均值不等式及其應(yīng)用利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.【題型一】“1”的代換：基礎(chǔ)型例1.設(shè)a,bR,a2b2k（k為常數(shù)），且22的最小值為1，則k的值為（1414a1b1）A．1B．4C．7D．9【答案】C解：由題得a21b21k2，所以= ( )( )）1414）1414(k2)14a21b2122a1b1a1b1k2a1b1k222（22 (5 ) (54= =1，k7.1b21b214(a21)19k2a1b1k2k222）【題型二】“1”的代換：分母和定型例2．已知0x，則的最小值為（）A．16B．18C．8D．20【答案】B解：因?yàn)?x，所以012x1，又因?yàn)?x12x1，所以2x12x10102 102 18（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故選：B.12x16x12x16x112xx12x6【題型三】“1”的代換：湊配系數(shù)型2x1xyA．2B．232x1xy2【題型四】“1”的代換：分離常數(shù)型11例3.若x0,y0，且1，則2xy的最小值為（）12xy2x1111例3.若x0,y0，且1，則2xy的最小值為（）12xy2x111a1a12b111112b1a14a14a1

1a112b1a1112b1a11a12b14a12b144a12b14D．4【答案】C解：2xy1[(2x1)2xy]11[(2x1)2xy]11122C．12D．2222222x1xy2例4.已知正實(shí)數(shù)a,b，且a2b2，則的最小值是（A．2B．C．【答案】C解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,b，a2b2，故(a1)(2b1)4，所以 [(a1)(2b1)] (1 )，故(1)2當(dāng)且僅當(dāng)a,b時(shí)取得等號(hào)，故選：22x2y22 22x2y22t1t15t22625t2262106，tttt當(dāng)且僅當(dāng)5t2， 時(shí)等號(hào)成立.所以xy的最小值為2106.222t2210222t2210t5【題型九】三元型例9.已知正數(shù)x,y,z滿足x2y2z21，則2的最小值（A．322B．6C．323【答案】A解：因?yàn)閤,y,z正實(shí)數(shù)，且x2y2z21，所以1z2x2y22xy，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)，

）D．5，則22(z1)2則22(z1)2(1z)21z112xyzz(1z)z(1z)3(1z) 321z3222當(dāng)且僅當(dāng)1z，即z21時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值322，故選：A．21z21z【題型十】三元型因式分解例10.若a，b，c均為正數(shù)，且滿足a23ab3ac9bc18，則2a3b3c的最小值是（）A．6B）A．6B．46C．6D．63【答案】C解：a23ab3ac9bc18aa3b3ca3b18a3ba3c18，因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，所以有18a3ba3ca3ba3c22a3b3c6，2當(dāng)且僅當(dāng)a3ba3c時(shí)取等號(hào)，即a3b32,bc時(shí)取等號(hào)，故選：C【題型十一】“1”的代換：k例11.已知x,y0，若x4y6，則的最小值是（）A．8B．7C．6D．5【答案】A解：設(shè)xyk(k0)，則x4y6k，∴xyx4y6k41x4y6kk2整理得：k26k816yx，由x,y0得解得k8或k2（舍去）,即當(dāng)x1,y時(shí)，取得最小值8，故選：A.41412xyxy221abaa2b例12.設(shè)a2b41412xyxy221abaa2b例12.設(shè)a2b0，則a的最小值為【題型十二】均值用兩次.【答案】6解：a22121 ab1取等號(hào)，2aa2b22ab246，當(dāng)且僅當(dāng)k26k816yx216yx8，當(dāng)且僅當(dāng)x8,y2時(shí)取“=”.∴k26k160，yxykkabaa2babaa2b12abaa2bab1aa2b33a4b444ba3b5a5ba4ba4b444ba3b5a5ba4b43331243355abba【答案】B解：依題意，．又ab3，而abba即取等號(hào)，所以a的最小值為6.故答案為：6a32213aa32213abaa2bb 3【題型十三】均值不等式恒成立求參型例13.已知正數(shù)a，b滿足ab3，若a5b5ab恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（A．,812B．,27A．,812B．,274C．,814D．,27）2a4b4(ab)ba

a32

a4ba2b2a2b22a2b22aba4b42a2b2a2b2=2222(ab)27，當(dāng)且僅當(dāng)a，b時(shí)，兩個(gè)不等式中的等號(hào)同時(shí)成立，所以的取值范圍為,故選：B.【題型十四】判別式法例14.已知x0，y0，且滿足4x29y26xy30，則2x3y的最大值為 ．

【答案】2解法1、由4x29y26xy30，可得4x29y212xy36xy，由基本不等式得(2x3y)232x3y3(2)2，可得(2x3y)23，所以2x3y2，當(dāng)且僅當(dāng)2x3y時(shí)取等號(hào)，聯(lián)立方程組4x29y26xy30，解得x2，y3，故2x3y的最大值為2．2x2x3y11解法2、判別式法：令2x3yz，則2xz3y，將4x29y26xy30轉(zhuǎn)化為9y23zyz230，

看作關(guān)于y的二次方程有解，得9z236z21080，即z24，得z2.

經(jīng)檢驗(yàn)：z2時(shí)符合x0，y0，所以2x3y的最大值為2解法3、由4x29y26xy30，可得(x29y26xy)3x23，(x3y)2x2(x3y)2