圓的相關(guān)性質(zhì)及計算證明（34題）

一、單選題

1.（2024?江蘇無錫?中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為3,母線長為4,則圓錐的側(cè)面積為（）

A.6兀B.12兀C.15TID.24兀

2.（2024?甘肅?中考真題）如圖，點4B,。在。。上，ACLOB,垂足為。，若//=35。，則/。的度

A.20°B.25°C.30°D.35°

3.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在。。中，弦45的長為8,圓心。到45的距離。后=4,則。。的

4.（2024?山東泰安?中考真題）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓0,的一個直徑端點與半圓。的

圓心重合，若半圓的半徑為2,則陰影部分的面積是（）

4/-42I-

A.—兀73B.-JiC.一刀■—、/3

333

5.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在扇形ZQ8中，4408=80。，半徑04=3,。是蠢上一點，連

接。C,。是。。上一點，&OD=DC,連接30.若3O10C,則就的長為（）

1

A,

C

心

71-兀兀

A.—B.一C.-D.兀

632

6.（2024?山東濟寧?中考真題）如圖,邊長為2的正六邊形45CQE廠內(nèi)接于。。，則它的內(nèi)切圓半徑為

（）

年---c

O-------B

A.1B.2C.V2D.73

7.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，。。的周長為8萬,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于OO.則AOAB的面積

為（）

—口,--

A.4B.4>/3C.6D.6G

8.（2024?山東泰安?中考真題）如圖，4B是。。的直徑，C，。是。。上兩點,BA平分ZCBD,若ZAOD=50°,

則的度數(shù)為（）

OD

A.65°B.55°C.50°D.75°

2

9.（2024?重慶?中考真題）如圖，45是O。的弦，交O。于點C,點。是。。上一點，連接5。,

A.28°B.34°C.56°D.62°

10.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，圓形拱門最下端45在地面上，。為的中點，。為拱門最高

點，線段8經(jīng)過拱門所在圓的圓心，若N5=lm,CD=2.5m,則拱門所在圓的半徑為（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

11.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，△ZBC內(nèi)接于。。，為。。的直徑，4。平分/R4c交O。于

A.V2B.V3C.2亞D.2g

3

二、多選題

12.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，。。是“BC的外接圓，AO//BC,連接C。并延長交。。于點

D.分別以點4c為圓心，以大于;NC的長為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點直線。”交5c于

點E,連接NE,下列結(jié)論一定正確的是（）

C.ZAOD=NB4CD.四邊形NOCE為菱形

三、填空題

13.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，48是。。的直徑，CQ是。。的弦，連接4D、BC、BD.若

ZBCD=20°,貝！°.

14.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，為便于研究圓錐與扇形的關(guān)系，小方同學(xué)利用扇形紙片恰好圍成

一個底面半徑為5cm,母線長為12cm的圓雉的側(cè)面，那么這個扇形紙片的面積是cn?（結(jié)果用含兀

的式子表示）.

15.（2024?湖南長沙?中考真題）半徑為4,圓心角為90。的扇形的面積為（結(jié)果保留兀）.

4

16.（2024?甘肅蘭州?中考真題）“輪動發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時期被廣泛應(yīng)用,

圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅(qū)動部分的示意圖，其中（W,?N的半徑分別是1cm和

10cm,當(dāng)?！槙r針轉(zhuǎn)動3周時，?N上的點尸隨之旋轉(zhuǎn)〃。，則"=.

圖1

17.（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖，是。。的內(nèi)接三角形，ZC=40°,連接04OB,則

NOAB=

18.（2024?江蘇連云港?中考真題）如圖，48是圓的直徑，Nl、N2、/3、N4的頂點均在N5上方的圓

弧上，Nl、N4的一邊分別經(jīng)過點/、B,貝|/1+/2+/3+/4=

19.（2024?四川資陽?中考真題）如圖，在矩形/BCD中，48=4,AD=2.以點A為圓心，4D長為半

徑作弧交48于點￡,再以為直徑作半圓，與法交于點尸，則圖中陰影部分的面積為.

20.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出:

作等邊三角形/BC;分別以點A,B,C為圓心，以N8的長為半徑作前，AC，AB.三段弧所圍成的

圖形就是一個曲邊三角形.若該“萊洛三角形”的周長為3兀，則它的面積是.

5

A

21.（2024?重慶?中考真題）如圖，是0。的直徑，3C是0。的切線，點5為切點.連接ZC交0。于

點。，點E是。。上一點，連接BE,DE,過點A作//〃5￡交8。的延長線于點F.若8C=5,

CD=3,ZF=ZADE,則48的長度是；。尸的長度是.

22.（2024?山東?中考真題）如圖，0BC是。。的內(nèi)接三角形，若CM〃C8,乙4C3=25。，則/C/B=.

23.（2024?山東泰安?中考真題）如圖，是。。的直徑，N77是。。的切線，點。為。。上任意一點，

點。為灰的中點，連接8。交/C于點E,延長3D與4H相交于點尸，若。尸=1,tan2=；,則/E的長

24.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，四邊形4BCZ）是。。的內(nèi)接四邊形，若四邊形O4BC為菱形，則ZADC

的度數(shù)是.

6

D

25.（2024?重慶?中考真題）如圖，以N8為直徑的0。與/C相切于點A,以/C為邊作平行四邊形

ACDE,點。、￡均在。。上，DE與AB交于點F,連接CE,與。。交于點G,連接DG.若

AB=10,DE=8,則/尸=_DG=.

四、解答題

26.（2024?四川南充?中考真題）如圖，在。。中，42是直徑，4E是弦，點尸是標(biāo)上一點，AF=BE,

/E,5尸交于點C,點。為8尸延長線上一點，且NC4O=NC".

（1）求證：是。。的切線.

Q）若BE=4,AD=2下,求。。的半徑長.

7

27.(2024?遼寧?中考真題)如圖，。。是的外接圓，48是。。的直徑，點。在前上，AC=BD，

E在8/的延長線上，ZCEA=ZCAD.

圖1

(1)如圖1,求證：CE是。。的切線；

(2)如圖2,若NCEA=2NDAB,CU=8,求麗的長.

28.(2024?江蘇無錫?中考真題)如圖，48是。。的直徑，內(nèi)接于。0,CD=DB，AB,CD的延

長線相交于點E,且。￡=功.

C

(1)求證：△CADs^CEA；

(2)求乙4DC的度數(shù).

8

29.(2024?山東濰坊?中考真題)【問題提出】

在綠化公園時，需要安裝一定數(shù)量的自動噴灑裝置，定時噴水養(yǎng)護，某公司準(zhǔn)備在一塊邊長為18m的正方

形草坪(如圖1)中安裝自動噴灑裝置，為了既節(jié)約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設(shè)計合適

的安裝方案.

說明：一個自動噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為r(m)的圓面.噴灑覆蓋率夕=人，s為待噴灑區(qū)域面積，k

S

為待噴灑區(qū)域中的實際噴灑面積.

圖1

【數(shù)學(xué)建模】

這個問題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學(xué)問題.

【探索發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖2,在該草坪中心位置設(shè)計安裝1個噴灑半徑為9m的自動噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率夕=

...9

(2)如圖3,在該草坪內(nèi)設(shè)計安裝4個噴灑半徑均為二m的自動噴灑裝置；如圖4,設(shè)計安裝9個噴灑半

2

9

徑均為3m的自動噴灑裝置；……，以此類推，如圖5,設(shè)計安裝/個噴灑半徑均為一m的自動噴灑裝

n

置.與(1)中的方案相比，采用這種增加裝置個數(shù)且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請判

9

斷并給出理由.

(3)如圖6所示，該公司設(shè)計了用4個相同的自動噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率

0=1.已知/后=8尸=。6=。//,設(shè)4E=x(m),。日的面積為y(n?),求了關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求

當(dāng)V取得最小值時『的值.

圖6

【問題解決】

(4)該公司現(xiàn)有噴灑半徑為3am的自動噴灑裝置若干個，至少安裝幾個這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴

灑覆蓋率。=1?(直接寫出結(jié)果即可)

10

30.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，“5C中，/ZC8=90。，點。為/C邊上一點，以點。為圓心,

0c為半徑作圓與45相切于點。，連接CD.

(1)求證：NABC=2NACD；

(2)若ZC=8,BC=6,求。。的半徑.

31.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，A/8C是。。的內(nèi)接三角形，是。。的直徑，過點3作。。的

切線與NC的延長線交于點。，點E在。。上，AC=CE,CE交AB于點、F.

⑴求證：NCAE=ND；

(2)過點C作CGL48于點G,若04=3,BD=3也,求FG的長.

11

32.(2024?山東濰坊?中考真題)如圖，已知“5C內(nèi)接于。。，是。。的直徑，/A4c的平分線交

于點。，過點。作DE1/C,交4C的延長線于點E,連接8DCD.

(1)求證：OE是0。的切線；

⑵若CE=1,sin/B4D=g,求。。的直徑.

12

33.（2024?湖南長沙?中考真題）對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內(nèi)切圓

（四條邊都與同一個圓相切），

可分為四種類型，我們不妨約定：

既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形;

只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形;

只有內(nèi)接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形;

既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形.

請你根據(jù)該約定，解答下列問題:

（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號中，正確的打W"，錯誤的打“X”，

①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；（）

②內(nèi)角不等于90。的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；（）

③若“完美型雙圓“四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R