高考仿真重難點訓練07立體幾何初步

一、選擇題

1.下列命題中正確的是()

A.三點確定一個平面

B.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面

C.圓的一條直徑與圓上一點可確定一個平面

D.四邊形可確定一個平面

【答案】B

【分析】根據確定平面的依據，判斷選項.

【解析】A.由確定平面的依據可知，不共線的三點確定一個平面，故錯誤；

B.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故正確；

C.根據確定平面的依據，直線和直線外一點確定一個平面，所以應改為圓的一條直徑和圓上除直徑端點外的

一點，可確定一個平面，故錯誤；

D.空間四邊形，四點不在同一個平面，故錯誤；

故選：B

2.已知a,P,7是平面，a,b,c是直線，ar\/3=a,0Cy=b,y[\a=c,若ap|6=尸，貝U()

A.PecB.尸金。

C.cca=0D.ccy/3=0

【答案】A

【分析】根據空間中點線面之間的位置關系結合平面的基本性質逐一判斷四個選項的正誤，即可得正確選

項.

【解析】因為=/3Cy=b,所以aua,buy,

由=可得尸ea且

所以尸ea且尸e?,

因為7rler=c,所以尸ec,故選項A正確，選項B不正確；

因為尸ec,Pea,所以。、。有公共點尸，故選項C不正確；

因為尸bu/3,所以因為尸ec,所以c與/有公共點P,故選項D不正確；

故選：A.

3.水平放置的“8C的斜二測直觀圖如圖所示，已知HC'=3,B'C'=2,則。8C的面積是（）

【答案】C

【分析】根據直觀圖與斜二測畫法的定義求解.

【解析】由題可知，03c為直角三角形，

S.AC1BC,AC=A'C=3,BC=2B'C=4,

4.已知底面邊長為2的正四棱柱/BCD-44GA的體積為16,則直線/C與4臺所成角的余弦值為（）

入百回

2DV5rMn3

551010

【答案】C

【分析】如圖，確定4cA（或其補角）為直線/C與42所成的角，求出CG，進而求解.

【解析】如圖，連接則42//DC，取/C的中點。，連接。n，則。

所以乙1CA（或其補角）為直線4c與48所成的角,

又正四棱柱的體積為16,則該棱柱的高為

2x2

又AC=2&肛=CD,=V42+22=275，

所以…W差懵

即直線AC與A}B所成角的余弦值為巫.

5.已知/、加是不重合的兩條直線，"、尸是不重合的兩個平面，則下列結論正確的是（）

A.若aCl尸=/,mua,H/m,則加//￡

B.若/utz,mu（3,alip,則〃/加

C.若aCl/=/,mua,〃？_!_/,則a_L￡

D.若/_!_加，機//a,則/J_a

【答案】A

【分析】對于A,先判斷機（Z〃，然后由線面平行判定定理可判斷；對于BCD,通過正方體模型舉反例即可

判斷

【解析】對于A,因為［□￡=/,mua,所以加0分,

又〃/機，lu。，所以加//￡,A正確；

對于B,在正方體48co中,

記平面48c為］，平面為尸，4B為I,AR為m,

貝U/ua,7〃U￡,a邛,但/與加不平行，B錯誤；

對于C,記平面48GA為1，平面48co為尸，AB為I,AR為m,

由正方體性質可知，平面AD］U平面所以

則々口尸=/,mua,m±l,但a,尸不垂直，C錯誤;

對于D,記幺2為/，4B為m,平面44CQ1為a,

貝”/_1_加，mlla,但/與a不垂直，D錯誤.

故選：A

6.漏刻是中國古代的一種計時系統(tǒng)，"漏"是指計時器一一漏壺，"刻”是指時間，《說文解字》中記載："漏以

銅壺盛水，刻節(jié)，晝夜百刻.”某展覽館根據史書記載，復原唐代四級漏壺計時器，如圖，計時器由三個圓臺

形漏水壺和一個圓柱形受水壺組成，當最上層漏水壺盛滿水時，漂浮在最底層受水壺中的浮箭刻度為0,當

最上層漏水壺中水全部漏完時，浮箭刻度為100.已知最上層漏水壺口徑與底徑之比為5:3,則當最上層漏水

壺水面下降到其高度的一半時，浮箭刻度約為（）（四舍五入精確到個位）

A.38B.60C.61D.62

【答案】D

【分析】根據題意結合臺體體積公式運算求解.

【解析】由題意可知：最上層漏水壺所漏水的體積與浮箭刻度成正比，

設最上層漏水壺的口徑與底徑分別為5a,3a,高為〃，

則體積為憶=;[兀(5。)2+兀(3〃)2+J兀(54x兀(3a)2]〃=na2h,

當最上層漏水壺水面下降到高度的一半時，設此時浮箭刻度為N,

因為已漏水體積匕=；［兀(5a)2+兀(4。)2+Jji(5a)2X7t(4a)2卜：='■兀,

—7ia2h4

可得『；=而,解得戶丁10八62,

—Tiah

3

所以浮箭刻度約為62.

故選：D.

7.如圖是一個四棱錐的平面展開圖，其中四邊形/BCD為正方形，四個三角形為正三角形，旦尸,“分別

是尸4PD2C的中點，在此四棱錐中，則()

A.BE與CF是異面直線，且BE//平面

B.BE與CF是相交直線，且〃平面尸尸M

C.BE與CF是異面直線，且2￡_L平面尸F(xiàn)M

D.BE與CF是相交直線，且8E_L平面PFA/

【答案】B

【分析】畫出幾何體尸-/8CA,證得四邊形五E為梯形，得到BE與CF為相交直線，再由線面平行的

判定定理，證得8E//平面PEW.

【解析】根據題意，畫出幾何體尸-/8C。，如圖所示，

因為瓦尸分別是尸4PD的中點，可得EF//4D且斯=g40,

又因為4J//BC且/Z)=8C,所以跖//8C且￡尸=,3。，

2

所以四邊形8。芯為梯形，所以瓦?與CF為相交直線，

因為M為3C的中點，可得EF//BM且EF=BM,

所以四邊形2A/FE■為平行四邊形，可得BE//MF,

又因為BEa平面PEA/,MFu平面尸EM,所以AE7/平面PEM.

故選：B.

8.如圖，將邊長為1的正“8C以邊為軸逆時針翻轉。弧度得到△/5C',其中構成一個三

棱錐C'-42C.若該三棱錐的外接球半徑不超過恒，則。的取值范圍為（）

【答案】C

【分析】作輔助線，則。即為三棱錐的外接球球心，翻折的角0即為/CDC'的大小，設。。=及，結合題意

R2=1--1

分析可知4+2。，結合題意分析求解即可.

11?2cos—

2

【解析】取線段42的中點。，線段。。上靠近點。的三等分點G,CC'的中點E,

連接C2C7ZDE,則G為正“8C的外心，CD=CD,可知為線段CC'的中垂線,

在平面C'CD內過G作的垂線交即于0,連接0C,

c

則o即為三棱錐的外接球球心,翻折的角。即為/CDC'的大小.

設OC=R,則。C=DC'=巨

2

可得叵cosZ=DE=DO+OE=-^^+Noc2-EC?

220

R?=j_]

化簡得412cos之2

2

又因為AW恒，即及-二^+:—7e~36,解得COS'^N],

612cos—24

結合可得COSeN且，則0＜紅￡,所以0＜亦￡.

I2J22263

故選：C.

【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法

1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把

空間問題轉化為平面問題求解;

2.利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置,

弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解.

二、多選題

9.已知空間兩條異面直線。力所成的角等于60。，過點尸與”力所成的角均為。的直線有且只有一條，則e

的值可以等于（）

A.30°B.45°C.75°D.90°

【答案】AD

【分析】過點尸作。7/“力'//6,求得直線/與必6'所成角的范圍為。eK或。e,結合選項，即

o2J|_32_

可求解.

【解析】過點P作“'//。,6'〃6,

ITJTTTTT

從兩對角的角平分線開始，直線/與儲產所成角的范圍為或,

_ozJ|_32_

而均為。的直線有且僅有一條，根據對稱性，可得6=30。或。=90。.

故選：AD.

10.阿基米德多面體是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，截角四面體是阿基米德多面體其中

的一種.如圖所示，將棱長為3a的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為。的截

角四面體，則下列說法中正確的是（）

B.直線DE與平面/8C所成角的正切值為2

C.該截角四面體的表面積為7氐2

D.該截角四面體存在內切球

【答案】AC

【分析】如圖，將該截角四面體補成正四面體對于A：由平面/8CII平面可知點￡到平面

N5C的距離即為點S到平面/3C的距離，運算求解即可；對于B：由。EIIPN,可知直線。￡與平面/8C

所成角即為PN與平面所成角NPNS,運算求解即可；對于C：根據正三角的面積結合比例關系運算求

解；對于D：假設存在內切球根據對稱性可知該球心為正四面體P-九W。的中心。，求點。到平面/8C的

距離即可判斷.

【解析】如圖，將該截角四面體補成正四面體P-九W0,取底面的中心S,連接

修中1'、底

QFHM

可知PS,平面跖V。，則NS=.叱。=板,可得PS7PN「PS2=咽，

2sin600

對于選項A：由題意可知：平面45CII平面"AQ,

則點E到平面ABC的距離即為點S到平面ABC的距離d=ZpS=3^a,故A正確;

33

對于選項B：由題意可知：DE||PN,

則直線DE與平面ABC所成角即為PN與平面所成角ZPNS,

可得tan/P7VS=前=a,

所以直線DE與平面N2C所成角的正切值為血，故B錯誤；

對于選項C：由題意可知：S=^9x-xaxax—=—a2,

△AMMNNO09SIAXOlJEtLFr224

貝ISEFHILK~SAMNQ~，

所以該截角四面體的表面積為3SE陽〃K+3sMEF=4x”^a2+4xYia2=76故c正確；

i^rnLL,i\.LX\JtLr24'

對于選項D：若該截角四面體存在內切球，根據對稱性可知該球心為正四面體尸-MN0的中心O,

可知。尸=ON=&a-OS,

因為ON?=NS?+OS?,即（而-OS『=3/+。52,解得。S=^a,

由選項A可知：點S到平面ABC的距離"=2/>s=2①a,

33

則點。到平面/5C的距離為"一0s=偵々/os,

12

所以該截角四面體不存在內切球，故D錯誤;

故選：AC.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是將該截角四面體補成正四面體尸-"HQ,結合正四面體的性質分析

求解.

11.（多選）如圖，在棱長為I的正方體/BCD-44G。中，點P是線段4。上的動點，則（）

A.A%。的面積為Y2

2

B.三棱錐4-R8C的體積為!

0

C.存在點P,使得8尸1PG

D.存在點尸，使得4。1平面依G

【答案】BD

【分析】選項A：當點尸與4重合，APBG為邊長是血的等邊三角形，求出三角形面積，即可判斷；選項

B：利用等體積轉化法求解即可；選項C：以8G為直徑的球面與直線沒有公共點，即可判斷；選項D：當尸

為4。的中點時，根據線面垂直的判定定理即可得證.

【解析】A選項，在棱長為I的正方體/BCD-4用中，

點尸是線段4。上的動點，當點P與4重合時，△網G為等邊三角形,

邊長為及，

故JBG的面積為gX（近『sin60。=乎/等，故A錯誤；

B選項,因為—B'-PBC、=%-B、BG=qS"B、BCJhP，

其中心明44G?即=；xixi=；,

電，表示點尸到平面BpBQ的距離，故％=1,

所以三棱錐用-依a的體積為[x]xi=，，故B正確；

326

C選項：在正方體/BCD-44GA中，以8G為直徑的球面，半徑R=1<1,

2

則直線4。與該球面沒有公共點，故不存在點尸，故c錯誤;

D選項：取8G的中點新，連接

當尸為4。的中點時，即尸為ND1,AXD的交點時，

因為2G〃/8,DXCX=AB,所以四邊形2GA4為平行四邊形,

故D\PUC\M,

又DF=3M,

所以四邊形RPMG為平行四邊形，

所以尸M//2。，

因為平面

易知PM，平面ADDXAX,

因為&Du平面4DA4，

所以

又因為在正方體中，AD1BQ,

而所以4D1平面P2G，故D正確.

故選：BD.

三、填空題

12.已知底面半徑為2的圓錐的側面積為4石兀，則該圓錐的外接球的表面積為

【答案】257t

【分析】求出圓錐的母線/=2逐，求出圓錐的高，設圓錐外接球的半徑，列出方程，求出半徑，得到表面

積.

【解析】設圓錐的母線為/,又r=2,故n〃=2/兀=46Ji,

解得/=2右，

圓錐的高為6=J"一/=4,

設該圓錐的外接球的半徑為五,

故/O=OC=R,故0尸=4-尺，

由勾股定理得尸?+/，即滅2=(4一尺＞+4,

解得滅=：，

故該圓錐的外接球的表面積為4兀斤=25兀.

13.已知正四面體/—38的棱長為6,尸是四面體/—3CD外接球球面上的動點，。是四面體/一BCD內

切球球面上的動點，則尸。的取值范圍是.

【答案】［跖2周

【分析】依據題意作出圖形，再求出外接球半徑，再求目標式范圍即可.

【解析】

如圖，NE是正四面體/-BCD的高，由對稱性知其外接球與內切球的球心重合，為。，且在/￡上,

則￡是底面正三角形BCD的中心，8E=|x?x6=26,/￡=?2-(2折2=2",

設外接球的半徑為凡即3=。8=火，由。笈=。爐+3￡2,得R?=Q&-W+(2后,解得R=孚,

因此內切球的半徑為r=OE=*,顯然有|。尸一。0歸尸04OP+。。，即及一rVPQWR+r,

又R+r=2y/6,R—r=V6,所以#)<PQ<2?>.

故答案為：［6,2病］

14.如圖，在四棱柱/BCD-中，底面/BCD為正方形，AB=4,9=3孰,BBJBR,且二面

角q-89-G的正切值為血.若點尸在底面/BCD上運動，點。在四棱柱/BCD-44GA內運動，

D、Q=寺,則PB、+PQ的最小值為.

【分析】

先求得B到平面44G2的距離，然后利用對稱法以及三點共線等知識求得尸耳+尸。的最小值.

【解析】連接4G，交BR于E,設尸是82的中點，連接ERG尸.

由于48=8G，K是4G的中點，所以4GJ_8E,

由于4C_LBR,BEcB\D\=E,BE,耳Ru平面BBQ、,

所以_L平面BBR,由于,E尸u平面BBR,所以4。_L2。，4cl1EF,

由于E,尸分別是BR,8"的中點，所以EF//BB{,

由于8月，8〃，所以Eb，8",由于4Gc跖=E，4G，￡Fu平面MG，

所以平面跳G，由于QPu平面MG，所以尸，

所以ZEFQ是二面角Bt-BD「G的平面角，

所以tan/E尸G===馬&=&,斯=2,所以84=4,

EFEF

由于用2=472,所以82=J(4用一4?=4=BB],

所以三角形8BQ是等腰直角三角形，所以用A，

由于4cle81A=E,4G，BRu平面AXBXCXD1,

所以BEL平面且8E=gBQ]=2jI.

由于20=弓，所以。點的軌跡是以。為球心，

半徑為也的球面在四棱柱/8CD-44GA內的部分，

2

與關于平面ABCD的對稱點為B',BB，=26x2=46,

連接3。，交平面A8C。于尸，

所以尸4+PQ的最小值為="4亞『+(4/『_*8-?

故答案為：8--

2

【點睛】求解二面角有關問題，關鍵是找到二面角的平面角，二面角的平面角的定義是：在二面角的交線

上任取一點，然后在兩個半平面內作交線的垂線，所得角也即是二面角的平面角.

四、解答題

15.如圖，在四棱錐P-48co中，尸/_L平面/BCD,ABIICD,PA=AB=2CD=2,PC=*>,

ZADC=90°,E,F分別為PB,的中點.

⑴求三棱錐E-尸C尸的體積；

(2)求直線CE與平面PCF所成線面角的正弦值.

【答案】⑴，；

0

(2)巫.

10

【分析】(1)根據七再根據棱錐的體積計算公式，求解即可；

(2)根據(1)中所求棱錐￡-PC尸的體積，求得點E到平面PC尸的距離，結合CE的長度，利用公式，直

接求解即可.

【解析】(1)尸/面/BCD,故P/J./C,故AC=飛PC?-PA2=也，

又在直角梯形48CD中，AD=yJAC?-CD。=41^1=1，CB=>!AD2+BF1=42；

又E為心中點，故"一憶=上一/

?

=-xlxJB^xC/xP^=—xlxlx2=-.

62126

(2)因為CF〃4D,故CFJ.AB,又尸/_L面NBC。,CFu面/BCD,故CFJ_P4,

又4BcPA=A,AB,PAu面PAB,

故CP,面P48,尸尸u面P48,則CFLP尸，則△(?"為直角三角形；

易知CF=AD=1,PF=yJPA2+AF2=74+1=下，

故SrFP=-xCFxPF=-xlxy/5=—,

“c"222

設點E到面尸3的距離為d,

由(可得/=—解得d=;

1)Jb-PrCrFcSACFrrP^X<5?=—cXcX<5?=—/,r

33265

因為E,尸分別為網,48的中點，板EF“PA,

則E尸上面N3C。，又CRu面/BCD,則EF_LFC,

故△￡人?為直角三角形，則￡C=嚴+0產=JF+F=C,

設直線C￡與平面PCF所成角為。，則$畝6=4=好*1=叵.

CE5210

16.如圖，三棱柱N3C-44。所有棱長都為2,NBiBC=60。,。為4c與交點.

(1)證明：平面8CZ)，平面44G；

(2)若。耳=半，求二面角4-C5,-Q的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)由面面垂直判定定理證明，即先證明4片，平面BCD,再證明面8。，平面/4G.

(2)先建系，然后求解出平面4c4的一個法向量萬和平面GC司的一個法向量玩，代入公式

I玩.司

COSe=Icosm,同=I'即可.

Hrl

【解析】(1)取8c中點。，取/片中點E,連接DE,BE,OE,

因為三棱柱NBC-44G所有棱長都為2,3BC=60。,

有A0=BQ=6,AB=BBl,E為/耳的中點，8CDE四點共面，

所以OE_LAB|,且BE、OEu平面BCD,OERBE=E,

所以48i_L平面BCD,又4B]U平面ABC，故平面BCD_L平面NgG.

(2)因為8C//81G，所以用。，平面，/4匚平面/。4,

所以4G用，所以△/8G為直角三角形，所以而，

所以/耳=[AC；-BiC；=3,在A/Og中，COSZ4O6=3；3；9=1.

以。為原點，作Oz_L平面BCGA，以礪，OB、,反方向為x,修z軸正方向,

建立空間直角坐標系，如圖所示，

則c(T,o,o),(o,V3,o),q(-2,73,0)#A0,一千,5，

I22)

由五k西，所以所以/西=(1,道,0),

x+小y=0

CB,?元=0

設平面4c4的一個法向量為五=(%//),貝"，即《

CAn=0旦+工=0

cI22

令z=l,解得方=(3,-石,1),所以平面G。片的一個法向量為而=(0,0,1),

記二面角4-的大小為凡且。為銳角，

貝(Jcos6=Icosm,n\=產,

11\m\-\n\13

17.如圖，在四棱錐P/8CD中，底面N8CD是邊長為2的正方形，￡為8c的中點，且4DLPE.

⑴求證：ZPAD=ZPDA；

(2)若四棱錐P-AED的體積為獨，直線AB與PE所成角為30。，求二面角P-AD-E的正切值.

3

【答案】⑴證明見解析

(2)-^3

【分析】（1）利用線線垂直證明線面垂直，再證線線垂直，利用等腰三角形的三線合一證明即可;

（2）利用垂直關系，易得線面角和二面角的平面角，即可計算求解.

【解析】（1）取的中點。，因為四邊形是正方形，.?.EOL4D.

-：ADLPE,EOcPE=E,E0,尸￡u平面尸0E,AD_L平面POE.

又尸Ou平面尸AD1PO,

又因為。是4D的中點，所以可得尸/=尸￡?,即=

（2）作PQ_LEO于點0,

平面尸OE,尸。u平面POE,.?.尸0_L/O.

又EQC4D=0,￡。,ADu平面/BCD,.,.尸。_L平面/BCD.

P

由嚷回=；&皿/。=|尸。=竽，得PQ=5

因為EO///3,所以所成角為/尸￡。=30。，

故tan/PEQ=-^-=^,解得00=1.

2+OQ3

因為4DLE。，AD1PO,所以/尸?！隇槎娼鞘?/O-E的平面角.

tanZPOE=-tanZPOQ=-

即所求二面角尸-NO-E的正切值為-VL

18.如圖，在四棱錐P-48C￡>中，AB=BC=DC=DA=AP=PD,PC=PB=?AB.

⑴證明：平面尸4D_L平面48CD；

⑵在棱PC上是否存在點E,使得平面NE5與平面2CE夾角的正弦值為回I?若存在，求名的值；若不

7EC

存在，請說明理由.

【答案】⑴證明見解析

PF

（2）存在，f1=l.

Hl

【分析】（1）通過DC_L尸。，OC_L/尸證。C_L平面尸40,即可證面面平行；

PF

（2）通過建立空間直角坐標系，計算各點坐標，設會=沈（九＞0）得5點坐標，并計算平面ZEB和平面8CE

的法向量，根據向量垂直確定，再根據向量的夾角公式計算即可.

【解析】（1）證明：%^AB=BC=DC=DA=AP=PD,PC=PB=4iAB，

所以PQ2+OC2=P。2,AP2+AB2=pBit

所以。C_LPD,AB±AP,

又AB=BC=DC=DA,

所以四邊形NBCD為菱形，

所以42〃DC,DCLAP,

又4P,PDu平面尸40,

AP[}PD=P,

所以DC_L平面P/。，

又。Cu平面/BCD,

所以平面PAD_L平面4BCD.

（2）由（1）得DC_L平面尸ND,

因為ZUu平面「40,

所以DCLZM,

故四邊形/BCD為正方形.

不妨設正方形ABCD的邊長為2,

AD的中點為。，連接尸。.

因為人尸40為等邊三角形，

所以尸0L4D,

又尸Ou平面P/。，

又平面PADc平面ABCD=AD,

且平面PAD±平面ABCD,

所以尸0/平面/BCD.

以。為坐標原點，OA,DC,方的方向分別為x,y,z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則尸(0,0,石)，/(1,0,0),5(1,2,0),C(-l,2,0).

假設存在點E,使得平面AEB與平面BCE夾角的正弦值為正,

7

且等=2（彳＞0）,E（Xo，%,Zo）,

AC

PF一

由=得詼=4反,

AC

即ko/o/o=4(—1——%，—Zo),

近/土—正、

所以方=(0,2,0),就=(-2,0,0),方=(1,2,-6)11+A1+21+2J

設平面ZEB的法向量為力=（無

n?AB=2y1=0,

則

.—=(-l-22)xL-2ji+A=Q

1+2

可取萬=（括,0,1+

設平面BCE的法向量為而=（Z，%/2）,

m-BC=-2X=0,

則2

-\/3z=

m-PB=x2+2y2-20

所以在棱尸C上存在點￡,使得平面ZEB與平面8CE夾角的正弦值為史,

7

>—=1.

EC

19.在棱長均為2的正三棱柱ABC-A^C^,E為3c的中點.過/￡的截面與棱BB.4。分別交

于點F,G.

(1)若尸為88的中點，求三棱柱被截面/G斯分成上下兩部分的體積比)；

，2

⑵若四棱錐4-/GEF的體積為拽,求截面AGEF與底面N8C所成二面角的正弦值;

12

⑶設截面NFEG的面積為S°,A4&G面積為S,△/斯面積為Sz當點尸在棱8囪上變動時，求不/的取

值范圍.

【答案】⑴￡13

(2)?

「“9

(3)4,-

【分析】(1)可以連接EF,并延長，通過三角形相似得出G為4G靠近G的三等分點，然后將要求的幾

何體分割成幾個錐體，轉換底面計算即可；

(2)先求出點G到平面陽石的距離，得到G為4G靠近G的四等分點.然后通過平面與平面垂直的性質

證所做出的角是二