第五章四邊形

重難點(diǎn)09幾何熱考題三四邊形熱考模型

（5種類型19種模型詳解+專題訓(xùn)練）

【題型匯總】

中點(diǎn)四邊形模型

垂美四邊形模型

兩邊過頂點(diǎn)

幾正方形

何

十字架模型兩邊均不過頂點(diǎn)

熱

矩形兩邊均不過頂點(diǎn)（含一jaa頂點(diǎn)）

考

正方形半角模型

題半角模型-------；---------

與正方形半角模型有關(guān)的多結(jié)論問題

三正方形熱考模型

風(fēng)車模型

四

邊一線三垂直模型

一線三垂直模型---------：------

形構(gòu)造一線三垂直模型

熱

考矩形對(duì)角相等求最值

模利用菱形的對(duì)稱性求最值

最值模型

型利用正方形的對(duì)稱性求最值

正方形中的對(duì)稱模型--------------------------

正方形與正三角形

特殊四邊形熱考模型折疊模型

對(duì)角互木隈型

手拉手模型

構(gòu)造中位線求解

題型01中點(diǎn)四邊形模型

【基礎(chǔ)模型】已知點(diǎn)E、F、G、H分別為任意四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，則

CD四EFGH丁四^）CEFGHAC+BD，平行四邊形EFGH=5S四邊形ABC。

【名師總結(jié)】

1）順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形.

2）順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形.

3）順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是菱形.

4）順次連接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是正方形.

速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正.

1.（2024?山西?中考真題）在四邊形力BCD中，點(diǎn)E,F,G,”分另!］是邊4B,BC,CD,。力的中點(diǎn)，EG,FH交于

點(diǎn)。.若四邊形4BCD的對(duì)角線相等，則線段EG與一定滿足的關(guān)系為（）

A.互相垂直平分B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等

2.（2022.湖北荊州.中考真題）如圖，已知矩形428的邊長(zhǎng)分別為a,b,進(jìn)行如下操作:第一次,順次連

接矩形ABC。各邊的中點(diǎn)，得到四邊形4B1QD1；第二次，順次連接四邊形4B1C1A各邊的中點(diǎn)，得到四

邊形2c24；…如此反復(fù)操作下去，則第〃次操作后，得到四邊形上當(dāng)0人的面積是（）

AD\D

小

B

.ababab?ab

A，2n2nTq，2n+iD，22n

3.（2023?江蘇南通?中考真題）如圖，四邊形4BCD的兩條對(duì)角線AC,BD互相垂直，AC=4,BD=6,則

4.（2024?云南?中考真題）如圖，在四邊形力BCD中，點(diǎn)、E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，且力B||CD,4D||8C,

四邊形EFGH是矩形.

H

A,D

G

BFC

(1)求證：四邊形4BCD是菱形;

⑵若矩形EFGH的周長(zhǎng)為22,四邊形力BCD的面積為10,求4B的長(zhǎng).

5.(2023?山西?中考真題)閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形2BCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是邊4B,BC,CD,D力的中點(diǎn)，順次連接E,F,G,”,

得到的四邊形EFGH是平行四邊形.

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里

尼翁(Var譏gncm,Pierrel654—1722)是法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線滿足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正

方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接4C,分別交于點(diǎn)P,Q,過點(diǎn)。作DM1AC于點(diǎn)M,交HG于點(diǎn)N.

：//,6分別為2。,。。的中點(diǎn)，：.HG||AC,HG=^AC.(依據(jù)1)

D

G

圖2:瑞得?.：DG=GC,：.DN=NM/DM.

,四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，||GF,BPHP||GQ.

'：HG||AC,即HGIIPQ,

四邊形HPQG是平行四邊形.（依據(jù)2）.?.S0HPQG="G=杯"G-DM.

-1-I

,^AADC—2^='^BHPQG—■同理，…

任務(wù):

(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：.

依據(jù)2是指：.

(2)請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具，畫一個(gè)四邊形力BCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH,使得四邊形EFG”為

矩形；(要求同時(shí)畫出四邊形48CD的對(duì)角線)

(3)在圖1中，分別連接AC,BD得到圖3,請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長(zhǎng)與對(duì)角線4C,BD長(zhǎng)度的關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

圖3

6.(2024?青海?中考真題)綜合與實(shí)踐

順次連接任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)得到一個(gè)新四邊形，我們稱這個(gè)新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形.數(shù)學(xué)

興趣小組通過作圖、測(cè)量，猜想：原四邊形的對(duì)角線對(duì)中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)方面展開探究.

【探究一】

證明：?:E、F、G、H分別是48、BC、CD、的中點(diǎn),

:.EF、GH分別是△ABC和△4CD的中位線，

??.EF="C,GH=^AC（一①一）；-EF=GH.

同理可得：EH=FG..,.中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.

（1）請(qǐng)你補(bǔ)全上述過程中的證明依據(jù)①

【探究二】

原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀

\

EhX

不相等、不垂直平行四邊形7J

￡

飛

AC=BD菱形

C圖2

從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想I：原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形.

（2）下面我們結(jié)合圖2來(lái)證明猜想I,請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【探究三】

原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

AC1BD②________

（3）從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想H：原四邊形對(duì)角線垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是②

（4）下面我們結(jié)合圖3來(lái)證明猜想n,請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【歸納總結(jié)】

（5）請(qǐng)你根據(jù)上述探究過程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對(duì)應(yīng)的圖形.

中點(diǎn)四邊形形狀

原四邊形對(duì)角線關(guān)系

③__________④_________

圖4

結(jié)論：原四邊形對(duì)角線③..時(shí)，中點(diǎn)四邊形是④.

題型02垂美四邊形模型

已知四邊形中AC±BD如圖，在矩形ABCD中，P為CD如圖，在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部

邊上有一點(diǎn)，連接AP、BP任意一點(diǎn)，連接AP、BP,CP,DP

圖示DFC1)__________________C

S

BABAB

DP1+BP-=AP-+PC-

結(jié)論AP2+PC2=DP2+BP2

S四邊形ABCD=3?AC*BD

AB2+DC2=AD2-^BC2

7.（2020?四川雅安?中考真題）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形

ABCD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0.若2。=2,BC=4,則AB2+

8.（2024?山東泰安.二模）小明學(xué)習(xí)了四邊形后，對(duì)有特殊性質(zhì)的四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)了這樣一

類特殊的四邊形：兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形，叫做垂美四邊形，如圖：已知四邊形4BCD中，ACLBD,

垂足為。，對(duì)角線AC=4,BD=6,設(shè)S=AD+BC,貝"的最小值等于

9.(2021?山東棗莊?中考真題)如圖1,對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：如圖2,在四邊形48CD中，AB=AD,CB=C。，問四邊形2BCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)

明理由；

(2)性質(zhì)探究：如圖1,垂美四邊形48CD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0.猜想：AB2+CD2^AD2+BC2W

么關(guān)系？并證明你的猜想.

(3)解決問題：如圖3,分別以RtAACB的直角邊力C和斜邊力B為邊向外作正方形4CFG和正方形4BDE,

連結(jié)CE,BG,GE.已知2C=4,4B=5,求GE的長(zhǎng).

10.(2023?江蘇常州?二模)【知識(shí)感知】：我們把對(duì)角絲互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”如圖1所示.

【概念理解】：①在下列四邊形中，①正方形；②矩形：③菱形；④平行四邊形，是垂美四邊形的是」

②三邊長(zhǎng)為2的垂美四邊形周長(zhǎng)為

【性質(zhì)探索工若記垂美四邊形2BCD面積為S,試直接寫出S與4C、BD之間的關(guān)系」

【性質(zhì)應(yīng)用】：嘗試用兩個(gè)全等的直角三角形(RtAABC三RtABED)如圖2擺放，其中8、C、E在一條

直線上，若假設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)為x,y,z,即BC=ED=尤，AB=BE—y,AC=BD=z,試?yán)蒙厦?/p>

的結(jié)論證明勾股定理.

圖1圖2

11.（2024?浙江杭州?三模）（1）認(rèn)識(shí)研究對(duì)象：如圖，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.我

們已經(jīng)學(xué)習(xí)了①平行四邊形②菱形③矩形④正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是

（2）探索研究方法：如圖1.已知四邊形28CD是垂美四邊形，求證：AB2+CD2^AD2+BC2.

（3）嘗試問題解決：已知AB=5V2,BC=4V2,分另U以△力BC的邊BC和力B向夕卜作等腰Rt△BCE和等腰Rt△

ABD；

①如圖2,當(dāng)乙4cB=90。，連接DE,求DE的長(zhǎng);

②如圖3.當(dāng)乙4CBK90。，點(diǎn)G、X分別是4。、AC中點(diǎn),連接GH.若GH=2正,求SAMC的面積?

圖1圖2圖3

12.（2023?江蘇徐州?中考真題）【閱讀理解】如圖1,在矩形4BCD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得

AC2=a2+b2,同理BO?=a2+b2,故AC?+BD?=2（a2+b2）.

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形ABC。為平行四邊形，若AB=a,BC=b,則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以

判斷，并說(shuō)明理由.

【拓展提升】如圖3,已知8。為ATIBC的一條中線，AB=a,BCb,AC=c.求證：8。？=Q羋—三.

24

【嘗試應(yīng)用】如圖4,在矩形48CD中，若4B=8,BC=12,點(diǎn)尸在邊4。上，貝曲呂2+PC?的最小值為

題型03正方形熱考模型

1）十字架模型

【基礎(chǔ)模型-兩邊過頂點(diǎn)】

使用場(chǎng)景：在正方形ABCD中，E,F分別是BC,DC上的點(diǎn)，AE與B0相交于點(diǎn)0,互相推導(dǎo)①BE=CF,②AE=BF,

③AEJ_BF

圖示:

大招結(jié)論：相等則垂直，垂直則相等.

【模型進(jìn)階-一邊過頂點(diǎn)】

條件：在正方形ABCD中，E,F,G分別是BC,AB,DC上的點(diǎn)，AE與FG相交于點(diǎn)0,

結(jié)論：正方形十字模型中,構(gòu)成“十”字形的兩條線段，知垂直推相等，知相等推垂直.

【模型進(jìn)階-兩邊均不過頂點(diǎn)】

圖示:

結(jié)論：正方形十字模型中,構(gòu)成“十”字形的兩條線段，知垂直推相等，知相等推垂直.

【易錯(cuò)點(diǎn)】以上結(jié)論成立的條件是：四點(diǎn)必須位于四邊，否則不成立.

類型矩形的十字架模型（兩邊過頂點(diǎn)）矩形的十字架模型（兩邊不過頂點(diǎn)）

條件在矩形ABCD中，E是AD上的點(diǎn),CELBD在矩形ABCD中，E,F,G,H分別是AD,BC,AB,

交于點(diǎn)0CD上的點(diǎn),EFLGH交于點(diǎn)0,

圖示

AED\__之_PAE

在Tp

BCFLBMFC

結(jié)論CECDEF_EM_.18

△CDE^ABCD^>——=——

BDBC△EMFS/^GNH4GHGN.ID

①正方形兩邊過頂點(diǎn)

13.（2023?遼寧丹東?中考真題）如圖，在正方形4BCD中，48=12,點(diǎn)E,尸分別在邊BC,CD上，4E與BF相

14.（2023?湖北黃石?中考真題）如圖，正方形4BCD中，點(diǎn)M,N分別在4B,BC上,且=GV,4N與DM相

交于點(diǎn)P.

（1）求證：AABN名AIMM；

（2）求乙4PM的大小.

15.（2023?山東?中考真題）（1）如圖1,在矩形力BCD中,點(diǎn)E,F分別在邊DC,BC上，AE1DF,垂足為

點(diǎn)G.求證：4ADEFDCF.

圖1圖2圖3

【問題解決】

（2）如圖2,在正方形4BCD中，點(diǎn)E,F分別在邊DC,BC上，AE=DF,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)“，使CH=DE,連

接。H.求證：/.ADF=ZW.

【類比遷移】

(3)如圖3,在菱形ABCD中，點(diǎn)E,F分另I］在邊DC,BC上，AE=DF=11,DE=8,^AED=60°,求CF的

長(zhǎng).

②正方形一邊過頂點(diǎn)

16.（2023?江蘇揚(yáng)州?中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E、尸分別在邊AD、BC上,將正方

形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)夕處，如果四邊形2BFE與四邊形EFCD的面積比為3：5,那么

線段FC的長(zhǎng)為.

17.（2022.貴州貴陽(yáng)?中考真題）如圖，在正方形A8CD中，E為4。上一點(diǎn)，連接BE,BE的垂直平分線交42于

點(diǎn)F在DC上，且MFII4D.

(2)若48=8,AE=6,求。N的長(zhǎng).

由同角的余角相等可得NABF=ND4E.再由4B=D4,Z.BAF=ZD=90°,證得△4BF三△￡ME（依據(jù):

),從而得4E=BF.

乙小組的同學(xué)猜想，其他條件不變，若已知4E=BF,同樣可證得2E18F,證明思路如下：

由2B=ZM,BF=△ABFRt△DXF(HL),可得NABF=N/ME,再根據(jù)角的等量代換即可證

得AE1BF.

完成任務(wù)：

(1)填空：上述材料中的依據(jù)是(填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”)

【發(fā)現(xiàn)問題】同學(xué)們通過交流后發(fā)現(xiàn)，已知4E1BF可證得2E=8F,已知4E=8尸同樣可證得4E，BF,

為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論是否具有一般性，又進(jìn)行了如下探究.

【遷移探究】(2)在正方形2BCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)M,N分別在4D,BC上，連接4E,MN交于點(diǎn)P.甲

小組同學(xué)根據(jù)MN14E畫出圖形如圖2所示，乙小組同學(xué)根據(jù)MN=4E畫出圖形如圖3所示.甲小組同學(xué)

發(fā)現(xiàn)已知MN1AE仍能證明MN=AE,乙小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知MN=4E無(wú)法證明MN1AE一定成立.

①在圖2中，已知MN12E,求證：MN=AE；

②在圖3中，若ND4E=a,則乙4PM的度數(shù)為多少?

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖4,在正方形48CD中，AB=3,點(diǎn)E在邊力8上，點(diǎn)M在邊4。上，且4E=AM=1,點(diǎn)尸，N分

別在直線CD,BC上，若EF=MN,當(dāng)直線EF與直線MN所夾較小角的度數(shù)為30。時(shí)，請(qǐng)直接寫出CF的長(zhǎng).

AM

E

NC

圖4

19.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考

下面是小逸同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

用“平移法”解答幾何問題解答幾何問題常常需要添輔助線，其中平移圖形是重要的添輔助線的策略.

如圖1,在正方形力BCD中，E,F,G分別是BC,AB,CD上的點(diǎn)，F(xiàn)G1AE于點(diǎn)Q.

求證：AE=FG.

BEC圖1

小逸在分析解題思路時(shí)想到了兩種平移法：

方法一：平移線段FG使點(diǎn)尸與點(diǎn)B重合，構(gòu)造全等三角形.

如圖2,平移線段FG至交AE于點(diǎn)K,由平移的性質(zhì)得FG||B”，

BE0圖2

???四邊形是正方形，???4B||CD,

???四邊形是平行四邊形（依據(jù)1）,?,.8”=FG,

\9FGLAE,：.BH1AE,

：.ABKE=90°,：.LKBE+LBEK=90。,

4BEK+匕BAE=90°,

AZ.BAE=乙CBH,

^BAE=Z.CBH

在△ABE和△BCH中，AB=BC,：.LABE=A^CH（ASA）,

、Z-ABE=Z.C

???/E=8"（依據(jù)2）,：.AE=FG.

方法二：如圖3,平移線段BC至FH交ZE于點(diǎn)P,則四邊形是矩形，

BEC圖3

：.BC\\FH,BC=FH,/.FHG=90°,J./-APF=/.AEB,

'：四邊形ABC。是正方形，：.AB=BC,/-ABE=90°,：.AB=FH,乙ABE=ZFHG,

,：FG1.AE,...

任務(wù)：（1）填空：材料中的依據(jù)1是指，依據(jù)2.

（2）補(bǔ)全材料中方法二的剩余證明過程.

⑶如圖4,在正方形網(wǎng)格中,48,C,D為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）,AB交CD于點(diǎn)。.則tan乙40c=.

③正方形兩邊均不過頂點(diǎn)

20.（23-24八年級(jí)下.江蘇泰州?期中）閱讀與思考：下面是小姜同學(xué)寫的一篇數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并

完成相應(yīng)的任務(wù)：

正方形中相等的線段如圖1,在正方形48CD中，如果點(diǎn)E、尸分別在BC、CD上，且4E1BF,垂足為M,

那么力E與8F相等嗎？證明你的結(jié)論.

對(duì)于上面的問題，我是這樣思考的：

（1）：.

圖1反思1：對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)分別在正方形ABCD一組對(duì)邊上的線段,若這樣的兩條線段互相垂直,

那么這兩條線段是否仍然相等呢？

對(duì)此可以做進(jìn)一步探究：

⑴完成筆記中的“我是這樣思考的”；

(2)回答筆記中反思1的問題，并證明；

(3)回答筆記中反思2的問題，在圖3中畫圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明.

④矩形兩邊均不過頂點(diǎn)(含一邊過頂點(diǎn))

21.(2023?山東日照?中考真題)如圖,矩形48。9中,48=6,AD=8,點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，過點(diǎn)尸作MN1BD,

交邊AD,BC于點(diǎn)、M,N,過點(diǎn)M作ME14。交BD于點(diǎn)E,連接EN,BM,DN.下列結(jié)論：①EM=EN；

②四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)=1:2時(shí)，ShMPE=~④BM+MN+ND的最小值是20.其中

所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

22.（2023?河南?三模）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

（1）操作判斷

如圖1,正方形紙片力BCD,在邊BC上任意取一點(diǎn)E,連接力E,過點(diǎn)B作BF14E于點(diǎn)G,與邊CD交于點(diǎn)F.

根據(jù)以上操作，請(qǐng)直接寫出圖1中8E與CF的數(shù)量關(guān)系：.

（2）遷移探究

小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

如圖2,在矩形紙片4BCD中，AB-.AD=m-.n,在邊8C上任意取一點(diǎn)E,連接4E,過點(diǎn)B作BF14E于點(diǎn)G,

與邊CD交于點(diǎn)乩請(qǐng)求出的值，并說(shuō)明理由；

CF

（3）拓展應(yīng)用

如圖3,已知正方形紙片力BCD的邊長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)E由點(diǎn)2向終點(diǎn)D做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F由點(diǎn)。向終點(diǎn)C做勻速

運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，且速度相同，連接ZF、BE,交于點(diǎn)G,連接GD,則線段GD長(zhǎng)度的最小值

為，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)為.（直接寫出答案不必說(shuō)明理由）

23.（2023?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在矩形力BCD中，AB=a,BC=b，點(diǎn)、E,F,G,

"分別在線段4B,BC,CD,DA1.,且EG1求巴的值；

FH

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在四邊形4BCD中，^DAB=90°,乙4BC=45。，48=苧四，點(diǎn)E,F分別在線

段A8,4。上，5.CE1BF,求M的值；

【拓展提高】（3）如圖3,四邊形4BCD中，ZX=ZB=90。，點(diǎn)E為2D上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作FG垂直CD交力B于

點(diǎn)、F,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.若4F=2,BF=3,CD=7,求AE的長(zhǎng).

24.（2024?山東泰安.中考真題）綜合與實(shí)踐

為了研究折紙過程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒?dòng).

【探究發(fā)現(xiàn)】

（1）同學(xué)們對(duì)一張矩形紙片進(jìn)行折疊，如圖1,把矩形紙片4BCD翻折，使矩形頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好落在

矩形的一邊CD上，折痕為EF,將紙片展平，連結(jié)BG,EF與8G相交于點(diǎn)H.同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成

比例，即黑=常請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說(shuō)明理由.

【拓展延伸】

（2）同學(xué)們對(duì)老師給出的一張平行四邊形紙片進(jìn)行研究，如圖2,是平行四邊形紙片48CD的一條對(duì)角

線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H都落在對(duì)角線BD上，折痕分別是BE

和DF,將紙片展平，連結(jié)EG,FH,FG,同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若FG||CD,那么點(diǎn)G恰好是對(duì)角線BD的一

個(gè)“黃金分劇點(diǎn)”，即BG2=請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說(shuō)明理由.

25.（23-24九年級(jí)上?貴州貴陽(yáng).期末）如圖①，在正方形4BCD中,點(diǎn)、E,尸分別在邊4B、BC上,2F_LCE于

點(diǎn)O,點(diǎn)G,H分別在邊力D、BC上，GH1CE.

圖①

（1）問題解決：①寫出DF與CE的數(shù)量關(guān)系：；②等的值為；

（2）類比探究，如圖②，在矩形4BCD中，M=k（左為常數(shù)），將矩形A8CD沿GH折疊，使點(diǎn)C落在28邊上

的點(diǎn)E處，得到四邊形EFGH交4。于點(diǎn)P,連接CE交GH于點(diǎn)。.試探究GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明

理由；

(3)拓展應(yīng)用，如圖③，四邊形4BCD中，Z5XD=90°,AB=BC=6,AD=CD=4,BF1CE,點(diǎn)、E、F

分別在邊AB、AD±,求稱的值.

BF

2)半角模型

【模型介紹】從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45。的兩條射線，并連結(jié)它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成

的基本平面幾何模型.

已知正方形ABCD中，E,F分別是BC、CD上的點(diǎn)，ZEAF=45°,AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)0、P,貝!］：

①EF=BE+DF②AE平分/BEF,AF平分NDFE③C&EF=2倍正方形邊長(zhǎng)

@SAABE+SAADF=SAAEF⑤AB=AG=AD(過點(diǎn)A作AGLEF,垂足為點(diǎn)G)

@0P2=0B2+0D2⑦若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，則點(diǎn)F為CD三等分點(diǎn)

⑧AAPOsAAEFsADPFsABEOsADAOsABPA⑨ABEP四點(diǎn)共圓、AOFD四點(diǎn)共圓、OECFP五點(diǎn)共圓

⑩AAPE、AAOF為等腰直角三角形(11)EF=V20P

(12)SAAEF=2SAAPO(13)AB=BPXOD

(14)CE?CF=2BE-DF(15)AEPC為等腰三角形

(16)PX=BX+DP(過點(diǎn)E作EX±BD,垂足為點(diǎn)X)

證明：

①思路：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)M,使DM=BE,連接AM

先根據(jù)已知條件AABE些AADM(SAS),由此可得AE=AM,ZBAE=ZDAM

而/BAE+NFAD=45°,所以NDAM+NFAD=45°,可證明AAEFVAAMF(SAS),

由此可得EF=MF,而MF=DM+DF=BE+DF,因止匕EF=BE+DF

②思路：VAAEFAAMF(SAS)；./AFM=NAFE,NAMF=/AEF

，AF平分/DFE又：/AMF=/AEB

/.ZAEB=ZAEF；.AE平分/BEF

③思路:CACEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=(BE+EC)+(DF+FC)=BC+DC=2BC

④、⑤思路：過點(diǎn)A作AGLEF,垂足為點(diǎn)G

根據(jù)②證明過程可知AFG=NAFD,NAEB=/AEG

因止匕可以證明：AABE2AAGE(AAS),AAGF2AADF(AAS)

所以AB=AG=AD,SAABE=SAAGE,SMGF=SAADF

則SAAEF=SAAGE+SAAGF=SAABE+SAADF

⑥思路：繞點(diǎn)A將AAPD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AANB,使AD,AB重合AD

因?yàn)锳APD2AANB(AAS)所以AN=AP,BN=DP,ZNAB=ZPAD,NADP=/ABN

因?yàn)?ADB=/ABD=45°,所以NNBO=90°/

因?yàn)?。所以?/p>

/BAE+NPAD=45NNAB+/BAE=45BEC

則AANO2AAPO(SAS)所以NO=OP

在RtANBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2,則Op2=OB2+OD2

⑦思路：已知tan/EAB=^=|,且/EAB+/FAD=45°

AD

.?.tanZFAD=|(“12345型”)，；.DF:AD=1:3,即點(diǎn)F為CD的三等分點(diǎn).

⑧思路：假設(shè)NAEF的度數(shù)為a,NAFE的度數(shù)為以

在右圖中已知^表示45°角，＜=表示角的度數(shù)為a,分表示角的度數(shù)為0

BEC

所以AAPOSAAEFSADPFSABEOSADAOSABPA

⑨、⑩思路：1)：/EAP=/EBO=45°,；.ABEP四點(diǎn)共圓

VZEBA=90°,；.AE為直徑，.\ZAPE=90°貝!IAP_LPE

.?.ZAEP=180°-ZAPE-ZEAP=45°AAPE為等腰直角三角形

2)同理AOFD四點(diǎn)共圓，VZADF=90°,；.AF為直徑，,-.ZAOF=90°貝ljAO±OF

.-.ZAFO=180°-ZAOF-ZOAF=45°.?.△AOF為等腰直角三角形

3)?.,NEOF二NEPF=ZECF=90°,;.OECFP五點(diǎn)共圓

(11)思路：:△APOsAAEF.?.弛=色，假設(shè)AP長(zhǎng)為1,貝|AE=/,.?.EF=&OP

APOP

(12)思路：AAPOsAAEF相似比為爭(zhēng)則面積的比為T,SAAEF=2SAAPO

(13)思路：:△ABPsAODA：.—=—,.,.ABXAD=BPXOD則AB?=BPXOD

ODAD

(14)思路：假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為m,BE長(zhǎng)為a,DF長(zhǎng)為b,則EF長(zhǎng)為a+b

根據(jù)勾股定理可得EC2+FC2=EF2，則(m-a)2+(m-b)2=(a+b)2

化簡(jiǎn)得(m-a)(m-b)=2ab所以CE?CF=2BE?DF

(15)思路：根據(jù)⑩證明過程可知AAPE為等腰直角三角形，所以AP=PE

再證明AADP2ACDP(SAS),所以AP=PC,

則PE=PC所以AEPC為等腰三角形

(16)思路：過點(diǎn)E作EXLBD,垂足為點(diǎn)X,過點(diǎn)A作AYLBD,垂足為點(diǎn)Y,連接PE

先證明AAPY些APEX(AAS)("一線三垂直模型，所以AY=PX

":N上BDPX=-BD所以BX+DP=

2'22

①半角模型

26.(2024.四川宜賓.中考真題)如圖，正方形2BCD的邊長(zhǎng)為1,M、N是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn).若NM4V=45°,

27.(2022.貴州黔西?中考真題)如圖1,在正方形48C。中，E,尸分別是8C,邊上的點(diǎn)(點(diǎn)￡不與點(diǎn)

B,C重合)，且NE4F=45。.

(1)當(dāng)=時(shí)，求證：AE=AF；

(2)猜想BE,EF,。尸三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)如圖2,連接AC,G是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，GH1AE,垂足為K,交AC于點(diǎn)H且GH=AE.若DF=a,

CH=b,請(qǐng)用含a,6的代數(shù)式表示E77的長(zhǎng).

28.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個(gè)含有45。角的三角尺

放在正方形4BCD中，使45。角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)C重合，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，45。角的兩邊CM,CN

始終與正方形的邊AD,4B所在直線分別相交于點(diǎn)M,N,連接MN,可得△CMN.

【探究一】如圖②，把4CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△CBH,同時(shí)得到點(diǎn)H在直線4B上.求證：4CNM=

乙CNH；

【探究二】在圖②中，連接BD,分別交CM,CN于點(diǎn)、E,F.求證：4CEF“4CNM；

【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線BD與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點(diǎn)E,F.連接北

交于點(diǎn)0,求黑的值.

NM

29.(2024?四川樂山?中考真題)在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：

【問題情境】

如圖1,在△ABC中，ABAC=90°,AB=4C,點(diǎn)。、E在邊BC上，且ND4E=45。，BD=3,CE=4,求

DE的長(zhǎng).

解：如圖2,將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到連接E?.

圖1

由旋轉(zhuǎn)的特征得NBA。=NCHD',乙B=LACD',AD=AD',BD=CD'.

\"^BAC=90°,^DAE=45°,

：.z.BAD+^EAC=45°.

;乙BAD="AD',

：./.CAD'+NE4c=45°,即NE力￡?'=45°.

J./.DAE=^D'AE.

在△￡ME和△D2E中，

AD=AD',ADAE=^D'AE,AE=AE,

①.

：.DE=D'E.

又,：乙ECD'=/.ECA+/-ACD'=/.ECA+NB=90°,

.?.在RtAECD'中，②.

?；CD'=BD=3,CE=4,

圖2

：.DE=D'E=③.

【問題解決】

上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：；“②”處應(yīng)填：；“③”處應(yīng)填：.

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以

不變應(yīng)萬(wàn)變.

【知識(shí)遷移】

如圖3,在正方形ABC。中，點(diǎn)、E、尸分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長(zhǎng)等于正方形48CD的周長(zhǎng)的一

半，連結(jié)ZE、AF,分別與對(duì)角線BD交于M、N兩點(diǎn).探究BM、MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明.

A,D

BEC

圖3

【拓展應(yīng)用】

如圖4,在矩形4BCD中，點(diǎn)E、歹分別在邊BC、CD上，且NE4F=NCEF=45。.探究BE、EF、OF的數(shù)量

關(guān)系：（直接寫出結(jié)論，不必證明）.

圖4

【問題再探】

如圖5,在AABC中，"BC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)ZXE在邊4C上，5.Z.DBE=45°.設(shè)AD=x,CE=y,

求y與尤的函數(shù)關(guān)系式.

圖5

30.（2024?甘肅蘭州.模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以四邊形為背景，探究非動(dòng)點(diǎn)的幾何問題.若四邊形力BCD是正

方形，M,N分別在邊CD,BC上，且NM4N=45。，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋

轉(zhuǎn)是一種常用的方法.

圖1圖2圖3

(1)【初步嘗試】如圖1,將AADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,點(diǎn)。與點(diǎn)8重合，得到△ABE,連接MN.用等

式寫出線段DM,BN,MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

⑵【類比探究】小啟改變點(diǎn)的位置后，進(jìn)一步探究：如圖2,點(diǎn)M,N分別在正方形ABCD的邊CD,BC的

延長(zhǎng)線上，4MAN=45°,連接MN,用等式寫出線段MN,DM,8N的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(3)【拓展延伸】李老師提出新的探究方向：如圖3,在四邊形力BCD中，AB=AD,乙BAD=120°,NB+ND=

180°,點(diǎn)、N,M分別在邊BC,CD上，AMAN=60°,用等式寫出線段BN,DM,MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由.

31.(2024?山東東營(yíng)?模擬預(yù)測(cè))【操作與發(fā)現(xiàn)】

如圖①，在正方形4BCD中，點(diǎn)N,M分別在邊BC、CD上.連接4M、AN、MN.AMAN=45°.

(1)將△力MD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。與點(diǎn)8重合，得到AABE.從而可得：DM+BN=MM請(qǐng)說(shuō)明

理由.

(2)【實(shí)踐探究】在圖①條件下，若CN=6,CM=8,則正方形ABC。的邊長(zhǎng)是

(3)如圖②,在正方形4BCD中，點(diǎn)M、N分別在邊。C、BC上,連接2M、AN、MN,乙MAN=45°,若tanzBAN=

求證：〃是CD的中點(diǎn).

(4)【拓展】如圖③，在矩形ABCD中，AB=12,AD=16,點(diǎn)、M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN,

已知/MAN=45°,BN=4,則DM的長(zhǎng)是一.

32.(2024?江蘇宿遷?中考真題)在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

【操作判斷】

操作一：如圖①，對(duì)折正方形紙片力BCD,得到折痕AC,把紙片展平；

操作二：如圖②，在邊力D上選一點(diǎn)E,沿BE折疊,使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部，得到折痕BE；

操作三：如圖③，在邊CD上選一點(diǎn)R沿折疊,使邊8C與邊B4重合，得到折痕BF把正方形紙片展平,

得圖④，折痕BE、BF與2c的交點(diǎn)分別為G、H.

根據(jù)以上操作，得乙EBF=

【探究證明】

（1）如圖⑤，連接GF,試判斷ABFG的形狀并證明;

（2）如圖⑥，連接EF,過點(diǎn)G作CD的垂線，分別交AB、CD、E尸于點(diǎn)尸、Q、M.求證：EM=MF.

【深入研究】

若嚕=3請(qǐng)求出瞿的值（用含上的代數(shù)式表示）.

fv11L/

圖⑤圖⑥

②與半角模型有關(guān)的多結(jié)論問題

33.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在正方形力BCD中，點(diǎn)H在4D邊上（不與點(diǎn)A、。重合），

4BHF=9?！?HF交正方形外角的平分線DF于點(diǎn)F，連接4C交于點(diǎn)M,連接交4C于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)

N，連接Q則下列結(jié)論：①乙HBF=45。；②點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)；③若點(diǎn)”是4D的中點(diǎn)，則sin/NBC=f；

@BN=V25M；⑤若AH=川,貝”.。=鄒小W，其中正確的結(jié)論是（）

AHD

A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

34.（2021?湖北黃石.中考真題）如圖，在正方形4BCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且NE4F=45。，4E交

BD于M點(diǎn)，AF交BD于N點(diǎn)、.

（1）若正方形的邊長(zhǎng)為2,則ACEF的周長(zhǎng)是.

（2）下列結(jié)論：@BM2+DN2=MN2；②若F是CD的中點(diǎn)，貝肚an/AEF=2；③連接MF,則AAMF為等

腰直角三角形.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（把你認(rèn)為所有正確的都填上）.

35.（2022?四川達(dá)州?中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形2BCD中，點(diǎn)E,F分別為AD,CD邊上的動(dòng)點(diǎn)

（不與端點(diǎn)重合），連接BE,BF,分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)P,。.點(diǎn)E,尸在運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持NEBF=45°,

連接EF,PF,PD.以下結(jié)論：①PB=PD；②乙EFD=2乙FBC；③PQ=P4+CQ；④△BPF為等腰直角

三角形；⑤若過點(diǎn)8作1EF,垂足為H,連接DH,貝5”的最小值為2a-2.其中所有正確結(jié)