第5章二次函數(shù)5.4

二次函數(shù)與一元二次方程（1）第1課時

二次函數(shù)與一元二次方程函數(shù)y＝x＋1的圖像與x軸有一個交點.12-1-2o12xy3-3435知識回顧畫一次函數(shù)y＝x＋1的圖像，并指出函數(shù)y＝x＋1的圖像與x軸有幾個交點？y＝x＋112-1-2o12xy3-3435知識回顧y＝x＋1一元一次方程x＋1＝0與一次函數(shù)y＝x＋1有什么聯(lián)系？

從“數(shù)”的方面看，當(dāng)一次函數(shù)y＝x＋1的函數(shù)值y＝0時，相應(yīng)的自變量的值即為方程x＋1＝0的解.12-1-2o12xy3-3435知識回顧y＝x＋1一元一次方程x＋1＝0與一次函數(shù)y＝x＋1有什么聯(lián)系？從“形”的方面看，函數(shù)y＝x＋1與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程x＋1＝0的解．知識回顧函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)中，當(dāng)y=0時，x的值方程kx＋b＝0(k≠0)的解從“數(shù)”的方面看，從“形”的方面看，函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)方程kx＋b＝0(k≠0)的解一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)與一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)有怎樣的關(guān)系呢？思考與探索24-2-4o24xy6-686y=x2-2x-3-2-4在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y＝x2－2x－3的圖像．(2)當(dāng)x取何值時y＝0？這里x的取值與方程x2－2x－3＝0有何關(guān)系？(1)二次函數(shù)圖像與x軸的交點坐標(biāo)是什么？解：(1)二次函數(shù)圖像與x軸的交點坐標(biāo)是(－1，0)，(3，0)．解：(2)當(dāng)x＝－1或x＝3時，y＝0，這里x的取值是方程x2－2x－3＝0的兩個根．思考與探索24-2-4o24xy6-686y=x2-2x-3-2-4在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y＝x2－2x－3的圖像．(3)你能從中得到什么啟示？解：(3)二次函數(shù)y＝x2－2x－3的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)是一元二次方程x2－2x－3＝0的兩個根；一元二次方程x2－2x－3＝0的兩個根就是二次函數(shù)y＝x2－2x－3的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)．思考與探索二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有怎樣的關(guān)系呢？思考1二次函數(shù)y=ax2+bx+c何時能成為一元二次方程?

當(dāng)y的值確定后，由二次函數(shù)y＝ax2＋bx+c可以相應(yīng)地得到一個一元二次方程.如，y＝0時，由二次函數(shù)y＝ax2＋bx+c可得一元二次方程

ax2＋bx+c＝0.思考2二次函數(shù)的圖像與x軸有交點嗎？如果有，交點的縱坐標(biāo)是多少？橫坐標(biāo)呢？思考與探索二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有怎樣的關(guān)系呢？

從圖像上看，如果二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸有交點，那么交點的縱坐標(biāo)y=0，交點的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．歸納總結(jié)1.求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸的交點坐標(biāo)，實質(zhì)是求關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)根．2.由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根x1，x2，可知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸的交點坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)．新知鞏固1.方程x2+4x-5=0的根是______________，則函數(shù)y=x2+4x-5的圖像與x軸的交點有____個，其坐標(biāo)是__________________．x1=－5，x2=12(－5，0)、(1，0)2.方程-x2+10x-25=0的根是_________，則函數(shù)y=-x2+10x-25的圖像與x軸的交點有___個，其坐標(biāo)是_________．1(5，0)x1=x2=53.二次函數(shù)y=3x2+x－10與x軸的交點坐標(biāo)是________________，則一元二次方程3x2+x－10=0的兩個根是_______________.

x-2-4-6O2-8-6-4y-2-8-102觀察與思考

x6842O24y6-28y＝x2-6x+9x462O24y6-28y＝x2-2x+38觀察與思考x-2-4-6O2-8-6-4y-2-8-102

x6842O24y6-28y＝x2-6x+9x462O24y6-28y＝x2-2x+38拋物線與x軸公共點個數(shù)公共點的橫坐標(biāo)相應(yīng)的一元二次方程的根y＝-x2-4x-6y=x2－6x＋9y＝x2-2x+32個-6，-2

1個3x2-6x+9=0，x1=x2=30個x2-2x+3=0無解歸納總結(jié)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交點的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0根的關(guān)系b2-4ac的符號二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的公共點的情況一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況a＞0a＞0b2-4ac＞0xyOx1x2xyOx1x2有兩個公共點(x1,0)，(x2,0)

b2-4ac=0xyO

xyO

b2-4ac＜0xyOxyO無公共點沒有實數(shù)根例題講解例1不畫圖像，判斷函數(shù)y＝-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點？解：∵一元二次方程-x2+5x-8=0的根的判別式b2-4ac=52-4×(-1)×(-8)<0,∴方程-x2+5x-8=0沒有實數(shù)根.∴二次函數(shù)y＝-x2+5x-8的圖像與x軸沒有公共點.例題講解例2已知拋物線y＝x2＋4kx＋4k2－3k.(1)當(dāng)k為何值時，拋物線與x軸有一個公共點？解：(1)∵拋物線與x軸有一個公共點，∴b2－4ac=0，∴(4k)2－4×(4k2－3k)=0，解得k=0.故當(dāng)k=0時，拋物線與x軸有兩個公共點．例題講解例2已知拋物線y＝x2＋4kx＋4k2－3k.(2)當(dāng)k為何值時，拋物線與x軸無公共點？解：(2)∵拋物線與x軸無公共點，∴b2－4ac＜0，∴(4k)2－4×(4k2－3k)＜0，解得k＜0.故當(dāng)k＜0時，拋物線與x軸沒有公共點．新知鞏固1.不畫函數(shù)圖像，判斷下列二次函數(shù)的圖像與x軸的公共點的個數(shù).(1)y＝x2-x(2)y＝-x2+6x-9(3)y＝3x2+6x+11有2個公共點有且只有1個公共點沒有公共點新知鞏固2.已知二次函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖像與x軸有交點，求k的取值范圍．解：∵二次函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖像與x軸有交點，∴b2－4ac≥0

22－4(k－3)≥0解得k≤4∵k－3≠0∴k≤4且k≠3.∴k的取值范圍是k≤4且k≠3.新知鞏固3.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．求證：此拋物線與x軸總有交點；證明：∵一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0的根的判別式b2-4ac=(m＋2)2－4m×2

＝m2＋4m＋4－8m

＝(m－2)2≥0,∴一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0總有實數(shù)根.∴二次函數(shù)y＝mx2－(m＋2)x＋2的圖像與與x軸總有交點.拓展延伸1.若拋物線y=ax2+bx+c，當(dāng)a>0，c<0時，圖像與x軸交點情況是()A.無交點

B.只有一個交點C.有兩個交點

D.不能確定C2.拋物線y＝x2－mx＋m－2與x軸交點的情況是(

)A.無交點B.有一個交點C.有兩個交點D.隨m取值的改變而改變C拓展延伸3.已知二次函數(shù)

y＝x2-6x+8的圖像，利用圖像回答問題：(1)方程x2-6x+8＝0的解是什么？(2)x取什么值時，y>0

？(3)x取什么值時，y<0

？xyO248解：(1)

x1=2，x2=4;(2)

x<2或x>4；(3)

2<x<4.課堂小結(jié)二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的公共點的情況兩個公共點一個公共點無公共點當(dāng)堂檢測1.下列函數(shù)的圖像中，與x軸沒有公共點的是()DA.y=x2-2C.y=-x2+6x-9B.y=x2-xD.y=x2-x+22.二次函數(shù)y＝kx2－2x－1的圖像和x軸有交點，則k的取值范圍是(

)A.k＞－1

B.k＜1

C.k≥－1且k≠0

D.k＜1且k≠0C當(dāng)堂檢測3.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，則關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情況是(

)A.有兩個不相等的實數(shù)根

B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個同號的實數(shù)根

D.沒有實數(shù)根DxyO當(dāng)堂檢測4.如果關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m=＿＿，此時拋物線y=x2-2x+m與x軸有＿＿個交點.115.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖，則ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情況是________________________．有兩個不相等的實數(shù)根當(dāng)堂檢測6.已知二次函數(shù)y＝x2＋mx＋m2－3(m為常數(shù)，m＞0)的圖像經(jīng)過點P(2，4)．(1)求m