微專題06數(shù)列中的復(fù)雜遞推式問(wèn)題

【秒殺總結(jié)】

1、疊加法：an+l-an=f(n)-

a,

2、疊乘法：上=/(")；

a?

3、構(gòu)造法(等差，等比)：

①形如an+l=pan+q(其中P國(guó)均為常數(shù)pq(p一D2。)的遞推公式，T=。(%T),其中/=1,

1-p

構(gòu)造與號(hào)=P,即,"-4是以4-r為首項(xiàng)，P為公比的等比數(shù)列.

n

②形如=P%+4”(其中P，4均為常數(shù)，pq(q-p)/0),可以在遞推公式兩邊同除以外轉(zhuǎn)化為

bmb+t

n+x=n型?

aa,

③形如…=d,可通過(guò)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求通項(xiàng).

a-a,

4、取對(duì)數(shù)法：4田=%'.

5、由S,和3的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)

S,n=1

⑴利n用化S,為明.

SnSn—1,,n>2〃〃

S,n=1

(2)當(dāng)叫不易消去，或消去S“后不易求，可先求S.，再由%="Is,2求明.

nn—\一

6、數(shù)列求和：

(1)錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列(公比不等于1)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和

cn=anbn型

(2)倒序相加法

(3)裂項(xiàng)相消法

常考題型數(shù)列的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)方法

<---1--)

1二111

等差數(shù)列型3a“+i%+U

{%}是公差為d的等差數(shù)列

1、

aaoc

nn+1n+2,1111

anan+i。n+Z2d\\ana〃+l,an+i,an+2/

｛%｝是公差為d的等差數(shù)列

11L

無(wú)理型1/-+k-

+y/n+k品+>Jn+kk

n

a-l]a1a-l]a11

指數(shù)型>(a>0且a豐1

+6卜+1+ba"+b](a"+1+ba"+ba"+l+b

a,a

對(duì)數(shù)型\log—>\m>0且根w1l°gm+=l°g"％T0g""

aa?

tanatana,

nn+1tan%+「tana“1

三角型

tan。,，-tanan+1

｛%｝是公差為d的等差數(shù)列tan<7

階乘型n'Yi\n'n\=\n+\]\—n\

【典型例題】

例1.（2024?安徽六安?高三統(tǒng)考期末）某種生命體M在生長(zhǎng)一天后會(huì)分裂成2個(gè)生命體M和1個(gè)生命體N,

1個(gè)生命體N生長(zhǎng)一天后可以分裂成2個(gè)生命體N和1個(gè)生命體M,每個(gè)新生命體都可以持續(xù)生長(zhǎng)并發(fā)生

分裂.假設(shè)從某個(gè)生命體M的生長(zhǎng)開始計(jì)算，記為表示第n天生命體M的個(gè)數(shù)，b”表示第n天生命體N的

個(gè)數(shù),則％=1,4=0,則下列結(jié)論中正確的是（）

b

A.=13B.數(shù)列｛）｝為遞增數(shù)列

%

5

C.=63D.若｛%+%>｝為等比數(shù)列,則-=1

i=\

【答案】B

【解析】依題意，an+1=2an+bn,bn+1=2bn+an,則4同+6用=3(%+6.),而％+4=1,

因此數(shù)列｛。"+2｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，%+—

3"-1+1,

又。用一％i=a“一2，因此a”一%=4一/=1,于是a,=—:—，b?=--—

22

33+1

對(duì)于A,—=14,A錯(cuò)誤;

2

b3"--22b

對(duì)于B,n1-顯然數(shù)列｛｝是遞減數(shù)列，因此｛」｝為遞增數(shù)列，B正確;

冊(cè)3"1+13叫1'3K-1+1%

5

對(duì)于C,±2=0+1+4+13+40=58,C錯(cuò)誤;

i=l

對(duì)于D,%+丸4=1,〃2+2a=2+尢〃3+映=5+42,由+丸2｝為等比數(shù)歹(J,

得(2+4)2=5+4/1,解得2=］或彳=_］,

1

當(dāng)4=1時(shí)，?！?獨(dú),=3-,顯然數(shù)列｛an+獨(dú),｝是等比數(shù)列，

當(dāng)a=-1時(shí)，?！?皿=1,顯然數(shù)列｛氏+刀行是等比數(shù)列，

因此當(dāng)數(shù)歹!］｛%+力2｝是等比數(shù)列時(shí)，2=1或4=T,D錯(cuò)誤.

故選：B

例2.(2024?浙江?高三甌海中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為

S“，4=1,%=2,44+2=a：+i+〃("eN*),則下列結(jié)論不正確的是()

A.［午］是遞增數(shù)列B.｛《+「d｝是遞增數(shù)列

C.S<1023D.—<3

10an

【答案】C

【解析】對(duì)于A,由題意易得%>0,

由。/.+2=4+1+/，=-+—,故A正確；

?,1+i%a/，，+i4

對(duì)于C,由選項(xiàng)A得出1之夜=2,所以為=2?也?生>2"\

an?1%-1a?-2ai

1-210

貝1]10>1+2++29=——=210-1=1023,故C錯(cuò)誤；

01-2

對(duì)于B,由4*22,得｛q｝也是遞增數(shù)列，

an

22

n

所以d+1+幾=〃〃%+2<0；〃+2,即。；+2-療+1>。；+1-4+2〃>療+1-。3故B正確;

對(duì)于D,由選項(xiàng)AC得嗅=嗅+

an

出123

累加得才<力萬(wàn)+赤+尹+

人4123n-\1123n-1

令4=1—r—r+—5~7，貝nI—AA?=~—rH—T+H—-r，

522232522n-3423252722n-1

兩式相減，得=

23n+l

33x22"-1

83n+1/、383〃+1.

則4=5一百萬(wàn)（心2），所以才=2+g-同壽＜3,故D正確.

故選：C.

例3.（2024?海南省直轄縣級(jí)單位?高三嘉積中學(xué)校考開學(xué)考試）已知數(shù)列｛q｝中，4=1,若

（”+1）（4-a“+i）=44+1，則下列結(jié)論中正確的是（）

111112

之刀一

A.-----------B---------a--</

aa.4+2〃

n+ln2nJ(+2)("+l)

111

c--------<—D.a-ln(?+1)<1

-a2nan2n

【答案】D

,,111

【解析】數(shù)列｛q｝中，4=1，(?+l)(a?-?,i+1)=a?a?+1,顯然?！?°，貝I----------=~7

an+lan"+1

1____1_1<1

對(duì)于A,A錯(cuò)誤;

an+lann+l-2

對(duì)于B,B錯(cuò)誤;

an+2anIan+2an+\)14+1冊(cè))“+2n+1J(n+2)(n+l)

對(duì)于C,

an+\an

+工J+LL1n1

------+-----------------1--------------------FH---------=——=—c錯(cuò)誤;

2n2n—12〃一2n2n2n2n2n2n2

1x

對(duì)于D,令/(x)=x-ln(x+l),%>0,求導(dǎo)得/%x)=l--------=------>0,

x+1x+1

因此/（九）在（0,+8）上單調(diào)遞增，/（x）＞/（0）=0,于是當(dāng)％＞0時(shí)，x＞ln（x+l）,

]172+1111n+1

則有一>ln(一+l)=ln-----,當(dāng)〃N2時(shí)，--------二一>ln------,

nnn％i〃n

in+Y[ni413i1八

>ln-------bln-------卜+In—+In—=ln(n+1)-In2,

nn—132

因此工>111(〃+1)-1112+1>111(〃+1),—>In2,IjliJ—>ln(n+l),

4為、an

顯然a”＞。，所以ajln（〃+l）＜LD正確.

故選：D

例4.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若數(shù)列｛%｝滿足%=2,。用貝心2022的值為（）

1an

A.2B.—3C.—D.—

23

【答案】B

【解析】因?yàn)椋ヘ?=三,

1+2

當(dāng)〃=1時(shí)，C==——=-3,

%一1一〃11-2

1+為1-31

當(dāng)〃=2時(shí)，,a=----f

31一2~T+3~~2

依次類推，a4=1>%=2,4=-3,

所以數(shù)列｛4｝為周期數(shù)列，周期T=4,

所以%>22=g=-3,故B正確.

故選：B.

例5.（2024?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列｛4｝中，q=l,an+l=a^-3an+t,且a”2,則實(shí)數(shù)/的最

大值為（）

A.4B.5C.472D.6

【答案】A

【解析】由題意得4+]—=a：—4a“+1=(%—2)+/—4,

若/"A4,貝%+J-a“2f-4.當(dāng)〃22時(shí)，％-q=(%-a”-i)+(a”T一。”-2)++(出一(〃-1)?—4),

所以％21+(〃-1)?-4),當(dāng)〃>1+—二時(shí)，l+(?-l)(r-4)>2,所以%>2,與%<2矛盾；

，一4

若/^=4,貝！|a"+i=a；-3%+4,得%+i-2=(。0一l)(a“-2),又q=l,所以02=2,a3=2.,

所以當(dāng)時(shí)，見=2,所以實(shí)數(shù)f的最大值為4.

故選：A.

例6.（2024.上海浦東新?高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列｛瑪｝滿足：對(duì)任意“eN*,都有

aana

\n+\-,\=^n,設(shè)數(shù)列｛""｝的前〃項(xiàng)和為S,,若卬=。,則$2024的最大值為

【答案】-1012

【解析】若％=0,則|%一%|=1,得。2=±1,若出=1，與々4-^-矛盾,。2只能取T.

注意到一個(gè)可行的數(shù)列為0,-1,1,-2,2,-3,3,-4…下面證明該數(shù)列使邑。24達(dá)到最大:

為此，我們證明：當(dāng)〃為奇數(shù)（壯3）時(shí)，an+an+x<-\,

假設(shè)存在某正奇數(shù)〃23使%+an+l>-1,則分為兩種可能：

n1

①若a“+i=。，+〃,則?！?。用=2%+〃>_1,

同時(shí)，按原數(shù)列要求，an<--,故-不-亍-不.

乙乙乙乙乙_

(ri1ri

注意到該數(shù)列顯然為整數(shù)數(shù)列，故當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，不存在整數(shù)能位于該區(qū)間-不-刁,-5，因此矛盾.

〈''2_

〃一1〃一1

1

②若4+1=4一附，貝1%+%+1=2。，一九>一1,an>—,與亍矛盾；

綜上，原假設(shè)不成立，故當(dāng)〃為奇數(shù)(“23)時(shí)，a?+an+1<-l.

而已經(jīng)找到的數(shù)列0,-1,1,-2,2,-3,3,-4…中等號(hào)全部成立，故邑期的最大值為-1012.

例7.(2024?北京.高三北理工附中?？奸_學(xué)考試)已知數(shù)列｛%｝,4=。(0<。<1),。用=廢”.給出下列四

個(gè)結(jié)論：

①。2C(0,a)；(2)aI0>a9■

③｛%,｝為遞增數(shù)列；④V〃eN,使得|%+i—%|<1—a.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②④

【解析】對(duì)于①，根據(jù)題意可知的=廢'=/，

因?yàn)?<a<1,所以即%e(a,l),故①錯(cuò)誤；

對(duì)于③，則故/1即1>的>%>4=。>。，

2

所以廢<a%<aT即生<。4<。2，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于②，依次遞推有。<。<見<%<出<1，

所以a"，>a%a。02,即。4>%>/，

所以廢即%<。6<%，

所以屋5>a%>廢4,即。6>%>。5，

所以。%即%(火<4，

所以相7>a%即%>%>%，

所以%，即的<%0<4，故②正確；

對(duì)于④，因?yàn)?<“<1,所以a"=%e(a,l),則a%e(a,l),依次可知屋"e(a,l),

[a<ai<1..

所以<,,^>a-1<an+x-an<\-a^\an+l-a\<\-a,故④正確.

[a<an<1

故答案為：②④.

例8.(2024?河北.高三校聯(lián)考開學(xué)考試)在數(shù)列｛%｝中，滿足見=2023/+2024〃，則詠的值

“2022

為.

4139593589

【答案】4135502071

【解析】設(shè)a“=x/+y〃+z,貝lja"+i=x（"+iy+y（〃+l）+z,

2

an+a〃+i=2xn+（2x+2y）〃+x+y+2z,

'2x=2023

所以2x+2y=2024,解得兀二20管23,,二#1706,

x+y+2z=0

ma202321%

所以4=2n+~n-506,

20231

------x20232+-x2023-506

所以人=224139593589

20231

“2022------X20222+-X2022-5064135502071

22

4139593589

故答案為:

4135502071

例9.（2024?河北.高三校聯(lián)考開學(xué)考試）菲波納契數(shù)列｛4｝又稱“兔子數(shù)列”“黃金分割數(shù)列”，是由13世紀(jì)

的意大利數(shù)學(xué)家菲波納契提出的，其定義是從數(shù)列的第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，即滿足

工+2=￡+1+工.規(guī)定耳=1，「2=1.

⑴試證明：k+玲+居?++斤=￡?五田；

（2）求數(shù)歹U｛工｝的通項(xiàng)公式；

⑶試證明：〃一”時(shí)，旦二避二1.

F

n+l2

【解析】（1）因?yàn)槭?工+工T，

所以工田用=工（工+HjFe

=E+4T（F“T+以2）=琛+e+4-2

=琛+e,+町2（72+￡-3）=琛+碼+Fn-2+Fn-2-工-3

2

=匯+和|++F^+F2Fl=Fl+F^+F^++F；.

（2）因?yàn)楣?|=工+工T，所以工=工-+工-2（〃23）,

設(shè)月-俎一1='優(yōu)一1-俎.2）,

即耳,=（彳+）0&-孫￡-2，

1+小1-A/5

x=x=

22

解得＜或，

1-小l+y/5

y二y=

22

1+^_

將”］入代入得］工廠1工;

①②聯(lián)立解得工經(jīng)檢驗(yàn)附=1,2也滿足上述式子,

所以｛月｝的通項(xiàng)公式為上手］

(3)方法一：

K1I

觀察發(fā)現(xiàn)：U=l=］

《1

導(dǎo)2=1

1

J=l+-T

月2i+l，

1

A=5=1+i

弱31+J_

,1'

1H—

1

塌=1+-------—

工1+J

一

1

設(shè)“i+T-

1+——

則%f+°°時(shí)，認(rèn)為1+-^%,

t

解得：h二史或三叵舍去，

22

即￡:4=/六1±2后，所以旦=1a必

工2Fn+lt

方法二：分別代入工、尸田通項(xiàng)公式:

例10.(2024?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中?？奸_學(xué)考試)已知數(shù)列｛%｝與數(shù)列也｝滿足下列條件：①€｛-1,0,1｝,

b1

"N*;②匕產(chǎn)0,mN*;③片=(-1產(chǎn)1。"-5%1,〃eN*,記數(shù)列也｝的前“項(xiàng)積為人

(1)若4=4=1,%=0,a3=-1,。4=1，求4；

(2)是否存在％,電，的，為，使得4，b[,b3,%成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)寫出一組％,電，的，%；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若4=1,求幾0的最大值.

b,,1,b.,111

【解析】⑴由彳，得叱-i,由可=4一為f=5,得4=-萬(wàn)，

3

所以7；=4也也也=7.

O

(2)不存在.

假設(shè)存在，設(shè)偽也也也公比為4,

若4＞。，則"＜0,4＜。，2＞。，公比，矛盾，

blb2

若仿＜0,則%＞0,仇＞0涉4＜0，公比4=去＜°，4=,＞。，矛盾，

因此假設(shè)不成立，所以不存在.

(3)依題意，：=1＞。,且砥-3＞。,%-2＜。也1＜。，砥＞0,砥一3也"2?砥-1%＞0，＞uN*,

設(shè)%=4-4％1，則%I。，；/，號(hào)，七*%,得1么+/=%僅1,

于是他，=/4+「也」,顯然小用的值從大到小依次為(9;3』,，1?，

若為4,+1=小則且當(dāng)數(shù)列｛。"｝為1,一1』,-1,1或-1,1,-1,1,,可以取得，

顯然當(dāng)必應(yīng)用=《時(shí)，區(qū)1最大，此時(shí)I%?區(qū):也,|,則|處7區(qū)j尸出1=(；尸，

o1931391

Ib2n|＜(-)-1b2|＜(-)--111=(-)-.

從而1小1=國(guó)也也?西ool=l*44-也9I?也也也--^100I

4[lx|x(|)2x.x(^)49]x(|)50x[1xx(|)2xx(1)49]

=(|)50X(；產(chǎn)。+2+3++49)=(|)495。，又幾。＞0,

所以(4。。濡=(|嚴(yán)?

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.(2024?浙江?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知數(shù)列｛風(fēng)｝滿足。1=1,且對(duì)任意打〃EN*(M＞〃)均有

。加+〃+為一〃=2。加+2?！?記｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，則87=()

A.28B.140C.256D.784

【答案】B

【解析】由數(shù)列｛風(fēng)｝滿足弓=1,且am+n+am_n=2am+2an,

令”=1，可得am+1+am_x=2am+2%=2am+2,即(a,?+1-a.—)=2,

再令鬣=am+x-am,可得粼-bm_y=2,即數(shù)列也J是公差為2的等差數(shù)列，

又由白=%-1,可得力=2m-3+出，即弓用一金=2加-3+/,

又由4“=。|+(出一％)+(%-。2)++(4”一。叫-1)=("[-2)2+(〃?-1)電

即am=(m-2)2+(m-T)a2,所以。3=1+2電及%=9+4a2,

令根=3,〃=2,可得生+卬=2a3+24,代入可得9+4出+1=2(l+2a2)+2a2,

解得。2=4,所以冊(cè)=(根—2)2+(m—1)X4=M2,

即數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%="2,

2222222

)5fflU57=1+2+3+4+5+6+7=140.

故選：B.

2.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛q｝滿足％=45,3%+]=°“-1,則滿足不等式4Tq.<0的左的值為

()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】由題意知數(shù)列｛%｝滿足q=45,3%M=a“T,

故,則an+l+；=；（4+；），

結(jié)合4+；=義，可知數(shù)列｛%｝為首項(xiàng)是q+g=T，公比為:的等比數(shù)歹U，

,,191/、“一］ni.911

故％+5=5%），M'J?B=-X（-）

由于y=（；）'在R上單調(diào)遞減，則a?=弓、（；尸-；隨”的增大而減小，

O111

4??=yx（-）-1--<0,即得3"T>91,

由于31隨〃的增大而增大,且34=813=243,

IjllJn-l>4,：.n>5,而〃eN*,故心6,

91/、415n91/、5176八

5232816232243

即數(shù)列｛。.｝的前5項(xiàng)為正，從第6項(xiàng)起均為負(fù)，

故滿足不等式a1?應(yīng)<。的左的值為6,

故選：C

3.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知正項(xiàng)數(shù)歹1M卜滿足附1,4,=%+5一則下列正確的是（）

A------—>yfn

?4+1anB.數(shù)列｛〃用-是遞減數(shù)列

C.數(shù)列｛。用+%｝是遞增數(shù)列D.%+i＞［幾+1-G

【答案】D

【解析】因?yàn)??！?%+1+3%+1,故%-

an=-尸d+l<。，得?！?1<an，

7rl7n

121

對(duì)于選項(xiàng)A,由4”+1可得:=an+\<%+i+-7=4+14,

7n

11,1?111,1

兩邊同乘可得:則選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

4+4an+\anan+\

_12

對(duì)于選項(xiàng)B,易知“八+i%+2-〃〃+1=一~7==%+2，

LN'Vn+1

則4+1一冊(cè)＜a計(jì)2一〃〃+i，選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

1/C1

對(duì)于選項(xiàng)C,a?+a=2a?+4+1，北,

n+i+]y/n""2"1而!?

11

24+2+2+

因此色紅土%21冊(cè)+2

2(2.1

4+4+11u

2%+n+\?H----r--~au?+i

7n

1

工生＜

GT"?1,同時(shí)0<4±1<1,

又0<

1a.

"+1%n+l

1

2+E""+2

即見+1+%+2

得<1,＜1,選項(xiàng)c錯(cuò)誤;

aa

2+，n+n+l

1112

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)2時(shí),-----------<=+1-J〃-1,

%+1anG，幾+1+J〃-1

11111111/--[―

IJIH-----=---------------1---------------1-■'H-------------1----<vM+1+\/ZZ

、%+1%+lanan%a2%4

則有%＞dn+l-G，則選項(xiàng)D正確.

故選：D.

4.（2024廣東廣州?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）己知數(shù)列｛（｝滿足％+2%+3/+.+%=M“eN*）,若

bn—,%+2，則數(shù)列也｝的前10項(xiàng)和為（）

ABC.史175

-ll-苗D.

132264

【答案】D

【解析】因?yàn)閝+242+3/++加5〃=〃(〃￡N*),

所以4+22+3%++(n-l)an_i=H-1(HeN*),

兩式相減可得〃%=1,即4=’，

n

1111

所以b“=aja“+2

n(n+2)2\n〃+2

1111111111V175

所以4+仇++b—|------------1-------------F_1--------------

l03243510122211UJ2M,

故選：D

5.（2024?浙江寧波?高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列｛%｝滿足4=。，4=%=1，令〃=%+凡+i+q+2（〃EN*）.若

數(shù)列出｝是公比為2的等比數(shù)列，則的必()

2*42*3C22必+42班4+6

A.B.----------D.

7777

【答案】B

【解析】4=%+4+/=。+1+1=2,數(shù)列也｝是公比為2的等比數(shù)歹人則a=2〃，

即％一?！??！?1+?！?2+4+3&+%+%)=%-〃=2鵬-2"=2”,

“2024=(“2024—“2021)+(出021-。2018)+(%018—%015)++(區(qū)一%)+。2

22

222024—4

=22021+22018+22015++2+1=+1;

77

故選：B

二、多選題

6.（2024安徽池州?高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列｛%｝滿足q=1，4用則下列說(shuō)法正確的是（）

A?收024>々2023B.為遞增數(shù)列

C.4嘮—1=4%%D.。；024<1013

【答案】ACD

【解析】因?yàn)椤?匚二^>0，即4+1>%，

〃+1

22

所以數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，可得物）24>%）23,選項(xiàng)A正確;

因?yàn)閿?shù)列｛%｝為遞增數(shù)列且?！?1>0,則,，，為遞減數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

因?yàn)椤ā?1="〃+'冊(cè)+工,可得2%=亞+1,

2

兩邊平方整理得4屋「1=4an+ia?,選項(xiàng)C正確.

因?yàn)?。；+1-1=4%+陷〃,整理得4-

0011c,11

兩邊平方得4=0〃+1+工"^—即<7,

16%+1222

可得々2024.“2023<萬(wàn)，々2023—〃2022<］，，-"1<］，

累加可得。短4一Y：x(2024-1)=1011.5,

即點(diǎn)2411Vl011.5,所以確24<1012.5<1013,故D正確.

故選：ACD

7.（2024?河南周口?高三項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）斐波那契數(shù)列又稱為黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代

物理、化學(xué)等領(lǐng)域都有應(yīng)用.斐波那契數(shù)列｛4｝滿足4=%=1,%=4_1+/_2（〃之3）,則（）

A.VnGN,a{+a3+a5+-+a2n_x=a2n

a

B.3meN\使得4,m+\'"根+2成等比數(shù)列

C.32eR,對(duì)V〃eN*,%"a“+2，%+4成等差數(shù)列

+a=a-1

D.€N*,4+。4+。6+-2n2,,+l

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,因?yàn)榈?%，

a

所以4+。3+/++2n-l=。2+。3+。5++02"-］

+aa+aa

=%+%+%+2?-l='=2n-2in-\=2n^故A正確；

對(duì)于B,由遞推公式可知見,,4田,。,“+2中有兩個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，不可能成等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,??+4=an+3+an+2=2an+2+an+i=3an+2-an,所以2xga“+2J=%+%+4，

33

故%，:%+2，%+4成等差數(shù)列，所以存在彳=：，使得%，而“+2，%+4成等差數(shù)列，故C正確；

對(duì)于D,由q=。2=1,?！??！癬1+%_2("23),得出=4一1，

以。2+14+〃6++a2n=-1+%+〃4+“6++

+a=

=-1+%+。6+2n=-1+〃2“=。2〃+1-1，故D正確.

故選：ACD.

8.(2024.江西?高三統(tǒng)考期末)已知正項(xiàng)數(shù)列｛叫滿足％=g,4+1=/(%),其中〃x)=ln(e，-l)-lnx,則

()

A.｛為｝為單調(diào)遞減數(shù)列B?々2023<%024

C.D.+d!2+d!3+---+^>1-^

【答案】ACD

【解析】對(duì)于AB,由已知得%+1=/(4“)，令/z(x)="x)-x=ln(e-l)-Inxr,

定義域?yàn)?0,+力)，，(x)=，令g(x)=-e*+1+尤，g'(x)=-e*+l,

當(dāng)xw(0,+co)時(shí)，此時(shí)g'(x)<0恒成立，故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

g(x)<g(0)=0,也可得e'-x-l>0，即〃(x)<0,

故/z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，當(dāng)x—0時(shí),以尤)-0,則以無(wú))<0,

故〃X)<X,貝以&)<%,即。3<耳，故｛%｝為單調(diào)遞減數(shù)列，

故A正確，顯然。2023>“2024，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,欲證且由題意得.=〃“")=ln(e%T-liw“，

2

即證一ln%>—%,即證In----->-an,取指數(shù)得----->e,

\'2an2an

anan

又易知外>。，化簡(jiǎn)得砂_1-〃盧了>0，故證明〃盧三>0恒成立即可，

令0(%)=?2,-1—2xe*,xG(0,+oo),而d(x)=2e，(e無(wú)一

故磯尤)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且會(huì)>。，故?gj>0，

一1

即e%—l—〃戶萬(wàn)>0恒成立，故。〃+1>耳4得證，故C正確，

對(duì)于D,由C可知‘。1=:,%><%=<,。3>:。2=!’L'&〃>：%=?，

ZL4ZoZZ

上式相力口，得q+2+/H-----\-an>-^-\-----卜！二

故%+%+〃3~1-----〃21—木得證，故D正確.

故選：ACD

9.(2024.廣東.惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).已知二次函

數(shù)/（x）有兩個(gè)不相等的實(shí)根瓦C,其中c>0.在函數(shù)Ax）圖象上橫坐標(biāo)為々的點(diǎn)處作曲線y=/（元）的切線，

切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為巧；用巧代替為,重復(fù)以上的過(guò)程得到鼻；一直下去，得到數(shù)列｛斗｝.記

%=坨三心，且％=1,xn>c,下列說(shuō)法正確的是（）

x?-c

A.%=三三（其中l(wèi)ne=l）B.數(shù)列伍“｝是遞減數(shù)列

e-1

C.%=白D.數(shù)歹山"+」的前〃項(xiàng)和s“=2”一2~+1

321an\

【答案】AD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由%=1112=1得上心=e,所以％=止?，故A正確.

Xx-cXx-ce-1

二次函數(shù)有兩個(gè)不等式實(shí)根6,c,

不妨設(shè)/（x）=a（x—6）（x—c）,

因?yàn)?'（x）=a（2x-6-c）,

所以/'（斗）”。王-c）,

???在橫坐標(biāo)為匕的點(diǎn)處的切線方程為：y-f（xn）=a（2x,-b-c）（x-xn）,

人°,=f（2%_6_c）_〃x"）二axjbc=x；-bc

n+1

v-b-c）-b-c）2xn-b-c'

因?yàn)榫?T=x；-bc-b（2X"-b-c）=片-2如,+?=（%5

2

x?+i-c^-bc-c（2xn-b-c）尤;一2cx“+。2（x?-c）

iXu-b…x?-b

所以In上一=21n，一，即：an+l=2an

X“+「CXn-C

所以｛%｝為公比是2,首項(xiàng)為1的等比數(shù)列.

所以4=2”T故BC錯(cuò).

111-X

對(duì)于D選項(xiàng)，由a"+'=2'T+（；）"T,得s"=二+T=2"-l+2-4=2"+l-熹故D正確.

乙1-22

-2

故選：AD

10.（2024?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知函數(shù)〉=工。>0）的圖象為曲線C,

X

點(diǎn)司，^，員，在c上，點(diǎn)4,4,4,?在無(wú)軸上，且上。Ad，A&A，分別是以4,52，員，為直角

頂點(diǎn)的等腰直角三角形.記點(diǎn)4,瓦的橫坐標(biāo)分別為由,4（i=l,2,3,.,〃，）,則（）

B.(z3=2-\/3