,3].

54

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓所過的點及四個頂點圍成的四邊形的面積可求a/,從而可求橢圓的標準方程.

(2)設(shè)求出直線AB,AC的方程后可得M,N的橫坐標，從而可得歸閘+|尸M，

聯(lián)立直線5c的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達定理化簡|PM|+|PN|,從而可求人的范圍，注意判別式的

要求.

【詳解】⑴因為橢圓過4(0,—2),故6=2,

因為四個頂點圍成的四邊形的面積為46，故;x2ax2b=4逐，即。=石，

22

故橢圓的標準方程為：—+^=1.

54

(2)

設(shè)5a，K),C(%,%)，

因為直線5c的斜率存在，故七%/0,

4nX+2cXx9

故直線A5：y=」一X—2,令y=_3,則為=----同理工N=-------------

石%+2%+2

y-ALY-3

直線5C:y=Ax-3,由＜~,可得（4+5左2）尤2—30日+25=0,

4%2+5/=20'7

故A=900左2_IOO（4+5A：2）＞O,解得左＜—1或左＞1.

d30女25,,八八

又元］+尤2=------7，%1%2=---------7，故為%2＞°，所以%M%N＞°

4+544+5左

匹+九2

又1PMi+|叫=曷+4=IX+2%+2

50k304

+%）

西%2kxi%2~（x4+5左24+542

?=5可

k2xx-kix+%2）+125k230k2?

r2v-----T+1

4+5左24+5k-

故5卜歸15即m43,

綜上，一3〈左<一1或1<ZW3.

19.設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，｛6｝是等比數(shù)列，公比大于0,已知4=L4=4+2,d=%+%，4=%+2a6.

(1)求｛4｝和也｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛(—1)“"｝的前〃項和7；.記4=3+：,1d一+2詈不,，求g；

6ai

(3)求

i=lCn+l-i

1

【答案】(1)an=n,bn=2"-；

(2)c?=4"；

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知及等差、等比數(shù)列的通項公式求基本量，進而寫出｛4｝和｛%｝的通項公式；

(2)根據(jù)已知有7L=0,4i=—l,結(jié)合(1)即可得g；

(3)應(yīng)用錯位相減法、等比數(shù)列前〃項和公式求和.

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列｛?｝是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列｛%｝是公比為q的等比數(shù)列，公比大于0,其前"項和為

S“(〃eN*).

已知乙=1您=4+2,所以/=4+2,解得q=2,則2=2'i,

由于仇=%+%/5=%+24,所以241+6d=8,3%+13d=16,解得q=4=l,則。“=”.

【小問2詳解】

由(1)知：(一1)"”=(—1)",所以耳=0,&T=—1,

所以G=普旦處t+'手&=電-+/?=平?

【小問3詳解】

%i八a；

由(2)得一^=E，設(shè)Q，，=z^，

Cn+\-iqi=lCn+l-i

ll-八12n—1n…A12n—1

所以2=---1---r+...H---5—I①，4。=----H---z~+...H---;②,

匕〃4〃4“T444"T4”-24

1111

①一②得:---1----+…H---H---TI

4n4“T424

整理得&=也匚+」.

99-4

20.已知函數(shù)/(x)=ax2+lux——((2eR)g(x)=xex-x2