摘要：本文主要研究了迭代數(shù)列的收斂性．首先介紹了迭代數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)以及定理．其次給出了一系列判斷迭代數(shù)列收斂的方法如利用單調(diào)有界定理，利用壓縮映射原理，利用迭代數(shù)列通項等,并針對每一種方法給出具體的例子．關(guān)鍵詞：迭代數(shù)列；斂散性；不動點；單調(diào)有界；壓縮映射引言在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中我們常見到一種形如的數(shù)列，我們稱之為迭代數(shù)列．此類數(shù)列有著很強(qiáng)的理論價值和使用價值，如數(shù)學(xué)里大量的近似計算和方程的求根算法，早期混沌研究里的廣義Logistic映射等．判斷迭代數(shù)列的斂散性以及求出其收斂時的極限值對與之相關(guān)的研究有著很大的幫助．在文獻(xiàn)[4]中高新濤通過判斷連續(xù)可微的迭代方程是否滿足壓縮映射原理來判斷迭代數(shù)列的收斂性，然后求出唯一不動點得到迭代數(shù)列的收斂值．在文獻(xiàn)[6]中綦建剛通過分析給定的數(shù)列首項與迭代方程不動點的大小關(guān)系結(jié)合迭代函數(shù)的單調(diào)性得到迭代數(shù)列的單調(diào)情況，又證明了迭代數(shù)列有界，利用單調(diào)有界定理判定了迭代數(shù)列的收斂性．在文獻(xiàn)［9］中肖翔對于滿足形式（，）且存在唯一不動點的迭代方程，通過不動點構(gòu)造等差數(shù)列，并利用此數(shù)列得到迭代數(shù)列通項，然后判別其收斂性與極限值．在文獻(xiàn)[11]中黃永忠分別分析了線性迭代數(shù)列，倒數(shù)迭代數(shù)列，分式迭代數(shù)列的極限情況，對于滿足相應(yīng)形式的迭代數(shù)列能進(jìn)行快速的收斂性判斷．在文獻(xiàn)[13]中張玲對于所給迭代數(shù)列分別通過數(shù)學(xué)歸納和不等式放縮證明了對于任意的存在,使得當(dāng)時對一切有，即迭代數(shù)列滿足柯西收斂準(zhǔn)則，從而得到迭代數(shù)列收斂．然而對于迭代數(shù)列收斂性的判別不只這些方法，并且對于同一個迭代數(shù)列收斂性判別也不局限于一種方法，我們需要針對迭代數(shù)列的特點選擇較為合適的簡便方法．在本文中主要介紹了幾種對迭代數(shù)列收斂性判別的方法．如對有著明顯單調(diào)性的迭代數(shù)列選擇利用單調(diào)有界定理判別；對于連續(xù)可微的迭代函數(shù)選擇利用壓縮映射定理判別；對于可以利用遞推關(guān)系寫出數(shù)列通項的迭代數(shù)列選擇利用數(shù)列通項通過取極限判別收斂情況等．1.迭代數(shù)列定義和相關(guān)性質(zhì)迭代數(shù)列的定義定義1[1]在給出數(shù)列的第一項后，用遞推公式：，通過迭代而生成的的數(shù)列成為迭代數(shù)列．迭代數(shù)列的性質(zhì)命題1（第一律）[2]設(shè)數(shù)列滿足遞推公式,.如果有，同時也成立，則極限一定是方程的根（這時候稱為函數(shù)的不動點）．注1此命題證明是較清晰的，只要在此遞推公式的兩側(cè)分別同時令即可，便可得出，即證明結(jié)論．注2命題中的條件可以替換成在處連續(xù)或者在更大的范圍上連續(xù)等條件，因為有連續(xù)函數(shù)的Heine歸結(jié)原理知道，函數(shù)在點處連續(xù)的充分必要條件為對每個向收斂的數(shù)列，都有成立．注3此命題對判斷迭代數(shù)列斂散有很明顯的作用．在我們不知道一個數(shù)列是否收斂或者發(fā)散以前，我們可以利用此定理先去求解方程，方程根的情況對判定原數(shù)列的收斂情況有很大的幫助．如果所求方程在實數(shù)范圍內(nèi)無根，那么就不用再對原數(shù)列作任何研究就可以斷定這個迭代數(shù)列一定發(fā)散；如果方程有實根，我們則可以根據(jù)具體情況再進(jìn)行具體的分析，如再進(jìn)一步證明此實根為數(shù)列極限．命題2（第二律）[2]設(shè)滿足關(guān)系，，其中的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，同時數(shù)列的每一項都在區(qū)間中，則只有兩種可能：1）當(dāng)單調(diào)增加時，為單調(diào)數(shù)列；2）當(dāng)單調(diào)減少時，的兩個子列和分別為單調(diào)數(shù)列并且具有相反的單調(diào)性．證明對命題里的兩種可能分別進(jìn)行分析．1）假設(shè)函數(shù)在定義區(qū)間上單調(diào)遞增．由所給的條件知道,，通過觀察數(shù)列的前兩項可知，如果有，那就有.由數(shù)學(xué)歸納法可知，當(dāng)時有數(shù)列單調(diào)遞增．同理，當(dāng)時可以證明數(shù)列單調(diào)減少．所以當(dāng)函數(shù)單調(diào)增加時，數(shù)列為單調(diào)數(shù)列．2）假設(shè)在區(qū)間上單調(diào)減少，此時對于復(fù)合函數(shù)來說卻是單調(diào)遞增的.且嚴(yán)格來說，如果有，，并且，就有成立．觀察與，如果成立=，那么有奇子列為常數(shù)列；如果成立，由單調(diào)減少可知，進(jìn)而推出.此時用數(shù)學(xué)歸納法可已證明子列單調(diào)增加．因為函數(shù)單調(diào)減少，并且有，，所以可以推出子列單調(diào)減少；如果成立，討論情況與上述類似．注1從以上的情況證明里可以看出來，迭代數(shù)列的單調(diào)性還具有別的特點.例如在情況1）中為單調(diào)遞增的情況下，只有兩種討論的情況：一是從某一項之后為常值數(shù)列，二是嚴(yán)格的單調(diào)遞增數(shù)列．注2如果迭代數(shù)列在迭代函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)并且還有界（也有可能無界），則當(dāng)為單調(diào)增加時，必定收斂；而當(dāng)為單調(diào)減少時既有可能收斂也有可能發(fā)散，但是它的兩個奇偶子列和一定是收斂的．所以迭代數(shù)列的收斂情況變成了取決于判斷這兩個子列收斂的極限值是否相等．注3命題2的幾何意義．在一個具體的迭代數(shù)列里如果要應(yīng)用上方的兩個規(guī)律最直觀簡便的方法就是作圖．第一步則先在坐標(biāo)平面上做出函數(shù)的圖像，在命題1里的不動點就是函數(shù)和函數(shù)的交點．圖1命題2的幾何意義在圖1中的曲線代表，直線代表，兩線交點的橫坐標(biāo)為函數(shù)的不動點．從圖中橫坐標(biāo)軸上的初始值作為出發(fā)點，作平行于軸的直線，得到與曲線的交點的縱坐標(biāo)就為．此時從交點處作與軸平行的直線交于一點，作此點與縱軸平行，與軸交點的橫坐標(biāo)就為.在圖1（）和（ｂ）中按照以上作圖方法與思路繼續(xù)下去，可以明顯的從圖中看出來得到的數(shù)列的增減情況，與命題２結(jié)論一致．并由此看出數(shù)列可能以為極限值，若要確定則需要進(jìn)行進(jìn)一步的嚴(yán)格分析證明．2.迭代數(shù)列收斂性的判別法2.1單調(diào)有界定理使用單調(diào)有界收斂定理的前提條件是數(shù)列具有某種單調(diào)性．若給定迭代數(shù)列的迭代函數(shù)有比較容易判斷的單調(diào)性，則可以考慮利用單調(diào)有界定理．假設(shè)迭代函數(shù)是連續(xù)的．一般分為兩種情況：情形1單調(diào)增加，為唯一不動點，，1）當(dāng)且時，單調(diào)遞增且；2）當(dāng)且時，單調(diào)遞減且．注1如果有且（或且），那么數(shù)列不一定收斂.例如，．由上述的結(jié)果可知，當(dāng)出現(xiàn)情形1時，我們應(yīng)該證明數(shù)列單調(diào)且取迭代函數(shù)不動點為界限，為我們提供了一個清晰的思路．例1，.證明數(shù)列收斂并求出數(shù)列極限．證明首先此題的迭代函數(shù)為，很明顯可以看出此函數(shù)在是單調(diào)遞增的.它的唯一不動點分為兩種情況：1）如果，那么一定是單調(diào)遞減的并且有．實際上有，并且有，所以．用數(shù)學(xué)歸納法可以進(jìn)一步證明，由數(shù)列單調(diào)遞減有下界可知數(shù)列收斂．記數(shù)列極限，分別另等式兩邊則可以得到，解得，所以．2)如果，那么同理可得一定是單調(diào)遞增并且有．即由單調(diào)遞增有上界可知數(shù)列收斂極且限存在．同樣可證．綜上得證此迭代數(shù)列收斂且．例2設(shè)，任意取，，，證明數(shù)列收斂并求．證明首先可以觀察到．用數(shù)學(xué)歸納法證明，已知，那就假設(shè)，根據(jù)知道.因為，得到，，并推出．所以由以上證明可知單調(diào)遞增有上界，根據(jù)單調(diào)有界定理知道此數(shù)列收斂．設(shè)極限為，對等式兩端同時令得到,所以極限值．情形2單調(diào)遞減．為其唯一不動點，1）若并且有時，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；是單調(diào)遞減數(shù)列，并有．2）若并且有時，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；是單調(diào)遞減數(shù)列，并有．在以上情況中數(shù)列極限存在并且為．注2當(dāng)出現(xiàn)的單調(diào)區(qū)間不唯一的情況時，此時可以把區(qū)間劃分為若干個小單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)情形1和2進(jìn)行討論．但是需要注意的一點就是如果出現(xiàn)迭代函數(shù)不動點不唯一，那么此時的函數(shù)極限一般都與初始值有關(guān)．比如，當(dāng)初始值時有極限值；當(dāng)初始值時有極限值．例3把形如的數(shù)列稱為菲波那契數(shù)列，，證明存在，并求出該極限值．證明令，那么，．明顯可以看出來在上時單調(diào)遞減的，由迭代方程計算得唯一不動點為.又經(jīng)過計算知道．所以如果時，有；如果時，有．根據(jù)情況２知道此迭代數(shù)列的極限一定存在且有．例4設(shè)，，，，．證明存在，并求出其極限值．證明通過數(shù)列的首相以及數(shù)列的通項可以看出來數(shù)列整體不是單調(diào)的，因為，而，所以．所以由此可以知道此迭代數(shù)列的奇子列單調(diào)遞增，偶子列單調(diào)遞減，并且，．又由數(shù)列的單調(diào)有界一定有極限可以知道該數(shù)列的奇子列，偶子列收斂并且極限，均存在，分別設(shè)為,．對，，當(dāng)時有，，解得，根據(jù)情形２得證此數(shù)列收斂且極限值為．2.2壓縮映射原理定義2[8]若存在一個常數(shù)，且，使得任意的，有成立，則稱是上的一個壓縮映照．命題3[8]設(shè)是上的一個壓縮映照，則是上的連續(xù)函數(shù)．命題4[8]設(shè)是上的一個壓縮映照，并且，，，若對于任意的，有，則在上存在唯一不動點c,且．證明第一步：則證明數(shù)列收斂．1)如果，則明顯收斂;2)如果，那么對于任意的取則當(dāng)時對于任意的整數(shù)有.所以是一個Cauchy數(shù)列，根據(jù)Cauchy數(shù)列的收斂準(zhǔn)則可知存在并有．第二步：證明為的不動點．因為是上的一個壓縮映照并且根據(jù)引理可以知道在連續(xù)，其中，所以為的不動點．第三步：證明為的唯一不動點．1)如果，則顯然有唯一的不動點；2)如果，那么假設(shè)有另外的不動點設(shè)為，則，若使此式成立，只有．所以有且只有一個不動點．注此方法是利用壓縮映射原理來分析迭代數(shù)列的斂散性，主要的思路為先證明迭代方程為定義區(qū)間上的壓縮映射，然后把求解數(shù)列極限的問題轉(zhuǎn)換為求解方程的不動點，即求方程唯一解的問題．例5已知，，討論的斂散性，若收斂求出極限．解首先寫出迭代函數(shù)為，并且明顯的可以看出來迭代函數(shù)在上連續(xù)可導(dǎo)．因為，所以當(dāng)時，，所以為壓縮映射，又因為連續(xù)，由定理知道存在唯一的不動點．其次求出方程不動點即求解，得出，所以此迭代數(shù)列為收斂的且．例6已知數(shù)列滿足，，討論的斂散性，若收斂求出極限．解由題可知迭代方程為，顯然迭代方程連續(xù)并且．對，有，此時根據(jù)壓縮映射的定義令，所以迭代函數(shù)為壓縮映射．由定理知道存在唯一的不動點，求出方程不動點即求解，所以此迭代數(shù)列為收斂的且.2.3利用迭代數(shù)列通項公式對于迭代生成的數(shù)列，有時可以通過遞推關(guān)系寫出數(shù)列的通項，從而判斷是否收斂以及求出極限值．例7設(shè)，，，求．解由知，由定理知道此數(shù)列收斂且極限存在．但根據(jù)上述方法通過求解唯一不動點無法求出極限值，此時根據(jù)每項是前兩項的算術(shù)平均值可以看出，，.很容易可以寫出來的表達(dá)式，反復(fù)應(yīng)用此結(jié)果，，所以,因此數(shù)列收斂且極限為．2.4利用Stolz公式命題5(型Stolz公式)設(shè)有數(shù)列，，其中嚴(yán)格增，且（注意不必）.若，則．例8設(shè)，，求．解令，因為，所以數(shù)列單調(diào)遞減有下界，所以存在，且易知．由Stolz公式知道，所以迭代數(shù)列收斂且極限為2．例9對于數(shù)列,,()，證明：．證明要證，即證 ，或者 ．利用型Stolz公式有.所以，即．結(jié)束語本文主要討論了判斷迭代數(shù)列斂散性的幾種方法．首先是利用單調(diào)有界定理，適用于迭代函數(shù)具有明顯的單調(diào)性時；其次是利用壓縮映射原理，運(yùn)用此前需判斷此迭數(shù)列的迭代方程是連續(xù)可微的且滿足壓縮映射原理，再求出唯一不動點得到數(shù)列極限值；然后就是利用數(shù)列通項，對于一些形式比較特殊的迭代數(shù)列可以通過一定的適當(dāng)變形寫出其通項表達(dá)式，然后進(jìn)行簡單的取極限，通過觀察數(shù)列極限是否存在進(jìn)而判斷其斂散性；本文只是總結(jié)出了判斷迭代數(shù)列斂散性的幾種方法，還有很多簡便有效的方法等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)．參考文獻(xiàn)裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社，2001:567-571.錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹[M].北京:崇文書局，2003:493-522.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析下冊（第四版）[M].北京:高等教育出版社，2010:223-255.高新濤,陳麗.迭代數(shù)列的收斂性研究[J].湖南城市學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2017,26(01):41-44.萬麗.一類迭代數(shù)列斂散性判別的新準(zhǔn)則[J].河北理科教學(xué)研究,2008(01):41-42.綦建剛.極限收斂定理在迭代數(shù)列中的應(yīng)用[J].山東師大學(xué)報(自然科學(xué)版),2004(02):96-98.程叢電.兩類迭代數(shù)列的斂散問題[J].沈陽師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),1999(03):76-79.賈麗明.迭代數(shù)列極限的求法新探[J].沈陽電力高等?？茖W(xué)校學(xué)報,1997(04):31-33.肖翔，許伯生.不動點在線性搜索中的應(yīng)用[J].上海工程技術(shù)大學(xué)報，2009，23（03）:258-276葛莉，張孔生，姚云飛.關(guān)于數(shù)列的壓縮條件的幾點注記[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）,2004(04):70-72.黃永忠,吳潔,胡勇.幾類迭代數(shù)列的收斂性