專題1L3實(shí)數(shù)【十大題型】

【華東師大版】

＞題型梳理

【題型1實(shí)數(shù)的概念理解】.............................................................................1

【題型2實(shí)數(shù)的運(yùn)算】..................................................................................3

【題型3估算無理數(shù)的大小】...........................................................................5

【題型4估算無理數(shù)的整數(shù)部分或小數(shù)部分】...........................................................8

【題型5實(shí)數(shù)與數(shù)軸】.................................................................................II

【題型6實(shí)數(shù)的大小比較】............................................................................14

【題型7程序設(shè)計(jì)中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】.....................................................................16

【題型8新定義中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】........................................................................19

【題型9實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】.......................................................................20

【題型10實(shí)數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探究】.....................................................................23

院舉一反三1

知識點(diǎn)1：實(shí)數(shù)

正整數(shù)

整數(shù)0

有理數(shù)負(fù)整數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

正無理數(shù)'

無理數(shù)「無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

常見類型:①特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù),如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）.

②含有冗的絕大部分?jǐn)?shù).如27r.

【題型1實(shí)數(shù)的概念理解】

【例1】（23-24八年級?陜西西安?期中）下列各數(shù)是無理數(shù)的是（）

A.0.101001B.-2C.-D.V9

2

【答案】C

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】解：A、0.101001是有限小數(shù),屬于有理數(shù)；

B、-2是整數(shù)，屬于有理數(shù)；

C、3是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)；

D、V9=3,屬于有理數(shù)；

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考瓷了無埋數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：7T,Z7T等；開方開不盡的數(shù)；以

及像0.1010010001...,等有這樣規(guī)律的數(shù).

【變式1-1］（23-24八年級.河南安陽?期中）把下列各數(shù)的序號分別填入相應(yīng)的集合內(nèi):①-*②VL③1-6,

@0,⑤一VO,@7^125,⑦一］⑧0..（相鄰的兩個(gè)3之間依次多1個(gè)0）,⑨0.23,⑩3.14

4

（1）整數(shù)集合：（）

（2）分?jǐn)?shù)集合：（）

⑶無理數(shù)集合：（）

【答案】（I）③?⑥

⑵???

⑶@??⑧

【分析】本題考杳了有理數(shù)、實(shí)數(shù)和無理數(shù)的分類，熟練掌握無理數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵.

（D根據(jù)整數(shù)的定義作答即可：

（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義作答即可；

（3）根據(jù)無理數(shù)的定義作答即可.

【詳解】（1）解：③l-"二l一2二-l是整數(shù)，④0是整數(shù)，⑥口芯二一5是整數(shù)，

整數(shù)集合：③④⑥

故答案為：③④⑥

（2）①一號是分?jǐn)?shù)，⑨0.23是分?jǐn)?shù)，⑩3.14是分?jǐn)?shù).

分?jǐn)?shù)集合：①??

故答案為：①⑨⑩

（3）②冠是無理數(shù)，⑤一屈是無理數(shù)，⑦一￡是無理數(shù)，⑧0（相鄰的兩個(gè)3之間依次多I

4

個(gè)0）是無理數(shù)，無理數(shù)集合

故答案為：②??⑧

【變式1-2］（23-24八年級?湖南衡陽?期中）-舊的絕對值是,5-壓的相反數(shù)是.

【答案】V13-5+V26

【分析】本題是對絕對值和相反數(shù)知識的考查，熟練掌握實(shí)數(shù)知識是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)絕對值和相反數(shù)

知識求解即可.

【詳解】解：-m絕對值是

5-國的相反數(shù)是：一（5-壓）=一5+的.

故答案為：V13；-5+V26

【變式1-3］（23-24八年級?山東日照?期中）已知小。都是有理數(shù)，且（0一1）Q+2b=75+3,求Q+匕的

值（）

A.1D.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本題考查的是無理數(shù)的含義，二元一次方程組的解法，理解題意建立方程組解題是關(guān)鍵.由〃，b

都是有理數(shù)，且（百-1）。+26=百+3,再建立方程組解題即可.

【詳解】解：???（百一1%+2》=\/5+3,

:.\Ga+（—a+2b）=A/3+3,

??Z,力都是有理數(shù),

.（a=1

?1a+2b=3'

K：r

則a+b=l+2=3.

故選：C.

【題型2實(shí)數(shù)的運(yùn)算】

【例2】（23-24八年級.四川瀘州.期中）計(jì)算：-12-（-2）3X1-V27X|-1|+2^V4.

83

【答案】0

【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，原式第i項(xiàng)利用乘方的意義計(jì)算，第二項(xiàng)利用乘方的意義及乘法法則計(jì)算,

第三項(xiàng)利用立方根定義及絕對值的代數(shù)意義化簡，最后一項(xiàng)利用除法法則變形計(jì)算即可得到結(jié)果，熟練學(xué)

握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

（I）V64-V36+VF2）2；

冰昌_（_1嚴(yán)3-舟通

【答案】（1）0

（2）1

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，結(jié)合算術(shù)平方根、立方根、乘方的知識，熟練掌握知識、正確計(jì)算是

解題的關(guān)鍵.

（1）先計(jì)算算術(shù)平方根，立方根，再加減計(jì)算即可；

（2）先計(jì)算算術(shù)平方根，立方根，乘方，再加減計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：原式=4-6+2

=0；

（2）解：原式=—1—（―1）—：+2

=1.

知識點(diǎn)2：估算法

（?）若。K4<〃<4,則MM,

（2）若則軻〈右〈瘋；

根據(jù)這兩個(gè)重要的關(guān)系，我們通?？梢哉揖嚯xa最近的兩個(gè)平方數(shù)和立方數(shù)，來估算員和板的大

小.例如：9vavl6,則3<石<4；8<6/<27,則2<媯<3.

常見實(shí)數(shù)的估算值:0M414,6=1.732,石=2.236.

【題型3估算無理數(shù)的大小】

【例3】（23-24八年級?北京?期中）如圖，用邊長為4的兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，則與大正方形的

邊長最接近的整數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】本題考查了無理數(shù)的估算、實(shí)數(shù)的大小比較法則，熟練掌握實(shí)數(shù)的大小比較法則是解題關(guān)鍵.先利

用正方形的面積公式求出大正方形的邊長，再利用無理數(shù)的估算、實(shí)數(shù)的大小比較法則即可得.

【詳解】解：大正方形的邊長為V2x4x4=原,

???25<32<36,

V25<V32<V36,即5<V32<6,

又???6-V32-(V32-5)=6-732-732+5,

=11-2V32,

=2x(5.5-732),

=2x(V3025-V32)<0,

???6-V32<V32-5,

與居最接近的整數(shù)是6,

即大正方形的邊長最接近的整數(shù)是6,

故選：D.

【變式3-1](23-24八年級.四川成都.期中)估算眄+41的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在哪兩個(gè)整數(shù)之間()

A.3和4B.4和5C.5和6D.6和7

【答案】D

【分析】本題主要考查的是估算無理數(shù)的大小先利用夾逼法求得7n的范圍，然后可求得+的大致范

圍.

【詳解】解：v9<11<16,

3<V11<4,

1何=3,

:.6<V9+711<7,

故選：D.

【變式3-2](23-24八年級.四川成都.期末)在學(xué)習(xí)《估算》一課時(shí)，李老師設(shè)計(jì)了一個(gè)抽卡比大小的游戲,

數(shù)值大的為贏家.小麗抽到的卡上寫的是n-1,小穎抽到的卡上寫的是2,那么贏家是.

【答案】小穎

【分析】估算出幾的大小，繼而比較即可求解.

【詳解】解：v4<6<9,

???V4<V6<炳,

2<x^6<3>

1<V6-1<2,

???贏家是小穎，

故答案為：小穎.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，無理數(shù)的估算，估算出遍的大小是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（23-24八年級.江蘇鹽城?期中）下面是小明探索近的近似值的過程：

我們知道面積是2的正方形的邊長是易知魚>1.因此可設(shè)魚=1+X,畫出如下示意圖.

由圖中面積計(jì)算，S正方形=/+2xl-x+l

另一方面由題意知S正方形=2

所以7+2xlr+l=2

略去得方程2x+1=2.

解得x=0.5.即或之1.5.

（1）仿照上述方法，探究的的近似直.（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）

（2）結(jié)合上述具體實(shí)例，已知非負(fù)整數(shù)。、〃、m,若+且m=Q2+b,請估算

而?.（用〃、b的代數(shù)式表示）

【答案】⑴2.25,見解析

+￡

【分析】（1）參照題目的過程解題即司;

（2）把條件的過程中的數(shù)字換成對應(yīng)的字母解題即可.

【詳解】（1）解：面積是5的正方形的邊長是通，

設(shè)無=2+x,如圖，面積為5的正方形分成2個(gè)小正方形和2個(gè)矩形,

,S正方形=X2+2X2-X+4,

而S正方形=5,

?\x?+2x2?x+4=5,

略去%2,得方程軌+4=5,解得％=0.25,

即正X2.25.

(2)解：設(shè)標(biāo)=Q+x(0〈無V1),

Am=a2+2ax+x2a2+2ax,

=a2+b,

*.a2+2ax=a2+b,

解得T，

:?標(biāo)=a+=,

2a

故答案為：Q+餐.

2a

【點(diǎn)睛】本題主要考查用幾何方法求無理數(shù)的近似值，能夠讀懂題意是解題關(guān)鍵.

【題型4估算無理數(shù)的整數(shù)部分或小數(shù)部分】

【例4】（23-24八年級映西西安?階段練習(xí)）若〃是狗的整數(shù)部分，b是百的小數(shù)部分.則a+b—g+l的

平方根是.

【答案］±3/3和-3/-3和3

【分析】根據(jù)9?v90VIO?可得9〈回vI。，即可得到夙的整數(shù)部分是9,小數(shù)部分是同一9,即可求

解.

【詳解】解：：92<90V102,I2<3<22

/.9<V90<10,1<V3<2,

工面的整數(shù)部分是9,則a=9,的小數(shù)部分是V5—1,則6=百一1,

a+h—V3+1=9+V3-1—A/3+1=9,

，9的平方根為±3.

故答案為：±3.

【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的估算、實(shí)數(shù)的運(yùn)算、平方根的定義，掌握實(shí)數(shù)估算的方法是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（23-24八年級?河南新鄉(xiāng)?期中）已知〃?是傷的整數(shù)部分，〃是傷的小數(shù)部分，則瓶一九的值為

（）

A.-V6B.4-V6C.4+V6D.4

【答案】B

【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，先估算出2c乃V3,進(jìn)而得到m=2,n=V6-2,

據(jù)此代值計(jì)算即可.

【詳解】解：???4<6V9,

???2<V6<3,

???加是述的整數(shù)部分，〃是通的小數(shù)部分，

/.m=2,n=V6—2,

故選：B.

【變式4-2]（23-24八年級.江蘇?期中）若【.」表示實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分，V%>表示實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分，如

（VI]=1?[V2]=1,<V2>=V2—1,則<3-75>+【6】的值是（）

A.4—x/3B.1—V13C.6—V3D.V13-1

【答案】A

【分析】

估算出3-8的小數(shù)部分和b的整數(shù)部分，即可求解.

【詳解】

解：?.,1VKV2,

-2<—V3<—1,

A3-2<3-V3<3-l,BPI<3-V3<2,

A<3-V3>=3-V3-l=2-V3,

V4<7<9,

A2<V7<3,

/.[V7]=2,

/.<3-V3>+[V7]=2-百+2=4-技

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3]（23-24八年級.河南新鄉(xiāng)?期中）下面是小明在學(xué)習(xí)“無理數(shù)的估算''時(shí)做的學(xué)習(xí)筆記.

無理數(shù)的估算

大家知道百是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此V5的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，「?是我用

6-1來表示8的小數(shù)部分，你同意我的表示方法嗎？

事實(shí)上，我的表示方法是有道理的，因?yàn)榕f的整數(shù)部分是1,配以將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)

部分.

例如：

vV4<V7<V9,即2<近<3,

???近的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為近一2.

根據(jù)以上筆記內(nèi)容，請完成如下任務(wù).

⑴任務(wù)一：內(nèi)的小數(shù)部分為.

（2）任務(wù)二：。為百的小數(shù)部分，〃為質(zhì)的整數(shù)部分，請計(jì)算-遙的值.

（3）任務(wù)三：x+y=10+V3,其中x是整數(shù)，且0<y<l,求拉一y的相反數(shù).

【答案】（l）g-4

（2）a+b—V5=1

（3）2%-y的相反數(shù)是一23+汽

【分析】本題考查估算無理數(shù)的大小，相反數(shù)的定義，代數(shù)式求值，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題關(guān)鍵.

（1）估算無理數(shù)的大小即可確定整數(shù)部分和小數(shù)部分；

（2）估算無理數(shù)通，g的大小，確定。、”的值，再代入計(jì)算即可：

（3）估算無理數(shù)百的大小，求出工、），的值，再代入計(jì)算，求出相反數(shù)即可.

【詳解】（1）解：而，

即4<回<5,

舊的整數(shù)部分為4,小數(shù)部分為g-4,

故答案為：V19-4：

(2)VV4<V5<V9,即2c遍<3,

???V5的小數(shù)部分a=V5-2,

I?<A/13<V16,

即3Vm<4,

jn的整數(shù)部分b=3,

二a+b-V5=V5—2+3—V5=1；

(3)v/I<V3<V4,

即1<國V2,

???6的整數(shù)部分為1,小數(shù)部分為V5-1,

10+V3=10+1+(V3-1)=11+(V3-1),

又.x+y=10十V3,

二11+(V3-1)=%+y,

???x是整數(shù)，且0vy<l,

???x=11,y=V3-1,

???2x—y=11x2—(V3-1)=23—V3,

???2x-y的相反數(shù)一23+百.

【題型5實(shí)數(shù)與數(shù)軸】

【例5】（23-24八年級?山東臨沂?期中）如圖，面積為7的正方形力BCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸匕且點(diǎn)力表示的數(shù)

為I,若點(diǎn)E在數(shù)軸上，（點(diǎn)E在點(diǎn)4的右側(cè)）且48=AE,則點(diǎn)E所表示的數(shù)為（）

A.V7B.1+V7C.2+V7D.3+V7

【答案】B

【分析】本題考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)、算術(shù)平方根的應(yīng)用，關(guān)鍵是結(jié)合題意求出R8=AE=6.

由題意可知，面積為7的正方形ABCO邊長為夕，所以=夕，而48=AE,得AE=夕，A點(diǎn)的坐標(biāo)為h

故E點(diǎn)的坐標(biāo)為1+夕.

【詳解】???面積為7的正方形力BCD為7,

?,AB=y/7,

?：AB=AE,

：.AE=V7,

??》點(diǎn)表示的數(shù)為1,

???￡點(diǎn)表示的數(shù)為1+夕，

故選:B.

【變式5-1]（23-24八年級?北京?期中）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且滿足a+b<0,ab<0,

則原點(diǎn)所在的位置有可能是（）

ABCD

ab

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)。

【答案】C

【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，能夠根據(jù)題意分析出。與〃的符號是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)必<0可以得出〃與b異號，再根據(jù)Q+b<0可以得出負(fù)數(shù)的絕對值大于正數(shù)的絕對值，然后根據(jù)數(shù)

軸的特點(diǎn)進(jìn)行解題即可.

【詳解】解：rab<0,

”與人異號，

由數(shù)軸上觀察可知:a<b,

???aV0,b>0,

又，；a+b<0,

???負(fù)數(shù)的絕對值大于正數(shù)的絕對值，

??.C點(diǎn)由可能是原點(diǎn).

故選：C.

【變式5-2]（23-24八年級?遼寧大連?期中）如圖，數(shù)軸上A、8兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為一1和國，AB=AC,

則點(diǎn)C所表示的數(shù)為（）

CAOB

___________I[]]j

A.-2-V3B.一1一班C.-2+V3D.1+V3

【答案】A

【分析】本題主要考查了求數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離.由于力，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為-1和6，先根據(jù)對稱點(diǎn)

可以求出0C的長度，根據(jù)C在原點(diǎn)的左側(cè)，進(jìn)而可求出C的坐標(biāo).

【詳解】解：???對稱的兩點(diǎn)到對稱中心的距離相等，

CA=AB,|-1|+|V3|=1+V3,

0C=2+y/3,而C點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，

???C表示的數(shù)為：一2-遮.

故選:A.

【變式5-3](23-24八年級?湖北恩施.期中)已知實(shí)數(shù)m〃在數(shù)軸上的位置如圖所示：

a0h

(1)化簡：a+b-+2Va^：

(2)若l+2|a|的平方根是土夕，2a+b—4的立方根是一2,求Q+2b的算術(shù)平方根.

【答案】⑴3a

(2)a+2b算術(shù)平方根為1

【分析】本題考查了通過數(shù)軸判斷實(shí)數(shù)的大小，平方根，立方根，算術(shù)平方根的定義，熟練學(xué)握平方根，立

方根，算術(shù)平方根的定義是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)數(shù)軸判斷出aVO<b，再根據(jù)算術(shù)平方根，立方根的定義進(jìn)行化簡即可；

(2)根據(jù)題意可以求出a,b的值，再代入求出最后結(jié)果.

【詳解】(1)解：由數(shù)軸可知：QCOVb,

a+b-\[b^+2

=a+b—b+2a,

=3a；

(2)???若l+2|a|的平方根是±V7,

Al+2|a|=7,

解得：a=±3.

因?yàn)椋琎V0,所以，a=-3,

又?：2a+b—4的立方根是-2,

：.2a4b4=-8,即一64b48,

解得：b=2,

?a+2b=V—3+4=y/1=1,

即，a+2b算術(shù)平方根為1.

【題型6實(shí)數(shù)的大小比較】

【例6】（23-24八年級?河南鄭州?階段練習(xí)）實(shí)數(shù)--和-:的大小關(guān)系是（）

A.--<-V3<--B.―/3

3223

C.-V3D.—/3

2332

【答案】C

【分析】本題考查了比較實(shí)數(shù)的大小，無理數(shù)的估算等知識.先估算出三*1.05,8弋1.732,即可得到百>

講而得到一遍V-jv-J.

【詳解】解：,?5蜂3.14,

???】#1.05,

3

???\與=1.732,

A-V3<--<

23

故選：C

【變式6-1]（23-24八年級?安徽?專題練習(xí)）1,-2,0,通這四個(gè)數(shù)中，絕對值最大的數(shù)是（）

A.1B.-2C.0D.V5

【答案】D

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較、絕對值、算術(shù)平方根等知識點(diǎn)，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

先求出各數(shù)的絕對值，然后再進(jìn)行比較即可解答.

【詳解】解：=|一2|二2,|0|=0,|花|二正=2.236,

v2.236>2>1>0,

1,-2,0,收這四個(gè)數(shù)中，絕對值最大的數(shù)是V5,

故選：D.

【變式6-2]（23-24八年級?河南平頂山?期中）通過估算3,VTT,V26,的大小為：—（用“V”連接）.

【答案】V26<3<VTT.

【分析】先估算出VH和體的取值范圍，再進(jìn)行比較大小，即可得出答案.

【詳解】V32<11<42,23<26<33

/.3<VT1<4,2<V26<3,

/.V26<3<V11；

故答案為：V26<3<X/TT.

【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的大小比較，估算一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方艱和立方根，是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3]（23-24八年級.貴州黔南.期中）數(shù)學(xué)課上，老師提出一個(gè)問題，比較無理數(shù)的時(shí)，由于老師無

法解決，你能幫老師解決這個(gè)問題宇與:的大小.

44

小明的方法：因?yàn)榛?>4,所以舊-3_3,所以絲（填，或y”）

小英的方法：宇—?=宇，因?yàn)?1<62=36.所以a一6_0,所以辱2：（埴”〉，，或“v”）

444—414

（1）珞上述材料補(bǔ)充完成；

⑵請從小明和小英的方法中選擇一種比較等與我大小.

【答案】⑴v,v,v,v

（2）見解析

【分析】本題考查實(shí)數(shù)比大小，熟練掌握無理數(shù)之間比大小是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意把無理數(shù)變成有理數(shù)再

比大小，即可得到答案.

【詳解】（1）解：小明的方法：

，同一3V3,

.夜1-3/3

??V一,

24

小英的方法:6—33V7T-6

444

V21<62=36,

???舊一6V0,

?V21-3,3

??V—,

44

故答案為：<,<,<,<.

<2）解；選小明的方法:

>4,

>1,

選小英的方法：

V17-11V17-1-1V17-2,

22--------2----------2

V17>4,

工E>2,

：.y[17-2>0,

?,4>0,

2

?V17-1、1

【題型7程序設(shè)計(jì)中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】

【例7】（23-24八年級.廣東陽江?期中）如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，請根據(jù)其原理解決問題：當(dāng)x為12時(shí)，求

y的值，并寫出詳細(xì)過程.

【答案】y=41,見詳解

【分析】本題主要考查了有理數(shù)和無理數(shù)的分類、實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及流程圖，掌握有理數(shù)和無理數(shù)的分類以及

讀懂流程圖是解答本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：把％=12代入數(shù)值轉(zhuǎn)換器，第一次計(jì)算可得V12X2+1=儂=5,為有理數(shù)，進(jìn)行第二次計(jì)

算，

把x=5代入數(shù)值轉(zhuǎn)換器，第二次計(jì)算可得V5x2+1=VTL為無理數(shù)，

則輸出y=V1T.

【變式7-1]（23-24八年級?山西太原?階段練習(xí)）根據(jù)如圖所示的計(jì)算程序，若開始輸入K的值為-魚，則

輸出），的值為（)

A,-V2-5B.1C.-1D.3

【答案】D

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，先求出-或V-1，再根據(jù)流程圖代值計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：VI<2<4,

Al<V2,

—y/2<—1?

.*.>■=(―V2)"+1=或+1=3,

故選：D.

【變式7-2］（23-24八年級?上海黃浦?期中）根據(jù)下圖中的程序，當(dāng)輸入x為36時(shí)，輸出的值是

【答案】V6

【分析】此題主要考查了立方根、算術(shù)平方根的性質(zhì)和應(yīng)用.根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的含義和求法，以及

有理數(shù)、無理數(shù)的含義和求法，求出當(dāng)輸入的x為36時(shí)，，輸出的值是多少即可.

【詳解】解：當(dāng)輸入x為36時(shí)，y=—V36=—6,

-6是有理數(shù)，y二-口=通，是無理數(shù)，

???當(dāng)輸入的x為36時(shí)，輸出的值是遍.

故答案為：V6.

【變式7-3］（23-24八年級.河北張家口期末）如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器（忱|V10）,其工作原理如圖所示.

—>|計(jì)算『2||->咽算術(shù)平方根|是無理絲輸麗

是有理數(shù)

⑴當(dāng)輸入的x值為一2時(shí)，求輸出的），值：

（2）若輸入有意義的上值后，始終輸不出），值，請寫出所有滿足要求的工的值，并說明你的理由;

⑶若輸出的），值是百，直接寫出x的負(fù)整數(shù)值.

【答案】⑴魚

（2）1或2或3,理由見解析

⑶匯=-1

【分析】（1）根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)?；?的算術(shù)平方根的特殊性得出答案；

（3）可以考慮1次運(yùn)算輸出結(jié)果，2次運(yùn)算輸出結(jié)果，進(jìn)而得出答案.

【詳解】（1）解：當(dāng)％=—2時(shí)，|-2-2|=4,

4的算術(shù)平方根為a=2,

而2是有理數(shù)，2的算術(shù)平方根為近,

故答案為：企；

（2）解：1或2或3,理由如下：

V0的算術(shù)平方根是0,I的算術(shù)平方根是1,

???當(dāng)優(yōu)-2|=1或。時(shí)，

解得％=1或2或3,

???當(dāng)％=1或2或3時(shí)，無論進(jìn)行多少次運(yùn)算都不可能是無理數(shù)；

（3）解：若1次運(yùn)算就是V5,

，、/優(yōu)-2|=V3

.,.|x-2|=3

??.解得％=5或一1,

??“為負(fù)整數(shù)，

則輸入的數(shù)為一1;

若2次運(yùn)算輸出的數(shù)是百，

???、/忱-2|=5

A|x-2|=25

.?.解得％=27或一23

V|x|<10

???不符合題意，

綜上所述，x=-1.

【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根、有理數(shù)和無理數(shù)，理解算術(shù)平方艱的定義是解題的關(guān)鍵.

【題型8新定義中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】

【例8】(23-24八年級?山東濟(jì)寧?期中)任何實(shí)數(shù)小可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]=4,[6]=1,

現(xiàn)對72進(jìn)行如下操作，這樣時(shí)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)镮,只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)镮的所有正整數(shù)中，

最大的是.

[g]=8第二次A[78]=2[y/2]=\

【答案】255

【分析】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，根據(jù)算術(shù)平方根的意義得到[儂可=15,[回司二16,進(jìn)

而得到對255只需進(jìn)行3次操作后變成1,對256只需進(jìn)行4次操作后變成1,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：22=4,42=16,162=256,

:.[V256|=16?[\/T6]=4,[V4|=2.[>/2|=1?

[V255]=15,[VTs]=3,[A/3]=1?

???對255只需進(jìn)行3次操作后變成1.

[-256]=16>[>/16]=4,[>/4]=2,[V^]=1,

???對256只需進(jìn)行4次操作后變成1.

???只需進(jìn)行3次操作后變成1的所有正整數(shù)中，最大的正整數(shù)是255.

故答案為:255.

【變式8-1](23-24八年級?四川達(dá)州?階段練習(xí))用“@”表示一種新運(yùn)算；對于任意正實(shí)數(shù)a,b,都有a@b=

歷+1,如8@9=眄+1,則m@(m@9)的結(jié)果是.

【答案】3

【分析】原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值.此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)

鍵.

【詳解】解.：根據(jù)題中的新定義得：

m@(zn@9)=TH@(A/9+1)=zn@4=V4+1=3.

故答案為：3.

【變式8-2]（23-24八年級.福建福州?期中）若實(shí)數(shù)a,b滿足a+1=6,我們就說」與b是關(guān)于6的“如意

數(shù)”，則與3—加是關(guān)于6的“如意數(shù)”是（）

A.3+&B.3-V2C.9-V2D.9+V2

【答案】A

【分析】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，準(zhǔn)確理解新定義是解題的關(guān)鍵.直接根據(jù)“如意數(shù)''的概念進(jìn)行求

解即可.

【詳解】V3-V2+（3+V2）=6

A3-a與3+魚是關(guān)于6的“如意數(shù)”.

故選：A.

【變式8-3]（23-24八年級.山西呂梁?期中）用“?”表示一種新運(yùn)算.：對于任意正實(shí)數(shù)a功=例如

1O*21=V1OZ+21=11,那么g?（V7*2）的運(yùn)算結(jié)果為（）

A.13B.7C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)新運(yùn)算的定義計(jì)算即可.

【詳解】解：:a*b=y/a2+b?

（V7?2）

（⑺2+2

=V13?V9

=履?3

同+3

=V16

=4,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義，算術(shù)平方根，理解運(yùn)用新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【題型9實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】

【例9】（23-24八年級?福建莆田?期中）虹勝廣場要建一個(gè)占地面枳4000平方米的花園，現(xiàn)有兩種方案：一

種是建正方形花園，一種是建圓形花園，如果你是設(shè)計(jì)者，你能估算出兩種花園的圍墻有多長嗎（誤差小

于I米）？如果你是投資者，你會選擇哪種方案，為什么？

【答案】圓形廣場圍墻224.2米，正方形廣場圍墻253.0米，選擇圓形廣場的建設(shè)方案，理由見詳解

【分析】分別計(jì)算出圓形花園和正方形花園所需圍墻的長度，比較即可作答.

【詳解】當(dāng)為圓形時(shí)，設(shè)圓的半徑為r,則有：?rr2=4000,

即：r=探（負(fù)值舍去），

則此時(shí)花園的圍墻為：2nr=2Trx舊=40丁而k224.2（米）；

當(dāng)廣場為正方形時(shí)，設(shè)正方形邊長為原則有：a2=4000,

即：a=V4000（負(fù)值舍去），

則此時(shí)花園的圍墻為：4a=4xN^^OOO=80A/10?253.0（米）；

V253.0>224.2,

???建造成圓形時(shí)，廣場的圍墻會更短，

則建造成本更低，

工作為投資商，會選擇建圓形花園.

【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)的大小的比較在實(shí)際生活中的應(yīng)用，所以學(xué)生在學(xué)這一部分時(shí)一定要聯(lián)系實(shí)際，

不能死學(xué).

【變式9-1］（23-24八年級.廣西玉林?期中）某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過10（）千米/時(shí)，當(dāng)發(fā)生

交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是v=T6再

其中u表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過的距原（單位：米），/表示摩擦系數(shù).在一次交

通事故中，經(jīng)測量d=32米，/=2,請你判斷一下，肇事汽車當(dāng)時(shí)是否超速了.

【答案】肇事汽車當(dāng)時(shí)的速度超出了規(guī)定的速度.

【分析】先把d=32米，戶2分別代入v=16歷，求出當(dāng)時(shí)汽車的速度再和100千米/時(shí)比較即可解答.

【詳解】解：把占32,戶2代入v=16歷，

v=!6V32X2=128（km/h）,

V128>100,

???肇事汽車當(dāng)時(shí)的速度超出了規(guī)定的速度.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，另外要熟悉實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算.

【變式9-2］（23-24?湖南長沙?一模）五一返校上課后，為了表揚(yáng)在假期依舊認(rèn)真完成數(shù)學(xué)作業(yè)的小函和小韜

同學(xué)，數(shù)學(xué)老師決定在某外賣平臺上點(diǎn)2杯單價(jià)都是16元的奶茶獎(jiǎng)勵(lì)他們.從奶茶店到學(xué)校的每份訂單配

送費(fèi)都為1.6元，由于數(shù)學(xué)老師是該平臺的會員，因此每單都可以使用一個(gè)平臺贈(zèng)送的5元平臺紅包對每份

訂單的總價(jià)減免5元（訂單總價(jià)不含配送費(fèi)，同一訂單只允許使用一個(gè)紅包）.但根據(jù)該奶茶店的優(yōu)惠活

動(dòng)，當(dāng)訂單總價(jià)（不含配送費(fèi)）滿30元時(shí)，5元的平臺紅包可兌換為一個(gè)7元的店家紅包，即可以給訂單

總價(jià)（不含配送費(fèi)）減免7元當(dāng)數(shù)學(xué)老師同時(shí)點(diǎn)了2杯奶茶準(zhǔn)條下單付款時(shí)，小函同學(xué)說：“老師，我們可

以換一種下單方式，優(yōu)惠更多！”請同學(xué)們分析小函同學(xué)的下單方式，并計(jì)算出本次外賣總費(fèi)用（包含配送

費(fèi)）最低可為元?

【答案】25.2

【分析】分別計(jì)算兩種下單的方式，比較哪一種總費(fèi)用更低即可.

【詳解】第一種下單方式為直接購買兩杯奶茶

合計(jì)費(fèi)用為：16+16+1.6-7=26.6元

第二種下單方式為下兩個(gè)訂單，每個(gè)訂單買一杯奶茶

合計(jì)費(fèi)用為：（16+1.6-5）x2=25.2元

故選擇第二種更劃算，最低費(fèi)用為25.2元

故答案為:25.2.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，分類討論是解題的關(guān)健.

【變式9-3]（23-24八年級?安徽螞埠?期中）如圖，長方形4BCD的長為2cm,寬為1cm.

DC

A2B

（1）將長方形A8CD進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指睿ó嫵龇指罹€），使分割后的圖形能拼成一個(gè)正方形，并畫出所拼的正

方形；（標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)和數(shù)據(jù)）

（2）求所拼正方形的邊長.

【答案】（1）分割方法不唯一，婦圖，見解析；（2）拼成的正方形邊長為近c(diǎn)m.

【分析】（1）根據(jù)AB=2AD,可找到CD的中點(diǎn)，即可分成兩個(gè)正方形，再沿對角線分割一次，即可補(bǔ)全

成一個(gè)新的正方形;

（2）設(shè)拼成的正方形邊長為雙m,根據(jù)面積相等得到方程，即可求解.

【詳解】（1）如圖,

VAB=2AD,找到CD.AB的中點(diǎn)，如圖所示，可把矩形分割成4個(gè)等腰直角三角形，再拼成一個(gè)新的正方

形;

(2)設(shè)拼成的正方形邊長為%cm,根據(jù)題意得/=1x2=2,

x=V2(負(fù)值舍去)

答：拼成的正方形邊長為/cm.

【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的特點(diǎn)進(jìn)行分割.

【題型10實(shí)數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探究】

【例10】(23-24.湖北黃岡.模擬預(yù)則)對于正整數(shù)a,我們規(guī)定：若Q為奇數(shù)，則/"(a)=3a+1：若Q為偶數(shù),

則/⑷=+例如f(15)=3x15+1=46,/(10)=弓=5,若%=8,a2=/(%),a3=/(a2),a4=f(a3),

...?依此規(guī)律進(jìn)行下大，得到一歹U數(shù)由，%，。3,。4,…，/i，…，E為正整數(shù))，at+a2+a34h?2022=.

【答案】4725

【分析】按照規(guī)定：若a為奇數(shù)，則/'(a)=3a+l；若a為偶數(shù)，則/(a)=%直接運(yùn)算得;1%、。3、。4、的、

與…進(jìn)一步找出規(guī)律解決問題.

【詳解】解：QI=8,。2=5=4，Q3=g=2,。4=|=1,a5=1x3+1=4,a6=^=2,

這一列數(shù)按照除陽外，按照4、2、1三個(gè)數(shù)一循環(huán)，

???(2022-1)+3=673……2,