2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)77.1正切函數(shù)的定義7.2正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)（教師用書）教學(xué)實錄北師大版必修4學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點教具教學(xué)內(nèi)容北師大版必修4第1章三角函數(shù)7.1正切函數(shù)的定義、7.2正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)。主要包括正切函數(shù)的定義、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，包括周期性、奇偶性、單調(diào)性和值域等。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握正切函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標1.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，通過正切函數(shù)的定義和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型。

2.增強學(xué)生的邏輯推理能力，通過分析正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和推理能力。

3.提升學(xué)生的直觀想象能力，通過觀察正切函數(shù)圖像，培養(yǎng)學(xué)生空間想象和幾何直觀能力。

4.強化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，通過將實際問題轉(zhuǎn)化為正切函數(shù)模型，提高學(xué)生解決實際問題的能力。學(xué)情分析本節(jié)課面向的是高中一年級學(xué)生，他們剛剛接觸高中數(shù)學(xué)，對三角函數(shù)的概念和性質(zhì)還處于初步理解階段。學(xué)生層次方面，部分學(xué)生可能對數(shù)學(xué)有較高的興趣和較強的邏輯思維能力，但也有一些學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在畏難情緒，基礎(chǔ)較為薄弱。

在知識方面，學(xué)生對初中階段的三角函數(shù)知識有一定的了解，但對正切函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)掌握不夠深入。在能力方面，學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力和空間想象能力有待提高。特別是在正切函數(shù)圖像的觀察和分析上，學(xué)生的直觀想象能力相對較弱。

從行為習(xí)慣來看，學(xué)生在課堂上普遍能夠積極參與討論，但在獨立思考和解決問題時，部分學(xué)生表現(xiàn)出一定的依賴性，需要教師適時引導(dǎo)。此外，學(xué)生在做筆記和整理知識點方面存在差異，部分學(xué)生能夠做到條理清晰，而部分學(xué)生則較為混亂。

這些學(xué)情對課程學(xué)習(xí)的影響主要體現(xiàn)在以下幾個方面：首先，教師需要根據(jù)學(xué)生的不同層次進行差異化教學(xué)，確保每個學(xué)生都能跟上課程進度。其次，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和抽象思維能力，通過正切函數(shù)的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生解決實際問題的能力。最后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如規(guī)范做筆記、主動思考和獨立解決問題等，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備（投影儀、電腦）、黑板、粉筆、三角板。

2.課程平臺：學(xué)校內(nèi)部教學(xué)平臺，用于發(fā)布教學(xué)資料和作業(yè)。

3.信息化資源：正切函數(shù)圖像的動態(tài)演示軟件、數(shù)學(xué)教育軟件、在線教學(xué)視頻。

4.教學(xué)手段：多媒體課件、實物教具（如正切函數(shù)的幾何模型）、小組討論、課堂練習(xí)。教學(xué)過程設(shè)計一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.創(chuàng)設(shè)情境：展示生活中的角度測量實例，如建筑工地測量角度、地圖導(dǎo)航等。

2.提出問題：引導(dǎo)學(xué)生思考角度測量在生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

3.引入新課：提出正切函數(shù)的概念，引出本節(jié)課的主題。

二、講授新課（20分鐘）

1.正切函數(shù)的定義（5分鐘）

-解釋正切函數(shù)的定義，結(jié)合圖形展示正切線與角的關(guān)系。

-通過實例分析，幫助學(xué)生理解正切函數(shù)的定義。

2.正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)（15分鐘）

-展示正切函數(shù)的圖像，講解其周期性、奇偶性、單調(diào)性和值域。

-結(jié)合圖像，分析正切函數(shù)的性質(zhì)，如正切函數(shù)在第一、三象限單調(diào)遞增，在第二、四象限單調(diào)遞減。

-通過實例，講解正切函數(shù)在坐標系中的變化規(guī)律。

三、鞏固練習(xí)（10分鐘）

1.課堂練習(xí)：布置一些基礎(chǔ)的正切函數(shù)性質(zhì)題目，讓學(xué)生獨立完成。

2.小組討論：分組討論，解決課堂練習(xí)中的問題，培養(yǎng)合作能力。

四、課堂提問（5分鐘）

1.提出問題：引導(dǎo)學(xué)生思考正切函數(shù)在生活中的應(yīng)用。

2.學(xué)生回答：鼓勵學(xué)生積極參與，分享自己的觀點。

五、師生互動環(huán)節(jié)（10分鐘）

1.教師提問：針對正切函數(shù)的性質(zhì)，提問學(xué)生，如正切函數(shù)的周期是多少？

2.學(xué)生回答：邀請學(xué)生回答問題，展示他們的學(xué)習(xí)成果。

3.教師點評：對學(xué)生的回答進行點評，糾正錯誤，強化正確概念。

六、核心素養(yǎng)拓展（5分鐘）

1.提出問題：如何利用正切函數(shù)解決實際問題？

2.學(xué)生討論：引導(dǎo)學(xué)生思考如何將正切函數(shù)應(yīng)用于實際生活。

3.教師總結(jié)：總結(jié)正切函數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

七、課堂小結(jié)（5分鐘）

1.教師總結(jié)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)正切函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)。

2.學(xué)生反思：引導(dǎo)學(xué)生反思自己的學(xué)習(xí)過程，總結(jié)學(xué)習(xí)心得。

八、布置作業(yè)（5分鐘）

1.布置作業(yè)：布置一些課后練習(xí)題，鞏固學(xué)生對正切函數(shù)的理解。

2.提醒學(xué)生：提醒學(xué)生按時完成作業(yè)，及時復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識。

教學(xué)過程設(shè)計說明：

1.教學(xué)過程緊扣實際學(xué)情，充分考慮學(xué)生的知識水平和接受能力。

2.教學(xué)過程中，注重師生互動，鼓勵學(xué)生積極參與，提高課堂氛圍。

3.教學(xué)過程中，注重核心素養(yǎng)的拓展，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識應(yīng)用于實際生活。

4.教學(xué)過程中，關(guān)注重難點，通過提問、討論等方式幫助學(xué)生突破難點。

5.整個教學(xué)過程控制在45分鐘內(nèi)，確保教學(xué)內(nèi)容的完整性和緊湊性。學(xué)生學(xué)習(xí)效果1.知識掌握：學(xué)生能夠準確地理解正切函數(shù)的定義，掌握正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，包括周期性、奇偶性、單調(diào)性和值域等基本概念。

2.抽象思維能力：學(xué)生在學(xué)習(xí)正切函數(shù)的過程中，通過從具體實例中抽象出數(shù)學(xué)模型，提高了抽象思維能力。

3.邏輯推理能力：通過對正切函數(shù)圖像和性質(zhì)的分析，學(xué)生鍛煉了邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知信息進行合理的推斷和判斷。

4.空間想象能力：通過觀察正切函數(shù)圖像，學(xué)生增強了空間想象能力，能夠更好地理解幾何圖形和函數(shù)之間的關(guān)系。

5.解決實際問題能力：學(xué)生能夠?qū)⒄泻瘮?shù)應(yīng)用于解決實際問題，如計算角度、測量距離等，提高了解決實際問題的能力。

6.學(xué)習(xí)習(xí)慣和自主學(xué)習(xí)能力：通過課堂練習(xí)和課后作業(yè)，學(xué)生養(yǎng)成了良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高了自主學(xué)習(xí)能力。

7.團隊合作能力：在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生學(xué)會了與他人合作，共同解決問題，提高了團隊合作能力。

8.學(xué)習(xí)興趣和動力：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對三角函數(shù)產(chǎn)生了濃厚的興趣，激發(fā)了進一步學(xué)習(xí)的動力。

9.思維的靈活性：學(xué)生在學(xué)習(xí)正切函數(shù)的過程中，學(xué)會了從不同角度思考問題，提高了思維的靈活性。

10.創(chuàng)新能力：在面對新的數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生能夠嘗試不同的解題方法，培養(yǎng)了解決問題的創(chuàng)新能力。課后作業(yè)1.作業(yè)內(nèi)容：

-證明正切函數(shù)在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)。

-解答：設(shè)f(x)=tan(x)，則f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)。因此，正切函數(shù)在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)。

2.作業(yè)內(nèi)容：

-求函數(shù)y=tan(x)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值。

-解答：正切函數(shù)在[0,π/2]上單調(diào)遞增，在[π/2,π]上單調(diào)遞減。因此，最大值為tan(π/2)=無窮大，最小值為tan(π)=0。

3.作業(yè)內(nèi)容：

-已知tan(α)=2，求tan(2α)的值。

-解答：利用tan(2α)=2tan(α)/(1-tan^2(α))，代入tan(α)=2，得到tan(2α)=2*2/(1-2^2)=-4/3。

4.作業(yè)內(nèi)容：

-已知tan(θ)=3/4，且θ位于第二象限，求sin(θ)和cos(θ)的值。

-解答：由于θ位于第二象限，sin(θ)>0，cos(θ)<0。利用sin^2(θ)+cos^2(θ)=1和tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)，得到：

sin(θ)=3/5，cos(θ)=-4/5。

5.作業(yè)內(nèi)容：

-已知tan(α+β)=1，tan(α)=1/2，tan(β)=2，求sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)的值。

-解答：利用正切的和角公式tan(α+β)=(tan(α)+tan(β))/(1-tan(α)tan(β))，代入已知條件，得到：

tan(α+β)=(1/2+2)/(1-1/2*2)=1，符合條件。

利用sin(α+β)=tan(α+β)/√(1+tan^2(α+β))，得到sin(α+β)=1/√2。

由于sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)，代入sin(α+β)的值，得到：

sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)=1/√2。課堂1.課堂評價：

-提問評價：通過在課堂上提問學(xué)生，了解他們對正切函數(shù)定義、圖像和性質(zhì)的理解程度。例如，可以提問：“誰能解釋一下正切函數(shù)在坐標系中的圖像是什么樣的？”或者“如何判斷一個角的正切值是正還是負？”通過學(xué)生的回答，教師可以評估他們的知識掌握情況。

-觀察評價：在課堂上觀察學(xué)生的參與度和注意力集中情況，注意他們的筆記記錄和互動交流。例如，可以觀察學(xué)生是否能夠正確繪制正切函數(shù)圖像，是否能夠準確地描述正切函數(shù)的性質(zhì)。

-小組討論評價：通過小組討論環(huán)節(jié)，評估學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。例如，可以觀察學(xué)生在小組內(nèi)是否能夠積極發(fā)言，是否能夠提出有建設(shè)性的意見，以及是否能夠有效地與同伴合作完成討論任務(wù)。

-測試評價：在課后或下一節(jié)課前進行小測驗，以評估學(xué)生對正切函數(shù)知識的掌握程度。測試可以包括選擇題、填空題和簡答題，以便全面了解學(xué)生的理解情況。

2.作業(yè)評價：

-認真批改：對學(xué)生的作業(yè)進行詳細的批改，確保每個題目都被仔細檢查。對于錯誤，不僅要指出，還要提供正確的解題思路和步驟。

-及時反饋：在批改作業(yè)后，及時將作業(yè)反饋給學(xué)生，讓他們知道自己的進步和需要改進的地方。例如，可以通過書面評語或者課堂上的口頭反饋。

-鼓勵學(xué)生：在評價中鼓勵學(xué)生，特別是對于那些有進步或者做得好的學(xué)生。例如，可以寫道：“你的作業(yè)做得很好，特別是在解決這個難題上，你的方法非常有效?！?/p>

-定期回顧：定期回顧學(xué)生的作業(yè)，以監(jiān)測他們的學(xué)習(xí)進度和持續(xù)改進的空間。例如，可以每隔一周回顧一次學(xué)生的作業(yè)，確保他們能夠持續(xù)掌握正切函數(shù)的相關(guān)知識。

3.教學(xué)反思：

-教師需要定期進行教學(xué)反思，思考如何改進教學(xué)方法，以更好地適應(yīng)學(xué)生的需求。例如，如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解正切函數(shù)圖像方面存在困難，教師可以考慮增加圖像繪制的練習(xí)，或者使用動態(tài)軟件來展示函數(shù)的變化。

-教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的反饋調(diào)整教學(xué)策略，確保教學(xué)活動能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并幫助他們克服學(xué)習(xí)中的難點。

4.家長溝通：

-定期與家長溝通學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，讓家長了解孩子在學(xué)校的學(xué)習(xí)表現(xiàn)，共同關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)進步和問題。

-鼓勵家長參與孩子的學(xué)習(xí)過程，提供必要的支持和資源，如購買相關(guān)的學(xué)習(xí)材料或者參與家庭數(shù)學(xué)活動。板書設(shè)計①本文重點知識點：

-正切函數(shù)的定義

-正切函數(shù)的圖像

-正切函數(shù)的性質(zhì)（周期性、奇偶性、單調(diào)性、值域）

②重點詞句：

-正切線

-定義域

-周期

-奇偶性

-單調(diào)遞增/遞減

-值域

③板書布局