20242025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后.再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5毫米的黑色筆跡簽字筆寫(xiě)在答題卡上.4.考試結(jié)束后將本試題和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，則，所以.故選：C.2.已知雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為，且滿足，則的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線漸近線的傾斜角的關(guān)系可求兩條漸近線的傾斜角，結(jié)合離心率公式可得答案.【詳解】雙曲線的兩條漸近線方程分別為，易知.又，解得.所以，所以的離心率為.故選：D.3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.188 B.189 C.190 D.191【答案】B【解析】【分析】由通項(xiàng)公式結(jié)合分組求和、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解；【詳解】因?yàn)椋?故選：B.4.過(guò)點(diǎn)向圓可以作兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得點(diǎn)在圓外，由此列出不等式求出范圍.【詳解】依題意，得點(diǎn)在圓外，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A5.當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，且滿足，若，則（）A. B. C.0 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)得是常數(shù)，再由得，即可得函數(shù)解析式，進(jìn)而求函數(shù)值.【詳解】由，即，即，所以是常數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，得.故選：D6.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)：等比數(shù)列的片斷和成等比數(shù)列求解．【詳解】設(shè)，則，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以也成等比數(shù)列，且公比為，所以，即，所以.故選：B.7.已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】直線與拋物線相切時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離即為最小值，由此可求解．【詳解】設(shè)直線與拋物線相切于點(diǎn)Px0,在第一象限內(nèi)，由，得，則，所以，即，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即.故選：A8.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求出，分離參數(shù)可求答案.【詳解】由，得，求導(dǎo)得，因?yàn)?，所以恒成?令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以，即最小值為1.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)直線與直線平行時(shí)，B.當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，C.直線與軸正半軸和正半軸圍成的三角形面積的最小值是D.直線和圓相交于兩點(diǎn)，則最小值是4【答案】AD【解析】【分析】由直線方程易知過(guò)定點(diǎn)且斜率為，根據(jù)直線平行、垂直時(shí)斜率關(guān)系判斷A、B；求直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，應(yīng)用三角形面積公式及基本不等式求最值判斷C；根據(jù)已知分析有直線與直線垂直時(shí)最小，再應(yīng)用圓中弦長(zhǎng)的幾何求法求判斷D.【詳解】由直線，得斜率為，且過(guò)定點(diǎn)，對(duì)于，直線的斜率為，當(dāng)直線與直線平行時(shí)，正確；對(duì)于B，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，由，得，錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以三角形面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意得，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)最小，此時(shí)，所以，正確.故選：AD10.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，第一象限的點(diǎn)在上，且點(diǎn)不與點(diǎn)重合，若直線與直線的斜率分別為，則下列命題中正確的是（）A.存在點(diǎn)，使B.存在點(diǎn)，使C.對(duì)任意點(diǎn)，均有D.對(duì)任意點(diǎn)，均有【答案】BC【解析】【分析】求出左右頂點(diǎn)、坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)式表示出斜率，對(duì)于A，由，得，代入雙曲線方程，得方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，代入雙曲線方程，解得，則B正確；對(duì)于C，由雙曲線方程，得，可得，則C正確；對(duì)于D，由，則得，代入雙曲線方程，得，則只存在一個(gè)點(diǎn)滿足題意，則D錯(cuò)誤.【詳解】由題意，得左頂點(diǎn)A?2,0，右頂點(diǎn)，設(shè)Pm,nm>2,n>0，則所以.對(duì)于A，由，得，所以.若，則，即，代入，得，顯然此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，若，則，解得，代入，解得，故B正確；對(duì)于C，由，得，所以，故C正確；對(duì)于D，，若，則，即，代入，得，顯然只存在一個(gè)點(diǎn)滿足題意，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.設(shè)函數(shù)，則（）A.是的極小值點(diǎn) B.C D.【答案】ABD【解析】【分析】由二倍角正弦公式得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并研究其區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)定義、單調(diào)性判斷A、B、C；首先得到，再根據(jù)區(qū)間單調(diào)性，及對(duì)稱性判斷D.【詳解】由，得.所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增對(duì)于A，顯然是的極小值點(diǎn)，正確；對(duì)于B，顯然，而在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故.由，得，即，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得所以，因?yàn)?，而在?nèi)單調(diào)遞增，所以，即，正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于D，注意首先確定函數(shù)的對(duì)稱性有為關(guān)鍵.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是__________.【答案】##【解析】【分析】由拋物線的解析式求出，即可求解.【詳解】拋物線即，其圖象是由拋物線的圖象向上平移一個(gè)單位得到，由，得焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.故答案為：.13.已知直線與曲線相切，則______.【答案】2【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，代入可得，即可求解.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，曲線在處的切線方程為，將代入，得，解得，則.故答案為：214.在數(shù)學(xué)中連加符號(hào)是“”，這個(gè)符號(hào)就是連續(xù)求和的意思，把滿足“”這個(gè)符號(hào)下面條件的所有項(xiàng)都加起來(lái)，例如：.類似的在數(shù)學(xué)中連乘符號(hào)是“”，這個(gè)符號(hào)就是連續(xù)求積的意思，把滿足“”這個(gè)符號(hào)下面條件的所有項(xiàng)都乘起來(lái)，例如：.已知數(shù)列滿足：，則__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系有，且，再結(jié)合運(yùn)算定義分別求出，即可得結(jié)果.【詳解】可得，即，故；又由，可得，故，故.故答案為：1.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由列出等式求得公比，即可求解；（2）由錯(cuò)位相減法即可求解；【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則.因?yàn)?，所以，解?所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，所以，則.所以，則，兩式相減，得所以16.已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)向軸作垂線段，垂足為，記垂線段的中點(diǎn)為.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則的坐標(biāo)為，代入拋物線方程計(jì)算即可；（2）聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及，求得，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)求得面積.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在拋物線上，所以，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)軌跡方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)Ax由，得，由，得，，所以，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，解得，或（舍去）.所以，又原點(diǎn)到直線距離為，所以的面積.17.如圖，在三棱柱中，平面，.（1）若，求證：平面；（2）若二面角的余弦值為，求的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【解析】分析】（1）連接，設(shè)，連接，利用線線平行可證線面平行；（2）可證，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量是，求得平面平面的一個(gè)法向量，利用向量法可得的方程，求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接，設(shè)，連接，則在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，又，所以是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又平面，所以平面，又平面，所?故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，故，，設(shè)平面的法向量是，所以即，取，得，所以，易知平面的法向量是.因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋?，解?18.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求證：的內(nèi)心在一條定直線上.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意可得，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可得，求解可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理可得，設(shè)直線的斜率分別為，計(jì)算可得恒成立，進(jìn)而可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)為，所以，則，又點(diǎn)在橢圓上，所以.即，兩式聯(lián)立，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意可知直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，得，設(shè)Ax1,設(shè)直線的斜率分別為.所以，因?yàn)?，所以恒成立，則直線的傾斜角互補(bǔ)，即的平分線總垂直于軸，所以的內(nèi)心在定直線上.19.如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可記為.若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積.（1）求曲線在上與軸圍成的封閉圖形的面積；（2）當(dāng)時(shí)，求證：；（3）求證：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和題中新定義的含義計(jì)算即可.（2）先由新定義的運(yùn)算得到，再構(gòu)造函數(shù)，