專題08直線與圓

目錄

題型一：直線方程

易錯(cuò)點(diǎn)01忽略斜率公式的應(yīng)用條件

易錯(cuò)點(diǎn)02求直線方程忽略截距為零

易錯(cuò)點(diǎn)03判斷直線的位置關(guān)系考慮不全面

題型二：圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系

易錯(cuò)點(diǎn)04忽略圓的一般方程的限制條件

易錯(cuò)點(diǎn)05處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)忽略對(duì)斜率的討論

易錯(cuò)點(diǎn)06曲線方程變形不等價(jià)

易錯(cuò)點(diǎn)07兩圓相切忽略內(nèi)切、外切的區(qū)分

題型一：直線方程

易錯(cuò)點(diǎn)01：忽略斜率公式的應(yīng)用條件

般易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例4.（24-25高三上?上海?專題訓(xùn)練）經(jīng)過A?,3）（其中機(jī)21）、3（1,2）兩點(diǎn)的直線的傾斜角a的取值范

圍為.

【答案】［o,-|

【知識(shí)點(diǎn)】直線的傾斜角、直線斜率的定義、已知兩點(diǎn)求斜率

【分析】分加＞1和相=1,求出傾斜角的取值范圍.

3-21

【詳解】由題意知，當(dāng)機(jī)＞1時(shí)，tana=------=-------＞0,

m-1m-1

IT

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，ABLx軸，此時(shí)傾斜角為i，

7T

所以。＜￡J.

故答案為：（。仁

【易錯(cuò)剖析】

在解題時(shí)容易忽略對(duì)m>1和%=1的討論而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1、直線的傾斜角

（1）定義：當(dāng)直線/與X軸相交時(shí)，取了軸作為基準(zhǔn)，X軸正向與直線/向上方向之間所成的角叫做直線/

的傾斜角.當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0.

（2）范圍：直線/傾斜角的取值范圍是［0,7T）.

【解讀】①傾斜角直觀地表示了直線相對(duì)于X軸正方向的傾斜程度.

②平面內(nèi)任何一條直線都有唯一的傾斜角，不同的直線可以有相同的傾斜角.

2、直線的斜率

（1）定義：一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母上表示，即左=tan_a,

傾斜角是W的直線沒有斜率.

（2）過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)Pi（xi，?）,尸2（忿，”）（無景尤2）的直線的斜率公式為左=￡三%

3.傾斜角與斜率上的關(guān)系

由左向右上由左向右下

直線情況平行于X軸垂直于X軸

升降

0°<?<90°90°<6Z<180°

a的大小0°90°

k的范圍0左>0不存在k<0

隨a增大而隨a增大而

k的增減性

增大增大

【解讀】斜率和傾斜角的特點(diǎn)

①斜率和傾斜角都反映直線的傾斜程度，其中斜率是從代數(shù)角度描述的，傾斜角是從幾何角度描述的;

②直線的斜率是隨著傾斜角的變化而變化的，并且當(dāng)直線的傾斜角不是90。時(shí)，傾斜角相同的直線,

其斜率相同，傾斜角不同的直線，其斜率不同；

③直線有斜率必有傾斜角，傾斜角是90°的直線沒有斜率，傾斜角不是90°的直線都有斜率.

4.直線斜率與直線方向向量

（1）若直線/的斜率為左，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為（尤,y）,則左=2.

（2）若直線/的斜率為左且直線過兩點(diǎn)￡（%，為），4（石，%），它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為

四=（%—%,%—乂），則左=

易錯(cuò)提醒：［當(dāng)直線的傾斜角為90。時(shí)，直線的斜率不存在，并不是該直線不存在，而是該直線垂直于X

軸（平行于y軸或與y軸重合）.因此，所有直線都有傾斜角，但不是所有直線都有斜率.

舉一反三

1.（24-25高二上?山西階段練習(xí)）若傾斜角為45°的直線/經(jīng)過兩點(diǎn)4（2,〃?），以m,4）,則優(yōu)的值為（）

A.-2

【答案】D

【分析】分別用兩點(diǎn)式及傾斜角求斜率相等即可計(jì)算求參.

【詳解】經(jīng)過4（2,加），川辦4）的直線/的斜率左=警，又直線/的傾斜角為45°,

所以I=tan45°=l,解得%=3.

故選：D.

2.（24-25高三上?江西贛州?階段練習(xí)）已知點(diǎn)A（?vw+l）,3（f?,2〃?）,C（4M）,D（l,0）,且直線4B與直線CD

垂直，則加的值為（）

A.一7或0B.0或7

【答案】B

【分析】根據(jù)直線的斜率存在和不存在分類討論，利用兩直線垂直的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】當(dāng)機(jī)=0時(shí)，直線4B的斜率不存在，直線CD的斜率為0,

此時(shí)直線4B的方程為久=0,直線CD的方程為y=0,故AB_LC。；

則*3=?號(hào)=-1，解得m=7,

綜上，根=0或7.

故選：B.

3.（24-25高三上?山東臨沂?階段練習(xí)）過A（3機(jī)-1,3m-2）,3（2病,/）兩不同點(diǎn)的直線/的斜率為1,貝ljm=

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】c

【分析】利用兩點(diǎn)的斜率公式，建立方程求解，通過驗(yàn)根，可得答案.

【詳解】根據(jù)題意可得+2=],解得%=1或

2m-3m+l

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，點(diǎn)AI重合，不符合題意，舍去.

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.

故選：C.

■易錯(cuò)題通關(guān)

2兀

1.（23-24高一下?重慶?期末）若直線/：》+〃9+1=0的傾斜角為則實(shí)數(shù)旭值為（）

A.6B.-73C.走D.-且

33

【答案】C

【分析】由直線方程可得斜率，利用斜率與傾斜角的關(guān)系，可得答案.

【詳解】由直線/：x+機(jī)y+l=O,則該直線的斜率上=-,，

m

由題意可得tan0=-6=-L,解得〃7=走.

3m3

故選：C.

2.（24-25高二上?上海?課后作業(yè)）直線（1-6卜+、+1=0的傾斜角的取值范圍是（）

兀兀、「八3兀

A.B.0,—

[42）L4J

八兀\|「3兀、「八兀]/兀3兀

C.o,-U—，^D.0,-u

L2；L4）[_4J124J

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】斜率與傾斜角的變化關(guān)系、直線的傾斜角

【分析】根據(jù)直線方程可得斜率，結(jié)合斜率與傾斜角之間的關(guān)系分析求解.

【詳解】設(shè)（1一/卜+y+l=。的傾斜角為&目0,兀），

由題意可知：直線的斜率上=4-12-1,

即tanaN-1,且ae[0,兀），所以ee0,yjuj.

故選：C.

3.（24-25高三上?四川達(dá)州?階段練習(xí)）已知a為直線y=2x-l的傾斜角，則cos2a=（）

3

5

【答案】A

【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系可得tane=2,利用二倍角公式及齊次式可得結(jié)果.

【詳解】???。為直線》二21一1的傾斜角，

二直線斜率％=tana=2,

cosa-sinal-tana1-43

cos2a=

cos2a+sin2a1+tan2a1+45

故選：A.

4.（24-25高三上?陜西商洛?階段練習(xí)）已知直線/的方程為xsina+gy-l=0,a￡R,則直線/的傾斜角范

圍是（）

2

—71,71

【答案】B

【分析】根據(jù)條件得到左=-喈，又-iVsinaVl,從而得一3立，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)，即可

V333

求解.

sinCL

【詳解】因?yàn)橹本€/的方程為％sina+gy-1=0,所以,=---7=~

sin6z

即直線/的斜率無=一再，又一IVsinaVl,

所以-也MkM也,又直線的傾斜角的取值范圍為[0，碼，

33

由正切函數(shù)的性質(zhì)可得，直線/的傾斜角范圍為Hu「等，力，

L6」L6）

故選：B.

5.（24-25高三上?河南許昌?期中）過點(diǎn)A0,-2）和點(diǎn)3（-1,-4）的直線的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

【答案】B

【分析】利用兩點(diǎn)先求出直線斜率，然后根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系求得傾斜角.

【詳解】由已知直線48的斜率左=Y一（一2）=1,

-1-1

設(shè)直線傾斜角為a,則tan（z=l,（ze[0o,180。）,

所以々=45。.

故選：B.

6.（24-25高二上,河南濮陽?階段練習(xí)）己知點(diǎn)A（2,2）,B（-l,3）,若過點(diǎn)夕（。,-1）的直線/與線段A3相交,

則直線/斜率左的取值范圍是（）

B.-44

3

D.(-oo,-4]U—,+00

2

【答案】D

【分析】數(shù)形結(jié)合，求出臨界條件結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.

7_L133-1-1「3

【詳解】由題設(shè)怎A='=；，怎3=三'=一4,如下圖示，所以左五一%-4川+8

易錯(cuò)點(diǎn)02：求直線方程忽略截距為零

全易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高三上?江西?期末）經(jīng)過點(diǎn)A（3,4）且在兩坐標(biāo)軸上的截距絕對(duì)值相等的直線方程為（）

A.x+y-7=0或x-y+1=0B.x+y-7=0或x-y+l=0或4x-3y=0

C.x-y-7=0或尤+y+l=0D.x+y-7=0或x-y+l=0或3x-4y=0

【答案】B

【分析】根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等進(jìn)行分類討論，設(shè)直線方程，求出每一種情況的直線方程即可.

【詳解】①當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，斜率Z=；4-三0=；4,所以直線方程為：y=14x,即4x-3y=0；

②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，設(shè)直線方程為'+）=1,將點(diǎn)4（3,4）代入，的。+4=1,解得。=7,

aaaa

所以直線方程為：5+5=1，即x+y-7=0；

77

③當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)時(shí)，設(shè)直線方程為二+2=1,將點(diǎn)4（3,4）代入，的』+±=1,

a—aci—a

解得。=-1,所以直線方程為：三+：=1，即x-y+i=o；

綜上所述，直線方程為：4x-3y=。或x+y-7=。或x-y+l=O.

故選：B.

【易錯(cuò)剖析】

求截距相等時(shí)，往往會(huì)忽略橫縱截距為0的情況從而漏解

【避錯(cuò)攻略】

直線方程的五種形式

形式幾何條件方程適用范圍

點(diǎn)斜式過一點(diǎn)（%o，yo）,斜率左y—yo=A(x—xo)與X軸不垂直的直線

斜截式縱截距b,斜率左y=kx+b與X軸不垂直的直線

y—y\x-x\與x軸、y軸均不垂直的

兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)（方,yi）,（%2，＞2）

y2~yiX2-xi直線

不含垂直于坐標(biāo)軸和過原

-+^=1

截距式橫截距。，縱截距6

ab點(diǎn)的直線

Ax+By+C^0平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有直

一般式

(A2+BVO)線

易錯(cuò)提醒：“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正、可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).

舉—反三

1.（24-25高二上?天津?期中）直線/經(jīng)過點(diǎn)。,-2）,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線/的方程為（）

A.x-y-l=O或x-2y=0B.尤+y+l=0或尤+2〉=0

C.x-y+l=0或2x-y=0D.x+y+l=0或2x+y=0

【答案】D

【分析】分直線/過原點(diǎn)、不過原點(diǎn)兩種情況討論，設(shè)出直線/的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線/的方程，求出

參數(shù)值，即可得出直線/的方程.

【詳解】若直線/過原點(diǎn)，設(shè)直線/的方程為了=依，則上=-2,此時(shí)直線/的方程為＞=-2彳，即2x+y=0；

若直線/不過原點(diǎn)，設(shè)直線/的方程為日+）=1,則工一2=1,解得。=一1,止匕時(shí)直線/的方程為x+y+l=0.

aaaa

綜上所述，直線/的方程為x+y+l=0或2x+y=。.

故選：D.

2.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）與圓/+"-1）2=1相切，且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有（）

A.2條B.3條C.4條D.6條

【答案】A

【分析】過原點(diǎn)的直線不滿足題意，當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)且與圓相切時(shí)，依題意可設(shè)方程為》+>+加=0,根

據(jù)圓心到直線的距離等于半徑可得機(jī)有兩解，綜合可得結(jié)果.

【詳解】圓Y+（y-l）2=l的圓心為（0,1）,半徑為1,

由于原點(diǎn)在圓上，顯然過原點(diǎn)的直線不滿足題意；

當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)且與圓相切時(shí)，依題意可設(shè)方程為X+V+m=0,

圓心到直線的距離d=「?jìng)?1,解得根=±0-1，此時(shí)滿足條件的直線有兩條，

綜上可得：滿足條件的直線有兩條，

故選：A.

3.（24-25高二上?河北唐山?期中）經(jīng)過點(diǎn)尸（1,4）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最

小，則直線的方程為

A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0

【答案】B

【詳解】試題分析：設(shè)出直線方程的截距式，把經(jīng)過的點(diǎn)尸（1,4）的坐標(biāo)代入得。與匕的等式關(guān)系，把截

距的和a+b變形后使用基本不等式求出它的最小值.

解：設(shè)直線的方程為'+5=1=1（。>0,b>0）,貝ij有工+金=1,

abab

14b4〃

/.a+b=（q+b）xl=（a+b）x（—+—）=5+—+——>5+4=9,

abab

14

當(dāng)且僅當(dāng)一=不，即。=3,b=6時(shí)取二.

ab

?,?直線方程為2x+y-6=0.

故選B.

>易錯(cuò)題通關(guān).

1.（23-24高三下.安徽六安.模擬）已知直線過點(diǎn)（1,2）,且縱截距為橫截距的兩倍，則直線/的方程為（）

A.2尤一y=0

B.2x+y-4=0

C.2%-y=0或x+2y—2=0

D.2x-y=0或2x+y-4=0

【答案】D

【分析】分直線/過原點(diǎn)與不過原點(diǎn)兩種情況求解可得直線/的方程.

【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：

①直線/過原點(diǎn)，設(shè)直線/方程為＞=辰，又由直線/經(jīng)過點(diǎn)(L2),

所以2=k*1,解得左=2,此時(shí)直線/的方程為y=2x,即2x—y=0；

②直線/不過原點(diǎn)，設(shè)其方程為土+4=1,又由直線/經(jīng)過點(diǎn)(1,2),

a2a

1?

則有上+三=1,解可得。=2,此時(shí)直線/的方程為2x+y-4=o,

a2a

故直線/的方程為2x-y=?；?x+y-4=0.

故選：D.

2.(24-25高二上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))過點(diǎn)4(2,1)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為

()

A.x-y=\B.x+y=3

C.尤-2y=0或x+y=3D.x-2y=0或x-y=l

【答案】D

【分析】在用截距式求直線方程時(shí)需要討論解決是否為0,截距為0則過原點(diǎn)；截距不為0用截距式設(shè)出方

程后帶點(diǎn)即可.

【詳解】設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為：a,b,則a+6=0

@a=b=0,則直線過原點(diǎn)，則直線方程為：x-2y=0

②。力0力力0貝股=r,則設(shè)直線方程為：±+±=1,即2+-L=i,則。=1,；.直線方程為：無一＞=1

a—〃a—ci

綜上所述：該直線方程為尤-2y=0或無-＞=1

故選：D

3.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))過點(diǎn)4(1,4)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()

A.x-y+3=0B.x+y-5=0

C.4元一y=0或x+y-5=0D.4x-y=0或無一y+3=0

【答案】D

【分析】分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式即可得解.

【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0,滿足題意，

又因?yàn)橹本€過點(diǎn)A（L4）,所以直線的斜率為三=4,

1—0

所以直線方程為y=4無，即4x-y=0,

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為二+2=1,

a-a

因?yàn)辄c(diǎn)A。,4）在直線上，

14

所以—+二=1,解得°=_3,

ci-a

所以直線方程為尤-y+3=o,

故所求直線方程為4x-y=0或尤-y+3=0.故D項(xiàng)正確.

故選：D

4.（23-24高三下.浙江?開學(xué)考試）直線/過拋物線C:f=-4y的焦點(diǎn)，且在x軸與y軸上的截距相同，則/的

方程是（）

A.y=-x—lB.y=-x+\

C.y=x-lD.y=x+1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，求得拋物線C的焦點(diǎn)為尸設(shè)直線方程為x+y+根=0,代入直線方程求得優(yōu)的

值，即可求解.

【詳解】由拋物線C:/=-4y的焦點(diǎn)為/（0,-1）,

又由直線/在x軸與y軸的截距相同，可得直線方程為x+y+m=0,

將點(diǎn)W0,T）代入x+y+相=0,可得根=1,所以直線/的長(zhǎng)為產(chǎn)-x-1.

故選：A.

5.（23-24高二上.河南開封.期中）若直線/：?+看=1（。＞0,6＞0）經(jīng)過點(diǎn)（L2）,則直線/在x軸和y軸上的

截距之和取最小值時(shí)，7=（）

b

A.2B.gC.JiD.交

22

【答案】D

12

【分析】根據(jù)題意，由條件可得上+7=1,再結(jié)合基本不等式即可得到當(dāng)4+6取最小值的條件，即可得到

ab

結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橹本€/—+；=1（。＞0,6＞。）經(jīng)過點(diǎn)（1,2）,則,+￡=1,

abab

貝lJa+b=（a+b）jL2]=3+2+&3+2&

\ab）ab

當(dāng)且僅當(dāng)2=當(dāng)時(shí)，即。=缶時(shí)，等號(hào)成立，

ab

所以直線/在x軸和y軸上的截距之和取最小值為3+20，

止匕時(shí)6=0°,則3=二=.

bV2a2

故選：D

6.（2024.陜西西安.一模）過點(diǎn)尸（L3）,在龍軸上的截距和在，軸上的截距相等的直線方程為

【答案】y=3x或x+y-4=0

【分析】按直線是否過原點(diǎn)，結(jié)合直線的截距式方程求解即得.

【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線，=3尤在x軸上的截距和在y軸上的截距相等，則直線方程為y=3無；

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為2+）=1,則工+』=1,解得。=4,直線方程為尤+y-4=0,

aaaa

所以所求直線方程為y=3x或x+y-4=0.

故答案為：y=3x或x+y-4=0

7.（23-24高二上.廣東廣州?期末）已知直線/過點(diǎn)尸（1,2）且與x軸、y軸分別交于人（。,0）,3（08）（。>08>0）

兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|。4|+2|3的最小值為.

【答案】9

1o

【分析】先表示出直線的截距式，利用直線/過點(diǎn)尸（1,2）,得到:+3=1,借助基本不等式，即可求得最小

值.

【詳解】???直線/與與x軸、y軸分別交于4（°,0）,3（0,雙。>0,6>0）,

可設(shè)直線的截距式土+斗=1,,??直線/過點(diǎn)尸（1,2）,.」+於=1,且。>0,6>0,

abab

八川cicnic,/\(12、_2b2a、上-12b2a_

OA|+21。同=Q+2b=(Q+2Z?)[—F—I=5H-----F25+2d--------=9,

2b2a

當(dāng)且僅當(dāng)"b,即。=八3時(shí)，|翻+2]。8|取得最小值9.

—I—=1

b

故答案為：9.

8.（24-25高三?全國(guó)?專題訓(xùn)練）設(shè)直線/的方程為2x+化一3）y—2%+6=0（%中3）,若直線/的斜率為一I,

貝1左=；若直線/在X軸、y軸上的截距之和等于0,則左=.

【答案】51

【分析】將一般式化為斜截式以及截距式即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€/的斜率存在，所以直線/的方程可化為y=-二2％+2,

k-3

2

由題意得；一-=-1,解得左=5.

k-3

直線/的方程可以化為丁=+5=1,由題意得A-3+2=0,解得左=1.

k-32

故答案為：5,1

易錯(cuò)點(diǎn)03：判斷直線的位置關(guān)系考慮不全面

般易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例(23-24高二下?四川瀘州?期末)直線2x+("?+l)y+4=0與直線〃優(yōu)+3衛(wèi)一6=。平行，貝V"=

【答案】2

【分析】?jī)芍本€斜率存在時(shí)，由兩直線平行，可得斜率相等，進(jìn)而可求解.

［詳解］由mx+3y_6=0,可得y=_gx+2,所以直線mx+3y_6=0的斜率為一g,

所以2x+(〃7+l)y+4=0的斜率存在，且為需匕

由兩直線平行，可得一；=-＜，解得加=2或相=-3,

經(jīng)檢驗(yàn)，m=-3,兩直線重合，機(jī)=2符合題意.

故答案為：2.

【易錯(cuò)剖析】

本題容易忽略對(duì)直線是否重合的檢驗(yàn)而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1.兩條直線平行的判定

(1)對(duì)于斜率分別為后，上的兩條不重合直線/i，h，有h〃120kl=k2.

【解讀】

①/1〃/2+1=防成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②/1與，2不重合.

②%1=左2n/1〃/2或/1與/2重合(斜率存在).

③/1〃/2今歷=心或兩條直線的斜率都不存在.

(2)已知直線/i：Aix+Bi^+Ci=0,直線，2：A2x+&y+C2=0，貝!I：

AC2—A2G/)).

ll//h^AlB2-A2Bl=O,且BC一(或

2.兩條直線垂直關(guān)系的判定

對(duì)應(yīng)/1與，2的斜率都存在,分別為所,fa,小與＞中的一條斜率不存在,另一條斜

關(guān)系22=—Z1/1±；2

則/」，臺(tái)狂人1率為零，則與12的位置關(guān)系是

——

圖不1

0

【解讀】(1)/1，/2小次2=—1成立的條件是兩條直線的斜率都存在.

(2)當(dāng)直線/1，/2時(shí)，有左次2=—1或其中一條直線垂直于X軸，另一條直線垂直于y軸；而若所42=—1,則

一定有/1X/2.

⑶當(dāng)兩條直線的斜率都存在時(shí)，若有兩條直線的垂直關(guān)系，則可以用一條直線的斜率表示另一條直線的斜

率.

易錯(cuò)提醒：1.利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法

(1)一看：就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在；再看另一條直線的兩點(diǎn)的縱

坐標(biāo)是否相等，若相等，則垂直；若不相等，則進(jìn)行第二步.

(2)二代：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式.

(3)求值：計(jì)算斜率的值，進(jìn)行判斷.尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.

2.若已知點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)，利用兩直線的垂直關(guān)系求參數(shù)值時(shí)，要注意討論斜率不存在的情況.

3.根據(jù)直線平行求參數(shù)時(shí)一定要檢驗(yàn)重合的情況.

舉—反三

1.(24-25高三上?貴州?階段練習(xí))已知直線2x+3機(jī)y-2=0與直線2〃覬-5(機(jī)+1)、+1=?；ハ啻怪?，則加為

()

1111—1111—

A.——B.——或0C.—D.一或0

151544

【答案】B

【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可.

【詳解】因?yàn)橹本€2x+3切一2=。與直線2mx—5(帆+l)y+l=?；ハ啻怪?，

所以4帆一15mo+1)=。,角星得根=0或根=一|1.

故選：B

2.(24-25高三上?山東臨沂?階段練習(xí))已知直線4：依+2y—4=0,/2:x-(tz-3)y-2=0,則“"/夕是"a=l”

的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)兩直線平行求出。的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】若“4,則〈/，解得〃=1,

[~2aN-4

所以，“〃/夕'是“a=1”的充要條件.

故選：A.

3.（24-25高二上?上海?課堂例題）已知/-3°+2=0,則直線乙：ax+（3-a）y—a=0和直線右：

（6-2a）x+（3a-5）y-4+a=0的位置關(guān)系為.

【答案】垂直或重合

【分析】求出。值，再代入方程并確定位置關(guān)系即得.

【詳解】由a2-3a+2=0,得。=1或4=2,

當(dāng)a=l時(shí)，4：x+2y—l=0,l2：4x—2y—3=0,k1=——,k2=2,

顯然%能=-1，所以直線4與6垂直；

當(dāng)4=2時(shí)，/1：2x+y-2=O,l2：2x+y-2=O,所以直線4與、重合.

故答案為：垂直或重合

易錯(cuò)題通關(guān)

1.（24-25高三上?吉林?期末）設(shè)aeR,則“直線/：，+y-2a=0與直線6：（〃—2）尤-y+2=0平行”是"a=±1"

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用充分不必要條件的定義以及兩直線平行求參數(shù)的方法求解.

【詳解】因?yàn)椤ㄋ载?履，則有=解得。=±1,

當(dāng)。=1時(shí)，/］：x+y_2=0,/2:x+y-2=0,貝必,4重合,

當(dāng)a=-1時(shí)，/]:x+y+2=0,l2:x+y-2=0,則4,4平行，

所以等價(jià)于。=—1，

所以“直線/1：苫+〉-24=0與直線/2：（/_2）尤_”2=0平行”能推出"a=±1"，

"a=±l"不能推出"直線4:尤+y-2a=0與直線J:（a?-2）x-y+2=0平行”，

所以“直線/1%+>-24=。與直線/2：（。2-2卜-、+2=0平行”是"a=±1”的充分不必要條件，

故選：A.

2.（23-24高二上?河南?期末）已知直線4：取+3>-5=0與/2：（3。一2卜+毆+4=0垂直，貝陷=（）

11、2

A.0B.0或—C.—D.0或一

333

【答案】B

【分析】根據(jù)兩直線垂直的條件，列出等式。（3a-2）+3a=0,即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?^/2,則有a（3a_2）+3o=0,解得a=0或a=_g,

故選:B.

3.（24-25高三上?云南?階段練習(xí)）若兩平行直線]：辦+8y=。與4：3x+4y+6=。之間的距離是1,則°+6=

（）

A.T或11B.T或16C.1或11D.1或16

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線平行求出。，再由距離公式求出b,即可得解.

【詳解】因?yàn)橹本€4：ax+8y=0與/2：3x+4y+6=。平行，

所以4a=3x8,解得a=6,貝U直線4：6x+8y=。，即為3x+4y=0,

|/?|

又4與。之間的距離是1,所以d=1？=1,解得6=5或6=-5；

所以a+6=ll或a+8=l.

故選：C

4.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）已知直線4:（a-2）x-3y+5=0和：3%-。+1）,-7=0互相垂直，且

a,6eR+,則42+；1的最小值為______.

ab

【答案】3+2加/20+3

【分析】根據(jù)兩直線垂直得到a+6=l,再利用基本不等式求解.

【詳解】因?yàn)樗裕?。?）x3+（—3）x［-（6+1）］=0,即a+6=l,

因?yàn)椤ā?,b>0,

g、［21（21Y7、c12ba、。_12ba__/r-

所以—I—=—I—（a+Z?）=2+1-1-----1—>3+2J--------=3+2,

ab\ab）ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)立=f,即“=2-0力=0-1時(shí)等號(hào)成立，所以2+1的最小值為3+2及.

abab

故答案為：3+20.

5.（24-25高三上?貴州銅仁?階段練習(xí)）已知直線Z,:&x-y+2=0,直線4M，則直線4的傾斜角為（

.兀e兀-2兀_571

A.-B.-C.——D.—

6336

【答案】D

【分析】根據(jù)題意結(jié)合垂直關(guān)系可得直線4的斜率，進(jìn)而可得傾斜角.

【詳解】因?yàn)橹本€y+2=0的斜率匕=百，

且乙，"可知直線4的斜率匕=一且

3

5兀

所以4的傾斜角為9.

6

故選：D.

6.（24-25高三上?上海?隨堂練習(xí)）己知戶（知九）是直線/：4+6y+C=0外一點(diǎn)，則方程

Av+gy+C+lAxo+Byo+OnO與/的傾斜角（）

A.相等B.互余C.互補(bǔ)D.不相等

【答案】A

【分析】根據(jù)直線一般式判斷兩直線位置關(guān)系，即可判斷.

【詳解】由直線方程Ax+為+C+（Ax（）+Wo+C）=。，BPAx+By+Ax0+By0+2C=0,

又/：Ax+By+C^O,

又在直線山+3y+C=O外，所以心+3%+C*0,

則a=g3例+B%+2c

'ABC

所以直線與/平行，

即兩直線傾斜角相等，

故選：A

7.（2024高三上.山東濟(jì)南.專題練習(xí)）直線4：ax+3y+l=O,Z2:x+（a-2）y-l=0,當(dāng)乙〃4時(shí)，直線4與6

之間的距離為.

【答案】逑

3

【分析】當(dāng)時(shí)，a（?-2）=lx3,求出。=3或4=-1,將不符合題意的值舍去，再由兩平行線間的距離

公式求出4,4之間的距離.

【詳解】當(dāng)《〃/?時(shí)，?（a-2）=lx3,解得a=3或°=一1；

當(dāng)。=-1時(shí)，兩直線重合，不符合題意，應(yīng)舍去.

當(dāng)［=3日寸:3x+3y+1=0,6:x+y—1—0,即4:3x+3y—3—0

???直線4與4之間的距離：d=^i=—.

V9+93

故答案為：逑

3

8.（24-25高二上?天津?期中）已知直線x+世-1=0與直線（4-1）龍+^+1=0平行，則實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)直線平行建立方程，驗(yàn)根，可得答案.

【詳解】由題意可得」7=色片?，則。=。（。一1）,/一2°=0,解得°=0或2,

a-1a1

當(dāng)。=0時(shí)，直線x-l=0與直線-x+l=0重合，不符合題意；

19-1

當(dāng)。=2時(shí)，：=，顯然成立，符合題意.

121

故答案為：2.

9.（23-24高三上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)是4（6,0）,3（2,8）,C（0,3）,求：

⑴邊所在的直線的方程；

（2）邊A5上的高所在直線的方程.

【答案】（l）A6:2x+y-12=。

⑵x-2y+6=0

【分析】（1）由兩點(diǎn)式可直接得出.

（2）由斜率之積為-1,再用點(diǎn)斜式求出.

【詳解】（1）由兩點(diǎn)式可知

y-0_x-6

8-0

化簡(jiǎn)可得

2x+y-12=0

即為邊A3所在的直線的方程，

（2）因?yàn)檫吷系母叽怪盇8,

所以斜率為A=1,

又點(diǎn)C（0,3）在高線上，

所以由點(diǎn)斜式可知

y-3=-x

-2

即x—2y+6=0

題型二：圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系

易錯(cuò)點(diǎn)04：忽略圓的一般方程的限制條件

，易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（2024.黑龍江佳木斯?模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)（-2,1）在圓/+/+尤一、+。=（）的外部，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是

()

A.(-2,+oo)

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外以及圓的一般式滿足的系數(shù)關(guān)系即可列不等式求解.

【詳解】由于點(diǎn)（一2,1）在圓/+y2+x-y+a=o的外部，故

(-2)2+l2-2-l+a>0

解得-2<a<—,

l+(-l)2-4a>0

故選：c

【易錯(cuò)剖析】

本題容易忽略圓的一般方程f+y2+Dx+Ey+歹=0的限制條件￡)?+石2一4廠>。而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1、圓的一般方程

一■般地，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x—a)~+(y—/?)"=廠可以化為x?+y"-2ax—2by+—廠=0

在這個(gè)方程中，如果令。=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,則這個(gè)方程就表示成

三+丁+瓜+石丫+/二。的形式，其中。，E,尸都是常數(shù)，形如上式的圓的方程稱為圓的一般方程，

其中為圓心，［，。2+石2—4尸為半徑.

(22J2

2、圓的一般方程的特點(diǎn)

(1)V,y2項(xiàng)的系數(shù)相同且不等于0(/和產(chǎn)的系數(shù)如果是不為1的非零常數(shù)，只需在方程兩邊同時(shí)除以

這個(gè)常數(shù)即可)；

(2)不含孫項(xiàng)；

(3)D2+E2-4F>0.

3、一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)系

把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得++J=^工-轉(zhuǎn)，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：

DE

⑴當(dāng)斤+爐―4/=。時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解》=-y=—它表示一個(gè)點(diǎn)―一一―I

22122)

(2)當(dāng)。2十后2一4月<。時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形.

(3)當(dāng)。2+石2—4/>0時(shí)，可以看出方程表示以1-2,-￡］為圓心，L《D'E2-4F為半徑的圓.

22)2

4.由圓的一般方程判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

已知點(diǎn)4(％,%)，和圓的一般方程必+/+瓜+4+/=0(斤+￡2—4/>0)則

位置關(guān)系代數(shù)關(guān)系

點(diǎn)M在圓A上Dx。+Ey0+F=0

點(diǎn)M在圓A內(nèi)%；+)；+DXQ+Ey0+/<0

點(diǎn)M在圓A外XQ+y；+L)XQ+Ey。+方>0

5、方程x2+y2+Dx+Ey+F^O表示圓的兩種判斷方法

(1)配方法：對(duì)形如必+產(chǎn)+.+￡丁+口=0的二元二次方程可以配方變形成“標(biāo)準(zhǔn)”形式后，觀察

是否表示圓.

(2)定義法：判斷。2+石2—4產(chǎn)是否大于零，確定它是否表示圓.

易錯(cuò)提醒：不要把形如的結(jié)構(gòu)都認(rèn)為是圓，一定要先判斷。2+序—4F的符號(hào)，

只有大于0時(shí)才表示圓.

若f+V+.+Ey+F=O表示圓，則有：

(1)當(dāng)P=0時(shí)，圓過原點(diǎn).

(2)當(dāng)。=0,母0時(shí)，圓心在y軸上；當(dāng)。加，E=0時(shí)，圓心在x軸上.

(3)當(dāng)。=P=0,母0時(shí)，圓與x軸相切于原點(diǎn)；￡=尸=0,小0時(shí)，圓與y軸相切于原點(diǎn).

(4)當(dāng)￡>2=E2=4F時(shí)，圓與兩坐標(biāo)軸相切.

舉—反三

1.(2024?吉林三模)已知曲線C：d+y2+2M_2y+2=0表示圓，則根的取值范圍是()

A.(-co,-1)B.(1,+<?)C.(-1,1)D.(^o,-l)u(l,+oo)

【答案】D

【分析】將一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程后可求參數(shù)的取值范圍.

【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x+/n)2+(y-l)2=/n2-l,

故根2〉1即用<一1或相>1,

故選：D.

2.(24-25高三上?江蘇南京?階段練習(xí))若點(diǎn)(2,1)在圓f+y2—%—y+〃=0的外部，則。的取值范圍是()

A.(—2,+8)B.(—2,—)C.(—8,—2)D.(—co,—2)kj(―,+oo)

【答案】B

【分析】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系列式求解即得.

【詳解】由點(diǎn)(2,1)在圓尤2+y2_x_y+a=0的外部，得解得一2<a<:，

[22+l2-2-l+a>02

所以。的取值范圍是(-2,；).

故選：B

22

3.（24-25高二上?浙江?階段練習(xí)）已知點(diǎn)*0,2）關(guān)于直線x-y+l=O對(duì)稱的點(diǎn)。在圓