整式的乘法與因式分解110道計(jì)算題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

（11大題型）

0題型目錄

題型一同底數(shù)易的乘法計(jì)算

題型二寨的乘方與積的乘方計(jì)算

題型三同底數(shù)塞的除法計(jì)算

題型四整式的乘法計(jì)算

題型五多項(xiàng)式乘法的化簡(jiǎn)求值

題型六已知多項(xiàng)式乘積不含某項(xiàng)求字母的值

題型七乘法公式計(jì)算

題型八“知二求三”型計(jì)算

題型九利用公式法進(jìn)行因式分解

題型十十字相乘法

題型十一分組分解法

修經(jīng)典例題

【經(jīng)典例題一同底數(shù)易的乘法計(jì)算】

1.（24-25七年級(jí)上?上海奉賢?階段練習(xí)）計(jì)算：（6-a）3.（a-6）2_（a-6）.（6-"（結(jié)果寫(xiě)成幕的形式）

2.（23-24八年級(jí)上?吉林?期中）計(jì)算：（一工丫.（一%）2一機(jī)3.機(jī)2.（一機(jī)）3.

3.（23-24七年級(jí)下?陜西榆林?期中）已知3x32^x34=323,求工的值.

4.（23-24七年級(jí)下?陜西西安?期中）已知：x+2y=7,化簡(jiǎn)

5.（23-24七年級(jí)下?山東荷澤?階段練習(xí)）計(jì)算：

（l）（-m）-（-m）2?（-m）3

（2）（加一〃）?（拉一加y.（〃一加J

6.（23-24七年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè)）

(2)(x-3j^)5?(%-3j)3+3(x-3-x)4+4(3J；-X)7*(X-3J).

7.（2024七年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：（〃-?他-4丫+（4-6）4.（6-。）

8.（2024七年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）（1）已知2%=3,求的值;

(2)若42"i=64,求a的值.

9.(23-24八年級(jí)上?全國(guó)?課堂例題)計(jì)算:

(l)108xl02;

23

(2)(-X).(-X)；

+1

(3)a"+2.a"-a"-a;

(4)(y-1)2-(^-1)；

⑸(b+2>@+2)5.(6+2).

10.(23-24七年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè))規(guī)定加*〃=3"x3M.

⑴求2*3；

⑵若2*(x+l)=81,求x的值.

131經(jīng)典例題二幕的乘方與積的乘方計(jì)算】

11.（24-25七年級(jí)上?上海閔行?階段練習(xí)）計(jì)算：（/1?（/）"'-2（無(wú)2）

12.（24-25八年級(jí)上?甘肅天水?期中）已知1（7=5,10,=6,求

(1)102'+103y;

(2)吁+3,.

13.（23-24七年級(jí)下?山東濱州?期中）計(jì)算:

⑴2a2.“，+(/)-(3/)

(2)(—%3)+x~(―2尤2了.

14.（24-25七年級(jí)上?上海?期中）計(jì)算：（-3/）2

15.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算:

(1)(-肛)3?(一9)4.(一孫)5；

16.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算:

17.（24-25七年級(jí)上?上海?期中）計(jì)算：（-x）3.（-/）2.（_司_（3）-（-/）4

18.(24-25八年級(jí)上?遼寧盤(pán)錦?階段練習(xí))計(jì)算題

(l)x2-x4+(x];

⑵⑻")3；

⑶(-〃2)3〃3+(_Q)2.Q7；

(4)[(3Iy)[{(2x-3y)T

19.（24-25八年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）計(jì)算:

⑴121+悖v)

⑵2(f)3.d一(3x3y+(5x)2.X，

20.（24-25八年級(jí)上?福建福州?階段練習(xí)）計(jì)算:

⑴々3+（叫4+（2/）2；

41經(jīng)典例題三同底數(shù)塞的除法計(jì)算】

21.（24-25八年級(jí)上?福建福州?期中）計(jì)算：（03）3:（/./）一（3°）3

22.（24-25七年級(jí)上?上海閔行?期中）計(jì)算：（-X2）\X+X2-X3+X.（2X2）2.

2

23.（24-25八年級(jí)上?重慶?階段練習(xí)）已知x?"=3,求-x3nI-4(x2門(mén)+產(chǎn)7初的值.

9

24.（23-24七年級(jí)下?廣東揭陽(yáng)?階段練習(xí)）已知3x9"'+27"'=32、求加的值.

25.（23-24七年級(jí)下?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）若屋=優(yōu)（。＞0且。41,根、〃是正整數(shù)），則加=".

利用上面結(jié)論解決下面的問(wèn)題:

(1)如果2+8'?⑹=2$,求x的值；

(2)如果22A+4-22A+2=96,求x的值.

10"=；,求10%"的值;

26.（23-24七年級(jí)下?安徽六安?期末）（1）已知10*=50,

(2)已知3?2'-4'-2W=16,求，的值.

n23

27.（2024七年級(jí)下?安徽?專(zhuān)題練習(xí)）已知（a”）"：/,（a'）^a"=a

（1）求加”和2》一〃的值;

(2)求4毋+皆的值.

28.(23-24七年級(jí)下?河北唐山?期中)(1)已知⑷)"=上年2m+2?*=28.

①求加力和機(jī)-"的值.

②求/+〃2的值.

(2)若x=2"'+l/=3+4"'.請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y.

29.(2024七年級(jí)下?江蘇?專(zhuān)題練習(xí))求等式中x的值：32X92X+1-27J+1=81.

30.(2024七年級(jí)下?江蘇?專(zhuān)題練習(xí))小紅學(xué)習(xí)了七年級(jí)下冊(cè)“第八章累的運(yùn)算”后，發(fā)現(xiàn)累的運(yùn)算法則如果

反過(guò)來(lái)寫(xiě)，式子可以表達(dá)為：am+"=a"'-a\=葭+優(yōu)；*=(曖)"，可以起到簡(jiǎn)化計(jì)算的作用.

(1)在括號(hào)里填空：26=22x2(26=284-2(，；26=(22)().

(2)已知：2"'=6,2"=3.

①求2*"的值；

②求2"田的值.

【經(jīng)典例題四整式的乘法計(jì)算】31.(24-25八年級(jí)上?重慶榮昌?期中)計(jì)算:

(1)(-?)2-a4+(2a3)2；

(2)(x-2)(x+3)-x(x-1).

32.（24-25七年級(jí)上?上海?期中）計(jì)算：（-/+?！?6）（"+2/+/）.

33.（23-24八年級(jí)上?遼寧鐵嶺?期中）計(jì)算：

⑴/廣（-中）

（^）（3x+2）（2x-1）-3（x+4）.

34.(24?25八年級(jí)上?全國(guó)?階段練習(xí))計(jì)算

(l)(2x-3j/)(4x2+6xy+9y2)；

(2)(3Q+2)(〃-4)-3(〃-2)(〃-1).

35.（24-25七年級(jí)上?上海閔行?期中）（1）已知/_"5=0,求（4-。）（3+〃）的值.

(2)已知/+4_5=0,求(a?-5)(。+1)的值.

36.（24-25八年級(jí)上?重慶?階段練習(xí)）計(jì)算:

（l）4x2j/-2xy；

⑵（3x『.（x-y）；

⑶（3"26）］++小

（4）（Q+26）?（3b-Q）+Q（a-6）.

37.(24-25八年級(jí)上?重慶?階段練習(xí))計(jì)算:

⑴4孫(3工2+2xy—1^

(2)2(x+2)(2x+3)-3(1-x)(x+6)

38.（24-25八年級(jí)上?重慶?階段練習(xí)）計(jì)算:

（\）2b2（3a2b+b2）-b6^b2；

39.(24-25七年級(jí)上?上海?階段練習(xí))已知/=/+3X-1,8=-2f-3x+4,C=-x2+l.求:

⑴8—2C+N

(2)A-C-B

40.（24-25七年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）計(jì)算:

（2）3X“（2%—-+5）—%?（4%+1）.（%-2）

二3【經(jīng)典例題五多項(xiàng)式乘法的化簡(jiǎn)求值】

41.（24-25八年級(jí)上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）（1）先化簡(jiǎn)，再求值:

、卜2-X-1)+3卜2+x)—%(3、2+6x),其.中久二1

(2)先化簡(jiǎn)，再求值：

(2Q+b)(2Q-b)+(4aZ>3—8cl2b?)+Aub,中Q=—2,6=1.

42.（24?25八年級(jí)上?甘肅嘉峪關(guān)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+l）（x+2）+x（3-x）,其中、=—3.

43.(23?24八年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?期中)先化簡(jiǎn)，再求值:

2

(l)3x(2x-j/)+2x(x-y),其中x=l,>=］；

(2)(4x+3)(x—2)—2(x—l)(2x—3),其中％=—2.

44.(24-25八年級(jí)上?重慶?階段練習(xí))先化簡(jiǎn)，再求值：-2x(x2y-3y+4x)-(x+y)(x-2y)+2x3y,其中

|x+l|+(y-2)2=0.

45.（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）先化簡(jiǎn)再求值：X2（X-2）+2X（X2+1）-（3X-1）（2X-3）,其中x=3.

46.（24-25八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：2x（l-3x）+（3x-4）（2x+3）,其中x=

47.（23-24七年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）先化簡(jiǎn)，再求值:（2a-3?（3a+2b）-（2a+b）（a-2b）,其中。=—2,

b=-\.

48.（22-23七年級(jí)下?四川成都?期中）先化簡(jiǎn)，再求值：［（工+2力（》-2>）-（2彳一了）2-（尤2-5/）］+（-2無(wú)）,

其中尤、y滿(mǎn)足23'+23'=：.

O

49.(23-24八年級(jí)上?河南周口?期末)化簡(jiǎn)求值：

⑴(xT)(2x+l)-2(x-5)(x+2),其中x=；；

(2)(a%-2a62_/)+b_(a_b)(a+6),其中°=b=.

50.（23-24八年級(jí)上?福建泉州?期中）先化簡(jiǎn),再求值［依-3丫）依+3丫）-6-3丫）［+（-3丫），其中》=3,>=-2.

【經(jīng)典例題六已知多項(xiàng)式乘積不含某項(xiàng)求字母的值】

51.（24-25七年級(jí)上?上海奉賢?階段練習(xí)）己知關(guān)于x的整式，+辦+8與尤2-3x+6相乘的積不含x的二次

項(xiàng)和三次項(xiàng)，求（-a）".

52.（24-25八年級(jí)上?廣東廣州?期中）若（x+2力（2x-叼-1）的結(jié)果中不含中項(xiàng)，求加的值.

53.（24-25七年級(jí)上?上海?期中）若（x-2乂2/+辦+6）的展開(kāi)式中不含x的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，求。、6的

值.

54.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期中）若「+3加工-；］，-3工+〃）的積中不含工和/項(xiàng).

（1）求加2+的值；

（2）求代數(shù)式（-18加+（9加"）~+（3加J"'?2021的值.

55.（24-25七年級(jí)上?上海寶山?期中）如果代數(shù)式（丁+即+3）與（/一3'+6）的積的展開(kāi)式中不含有/和V

項(xiàng)，求a和b的值.

56.(24-25八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí))已知多項(xiàng)式/=如「3,5=2x+〃，A與8的乘積中不含有x項(xiàng),

常數(shù)項(xiàng)是-3.

(1)求加，"的值.

⑵求/的值.

57.(22-23八年級(jí)上?四川眉山?期中)已知多項(xiàng)式x+3與另一個(gè)多項(xiàng)式/的乘積為多項(xiàng)式8.

(1)若/為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式尤+a,8中x的一次項(xiàng)系數(shù)為0,則。=_.

(2)若3為丁+px?+qx+6,求3p-q的值.

(3)若4為關(guān)于x的二次三項(xiàng)式無(wú)2+6x+c,判斷8是否可能為關(guān)于x的三次二項(xiàng)式，如果可能，請(qǐng)求出6,

c的值；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

58.(24-25七年級(jí)上?上海?階段練習(xí))將關(guān)于尤的一次二項(xiàng)式辦+6與二次三項(xiàng)式--2X+1相乘，積中不含

二次項(xiàng)，且一次項(xiàng)系數(shù)為6.求。、b的值.

59.（23-24八年級(jí)上?廣西河池?期末）已知（X2+M-3）（2X+〃）的展開(kāi)式中不含x的一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是-6.

（1）求加，〃的值.

⑵先化簡(jiǎn)再求值（優(yōu)+"乂機(jī)2-加.

60.（23-24七年級(jí)下?山西運(yùn)城?期末）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù):

我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.

類(lèi)比整數(shù)的乘法運(yùn)算，我們可以將多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式用列豎式方法進(jìn)行運(yùn)算.

如：(3x2+5x+2)-3x=3x2-3x+5x-3x+2-3x=9x3+15x2+6x.

用如下列豎式的方法計(jì)算：

3x2+5x+2

x3x

9x2+15x2+6x

如果是多項(xiàng)式3/+5x+2乘多項(xiàng)式2x+3,也可以類(lèi)比整數(shù)乘法用列豎式方法進(jìn)行運(yùn)算，計(jì)算步驟如下：

(1)先把多項(xiàng)式3x2+5x+2與2x+3分別按字母x的次數(shù)從高到低排列；

(2)用多項(xiàng)式2x+3中的常數(shù)項(xiàng)3去乘多項(xiàng)式3/+5X+2的每一項(xiàng)，把所得結(jié)果9—+15x+6寫(xiě)在下面，并

把次數(shù)相同的項(xiàng)對(duì)齊；

(3)再用多項(xiàng)式2x+3中的一次項(xiàng)2x去乘多項(xiàng)式3/+5x+2的每一項(xiàng)，把所得結(jié)果6尤3+10/+4》寫(xiě)在

9尤2+15尤+6下面，并把次數(shù)相同的項(xiàng)對(duì)齊；

(4)最后把兩次乘得的結(jié)果6/+10「+4》與9x?+15x+6相加得6丁+19爐+19工+6.

3x?+5x+2

x2x+3

9x2+15x+6

+6x，+1Ox~+4無(wú)

+19廠+19x+6

(5)寫(xiě)出結(jié)果：(3/+5X+2).(2X+3)=6X3+19X2+19X+6.

任務(wù)一：

材料中，用列豎式的方法計(jì)算多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是()；

A.數(shù)形結(jié)合思想B.類(lèi)比思想C.分類(lèi)討論思想D.轉(zhuǎn)化思想

任務(wù)二：

請(qǐng)你用列豎式方法計(jì)算：(2/-3x+l)-(x-2)；

任務(wù)三：

若多項(xiàng)式2x?+px+12與尤+4相乘的結(jié)果中不含x的一次項(xiàng)，則。=.

么【經(jīng)典例題七乘法公式計(jì)算】

61.(24-25七年級(jí)上?上海?階段練習(xí))計(jì)算：(x+2y-3zX2y+3z+x)

62.（24-25七年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）計(jì)算：（a+26）（。-26）-2（3。+?

63.（上海市浦東新區(qū)2024—2025學(xué)年上學(xué)期七年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試試卷）計(jì)算:

（2x-3y）（3x+2y）-（2x-y）（y+2x）

64.（24-25七年級(jí)上?上海楊浦?階段練習(xí)）計(jì)算：（x+2y）（-x-2y）-（2x+y）（-2x+y）

65.（24-25六年級(jí)上?上海?期中）計(jì)算：（2x+y）（2x-y）+（x+?-2（2x2-中）

66.(24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期中)利用乘法公式計(jì)算:

(l)(x-y)(x+j)-(x-j)2；

(2)3.992-4.01x3.97.

67.（24-25七年級(jí)上?上海?期中）計(jì)算：（2a-36）2（2°+34

68.（24-25七年級(jí)上,上海?期中）計(jì)算:2（x-y）2-（2x+y）（x-3^）

69.（24-25七年級(jí)上?上海?期中）利用乘法公式計(jì)算：（2"36+c）（36+2"c）.

70.（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：（2a+3b-1）。+2"36）+（1+2”36）2.

$【經(jīng)典例題八“知二求三”型計(jì)算】

71.（上海市浦東新區(qū)2024—2025學(xué)年上學(xué)期七年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試試卷）已知a+6=5,M=4,求

2

（1）/+b;

(2)(a3+5

2

72.（24-25六年級(jí)上?上海?期中）已知x+y=6,x+/=8,求g個(gè)的值.

73.（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的大正方形分割成四部分（兩個(gè)小正方形和

兩個(gè)長(zhǎng)方形）.觀察圖形，解答下列問(wèn)題:

（1）根據(jù)圖中條件，請(qǐng)你用兩種不同的方法表示大正方形的面積，并寫(xiě)成一個(gè)等式;

（2）如果圖中的a/（a＞力）滿(mǎn)足。-6=6,仍=16,求a+b的值.

222

74.(24-25七年級(jí)上?上海?期中)(1)已知a+b=3,ab=2,可得：a+b=(a-Z))=

(2)已知Q+6+C=6,ab+bc+ac=\\,求/+62+，的值.

75.（24-25七年級(jí)上?上海?期中）應(yīng)用完全平方公式解決下列問(wèn)題:

（1）已知x+y=3,xy=l,求/+/和卜一卜丫的值;

⑵已知2?-5x+2=0,求d+二和1x—L］的值.

76.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?階段練習(xí)）已知。+Z）=5,ab=-6,求:

（1）/+/的值；

⑵的值.

77.（24-25八年級(jí)上?河南南陽(yáng)?階段練習(xí)）（1）已知（a+b）2=25,ab=lO,求/+/的值.

(2)已知(a+b/=17,(a-b)2=13,求而的值.

78.（24-25八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）已知。+6=3,ab=-\.求代數(shù)式下列代數(shù)式的值：@a2+b2@

a-b.

79.(24-25八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期中)在數(shù)學(xué)中，通?？梢赃\(yùn)用一些公式來(lái)解決問(wèn)題.比如，運(yùn)用兩數(shù)和的

完全平方公式g+b)2=a2+2ab+b2,能夠在三個(gè)代數(shù)式a+b,ab,a2+b2^,當(dāng)已知其中任意兩個(gè)代數(shù)式的

值時(shí)，求出第三個(gè)代數(shù)式的值.例如：已知。+6=3,"=2,求/+/的值.

解：將。+6=3兩邊同時(shí)平方，得(a+6)~=32,

即a2+2ab+b2=9,

因?yàn)椤?=2,

等量代換，得/+U+2x2=9,

請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題.

(1)已知=1,/+6?=17,求而的值.

(2)如圖，已知兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為。、b,若a+b=7,ab=9,求圖中陰影部分的面積.

(3)若(2025-x)(x-2024)=-6,貝1(2025-步+(x-2024)2的值為

80.(24-25八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期中)已知。+6=5,。6=6,求下列各式的值:

①出+〃

②出-ab+〃

41經(jīng)典例題九利用公式法進(jìn)行因式分解】

81.(24-25八年級(jí)上?甘肅定西?期中)因式分解:

(1)8/—8/+2Q;

⑵/一1.

82.(24-25七年級(jí)上?上海楊浦?階段練習(xí))分解因式：27一歹一12,

83.(24-25八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期中)因式分解:

(1)15加2-6m;

(2)2X2-4X+2.

84.(24-25七年級(jí)上?上海?期中)⑴分解因式：(X2+1)2-X2

(2)分解因式：3a+3a5-6a3

85.(24-25八年級(jí)上?河南南陽(yáng)?階段練習(xí))分解因式

(1)7/-28;

⑵仁+疔一收/

86.(23-24八年級(jí)上?四川眉山?期末)因式分解

(l)ax2-4a.

(2)2pm2-12pm+lSp.

87.(24-25八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期中)因式分解

(1)6(x—3)+x(x-3)

(2)m2n-4mn+4〃

88.(24-25八年級(jí)上?云南玉溪?期中)分解因式:

(1)/一8仍4；

(2)4a2b-8ab2+4b3?

89.(24-25八年級(jí)上?山東泰安?期中)分解因式

(1)5ax2+20axy+20ay2；

(2)(3x-4y)~4x+3?；

(3)(X2+25)2-100X2；

(4)(X2-7)2+18(7-X2)+81.

90.(24-25八年級(jí)上?河南南陽(yáng)?階段練習(xí))因式分解:

(l)3ax2-6axy+3ay2；

(2)9/(x_y)+4/(y_x)；

(3)cix+ay-bx-by；

(4)(X2+4)2-16X2.

A【經(jīng)典例題十十字相乘法】

91.（24-25七年級(jí)上?上海楊浦?階段練習(xí)）分解因式：x2+xy-6y2-2x+19y-15

92.（24-25七年級(jí)上?上海楊浦?階段練習(xí)）分解因式：4x2-llxy-3y2.

93.（24-25七年級(jí)上?上海?期中）因式分解：（/+3工+1乂/+3苫-2）-1。

94.（24-25七年級(jí)上?上海?期中）因式分解：25〃一/+36-60。.

95.（24-25七年級(jí)上?上海?期中）因式分解:(x2—3%)(%2_3%-2)-8.

96.（24-25七年級(jí)上?上海?期中）因式分解：（X2-2X）2-I1（X2-2X）+24.

97.(24-25七年級(jí)上?上海?階段練習(xí))因式分解：(。2+64)2+14(/+64)+45

98.(23-24七年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試)請(qǐng)你觀察下列多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果與原多項(xiàng)式的關(guān)系，然后回答問(wèn)

題：

①/+5a+4=(a+1)(a+4)；

@a2-10a+21=(a-3)(a-7)；

+4a-12=(a+6)(q-2)；

(4)fl2-7a-18=(a-9)(a+2).

⑴請(qǐng)用一個(gè)式子表示你觀察到的規(guī)律：x1+(a+b')x+ab=.

(2)請(qǐng)用你觀察并總結(jié)出來(lái)的結(jié)論把下面各式分解因式：

①一+2x-3；

②X,-xy-12V".

99.(22-23七年級(jí)下?湖南懷化?期中)提出問(wèn)題：你能把多項(xiàng)式f+5x+6因式分解嗎？

探究問(wèn)題：如圖1所示，設(shè)。，6為常數(shù)，由面積相等可得：

(x+a)(x+b)=x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab,將該式從右到左使用,就可以對(duì)形如x2+(a+b)x+ab的

多項(xiàng)式進(jìn)行進(jìn)行因式分解即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+6).觀察多項(xiàng)式x?+(q+6)x+a6的特征是二次項(xiàng)系

數(shù)為1,常數(shù)項(xiàng)為兩數(shù)之積，一次項(xiàng)為兩數(shù)之和.

解決問(wèn)題：f+5x+6=x2+(2+3)x+2x3=(x+3)(x+2)

運(yùn)用結(jié)論：

(1)基礎(chǔ)運(yùn)用：把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

①--5X-24；②/+8%+12；③尤2-X-12.

(2)知識(shí)遷移：對(duì)于多項(xiàng)式4x2-4x-15進(jìn)行因式分解還可以這樣思考：將二次項(xiàng)4/分解成圖2中的兩個(gè)2x

的積，再將常數(shù)項(xiàng)-15分解成-5與3的乘積，圖中的對(duì)角線上的乘積的和為-4x,就是4/一4x-15的一次

項(xiàng)，所以有4--4x-15=(2x-5)(2x+3).這種分解因式的方法叫做“十字相乘法”.請(qǐng)用十字相乘法進(jìn)行因

式分解：3X2-19X-14

100.(23-24八年級(jí)上?貴州遵義?期末)小亮自學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁(yè)的“閱讀與思考”內(nèi)容

介紹，在因式分解中有一類(lèi)形如二次三項(xiàng)式x2+(p+q)x+p4=(x+pNx+4)的分解因式的方法叫“十字相乘

法”.例如：將二次三項(xiàng)式V+7X+10因式分解，這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)10=2x5,一次項(xiàng)系數(shù)

7=2+5,貝Ux"+7x+10=(x+2)(x+5).如圖所不：

仿照上述解決下列問(wèn)題:

12

15

1x5+1x2=7

(1)因式分解：x2+5x+6；

小亮做了如下分析：

一次項(xiàng)為：O+o=5,則常數(shù)項(xiàng)為：Oxa=6；

則8；□=；

x2+5x+6=(x+_)(x+_)

(2)因式分解：X2-8X+15：

(3)若二次三項(xiàng)式/+辦-8可以分解成兩個(gè)一次因式乘積的形式，求整數(shù)a所有可能的值.

【經(jīng)典例題十一分組分解法】

101.(2024七年級(jí)上,上海?專(zhuān)題練習(xí))已知加2+2加幾+2/—6〃+9=0,求加，〃的值.

102.（24-25七年級(jí)上?上海楊浦?階段練習(xí)）分解因式：x2+xy-6y2-2x+19j^-15

103.（24-25七年級(jí)上?上海楊浦?階段練習(xí)）分解因式：4x2+6x-/-3y

104.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）（1）若（x+a）（x-5）=x2+6x-10,則成的值是；

（2）分解因式：

2

①4%2-4x-y+4y-3；

2

（2）x-3xy-4y2-x+9y-2；

（3）若多項(xiàng)式x2-（3+a）x+4a-2能分解成兩個(gè)一次式（常數(shù)項(xiàng)為整數(shù)）的乘積，求。的值.

105.（24-25八年級(jí)上?山東淄博?階段練習(xí)）閱讀下面的材料：

常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多項(xiàng)式只用上述方法無(wú)法分解.如

x2-4y2-2x+4y,細(xì)心觀察這個(gè)式子，會(huì)發(fā)現(xiàn)前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前、后兩部

分分別因式分解后又出現(xiàn)新的公因式，提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式.具體過(guò)程如下：

尤2-4,2_2x+4y

二(%+2y)(x-2y)-2(x-2y)

=(x-2y)(x+2y-2)

像這種將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，進(jìn)行分解因式的方法叫做分組分解法.

利用分組分解法解決下面的問(wèn)題：

(1)分解因式：x2-2xy+y2-4；

⑵已知△4BC的三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足/-/+℃-止=0,判斷△48C的形狀并說(shuō)明理由.

106.(24-25八年級(jí)上?湖南衡陽(yáng)?階段練習(xí))“探究性學(xué)習(xí)”小組的甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行因式分解如下.

甲：a2-2ab-4+b2乙：a2-ab-a+b

=^a2—2ab+—4(分成兩組)=(/-ab)-(〃-6)(分成兩組)

=(a-/))2-22(直接運(yùn)用公式)=a(a-b)-(a-b)(提公因式)

=(Q-6+2)(Q-6-2)

請(qǐng)?jiān)谒麄兘夥ǖ膯l(fā)下解答下列各題.

（1）分解因式9丫2-6工y+/一16.

（2）若。，b,c分別為△48C三邊的長(zhǎng).

①若滿(mǎn)足若℃一兒+/-2a6+/=0,請(qǐng)判斷△4BC的形狀，并說(shuō)明理由.

②若滿(mǎn)足/+/=i2a+86-52,求c的范圍.

107.（24-25八年級(jí)上?山東東營(yíng)?階段練習(xí)）閱讀與思考：分組分解法指通過(guò)分組分解的方式來(lái)分解用提公

因式法和公式法無(wú)法直接分解的多項(xiàng)式，比如：四項(xiàng)的多項(xiàng)式一般按照“兩兩”分組或“三一”分組，進(jìn)行分