第四章三角形

第19講直角三角形

（思維導(dǎo)圖+4考點(diǎn)+4命題點(diǎn)18種題型（含5種解題技巧））

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航關(guān)的規(guī)律探究問題

02知識導(dǎo)圖?思維引航??題型05勾股定理與網(wǎng)格問題

03考點(diǎn)突破?考法探究??題型06勾股定理與折疊問題

考點(diǎn)一直角三角形＞題型07勾股定理與無理數(shù)

考點(diǎn)二勾股定理??題型08利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

考點(diǎn)三勾股定理逆定理??題型09勾股定理的證明方法

考點(diǎn)四勾股定理的實(shí)際應(yīng)用＞題型10趙爽弦圖

04題型精研?考向洞悉＞題型11利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問題

命題點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)與判定命題點(diǎn)三勾股定理逆定理

??題型01由直角三角形的性質(zhì)求解??題型01在網(wǎng)格中判定直角三角形

??題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形＞題型02利用勾股定理逆定理求解

命題點(diǎn)二勾股定理命題點(diǎn)四勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

??題型01利用勾股定理求解??題型01用勾股定理解決實(shí)際生活問題

＞題型02判斷勾股數(shù)問題＞題型02用勾股定理逆定理解決實(shí)際生活問題

??題型03以直角三角形三邊為邊長的圖形面積??題型03求最短路徑問題

??題型04與直角三角形三邊為邊長的圖形面積有

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求

直角三角形★★★理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理；

勾股定理★★

探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際

問題.

勾股定理逆定理★★

【考情分析】該模塊內(nèi)容在中考中一直是較為重要的幾何考點(diǎn)，考察難度為中等偏上，?？伎键c(diǎn)為:直角三

角形的性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理與實(shí)際問題等，特別是含特殊角的直角三角形，更加是

考察的重點(diǎn).出題類型可以是選擇，填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作

為問題的幾何背景進(jìn)行拓展延伸.結(jié)合以上考察形式，需要考生在復(fù)習(xí)這一模塊時(shí)，準(zhǔn)確掌握有關(guān)直角三角

形的各種性質(zhì)與判定方法，以及特殊直角三角形?？嫉目疾旆较?

知識導(dǎo)圖?思維弓I航

直角三角形

兩直角邊的平方和=斜邊的平方

知相關(guān)概念

222直角邊：a,b

識公式a^-b=c

斜邊：

捺c

理兩銳角互余

斜邊的中線等于斜邊的一半

30°角所對的邊等于斜邊的一半

兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

直角三角形的性質(zhì)與判定

f角是直角

兩個(gè)內(nèi)角互余

判定三角形

一邊上的中線等于這條邊的一半

勾股定理a2+b2=c2

iE^a,b,c

勾股數(shù)定義

222

學(xué)滿足a+6=c

法

指2

逆定理內(nèi)容a\b'=c三角形是直角三角形

導(dǎo)

要明確該三角形是直角三角形

解題技巧

考點(diǎn)突破?考法探究I

Ax

考點(diǎn)一直角三角形

定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.

性質(zhì)：

性質(zhì)直角三角形兩個(gè)銳角互直角三角形斜邊上的中線等于斜邊在直角三角形中，30。角所對的

余.的一半.直角邊等于斜邊的一半.

2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

3）有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.

4）勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角

形.

面積公式：S^ab=lcm（其中：c為斜邊上的高，m為斜邊長）

針對訓(xùn)練

1.（2024?海南?中考真題）設(shè)直角三角形中一個(gè)銳角為x度（0<%<90）,另一個(gè)銳角為y度，則y與x

的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.y=180+xB.y=180—xC.y=90+%D.y=90—x

2.（2024.青海?中考真題）如圖，在ABC中，。是AC的中點(diǎn)，乙BDC=60°,AC=6,貝加。的長是（）

B.6C.V3D.3V3

3.（2023?浙江衢州?中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時(shí)為方便測出Cobb角N。的大小,

需將△。轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與乙。相等的角是（）

A.乙BEAB.乙DEBC.Z.ECAD./.ADO

4.（2023?貴州?中考真題）5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽開幕，在“自動(dòng)化立體庫”

中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120。，腰長為12m,則

底邊上的高是（）

A

A.4mB.6mC.10mD.12m

5.（2023?湖南?中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuan）,一宣有半謂之橘（zhii）……”

意思是：”……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做橘……即：1宣=］矩，1榴=或宣（其中，1

矩=90。），問題：圖（1）為中國古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若N4=l

矩，Z-B=1楣，則=度.

考點(diǎn)二勾股定理

文字語言：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

符號語言：如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.

變式：a2=c2-b2,b2=c2-a2,

c=Va2+b2,a=Vc2—b2,b=Vc2—b2.

【易錯(cuò)點(diǎn)】

1）勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定

理時(shí)，必須明了所考察的對象是直角三角形；

2）如果已知的兩邊沒有指明邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解

時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解.

3）應(yīng)用勾股定理時(shí)，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+/）2=。2時(shí)，斜邊只能是C.若b為斜邊，則關(guān)

系式是a2+c2=F；若a為斜邊，則關(guān)系式是b2+c2=a2.

勾股定理的驗(yàn)證

方法一：如圖一，用4個(gè)全等的直角三角形，可以得到一個(gè)以?！猘）為邊長的小正方形和一個(gè)以C為邊長

的大正方形.即4S4+S正方形EFGH=S正方形ABCD，所以4x[ab+（b-a/=c?,化簡可證.

方法二（圖二）：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4x|ab+c2=2ab+c2

大正方形面積為S=（a+b）2=a2+2ab+b2,所以a?+b2=c2

方法三：如圖三，用兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形，可以得到一個(gè)直角梯形.

S梯形--（a+b）-（a+b）,S梯形=2S&ADE+^AABE=2x5ab+5c?，化間得證a?+b?=c?

圖一圖二圖三

針對訓(xùn)練

1.（2024?青海?中考真題）（1）解一元二次方程：x2-4x+3=0；

（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長.

2.（2023?遼寧大連?中考真題）如圖，在數(shù)軸上，OB=1,過。作直線/1OB于點(diǎn)。，在直線/上截取。4=2,

且4在OC上方.連接A8,以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作弧交直線OB于點(diǎn)C,則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

3.（2023?湖南郴州?中考真題）在AABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,貝！MB邊上的中線CD=.

4.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一^k五步.問勾中容圓，徑幾何？”

譯文：現(xiàn)在有一個(gè)直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步.問這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓

的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長.用

直角三角形三條邊的長相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計(jì)算所得的商就是這個(gè)

直角三角形內(nèi)切圓的直徑.根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步.（注：“步”為長度單位）

股15片、弦

勾8

5.（2024.江蘇南通?中考真題）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理.如圖所示的“趙爽弦圖”是

由四個(gè)全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為如

n（m>n）.若小正方形面積為5,（m+n）2=21,則大正方形面積為（）

A.12B.13C.14D.15

考點(diǎn)三勾股定理逆定理

L勾股數(shù)

勾股數(shù)：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即滿足關(guān)系a?+=?2的3個(gè)正整數(shù)a,

b,C稱為勾股數(shù).

勾股數(shù)需要滿足的兩個(gè)條件：1）這三個(gè)數(shù)均是正整數(shù)；

2）兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方.

常見的勾股數(shù)：1）3,4,5；2）6,8,10；3）5,12,13等.

2.勾股定理的逆定理

內(nèi)容：如果三角形三邊長a,b,c滿足42+爐=。2,那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊.

【補(bǔ)充說明】

1）勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法；

2）勾股定理的逆定理通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平

方和02+》2與較長邊的平方c2作比較，①若a2+b2=c2時(shí)，以口，匕，。為三邊的三角形是直角三角形；

②若a2+b2<c2時(shí)，以a,b,c為三邊的三角形是鈍角三角形；

③若42+爐>02時(shí)，以a,b,c為三邊的三角形是銳角三角形

針對訓(xùn)練

1.（2024?江蘇揚(yáng)州?三模）下列幾組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長度的是（）

A.3,4,5B.9,15,17C.25,7,24D.8,6,10

2.（2024?江蘇南京?三模）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的為（）

A.V3,V4,V5B.1,1,V2C.7,8,9D.13,84,85

3.（21-22八年級下?湖北省直轄縣級單位?階段練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1,則Z48。的度數(shù)為

4.（2023?吉林白城?模擬預(yù)測）正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).以

格點(diǎn)為頂點(diǎn).

圖①圖②

（1）在圖①中，畫一個(gè)邊長為魚的線段；

（2）在圖②中，畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長分別是魚、2夜、V10.

2

5.（2024.廣東?模擬預(yù)測）若|a—川+（c—或）=0,則以a,b,c為邊長的三角形的形狀

是.

考點(diǎn)四勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

1.利用勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟：

1）從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形；

2）確定與問題相關(guān)的直角三角形；

3）找準(zhǔn)直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理建立等量關(guān)系；

4）求得符合題意的結(jié)果.

2.利用勾股定理解決實(shí)際問題的常見類型

1）直接利用勾股定理列方程解決實(shí)際問題；

2）利用勾股定理解決幾何體表面最短距離問題；

3）利用勾股定理和方程思想解決與“翻折”相關(guān)的問題；

4）利用勾股定理解決有關(guān)幾何圖形的面積問題.

針對訓(xùn)練

1.（2024.四川巴中.中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問：水深

幾何？”這是我國數(shù)學(xué)史上的“葭生池中”問題.即4C=5,DC=1,BD=BA,貝UBC=（）

A.8B.10C.12D.13

2.（2021?江蘇宿遷?中考真題）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一

尺，適與岸齊.問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦4B

生長在它的中央,高出水面部分為1尺.如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，則水深為尺.

3.（2024?上海寶山?一模）在馬拉松比賽過程中，嘉琪和李明之間一直用最遠(yuǎn)對講距離為300米的對講設(shè)備

聯(lián)系.嘉琪運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，嘉琪用對講機(jī)與朋友李明聯(lián)系，李明告知嘉琪正在通過路口2向C運(yùn)動(dòng)后，就

失去了聯(lián)系，已知嘉琪的跑步速度為2m/s,李明的跑步速度為4m/s,乙4BC=90。，BC足夠長，多少秒后

他們再次取得聯(lián)系？（）

Bu---------------------C

A.150sB.60sC.100sD.不會(huì)再取得聯(lián)系

4.（2023?陜西西安?二模）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm,底面周長為10cm,

在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)2處,

則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是cm.

題型精研?考向洞悉

命題點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)與判定

-題型01由直角三角形的性質(zhì)求解

1.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，28是。。的直徑，點(diǎn)C在4B的延長線上，CD與。。相切于點(diǎn)。，若“=

20°,貝此CAD='

2.（2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,以點(diǎn)4為圓心，適當(dāng)長為半

徑畫弧分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,連

接4P并延長交BC于點(diǎn)D.若△4CD的面積為8,則△力8。的面積是（）

C.12D.24

3.（2023?湖南郴州?中考真題）在AABC中，3c=90°,AC=6,BC=8,貝邊上的中線CD=

4.（2023?海南?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,0）,將AAB。繞著

點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到ADBC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

A.(3V3,3)B.(3,3V3)C.(6,3)D.(3,6)

5.（2024.海南?中考真題）如圖，菱形A8CD的邊長為2,^ABC=120°,邊AB在數(shù)軸上，將AC繞點(diǎn)A順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在數(shù)軸上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E表示的數(shù)是3,則點(diǎn)A表示的數(shù)是（)

C.0D.3-2V3

＞題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形

1.（2022?湖南株洲?中考真題）如圖所示，在菱形力BCD中，對角線4C與BD相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)C作CEIIBD交4B

的延長線于點(diǎn)E,下列結(jié)論不一定正確的是（）

A.OB=-CEB.△ACE是直角三角形

2

C.BC=-AED.BE=CE

2

2.（2024?福建南平?一模）如圖1,點(diǎn)D是AABC的邊力B上一點(diǎn).AD=AC,ACAB=a,。。是△BCD的外

接圓，點(diǎn)E在。上（不與點(diǎn)C,點(diǎn)。重合），且4。石。=90。一戊.

（1）求證：AABC是直角三角形；

（2）如圖2,若CE是。。的直徑，且CE=2,折線4DF是由折線ACE繞點(diǎn)川順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到.

①當(dāng)a=30。時(shí)，求ACDE的面積；

②求證：點(diǎn)C,D,F三點(diǎn)共線.

3.（2024?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測）如圖1,拋物線L：y=F（久-27+爪與％軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,

（2）點(diǎn)。是直線8c下方拋物線L上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）如圖2,在（2）條件下，將拋物線乙向右平移1個(gè)單位長度后得到拋物線設(shè)拋物線M與拋物線L的

交點(diǎn)為E,AF1BC,垂足為「證明ADEF是直角三角形.

命題點(diǎn)二勾股定理

＞題型01利用勾股定理求解

1.（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形力BCDEF內(nèi)接于。0,則它的內(nèi)切圓半徑為（）

A.1B.2C.V2D.V3

2.（2024.遼寧?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系%Oy中，菱形AOBC的頂點(diǎn)/在無軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)8在直

線y=上，若點(diǎn)8的橫坐標(biāo)是8,為點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

C.(-3,6)D.(-4,6)

3.（2024.廣東廣州.中考真題）如圖,圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為72。的扇形，若扇形的半徑1是5,

2A/6

C.2A/6TTD.——IT

3

4.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在菱形4BCD中，AABC=60°,AB=6,AC是一條對角線，E是4c上

一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF12B,垂足為尸，連接DE.若則DE的長為

5.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，四邊形力BCD是菱形，CD=5,BD=8,4E1BC于點(diǎn)E,貝!ME的

長是（）

A

A.yB.6C.yD.12

>題型02判斷勾股數(shù)問題

方法技巧

1）確定是三個(gè)正整數(shù)a,b,c；

2）確定最大的數(shù)c；

3）計(jì)算較小的兩個(gè)數(shù)的平方+02是否等于c2.

1.（2023?江蘇南通?中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，世界上第一次給出勾

股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》.現(xiàn)有勾股數(shù)a,6,c,其中a,b均小于c,a=|m2-|,c=|m2+|,

小是大于1的奇數(shù)，則6=（用含血的式子表示）.

2.（2023?四川瀘州?中考真題）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)a,b,c的

計(jì)算公式：a=|（m2—n2）,b=mn,c=|（m2+n2）,其中m>n>0,m,n是互質(zhì)的奇數(shù).下列四組勾

股數(shù)中，不熊由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.7,24,25

3.（2024?河北秦皇島?一模）我們把滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)4,3c稱為“勾股數(shù)”.若a,b,c（a<

b<c）是一組勾股數(shù)，〃為正整數(shù).

（1）當(dāng)b=n+7,c=n+8時(shí)，請用含w的代數(shù)式表示a?,并直接寫出〃取何值時(shí)，。為滿足題意的最小整

數(shù)；

=6+1時(shí)，用含〃的代數(shù)式表示再完成下列勾股數(shù)表.

4.（2024?浙江?模擬預(yù)測）在中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就對勾股定理和勾股數(shù)有過一定的描述，所

謂勾股數(shù)一般是指能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，觀察下面的表格中的勾股數(shù)：

abc

3=1+24=2x1x25=2xlx2+l

5=2+312=2x2x313=2x2x3+1

7=3+424=2x3x425=2x3x4+1

9=4+540=2x4x541=2x4x5+1

⑴當(dāng)a=11時(shí)，b=,c=.

（2）按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）.

（3）請運(yùn)用有關(guān)知識，推理說明這個(gè)結(jié)論是正確的.

＞題型03以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

方法技巧

1.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖①，直角三角形的兩個(gè)銳角分別是40。和50。，其三邊上分別有一個(gè)正

方形.執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作銳角為40。和50。的直角三角形，再分別以所得到的直

角三角形的直角邊為邊長作正方形.圖②是1次操作后的圖形.圖③是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖形，

人們把它稱為“畢達(dá)哥拉斯樹”.若圖①中的直角三角形斜邊長為2,則10次操作后圖形中折存?正方形的面

積和為

圖①圖②圖③

2.（2023?江蘇連云港?中考真題）如圖，矩形4BCD內(nèi)接于O0,分另lj以48、BC、CD、4。為直徑向外作半

A.丁兀一2。B,-n-20C.2。兀D.20

3.（2024?廣東中山?模擬預(yù)測）在直線L上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）.已知斜放置的三個(gè)正方形

的面積分別1、4、9,正放置的四個(gè)正方形的面積依次為S「S2，S3，S4,則Si+S2+S3+S4的值是.

4.（2024.廣西梧州.二模）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（/CME-7）的會(huì)徽，會(huì)徽的主題圖案是由圖2

中七個(gè)直角三角形演化而成的，其中。A1=4遇2=人243=43人4=4445=45人6=人6&7=47人8=L貝1J

組成會(huì)徽的七個(gè)直角三角形的面積的平方和為.

5.（2024?江蘇宿遷?二模）小明在一塊畫有Rt△4BC的紙片上（其中NABC=90。，BC<AB）進(jìn)行了如下操

作：第一步分別以48、8C為邊向外畫正方形ABFG和正方形BCDE；第二步過點(diǎn)4、B分別作2C的垂線和AC

的平行線，將紙片力BFG一分成②、③、④、⑤四塊，如圖1；第三步將圖1中的正方形紙片BCDE、△力BC紙

片及紙片②、③、④、⑤剪下,重新拼接成圖2.若需=，則器的值

圖2

6.(2020?江西?中考真題)某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形

三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積Si，S2,S3之間的關(guān)系問題''進(jìn)行了以下探究:

(1)如圖2,在Rt△ABC中，BC為斜邊，分另IJ以為斜邊向外側(cè)作Rt△4BD,RtAACE,RtABCF,

若41=42=43,則面積S「S2,S3之間的關(guān)系式為_；

推廣驗(yàn)證

(2)如圖3,在RtZk/lBC中，8c為斜邊，分另IJ以4B,2C,BC為邊向外側(cè)作任意△力8D,^ACE,ABCF,

滿足N1=N2=N3,ND=NE=NF,則(1)中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若

不成立，請說明理由；

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在五邊形ABCDE中，NA=NE=NC=105°,/.ABC=90°,AB=2遮，DE=2,點(diǎn)P在ZE上，

乙ABP=30。，PE=V2,求五邊形ABCDE的面積.

.題型04與直角三角形三邊為邊長的圖形面積有關(guān)的規(guī)律探究問題

1.(2020?遼寧丹東?中考真題)如圖，在矩形。4中，。4=3,441=2,連接O4,以。&為邊，作矩形

。&4B1使442=|。&，連接。42交于點(diǎn)C;以。42為邊，作矩形。42482,使424=|。42,連接。力3

交&&于點(diǎn)G；以。&為邊，作矩形。444B3，使力344=|。人3，連接。心交A3B2于點(diǎn)。2；…按照這個(gè)規(guī)律

進(jìn)行下去，貝UZIC2019C202042022的面積為

2.（2024.四川內(nèi)江.二模）如圖，正方形力BCD的邊長為2,其面積標(biāo)記為￡,以CD為斜邊作等腰直角三角

形，并以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2……按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則

S2024的值為.

3.（23-24九年級下?山東聊城?階段練習(xí)）如圖（1）,已知小正方形48CD的面積為1,把它的各邊延長一倍

得到新正方形力iBiGA；把正方形4/1的劣邊長按原法延長一倍得到正方形2c2。2（如圖（2））…；以

此下去，則正方形42024B2024c2024。2024的面積為.

圖⑴圖⑵

4.（2023?山東青島?二模）【問題背景】

如圖1,△ABC是一張等腰直角三角形紙板，ZC=90°,AC=BC=2.取"、BC、4B中點(diǎn)進(jìn)行第1次剪取,

記所得正方形面積為￡,如圖2,在余下的AADE和ABDF中，分別剪取正方形，得到兩個(gè)相同的正方形,

稱為第2次剪取，并記這兩個(gè)正方形面積和為52（如圖2）.

【問題探究】

（］）$2=

（2）如圖3,再在余下的四個(gè)三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個(gè)相同的正方形，稱為第3次

剪取，并記這四個(gè)正方形面積和為S3繼續(xù)操作下去…，則第10次剪取時(shí)，Si。=；第九次剪取時(shí)，Sn=

【拓展延伸】

在第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和為

＞題型05勾股定理與網(wǎng)格問題

?LEt-F工一正方形網(wǎng)格中的每一個(gè)角都是直角，在正方形網(wǎng)格中的長度計(jì)算都可以歸結(jié)為求任意

兩個(gè)點(diǎn)之間的距離，一般情況下都是運(yùn)用勾股定理來進(jìn)行計(jì)算，關(guān)鍵是確定每一條邊所在的直角三角形.

1.（2023?吉林長春?中考真題）圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1,每

個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作

△4BC,點(diǎn)C在格點(diǎn)上.

⑴在圖①中，△48C的面積為支

（2）在圖②中，△4BC的面積為5

（3）在圖③中，△力8c是面積為?的鈍角三角形.

2.（2023?吉林?中考真題）圖①、圖②、圖③均是5X5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段

48的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上.在圖①、圖②、圖③中以4B為邊各畫一個(gè)等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直

角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

3.（2024?廣東?模擬預(yù)測）如圖，在6X7的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1,四邊形力BCD的頂

點(diǎn)均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上.

⑴求sin。的值.

（2）操作與計(jì)算：用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)C作CE1AD,垂足為E,并直接寫出CE的長.（保留作圖痕跡，不要求

寫出作法）

.題型06勾股定理與折疊問題

F.解決“翻折”問題時(shí)，要弄清翻折前后的邊、角的對應(yīng)情況，將待求線段或角與已知

線段、角歸結(jié)到一起，尤其是求線段長度時(shí)，常常利用勾股定理直接求出未知線段的長度或通過勾股定理

列方程使問題得以解決.

1.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。，AC=6,BC=4,。是邊力C的中點(diǎn)，

E是邊BC上一點(diǎn)，連接BD、DE.將ACDE沿DE翻折，點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)尸處，則CE=.

2.（2023?湖南婁底?中考真題）如圖，點(diǎn)E在矩形4BCD的邊CD上，將△4DE沿4E折疊，點(diǎn)。恰好落在邊BC

上的點(diǎn)P處，若BC=10.sinzXFB=支貝ijDE=

3.（2023?江蘇揚(yáng)州?中考真題）如圖，已知正方形48CD的邊長為1,點(diǎn)E、P分別在邊AD、BC上，將正方

形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)次處，如果四邊形2BFE與四邊形EFCD的面積比為3：5,那么

線段尸C的長為

4.（2024?四川廣元?中考真題）已知丫=百久與）/=：0＞0）的圖象交于點(diǎn)4（2,爪），點(diǎn)8為y軸上一點(diǎn)，將

A（MB沿。4翻折，使點(diǎn)B恰好落在y="%＞。）上點(diǎn)C處，則2點(diǎn)坐標(biāo)為.

＞題型07勾股定理與無理數(shù)

1.（2024?四川南充?中考真題）如圖，已知線段4B,按以下步驟作圖：①過點(diǎn)8作BC14B,使BC=}4B,

連接4C；②以點(diǎn)C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)Z）；③以點(diǎn)A為圓心，以4。長為半徑畫弧，交4B

于點(diǎn)E.若4E=mAB,則m的值為（）

A--rB?丁c-b-1D-b-2

2.（2024.貴州貴陽.一模）如圖，BA=BC,在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a,則a的值最接近的整數(shù)是

3.（2024?山西大同?模擬預(yù)測）為了比較遮+1與VIU的大小，小亮先畫了一條數(shù)軸，然后在原點(diǎn)。處作了

一條垂線段。4，且04=1,點(diǎn)8表示的數(shù)是2,點(diǎn)C表示的數(shù)為3,連接AB,AC,由4B+BOAC推出

V5+1>V10,這里小亮用到的數(shù)學(xué)思想是（）

A.統(tǒng)計(jì)思想B.數(shù)形結(jié)合C.模型思想D.分類討論

4.（2024南寧三中模擬）利用勾股定理，可以作出長為魚、百、有、…的線段，如圖:在RtA48C中,N8=90°,

AB=2,BC=1,貝!MC的長等于.在按同樣的方法，可以在數(shù)軸上畫出表示魚、V3,右、…的點(diǎn).

（1）在數(shù)軸上作出表示-a的點(diǎn)M（尺規(guī)作圖，保留痕跡）.

（2）在數(shù)軸上作出表示舊的點(diǎn)N（尺規(guī)作圖，保留痕跡）.

>題型08利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

1.（2021.山東棗莊?中考真題）如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖2,在四邊形4BCD中，AB=AD,CB=CD,問四邊形力BCD是垂美四邊形嗎？請說

明理由；

（2）性質(zhì)探究：如圖1,垂美四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)0.猜想：AB2+CD2^AD2+BC2W

么關(guān)系？并證明你的猜想.

（3）解決問題：如圖3,分別以RtA4CB的直角邊4C和斜邊4B為邊向外作正方形4CFG和正方形48DE,

連結(jié)CE,BG,GE.已知力C=4,AB=5,求GE的長.

2.（2024.山西朔州?二模）閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)收集的一篇數(shù)學(xué)小論文，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

構(gòu)圖法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用構(gòu)圖法指的是構(gòu)造與數(shù)量關(guān)系對應(yīng)的幾何圖形，用幾何圖形中反映的數(shù)量

關(guān)系來解決數(shù)學(xué)問題的方法.巧妙地構(gòu)造圖形有助于我們把握問題的本質(zhì)，明晰解題的路徑，也有利于發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)結(jié)論.本文通過列舉一個(gè)例子，介紹構(gòu)圖法在解題中的應(yīng)用，

例：如圖1,已知P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，AAPB=113°,^APC=123°.

圖1求以4P,BP,CP為邊的三角形中各個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

解析：如何求所構(gòu)成的三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)？由于沒有出現(xiàn)以4P,BP,CP為邊的三角形，問題難以解決.

于是考慮通過構(gòu)圖法構(gòu)造長度為力P,BP,CP的三角形來解決問題.

解：將A/IPC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得AAQB,則AAQB三AaPC.

BQ=CP,AQ=AP,Z1=ZCXP.

由旋轉(zhuǎn)可知NQAP=60。，A4PQ是等邊三角形.【依據(jù)】

???QP=AP,Z3=Z4=60°.

AQBP就是以4P,BP,CP為邊的三角形.

???UPB=113°,Z5=乙APB-Z4=53°.

???AAQB=^APC=123°.Z6=AAQB—N3=63°.

“BP=180°-45-N6=64°.

以4P,BP,CP為邊的三角形中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為64。，63°,53°.

構(gòu)造圖形的關(guān)鍵在于通過圖形的變化，能使抽象的數(shù)量關(guān)系集中在一個(gè)圖形上直觀地表達(dá)出來，使問題變

簡單.

任務(wù)：

(1)上面小論文中的“依據(jù)”是

(2)如圖2,已知點(diǎn)尸是等邊三角形2BC的邊BC上的一點(diǎn)，若〃PC=102。，則在以線段2P,BP,CP為邊的

三角形中，最小內(nèi)角的度數(shù)為'

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，ZXDC=30°,^ABC=60°,AB=BC.求證：BD2=AD2+CD2.

圖3

3.(2023?湖北武漢?模擬預(yù)測)如圖，A/ICB和AECD都是等腰直角二角形，CA=CB,CE=CD,A/ICB的

頂點(diǎn)力在4ECD的斜邊DE上.

(1)判斷NACD與ABCE間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)直接寫出線段4。、AE.AC間滿足的數(shù)量關(guān)系.

4.(2023?陜西咸陽?一模)在RtzkABC中，AACB=90°,。是4B的中點(diǎn)，作NPOQ=90。.分別交AC,BC于

點(diǎn)P,Q,連接PQ

C

CoDCz

131圖2圖3

(1)【嘗試探究】如圖1,若4C=BC,求證ap2+BQ2=PQ2；

(2)【深入研究】如圖2,試探索(1)中的結(jié)論在一般情況下是否仍然成立;

(3)【解決問題】如圖3,若4C=6,BC=8,點(diǎn)C,P,0,Q在同一個(gè)圓上，求APCQ面積的最大值.

＞題型09勾股定理的證明方法

1.(2023?北京大興?一模)下面是用面積關(guān)系證明勾股定理的兩種拼接圖形的方法，選擇其中一種，完成證

2.(2024?山西呂梁.模擬預(yù)測)閱讀與思考：請閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù).

從勾股定理的“無字證明”談起

在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)運(yùn)用一些幾何圖形驗(yàn)證勾股定理.如圖1是古印度的一種證明方

法：過正方形2DEC的中心。，作兩條互相垂直的直線，將正方形分成4份，所分成的四部分和一小正方形

恰好能拼成一個(gè)大正方形.這種方法，不用運(yùn)算，單靠移動(dòng)幾塊圖形就直觀地證出了勾股定理，這種根據(jù)

圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”.

意大利著名畫家達(dá)?芬奇用如圖2所示的方法證明了勾股定理，其中圖甲的空白部分是由兩個(gè)正方形和兩個(gè)

直角三角形組成，圖丙的空白部分由兩個(gè)直角三角形和一個(gè)正方形組成.設(shè)圖甲中空白部分的面積為S],圖

丙中空白部分的面積為52.

任務(wù)：

(1)下面是小亮利用圖2驗(yàn)證勾股定理的過程，請你幫他補(bǔ)充完整.

解:根據(jù)題意，得S]==a2+b2+ab

22

S7z—c+2x-2ab=c+ab.

S1=$2，

,即.

(2)我國是最早了解勾股定理的國家之一.東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注中依據(jù)割補(bǔ)術(shù)而創(chuàng)造

了勾股定理的無字證明“青朱出入圖如圖3,若CB=6,CG=8,貝U/N的長度為.

(3)在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式.一些代數(shù)恒等式也可以通過“無字證明”來解

釋.可以借助圖4直觀地解釋的代數(shù)恒等式為.借助此方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀且具有

可操作性，從而幫助我們解決問題，在此過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是.

A.分類討論思想B.公理化思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.從特殊到一般的思想

(4)借助圖5可以直觀解釋的式子為.(填序號)

①(a+3)2=a2+9；②(a+3)2—a2+6a+9；

③(a+3)24a2+%④(a—3)2=a2—6a+9.

(5)實(shí)際上，初中數(shù)學(xué)還有一些代數(shù)恒等式(除上述涉及的)也可以借助“無字證明”來直觀解釋，請你舉出

一例，畫出圖形并直接寫出所解釋的代數(shù)恒等式.

>題型10趙爽弦圖

方法技巧

內(nèi)弦圖模型外弦圖模型

條件在正方形內(nèi)部，有四個(gè)全等的直角三角形.

結(jié)論1）四邊形ABMN為正方形1）四邊形CMHG為正方形

12222

2)S正方形DEFG=(a+b)=c+2ab2)S正方形CMHG=(a-b)=c-2ab

3)a2+b2=c23)a2+b2=c2

1.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是

由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個(gè)大正方形2BCD.直線MP交正方形2BCD的兩

邊于點(diǎn)E,F,記正方形力BCD的面積為S],正方形MNPQ的面積為52.若BE=kAE（k>1）,則用含k的式

子表示，的值是.

2.（2023?湖北鄂州?中考真題）2002年的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第

一次大聚會(huì).這次大會(huì)的會(huì)徽選定了我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦

圖如圖，用四個(gè)全等的直角三角形（RtAAHB三RtABECmRt△CFDmRtADGA）拼成“趙爽弦圖”,

得到正方形力BCD與正方形EFG”，連接2C和EG,4C與DF、EG、分別相交于點(diǎn)P、O、Q,若BE:EQ=3:2,

則黑的值是_________

OE

3.（2023?湖北黃岡?中考真題）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽

弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形.設(shè)圖中4F=a,DF=b,連接