指數(shù)函數(shù)試題及答案分析姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共25分）

1.指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x（a>0，a≠1）的定義域是：

A.R

B.(-∞,+∞)

C.(0,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,+∞)

2.若指數(shù)函數(shù)f(x)=2^x在x=1時取得最小值，則a的值為：

A.2

B.1/2

C.1

D.-1

3.若函數(shù)f(x)=a^x（a>0，a≠1）的圖像經(jīng)過點(2,4)，則a的值為：

A.2

B.1/2

C.4

D.1/4

4.若指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x（a>0，a≠1）的圖像與y=x相交于點(1,1)，則a的值為：

A.1

B.2

C.1/2

D.-1

5.若函數(shù)f(x)=a^x（a>0，a≠1）在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是：

A.0<a<1

B.a>1

C.0<a<1或a>1

D.a≤0或a≥1

二、填空題（每題5分，共25分）

1.若指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x（a>0，a≠1）在x=0時取得最大值，則a的值為______。

2.指數(shù)函數(shù)f(x)=2^x與y=x的交點坐標為______。

3.若函數(shù)f(x)=a^x（a>0，a≠1）在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是______。

4.指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x（a>0，a≠1）的圖像經(jīng)過點(1,1)，則a的值為______。

5.若函數(shù)f(x)=a^x（a>0，a≠1）在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______。

三、解答題（每題10分，共20分）

1.已知指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x（a>0，a≠1）的圖像經(jīng)過點(0,1)，且在x=1時取得最小值，求a的值。

2.求證：指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x（a>0，a≠1）在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增的充分必要條件是a>1。

四、應用題（每題10分，共20分）

1.一筆存款以年利率r（r>0）復利增長，已知初始存款為P，求n年后存款的總額A。

2.某商品原價為P元，每經(jīng)過一年，價格按照指數(shù)函數(shù)形式增長，增長率為p（p>0），求t年后商品的價格。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：對于任意的正實數(shù)a和b，有a^b*b^a≥e^(a+b)。

2.證明：指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x（a>0，a≠1）的圖像在x軸右側(cè)（x>0）是凹的。

六、綜合題（每題10分，共20分）

1.已知指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x（a>0，a≠1）的圖像在x軸右側(cè)（x>0）是凸的，且在x=2時取得最大值，求a的值。

2.一項投資以年利率r（r>0）進行復利增長，初始投資額為P，求多少年后投資額達到或超過初始投資額的10倍。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.答案：A

解析：指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x的定義域為所有實數(shù)，因此選擇A。

2.答案：B

解析：指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x在x=1時取得最小值，意味著a^1是a的所有冪次中最小的，所以a=1/2。

3.答案：A

解析：由f(x)=a^x，代入x=2得a^2=4，解得a=2。

4.答案：B

解析：由f(x)=a^x，代入x=1得a^1=1，解得a=1。

5.答案：B

解析：指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增，意味著a必須大于1。

二、填空題答案及解析：

1.答案：1

解析：指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x在x=0時取得最大值，意味著a^0是a的所有冪次中最大的，所以a=1。

2.答案：(1,1)

解析：指數(shù)函數(shù)f(x)=2^x與y=x相交于點(1,1)，因為當x=1時，2^x=2，所以交點坐標為(1,1)。

3.答案：0<a<1

解析：指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減，意味著0<a<1。

4.答案：2

解析：指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x的圖像經(jīng)過點(1,1)，代入得a^1=1，解得a=2。

5.答案：a>1

解析：指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增，意味著a必須大于1。

三、解答題答案及解析：

1.答案：a=1/2

解析：由題意知，f(x)=a^x在x=0時取得最大值，所以a^0是a的所有冪次中最大的，即a=1/2。

2.答案：證明如下：

-充分性：若a>1，則對于任意的x1<x2，有a^(x2)>a^(x1)，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增。

-必要性：若f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增，則對于任意的x1<x2，有f(x2)>f(x1)，即a^(x2)>a^(x1)，由于a>0，所以a^(x2-x1)>1，即x2-x1>0，所以a>1。

四、應用題答案及解析：

1.答案：A=P(1+r)^n

解析：復利增長公式為A=P(1+r)^n，其中A為n年后的存款總額，P為初始存款，r為年利率，n為年數(shù)。

2.答案：t年后商品的價格為P(1+p)^t

解析：指數(shù)增長公式為P(1+p)^t，其中P為原價，p為增長率，t為年數(shù)。

五、證明題答案及解析：

1.答案：證明如下：

-由均值不等式，對于任意的正實數(shù)a和b，有(a+b)/2≥√(ab)，即a^b*b^a≥(a+b)^2。

-由于e^(a+b)=e^a*e^b，且e^x是增函數(shù)，所以e^(a+b)≥(a+b)^2。

-綜合以上，得a^b*b^a≥e^(a+b)。

2.答案：證明如下：

-指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x的導數(shù)為f'(x)=a^x*ln(a)。

-由于a>0，ln(a)為正，所以f'(x)>0，即f(x)在x軸右側(cè)（x>0）是凹的。

六、綜合題答案及解析：

1.答案：a=1/2

解析：指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x在x=2時