四川省成都市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)模擬考試（二）

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)——四總分

評(píng)分

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是

正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知集合4="6'*|/—5久<0}4={%62||工一1|<2},則ACB=（）

A.{0,12,3,4,5}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{1,2,3,4,5}

2.已知正方形ABC。的邊長為1,設(shè)點(diǎn)M、N滿足力羽=精，AN=fiAD.^CM-CN=1,則入2+2筋的最小

值為（）

3

A.2B.1C.1D.

4

3.已知a=logo,20.3力=Zog23,c=/。以%則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a

4.已知函數(shù)/(%)=lg(x2—4%—5)在(a.+oo）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

A.(2,+oo)B.[2,+oo)C.(5，+8)D.[5,+oo)

5.若sina+cos(7T—a)=￡(0,兀)，貝!Jsin(a+勺的值為()

7B._巫

A.gC——D聞

8J8~8~

6.直線y二=kx+b與函數(shù)y=e%T和y=e、一2的圖象都相切，則b=（)

A.2B.In2C.1+Zn2D.-2ln2

Sn是冊(cè)的前n項(xiàng)和，滿足S18<O,S19>0,則有限項(xiàng)數(shù)列扎涔…，黑,黑中，最大

7.在等差數(shù)列{冊(cè)}中,u.1u.nLtioU.-1n

項(xiàng)和最小項(xiàng)分別為（）

A.包,EB包^10

C￡19^10D￡19￡18

.a19，a10.向9‘％8

8.已知函數(shù)y=/(%)(%W0)滿足/(xy)=/(%)+/(y)—1,當(dāng)汽>1時(shí)，f(x)<1,貝!J()

A./（%）為奇函數(shù)B.若/（2%+1）>1,則一1<%<0

C.若/⑵=，則/（1024）=—4D.若/弓）=2,則/（焉）=10

乙乙-L\J乙nr

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求；全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/（%）=%3+“％+b,其中Q,力為實(shí)數(shù)，則下列條件能使函數(shù)/（%）僅有一個(gè)零點(diǎn)的是（）

A.a=—3,b=—3B.a=-3,b=2

1

C.a=0,b=-3D.a=1,b=2

—>—>

io.已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)M(0,-2)和N(0,2)與一動(dòng)點(diǎn)PQ,y)P(x,y),滿足PM-PN=m(m>4),若動(dòng)點(diǎn)P的

軌跡為曲線E,則下列關(guān)于曲線E的說法正確的是()

A.存在TH,使曲線E過坐標(biāo)原點(diǎn)；

B.曲線E關(guān)于y軸對(duì)稱，但不關(guān)于工軸對(duì)稱；

C.若P,M,N三點(diǎn)不共線，則APMN周長最小值為2師+4；

D.曲線E上與M,N不共線的任意一點(diǎn)G關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為則四邊形GMHN的面積不大于血.

11.定義:實(shí)數(shù)居切加滿足阿一加>ly-加，則稱久比y遠(yuǎn)離已知函數(shù)fO)的定義域?yàn)椤?{久|久?？?kez},

任取xeD,/(x)等于3cos久和1一cos2x中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值，則()

A.7?(>)是偶函數(shù)B.7?(￡)的值域?yàn)閇-1,3]

C.左)在售，第上單調(diào)遞增D.八%)在(—第—兀)上單調(diào)遞減

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.(第14小題1空2分，2空3分)

12.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線C:與一當(dāng)=l(a>06>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，&，P為雙曲線C

L

ab乙

上一點(diǎn).若當(dāng)P七與X軸垂直時(shí)，有NPF/2=45。，則雙曲線C的離心率為.

13.若函數(shù)/(久)=cos2x—2acos久—2<0對(duì)久CR恒成立，則a的取值范圍是.

14.在n維空間中(n22,nGN),以單位長度為邊長的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)(由"2,…,即)，

其中&e{0,1](1<i<n,iEN).則5維“立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是；定義：在n維空間中兩點(diǎn)@"2,…,a/

與(如％???，時(shí))的曼哈頓距離為期一如+出-b2\+…+\an-bn|.在5維“立方體”的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的頂

點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則E(X)=.

四'解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、計(jì)算過程'證明過程.

15.已知△4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且12b25譏4+2ab+歸二史=0.

COSC

(1)求sin4cosc

(2)若sim4=J,△ABC的面積為64二,求a的值.

34

16.已知某公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)一千件需另投入2.7萬元，設(shè)該公司年內(nèi)共生

(108—--%2)%(0<%<10)

''3?！?(注：年

(108-甯，。>1。)

利潤=年銷售收入一年總成本)

2

(1)寫出年利潤卬(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量X(千件)的函數(shù)解析式;

(2)求公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大時(shí)的年產(chǎn)量.

17.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積等于圓周率兀與橢圓的長半軸長、短半軸長的乘積.已

知橢圓M的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)倒,尸2均在久軸上，面積為2兀，點(diǎn)(1,字)在橢圓M上.

(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)經(jīng)過點(diǎn)P(—1,0)的直線I與曲線”交于4B兩點(diǎn)，△OAB與橢圓M的面積比為g,求直線I的方程.

18.如圖，在三棱柱ABC—4B1Q中，底面2BC是邊長為2的正三角形，側(cè)面是菱形，平面4CC14_L

平面ABC,E,F分別是棱&Ci，BC的中點(diǎn)，G是棱CCi上一點(diǎn)，且用=而？?>0).

(1)證明：(尸//平面-BBi/i；

(2)若三棱錐C「4BC的體積為1,且二面角力—EG-F的余弦值為始1求t的值.

3

19.若無窮數(shù)列｛廝｝滿足VnCN*,\an-an+1\=n+l,則稱｛an｝具有性質(zhì)P＞若無窮數(shù)列｛%J滿足VnCN*,

anan+4+1＞尺+2，則稱｛斯｝具有性質(zhì)02.

（1）若數(shù)列｛斯｝具有性質(zhì)Pi，且臼=0,請(qǐng)直接寫出。3的所有可能取值；

（2）若等差數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)。2,且4=1，求慰+碼的取值范圍；

（3）已知無窮數(shù)列｛斯｝同時(shí)具有性質(zhì)Pi和性質(zhì)P2,。5=3,且0不是數(shù)列｛即｝的項(xiàng)，求數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式.

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：由/一5%W0,解得0WKW5,

所以4={123,4,5},

由|工一1|<2,解得—1<x<3,

所以B={0,1,2},4nB={1,2}.

故答案為：C.

【分析】利用一元二次不等式求解方法和元素與集合的關(guān)系，從而得出集合A,再由絕對(duì)值不等式求解方法和

元素與集合的關(guān)系，則得出集合B,再利用交集的運(yùn)算法則，從而得出集合4cB.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：如圖所示：以a為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

----------------------IC

N；'

AMBX

因?yàn)檎叫?BCD的邊長為1,

可得4(0,0),C(l,l)，0(0,1)，

AM=XAB,AN=RAD,

M(入,0),N(0,〃)，CM=(A-1,-1),CN=(-1,/z-1),

CM-OV=l-A+l-/z=l,故人+〃=1,

A2+2林2=(1—〃)2,|_2〃2=3〃2—2〃+L

故時(shí)，3/—2〃+1的最小值是爭(zhēng)

故答案為：C.

【分析】利用已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，再利用正方形4BC0的邊長得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)

表示，從而得出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，進(jìn)而得出向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二次函數(shù)的圖象的開口方

向、對(duì)稱性以及單調(diào)性，從而得出二次函數(shù)的最小值，進(jìn)而得出入2+2儲(chǔ)的最小值.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：因?yàn)镃=log34>l,所以1<C<*

又因?yàn)?2>23,所以k)g232>10g223,即210g23>3,所以b=log23>|;

又因?yàn)?2V33,所以log342<log333=3,即210g34V3,所以c=log34Vl■,

而a=log020.3<log020.2=1,所以a<l<c<2<b.

故答案為：A.

【分析】由題意，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間值法判斷即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】由X2-4X-5>0得比>5或x<—1

所以/(%)的定義域?yàn)?一8,-l)u(5,+8)

因?yàn)閥=/-4比一5在(5,+00)上單調(diào)遞增

所以/(%)=lg(/一4%-5)在(5,+oo)上單調(diào)遞增

所以a25

故答案為：D

【分析】首先求出f(x)的定義域，然后求出/(%)=館02一4%-5)的單調(diào)遞增區(qū)間即可。

5.【答案】D

一3

【解析】【解答】解：由sina+cos(ji—a)=sina—cosa=不

所以(sina-cosa)2=1—2sinacosa=正，可得2sirwccosa=>0,

因?yàn)閍e(0,7T),所以sina>0,cosa>0,可得sina+cosa>0,

由(sina+cosa)2=1+Isinacosa=可得sina+cosa=

所以sin(a+勻=￥(sina+cosa)=

故答案為：D.

【分析】由誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，從而得出2s沆acosa=￡>0,再利用角的取值范圍和三角

函數(shù)值在各象限的符號(hào)，從而得到sina+cosa>0,再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得出sina+cosa的值，則

由兩角和的正弦公式，從而得出sin(a+勺的值.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：直線y=k%+6與函數(shù)y=〃T和y=e'—2的圖象都相切，

設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為「1(久1百1-1),2(￡2，犯一2),

求導(dǎo)可得="T,(eX-2)'=ez>

6

曲線y=e%T在點(diǎn)Pi處的切線方程為y—e%it=eX1-1(x—/)，

整理可得:y=eX1-1x+(1—%i)eX1-1,

曲線y=ex-2在點(diǎn)P2處的切線方程為y-(eX2-2)=eX2(x-冷)，

X2X2

整理可得：y=ex+(1—x2)e—2,

因?yàn)橹本€y=k￡+b是兩函數(shù)圖象的公切線，所以L“2=；”:二。'22

3=(1—5卜孫-1=(1—%2)e*2-2②

由①可得％1-1=尤2，代入②得：一X26亞=(1一型)6“2-2,整理得：e*2=2,

所以久2=E2,代入②得：b=(1-ln2)eln2-2=-2ln2.

故答案為：D.

【分析】由題意，設(shè)切點(diǎn)分別為。1(工1￡%-1)，2。2，亞-2),再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)在切

線上以及切點(diǎn)在函數(shù)圖象上列方程組求解即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：因?yàn)镾18=18(。1)%8)=9(的+%0)V0,即的+。10<。，

S19=1、(。1廣。19)=19alo>0，即"io>°，故的<°，d>0.

①當(dāng)14九<9,ziGN*時(shí)，an<0,Sn<0,故^>0，

=a

1sziImax=IS9I，knlminl9l>故｛黑｝=3

?」maxa9

②當(dāng)lownW18,nCN*時(shí)，an>0,Sn<0,故含<0，

Fnlmax=Fio|,l^nlmin=laiob

③當(dāng)71=19時(shí)，維>0且配=細(xì)坦2=維+1<1,包=%±%=也+1>1,故里〈演，

—。］9。］9。］9。19。9。9。9。9

綜上所述：翼’…'廿33^"中'最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別為黑17^.

ci［112口18&19口9U］0

故答案為：B.

【分析】利用已知條件和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，從而得出40〉0,。9<0,d>0,再考

慮14九W9,10<n<18,n=19三種情況和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，從而由函數(shù)

求最值的的方法，進(jìn)而確定黑，組的大小，則得出有限項(xiàng)數(shù)列扎洛…，逆，沙中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).

口19u9U1u2口18u19

8.【答案】C

【解析】【解答】解：A、函數(shù)丫=/。)(無00)滿足/(孫)=f(X)+f(y)—l,令久=1,y=—1,則f(—1)=

解得f(1)=1；

令》=—1,y=—1,則1)—1,解得/(—1)=1；

令y=-l,得f(一x)=f(x),故y=fO)O70)為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

B、Vx1(久26(0,+8),且尤1<久2，即言>1，

7

則/(%2)=/。1)+〃,)—I<故了=/(%)(%*0)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

若/'(2%+1)>1,則f(|2x+l|)>/(l),故|2x+l|<l,解得一1<尤<0,且無力一攝故B錯(cuò)誤；

C、若八2)=±,則f(1024)=f(2i°)=/(29)+f(2)—l=10f(2)—9=—4,故C正確；

D、若/8)=2,則f(*)=2/弓)—1=3,/(去)=2/(*)一1=5,八,)=/6)+/(雙)-1=6,

所以/(擊)=2/(=)-1=11,故D錯(cuò)誤.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)已知條件，利用賦值法可得61)=1,/(-1)=1，進(jìn)而可得八一嗎=/0),即可判斷A；根

據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷y=/"(%)(%。0)在(0,+8)上單調(diào)遞減，即可求解判斷B；代值逐步求解即可判斷

CD.

9.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：由已知可得/(久)的定義域?yàn)镽,

A、當(dāng)a=-3,b-3時(shí)，/(%)—x3—3x—3,

則/'(%)=3/-3=3(%—1)(%+1),

當(dāng)％<—1或%>1時(shí)，/(%)>0；當(dāng)一1<久<1時(shí)，f'(x)<0,

故”久)在(一8,—1)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在(—1,1)上單調(diào)遞減，

故/(%)在久=一1處取得極大值/(-1)=—1,在久=1處取得極小值f(l)=一5,

因?yàn)殚T3)=15>0且f(X)的圖象連續(xù)不斷，故〃尤)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

故此時(shí)了(久)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故A符合題意，

B、當(dāng)a=-36=2時(shí)，/(x)=x3—3x+2,JUO/(x)—3x2—3=3(x—l)(x+1).

當(dāng)x<-1或x>l時(shí)，/(%)>0；當(dāng)一1<久<1時(shí)，/(%)<0,

故;'(%)在(一8,-1)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在(—1,1)上單調(diào)遞減，

故/(%)在久=一1處取得極大值/(-1)=4,在x=l處取得極小值/(I)=0.

又因?yàn)?(-3)=-16<0,且了。)的圖象連續(xù)不斷，故〃久)的圖象與無軸有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，

故此時(shí)/(久)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，故B不合題意.

C、當(dāng)a=0/=一3時(shí)，/(%)=x3-3,則/''(￡)=3/》0在R上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)久=0時(shí)取等號(hào)，故/(%)

在R上單調(diào)遞增，

又因?yàn)閒(2)=5>0/(0)=—3<0,且外K)的圖象連續(xù)不斷，

故/(%)的圖象與久軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)/(久)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故C符合題意；

D、當(dāng)a=1力=2時(shí)，f(x)=x3+x+2,則/'(%)=3/+1>0在R上恒成立，故/(%)在R上單調(diào)遞增，

又因?yàn)椤?2)=-8<0/(0)=2>0,且fO)的圖象連續(xù)不斷，

8

故;"(%)的圖象與左軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)f(>)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故D符合題意.

故答案為：ACD.

【分析】由題意，將a力的值代入解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合圖象及零點(diǎn)存在性定理,

判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：由題意：PM=(-%,-2-y),PN=(-x,2-y),

所以，|麗卜\PN\=V(-%)2+(-2-y)2-J(一支尸+(2—y)2=m，

即曲線E的方程為：[/+(2+y)2][%2+(2—y)2]=m2.

對(duì)于A：將(0,0)代入曲線E,得血2=16,即血=4,滿足題意，故A正確；

對(duì)于B：將一汽替換工代入曲線方程得：[(一久)2+(2+y)2][(-久)2+(2-y)2]=[%2+(2+y)2][x2+(2-

y)2]=m2

所以，曲線E關(guān)于y軸對(duì)稱；將-y替換y代入曲線方程得：

[%2+(2+(—y))2][%2+(2—(—y))2]=[x2+(2—y)2][x2+(2+y)2]=m2,

所以，曲線E關(guān)于久軸對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：APMN周長為：I=\PM\+\PN\+\MN\,

根據(jù)基本不等式，可得I=\PM\+\PN\+\MN\>?|PN|+4=2廝+4,

當(dāng)|PM|=|PN|=而時(shí)，取等號(hào)，故C正確；

對(duì)于D：由題意可知：=?n,

由選項(xiàng)B可知，曲線E關(guān)于久軸和y軸對(duì)稱，如圖所示：

H一/

所以四邊形GMHN的面積為2個(gè)小GMN的面積，

即2S&GMN=2x^\GM\■\GM\■sin乙MGN=m-sin乙MGN<m,

當(dāng)且僅當(dāng)sin/MGN=1,即NMGN=90。時(shí)取等號(hào)，

所以，四邊形GMHN的面積不大于TH,所以D正確.

故答案為：ACD.

【分析】根據(jù)題意和向量的坐標(biāo)表示，從而得出由，麗的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的模的坐標(biāo)表示，從而得出曲線E

的方程，將原點(diǎn)代入曲線E的方程得出m的值，則判斷出選項(xiàng)A；將(--y)代入曲線E的方程，再由

曲線E的對(duì)稱性，從而判斷出選項(xiàng)B；利用三角形的周長公式和基本不等式求最值的方法，則判斷出選項(xiàng)C；

9

由題意可知：|的卜|麗|=小，由選項(xiàng)B可知，曲線E關(guān)于％軸和y軸對(duì)稱，則四邊形GMHN的面積為2個(gè)

△GMN的面積，再由三角形的面積公式和正弦函數(shù)的最值，從而得出

四邊形GMHN的面積不大于m,則判斷出選項(xiàng)D,進(jìn)而找出曲線E的說法正確的選項(xiàng).

11.【答案】A,D

【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(久)的定義域?yàn)椤?卜|久

|3cosx|>|1—cos2x|,|3cos%|>|2-2cos2x|,

兩邊平方并化簡(jiǎn)得4cos?！?7cos2%+4<0,

(cos2%—4)(4cos2%-1)<0,由于cos2%—4<0,

所以4cos2%-1>0,(2cosx+l)(2cosx-1)>0,

解得—1<cos%<—/或稱<cosx<1，

解得2/CTT<x<2kn+與，或2kn+好<%<2kn+兀，或2/CTT+<x<2kn+萼，

J3J

或2kji+目<%<2/C7T+2TT,

同理，由|3cos%|<|l—cos2%|解得2碗+3<%<2"+竽或2E:+竽<%<2E+箏

設(shè)E=(2kTT,2kn+U(2k7i+竽，2/CTT+TT)U(2kn:+n,2kn+竽)U(2/CTT+孚，2/CTT+2TT)

設(shè)F=(2/CTT+梟2/CTT+U(2/C7TH—^-,2/CTT+9

ar、f3cos%,%GE

/(%)=LLE

J11-cosQ2x,xEF

由于xGE則一x￡E；%GF則一％GF,

3cos（—x）=3cosx,l—cos（—2%）=1—cos2x,

故"一%）=/（汽），所以/（%）為偶函數(shù)，故A正確；

由于汽。竽比GZ,所以3cos%W3、1-cos2x3,故B錯(cuò)誤；

由上述分析可知,%€管,竽）,/（%）=1-cos2x,而2%￡（竽，竽）

所以汽X）在區(qū)間G，等）不是單調(diào)函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

%€（—等,—兀），/（x）=3COSK,/（久）在區(qū)間（—舞，—兀）上遞減，故D正確.

故答案為：AD.

【分析】由題意，先求函數(shù)人無）的解析式，再逐項(xiàng)分析判斷即可.

12.【答案】V2+1

【解析】【解答】解：設(shè)尸2。0），得到仍吃1=1，

10

由題意知旦=2c，即c?-a2=2ac,

a

所以/—2?！?=0,解得e=&+l,或？=—魚+1（舍去）.

故答案為：V2+1.

【分析】設(shè)尸290），再結(jié)合通徑的定義和雙曲線中a,b,C三者的關(guān)系式，從而由雙曲線的離心率公式，進(jìn)而

解方程得出雙曲線的離心率的值.

13.【答案】一去

【解析】【解答】解：不等式cos2x—lacosx—2<0=2cos2x—2acosx—3<0,

令cosx=tE[―1,1],

由不等式cos2x—lacosx—2<0對(duì)％ER恒成立,

即不等式2t2—2at—3<0對(duì)任意tE[-1,1]恒成立，令g(t)=2t2—2at—3,

g(—1)=2a—1<0

因此］解得—

g(l)=-2d—1<0

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是<a<1

故答案為：—〈今

【分析】由題意，利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)，令COSK=t,將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值恒小于0求解即可.

14.【答案】32；招

【解析】【解答］解：（1）%的可能值為0，1i€N）.故五維立方體的頂點(diǎn)有25=32個(gè).

（2）依題意，樣本空間的樣本點(diǎn)記為｛M,N｝,M,N為五維立方體的頂點(diǎn)

樣本點(diǎn)總數(shù):n（本=巧2

當(dāng)X=k時(shí)，有k個(gè)第i維坐標(biāo)值不同，有5-k個(gè)第i維坐標(biāo)值相同.

ck2k25-

524

滿足X=k的樣本點(diǎn)｛M,N｝個(gè)數(shù)為2

Ck-24Ck

所以P(X=k)=唯一=禽(卜=123,4,5).

25

故分布列為：

X12345

p5101051

3131313131

E（X）=4（5+20+30+20+5）=羿

故答案為：32；養(yǎng)

【分析】第一空由題意結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，從而求解得出5維“立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)；第二空先確定樣本點(diǎn)

11

Ck24ck

總數(shù)，再得到隨機(jī)變量X的可能取值，從而利用P(X=k)=嗔一=追;(k=1,234,5)得出隨機(jī)變量X的分

25

布列，最后根據(jù)隨機(jī)變量的分布列求數(shù)學(xué)期望的公式，則得出E(X)的值.

15.【答案】(1)解：由已知條件和余弦定理得:

Q2+/72-C2次+浮一次

12b2sin^4+0,

cosCcosC

可得12b2sinZ+襄=。，

一1

所以sinAcosC=一4.

(2)解：由sinX=稱得，cosC=一5

又因?yàn)?<4。<兀，所以。=竽，

則cosA=sinC=號(hào).

KT得?p■rAA--Ar?A-r\2聲門276—1

“JwsinB=sin(i4+C)=sinTlcosc+cosXsinc=一4+x~2~=——g——

由△力BC的面積為絲二1,得出5acsinB="l/l所以ac=3舊.

4Z4

由正弦定理得，c=%f=￥a，

smA2

所以=2,故a=v^.

【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件和余弦定理，從而得出sinAcosC的值.

(2)利用(1)中sinAcosC的值和sinA=5從而得出cosC的值，再利用三角形中角A,C的取值范圍，從

而得出角C的值，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，則得出cosA和sinC的值，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和兩

角和的正弦公式，從而得出sinB的值，再根據(jù)三角形面積公式得出ac的值，最后由正弦定理得出a的值.

(1)由條件及余弦定理得，I2b2sin4+絲及，生+竺與絲=0,

COSCCOSC

可得12b2sini4+工^=0，所以sin^cosC=--1.

cosC6

(2)由sinZ=^W，cosC=一最

又0<4C<m所以。=竽，

Ijlll6

火Vcos力A=—^―，sine=~2~-

KT得,p,r/i_LrA-ArA■r\2聲門276—1

“J1寸sinB=sin(4+C)=sinTlcosC+cosAsinC=一4+x~2~=——g——，

由小ABC的面積為吟在得［acsinB=隹Wl,

4Z4

所以GC=3V3.

12

asinC373

由正弦定理得，c=

^A=~a，

所以次=2,故Q=&.

16.【答案】（1）解：當(dāng)0<%<10時(shí),

W=RQ)-(10+2.7%)=10.8%10-2.7久=8.1%-嘉-10；

當(dāng)%>10時(shí),

10001000

W=;?(%)-(10+2.7%)=108-一10—2.7%=98——2.7%,

3%3%

8.lx--10,0<汽<10

綜上所述：勿=

10

（2）解：當(dāng)0<久<1。時(shí)，/（%）=8.1%一襦一10,

則/’（久）=8.1-喘，

由“0)〉0=0<久<9；由勿’(無)<0=>9<%<10,

所以加（x）在（0,9）上單調(diào)遞增，在（9,10］上單調(diào)遞減,

所以加(x)<卬(9)=8.1X9--10=38.6：

1000

當(dāng)%>10時(shí)，W(x)=98-—2.7%,

3%

1000

因?yàn)?2.7%>24%2.7x=60,

3%3%

當(dāng)且僅當(dāng)曙=2.7%時(shí)，即當(dāng)％=苧時(shí)取"=”,

此時(shí)W(x)<98-60=38,

因?yàn)?8<38.6,所以當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，年利潤最大.

【解析】【分析】（1）利用分類討論的方法和“年利潤=年銷售收入-年總成本”，從而寫出年利潤加（萬元）關(guān)

于年產(chǎn)量久（千件）的函數(shù)解析式.

（2）利用分類討論的方法和導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求最值的方法、均值不等式求最值的方法，再結(jié)合比較法得出分

段函數(shù)的最大值，從而得出公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大時(shí)的年產(chǎn)量和利潤的最大值.

33

(1)當(dāng)0<x<10時(shí)，W=/?(%)-(10+2.7%)=10.8%--10-2.7%=8.1%--10；

10001000

當(dāng)x>10時(shí)，W=/?(%)-(10+2.7x)=108--10-2.7%=98-—2.7%.

3%3%

8.1%-東-10,0<%<10

綜上：力=<

CC1000rr、“

982.7x,x>10

（2）當(dāng)。<x<10時(shí)，加（久）=8.1支一亮一10，W'（x）=8,1—喘.

由“(X)〉000<久<9；由班’(久)<09<%<10.

13

所以0(工)在(0,9)上單調(diào)遞增，在(9,10］上單調(diào)遞減，

所以加(x)</(9)=8.1x9--10=38.6.

當(dāng)%>10時(shí)，=98-^^一2.7%.

因?yàn)閲?2.7%22零短片=60,當(dāng)且僅當(dāng)嚕=2.7久即％=當(dāng)時(shí)取

此時(shí)勿(久)<98-60=38.

因?yàn)?8<38.6.

所以當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，年利潤最大.

17.【答案】(1)解：設(shè)橢圓M的方程為：^|+^J=l(a>b>0),

因?yàn)闄E圓的面積為2兀，點(diǎn)(1，字)在橢圓M上.

nab—27T

11,解得：a=2,b=1,

(滔+笆=1

所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：苧+儼=1.

(2)解：因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)P(—1,0)的直線I與曲線M交于4B兩點(diǎn)，

當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，a(_1用,B(—L—字)，

此時(shí)SACMB=杯x1x=孚,

因?yàn)锳OAB與橢圓M的面積比為占，但受生上_,即直線斜率存在,

5兀2n豐57r

(y-k(x+1)

不妨設(shè)直線I的方程為y=/c(x+l),聯(lián)立％22」

(4+y=1

222

消去y并整理可得：(4人2+1)%+8kx+4/C-4=0,

不妨設(shè)40141),8(久2)2)，則必+久2=1；力血，牝=笠益，

2k

因?yàn)閥i+y2=因%i+1)+因％2+1)=因%1+%2)+因=

l+4fc2

—3k2

yi,及=k(Xi+1)-fc(%2+1)=7+%1+%2+1)=1+,2'

所以=1-x1xly-L—y2l=，J(yi+丫2)2-4yl.y2

_1|4k212k2

-2](1+4的21+4H，

因?yàn)椤鱋AB與橢圓M的面積比為3，

所以k可三=2化簡(jiǎn)為瑞鼎二備

27r57r

14

即113—71—4=0,BP(ll/c2+7)(/c2-1)=0,解得：k=±L

所以直線I的方程為>=%+1或?=一支一1,

所以直線I的方程為x—y+l=0或x+y+l=0.

【解析】【分析】(1)設(shè)橢圓M的方程為：及+胃=i(a〉b〉o),再利用已知條件和橢圓的面積公式以及代

入法，從而建立a,b的方程組，進(jìn)而解方程組求出a力的值，則求出橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)對(duì)直線1的斜率是否存在進(jìn)行討論，當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，從而得出A,B的坐標(biāo)，再由三角形的面

7

積公式和△。43與橢圓加的面積比為苦，但工y/3片工_,從而得出直線斜率存在，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直

5兀2兀豐5兀

線I的方程為y=k(x+1),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理和代入法，再結(jié)合三角形的面積公式和

△O4B與橢圓M的面積比為赤，從而求出直線1的斜率，進(jìn)而得出直線[的方程.

(1)設(shè)橢圓M的方程為：《+*i(a>b>0),

因?yàn)闄E圓的面積為2兀，點(diǎn)(1,孚)在橢圓M上.

nab—27T

11_，解得：a=2力=1,

(滔+笆=1

所以橢圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為：苧+儼=1.

(2)因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)P(-1,0)的直線/與曲線M交于力，B兩點(diǎn)，

當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，2(—L劣,B(—1,—字)，此時(shí)旌048=品1義遮=字

因?yàn)锳OAB與橢圓M的面積比為金，但瞿生上_,即直線斜率存在；

5兀2兀中57r

(y-k(x+1)

不妨設(shè)直線I的方程為y=+1),聯(lián)立％22」

(4+y=1

222

消去y并整理可得：(4人2+1)%+8kx+4/C-4=0,

不妨設(shè)4(血)1)方(％2)2)，則+久2=1J.十乙,相=:1+生4化:乙,

因?yàn)閥i+丫2=+1)+k(x2+1)=+久2)+2k=1+4fc2,

—3k2

Z9!

yi,V2=kQi+1)-k(x2+1)=/C(%1%2+久1+%2+1)=1+4fc2

j]_________________

所以=2x1x|yi—yzl=之J(yi+丫2)2-4y「及

_1|4k212k2

一個(gè)(1+4的21+4M，

因?yàn)椤鱋AB與橢圓M的面積比為占，

15

所以21K+而、2,化簡(jiǎn)為瑞鼎=白

2TT57r

即Ilk4-7k2-4=0,gp(llfc2+7)(fc2-1)=0,

解得：k=±1,所以直線［的方程為y=%+1或y=-x-1,

所以直線I的方程為％—y+l=0或x+y+l=0.

18.【答案】（1）證明：取中點(diǎn)M,連接如圖所示:

B

因?yàn)镕為BC的中點(diǎn)，E為41cl的中點(diǎn),

11

MF//^AC,ArE//^AC,MF//ArE,

11

MF=^AC,ArE=^AC,MF=ArE,

可得四邊形&MFE為平行四邊形，

EF//ArM,

???EF0平面ABBMi，u平面力BBMi，

EF〃平面/幽必.

（2）解：???平面ACCMi平面力BC,過Ci作的41AC,CXH1平面ABC,

Ci-ABC—[SAABC,CjH=可x遍?=1=C[H=V3>

CQ=2,CH=1,H為4c中點(diǎn)，BH1AC,

分別以所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

40,-1,0),E(0,-1,四)/(苧,9,0),式0,1,0),。1(0,0,b)

由布=短nG（。，亳，窯;）…鵬=（0,0,⑹

16

2t+1—A/3t\V33

~EG=0,,,EF=

TTTT+T)~2'2,

設(shè)平面AEG和平面EFG的一個(gè)法向量分別為西=（工1，月/1）,道=（x2,y2,z2）,

貝同=(1,0,0),

'2t+l/3t?

用.而=0=E'2-中Z2=°

又因?yàn)?/p>

-EF=0

孚12+^y2~V3Z2=o

1?.而=（t+2,V3t,2t+1）,

設(shè)二面角A-EG-F的平面角為仇

.rn.n=西?行n/+2]=4

匹卜時(shí)J(t+2)2+3t2+(2t+l)2回'

整理得：25t2-28「-44=0,解得t=2或t=一||（舍）.

【解析】【分析】（1）取2B中點(diǎn)M,連接力iM,FM,再利用中點(diǎn)作中位線的方法和中位線的性質(zhì)，從而得出

線線平行和線線相等，再根據(jù)平行四邊形的定義，則可得四邊形4MPE為平行四邊形，從而得出線線平行，再

根據(jù)線線平行證出線面平行，即證出EF〃平面力BBMi.

（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證出線面垂直，再利用三棱錐C「ABC的體積為1和三棱錐的體積公式以及等

腰三角形三線合一，從而得出線線垂直，則分別以HB,HC,HCi所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，從而得出點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而得出向量的坐

標(biāo)，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而得出平面AEG和平面EFG的一個(gè)法

向量，再根據(jù)數(shù)量積求向量夾角公式和二面角A-EG-F的余弦值為嚼,從而解方程得出滿足要求的t的值.

（1）證明：取中點(diǎn)M,連接為BC的中點(diǎn)，E為&的的中點(diǎn)，

11

MF//^AC,AXE//^AC,■■MF//ArE,

1I

MF=^AC,AXE=^AC,■■MF=ArE,

據(jù)此可得四邊形4MFE為平行四邊形，

EF//ArM,???EF三平面力AXMABBrAr,

：.EF〃平面

(2)解：???平面ACCrAr_L平面ABC,過Ci作CiH1AC,1平面ABC,

17

[1

匕:1-4BC=@SA4BC.=3xV3-C[H=10C[H=V3,

???CQ=2,ACH=1,-??”為力C中點(diǎn)，ABH1AC,

如圖分別以所在的直線為久,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

.?1,0),C(0,L0),Ci(0,0,g)

???力(0,-