數(shù)論-整除-整除的判定-3星題課程目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率整除的判定C1、理解并掌握整除的一些基本性質(zhì)。

2、熟練運(yùn)用整除的基本性質(zhì)解決基本的整除問題。

3、能夠結(jié)合數(shù)論的相關(guān)知識(shí)綜合應(yīng)用。少考知識(shí)提要整除的判定整除的判定

1、末位判定法

一個(gè)數(shù)的末位能被2或5整除，這個(gè)數(shù)就能被2或5整除；

一個(gè)數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個(gè)數(shù)就能被4或25整除；

一個(gè)數(shù)的末三位能被8或125整除，這個(gè)數(shù)就能被8或125整除；

2、數(shù)字求和法

一個(gè)數(shù)個(gè)位數(shù)字之和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除；

一個(gè)數(shù)各位數(shù)字之和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除；

3、奇偶位求差法

如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)能被11整除；

簡(jiǎn)稱：奇位和與偶位和的差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)能被11整除。

4、截?cái)嘧骱?/p>

如果一個(gè)數(shù)從個(gè)位開始每?jī)晌灰唤?，得到的所有兩位?shù)（最前面的可以是一位數(shù)）之和能被99整除，那么這個(gè)數(shù)就能被99整除。

5、截?cái)嘧鞑?/p>

對(duì)于位數(shù)較小數(shù)的數(shù)：如果一個(gè)整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整

除，那么這個(gè)數(shù)能被7、11或13整除；

對(duì)于位數(shù)較大數(shù)的數(shù)：如果一個(gè)整數(shù)，從個(gè)位開始每三位一截，奇數(shù)段之和與偶數(shù)段之和的差能被7、11或13整

除，那么這個(gè)數(shù)能被7、11或13整除。

整除的性質(zhì)

性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。

性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a。 性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a。 性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 精選例題整除的判定1.將從1開始到25的連續(xù)的自然數(shù)相乘，得到1×2×3×?×25．記為25!（讀作25的階乘）．用3除25!，顯然，25!被3整除，得到一個(gè)商：再用3除這個(gè)商，??，這樣一直用除下去，直到所得的商不能被3整除為止，那么，在這個(gè)過程中用3整除了

次．【答案】

10【分析】

求1×2×3×?×25中因數(shù)的個(gè)數(shù)，25÷3=8??1，8÷3=2??2，整除了8+2=10次．2.把三位數(shù)3ab接連重復(fù)寫下去，共寫1993個(gè)3ab，所得的數(shù)3ab3ab?3ab?1993個(gè)3ab恰是91的倍數(shù)，試求【答案】

64【分析】

因?yàn)?1=7×13，所以73ab3ab?3ab?1993個(gè)3ab,133ab3ab?3ab?1993個(gè)3ab，由截?cái)喾?，最后轉(zhuǎn)化成3ab能被7和13都整除，即能被3.在小于5000的自然數(shù)中，能被11整除，并且數(shù)字和為13的數(shù)，共有

個(gè)．【答案】

18【分析】

按照位數(shù)分類討論，如下：（1）一位數(shù)：0個(gè)；（2）兩位數(shù)：11、22??99；0個(gè)；（3）三位數(shù)：設(shè)這個(gè)三位數(shù)為abc，有a+b+c=13和a+c-b=11，則a+c=12,b=1，所以符合的有913,814,715,616,517,418,319，共7個(gè)；（4）四位數(shù)：設(shè)這個(gè)四位數(shù)為abcd，①a+b+c+d=13和a+c-a+c=12,b+d=1,則a=3或a=4有2種組合，b和d有2種．共4個(gè)；②a+b+c+d=13和b+d-a+c=1,b+d=12,則只能a=1，c=0，b和d有7種組合，綜上所述，這樣的數(shù)有7+4+7=18個(gè)．4.在523后面寫出三個(gè)數(shù)字，使所得的六位數(shù)被7、8、9整除．那么這三個(gè)數(shù)字的和是

．【答案】

17或8【分析】

這個(gè)數(shù)能被7,8,9整除，相當(dāng)于能被[7,8,9]=7×8×9=504整除，523999÷504=1039??343，所以所得六位數(shù)是523999-343=523656，或523656-504=523152，因此三個(gè)數(shù)字的和是17或8．5.在算式：2×???=???的六個(gè)方框中，分別填入2，3，4，5，6，7這六個(gè)數(shù)字，使算式成立，并且算式的積能被13整除，那么這個(gè)乘積是

．【答案】

546【分析】

先從個(gè)位數(shù)考慮，有2×2=4、2×3=6、2×6=12、2×7=14四種可能；再考慮乘數(shù)的百位只能是2或3，因此只有三種可能的填法：2×273=546，2×327=654，2×267=534，其中只有546能被13整除，所以這個(gè)積是546．6.若六位數(shù)a2016b能被12整除，則這樣的六位數(shù)有

個(gè)．【答案】

9【分析】

12=3×4.先考慮能被4整除，則b=0,4,8，再考慮能被三整除①b=0時(shí)，要使各位數(shù)字之和能被3整除a=3,6,9故有3種；②b=4時(shí)，要使各位數(shù)字之和能被3整除a=2,5,8故有3種；③b=8時(shí)，要使各位數(shù)字之和能被3整除a=1,4,7故有3種；綜上符合題意的六位數(shù)有：320160，620160，920160，220164，520164，820164，120168，420168，720168．共9個(gè)7.給定一個(gè)除數(shù)（不為0）與被除數(shù)，總可以找到一個(gè)商與一個(gè)余數(shù)，滿足被除數(shù)其中，0?余數(shù)<除數(shù)請(qǐng)寫出所有不超過88并且能夠被6整除的大于1的自然數(shù)有

．【答案】

6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84．【分析】

能被6整除的數(shù)一定為6的倍數(shù)，并且要求不超過88．所以有6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84．8.能被5和6整除，并且數(shù)字中至少有一個(gè)6的三位數(shù)有

個(gè)．【答案】

6【分析】

能被5和6整除，也就是能被5、2、3整除，因此個(gè)位必須是0，且數(shù)字和是3的倍數(shù)，故這個(gè)三位數(shù)有：600，630，660，690，360，960，共6個(gè)．9.有一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)字是最小的質(zhì)數(shù)，十位數(shù)字是算式(0.3+π×13)的結(jié)果中的小數(shù)點(diǎn)后第1位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字是三位數(shù)中能被17整除的最小數(shù)的個(gè)位數(shù)字，則這個(gè)三位數(shù)是

．（π取3.14）【答案】

212【分析】

百位數(shù)字是最小的質(zhì)數(shù)即2；0.3+π×13=41.12,即十位數(shù)字是1；能被17整除的最小三位數(shù)102，個(gè)位數(shù)字是2，所以這個(gè)三位數(shù)是212．10.一個(gè)五位數(shù)恰好等于它各位數(shù)字和的2007倍，則這個(gè)五位數(shù)是

．【答案】

36126或54189【分析】

設(shè)這個(gè)五位數(shù)為abcde，由題意abcde=2007(a+b+c+d+e)，由于9∣2007，可得9∣abcde，則有9∣(a+b+c+d+e)2007×9=18063，這個(gè)五位數(shù)是18063的倍數(shù)，只可能為：18063,36126,54189,72252,90315．經(jīng)檢驗(yàn)，36126和54189符合題意．11.如果一個(gè)五位數(shù)，它的各位數(shù)字乘積恰好是它的各位數(shù)字和的25倍．那么，這個(gè)五位數(shù)的前兩位的最大值是

．【答案】

75【分析】

5個(gè)數(shù)字分別為a、b、c、d、e，a×b×c×d×e=25(a+b+c+d+e),a、b、c、d、e中有兩個(gè)5，設(shè)d=e=5，則a×b×c=a+b+c+10.（1）如果a=9，則9bc=b+c+19，即b+c+19是9的倍數(shù)，b+c可以為8或17，若b+c=8，則bc=3，若b+c=17，則bc=4，這兩種情況下都沒有滿足條件的整數(shù)b、c；（2）如果a=8，則8bc=b+c+18，即b+c+18是8的倍數(shù)，b+c可以為6或14，若b+c=6，則bc=3，若b+c=14，則bc=4，這兩種情況下也沒有滿足條件的整數(shù)b、c；（3）如果a=7，則7bc=b+c+17，即b+c+17是7的倍數(shù)，b+c可以為4或11或18，若b+c=4，則bc=3，若b+c=11，則bc=4，若b+c=18，則bc=5，只有第一種情況下有滿足條件的整數(shù)b、c，此時(shí)b=1，c=3，組成五位數(shù)的5個(gè)數(shù)字分別為7，5，5，3，1，所以這個(gè)五位數(shù)的前兩位的最大值是75．12.從左向右編號(hào)為1至1991號(hào)的1991名同學(xué)排成一行．從左向右1至11報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為11的同學(xué)原地不動(dòng)，其余同學(xué)出列；然后留下的同學(xué)再?gòu)淖笙蛴?至11報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為11的同學(xué)留下，其余的同學(xué)出列；留下的同學(xué)第三次從左向右1至11報(bào)數(shù)，報(bào)到11的同學(xué)留下，其余同學(xué)出列．那么最后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個(gè)人的最初編號(hào)是

．【答案】

1331【分析】

第一次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)，他們最初編號(hào)都是11的倍數(shù)；第二次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)，他們最初編號(hào)都是112=121的倍數(shù)；第三次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)，他們最初編號(hào)都是11313.將最小的10個(gè)合數(shù)填到圖中所示表格的10個(gè)空格中，要求滿足以下條件：（1）填入的數(shù)能被它所在列的第一個(gè)數(shù)整除；（2）最后一行中每個(gè)數(shù)都比它上面那一格中的數(shù)大．那么，最后一行中5個(gè)數(shù)的和最小是

．【答案】

66【分析】

最小的10個(gè)合數(shù)分別是4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．這10個(gè)合數(shù)當(dāng)中10和15一定是在5的下面，其中15在最后一行；4、8、14、16一定是在2和4下面，其中14一定在2的下面；剩下的6、9、12、18在3或6下面，其中9一定在3的下面，對(duì)2和4所在的列和3和6所在的列分別討論．4、8、14、16，這四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)16一定在最后一行，最小的數(shù)4一定在第二行，所以2和4所在的列中最后一行的數(shù)的和最小是16+8=24，當(dāng)14、16在2下面，4和8在4下面時(shí)成立；6、9、12、18，這四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)18一定在最后一行，最小的數(shù)6一定在第二行，所以3和6所在的列中最后一行的數(shù)的和最小是18+9=27，當(dāng)12和18在6下面，6和9在3下面時(shí)成立．所以最后一行的5個(gè)數(shù)的和最小是24+15+27=66．14.已知一個(gè)五位回文數(shù)等于45與一個(gè)四位回文數(shù)的乘積（即abcba=45×deed），那么這個(gè)五位回文數(shù)最大的可能值是【答案】

59895【分析】

根據(jù)題意：abcba=45×deed，則abcba為45的倍數(shù)，所以a應(yīng)為0或5，又a還在首位，所以a=5，現(xiàn)在要讓abcba盡可能的大，首先需要位數(shù)高的盡可能的大，所以令b=9，c=8，則a+b+c+b+a=36是9的倍數(shù)，用59895÷45=1331符合條件，所以，這個(gè)五位回文數(shù)最大的可能值是15.N是一個(gè)各位數(shù)字互不相等的自然數(shù)，它能被它的每個(gè)數(shù)字整除．N的最大值是

．【答案】

9867312【分析】

N不能含有0，因?yàn)?不能做除數(shù)．N不能同時(shí)含有5和偶數(shù)，因?yàn)榇藭r(shí)N的個(gè)位將是0．如果含有5，則2,4,6,8都不能有，此時(shí)位數(shù)不會(huì)多．如果N只缺少5，則含有1,2,3,4,6,7,8,9，但是數(shù)字和為40，不能被9整除．所以必須再去掉一位，為了最大，應(yīng)該保留9放到最高位，為了使數(shù)字和被9整除，還需要去掉4．此時(shí)由1,2,3,6,7,8,9組成，肯定被9整除，還需要考慮被7和8整除．前四位最大為9876，剩下三個(gè)數(shù)字組成的被8整除的三位數(shù)為312,9876312被7除余5；前四位如果取9873，剩下三個(gè)數(shù)字組成的被8整除的三位數(shù)為216,9873216被7除余3；前四位如果取9872，剩下三個(gè)數(shù)字組成的被8整除的三位數(shù)為136,9872136被7除余1；前四位如果取9871，剩下三個(gè)數(shù)字組成的被8整除的三位數(shù)為632,9871632被7除余1；前四位如果取9867，剩下三個(gè)數(shù)字組成的被8整除的三位數(shù)為312,9867312被7整除．16.222?2?2000個(gè)“2”【答案】

9【分析】

我們發(fā)現(xiàn)222222整除13，2000÷6余2，所以答案為22÷13余9．17.一個(gè)大于1的自然數(shù)去除300，243，205時(shí)，得到相同的余數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)是

．【答案】

19【分析】

300-243=57，243-205=38，所以這個(gè)數(shù)是57，38的大于1的公約數(shù)，而57，38的公約數(shù)只有1和19，所以所求自然數(shù)為19．18.對(duì)于自然數(shù)N，如果在1?9這九個(gè)自然數(shù)中至少有六個(gè)數(shù)可以整除N，則稱N是一個(gè)“六合數(shù)”，則在大于2000的自然數(shù)中，最小的“六合數(shù)”是

．【答案】

2016【分析】

六合數(shù)肯定是1的倍數(shù)，所以剩余8個(gè)數(shù)中有5個(gè)可以整除六合數(shù)，2?9中有4個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，所以5個(gè)可以整除六合數(shù)的數(shù)字中至少有1個(gè)偶數(shù)，所以六合數(shù)也肯定是2的倍數(shù)。大于2000的偶數(shù)有2002，2004，2006，2008，2010，2012，2014，2016，??2002＝2×7×11×13,只能被1，2，2004＝22×3×167,只能被1，2，3，4，2006＝2×1003,只能被1，2008＝23×251只能被1，2，4，2010＝2×3×5×67,只能被1，2，3，5，2012＝22×503，只能被1，2，2014＝2×1007,只能被1，2016＝25×32×7,能被1，2，3，4，6，7，8，19.若十位數(shù)a2016b2017能被33整除，那么，這樣的十位數(shù)有

個(gè)．【答案】

3【分析】

被33整除，能拆成同時(shí)滿足被3和11整除，被3整除得到：a+b=2，5，8，11，14或17被11整除得到：a-b=1,所以共有a=3,這3種情況．20.老師讓菲菲從1?9這9個(gè)數(shù)字中選取4個(gè)不同的數(shù)字，組成一個(gè)四位數(shù)，使得這個(gè)四位數(shù)能被所有她沒有選中的數(shù)整除，但不能被選中的任意一個(gè)數(shù)字整除，那么，菲菲組成的四位數(shù)是

．【答案】

5936【分析】

設(shè)：改四位數(shù)為ABCD：①顯然ABCD不含1；②ABCD含5．若ABCD不含5，1?9除5外不能排列成5的倍數(shù)；所以ABCD含5③ABCD不含2．若ABCD含2．說明2不被ABCD整除，所以ABCD的四個(gè)數(shù)字為2,4,6,8組成的四位數(shù)必為偶數(shù)，矛盾；所以ABCD不含2．④ABCD含9．若ABCD不含9，說明9不被整除ABCD，則ABCD必須不含3,6，所以的四個(gè)數(shù)字為4,5,7,8,不可能被整9除；所以ABCD含9⑤ABCD不含4．若ABCD含4，說明4不被整除ABCD，則ABCD必須含8，所以ABCD的四個(gè)數(shù)字為5,4,8,9,不可能被3整除；所以ABCD必須不含4⑥ABCD含6若ABCD不含6，說明6不被整除必須不含3，所以ABCD的四個(gè)數(shù)字為5,7,8,9，不可能被3整除；所以ABCD必須不含4⑦ABCD含3若ABCD不含3，則ABCD的四個(gè)數(shù)字為5,7,6,9，能被9整除；所以ABCD必含3綜上所述．的四個(gè)數(shù)字為3、5、6、9．為使這個(gè)四位數(shù)能被8整除，個(gè)位必須為621.對(duì)于自然數(shù)N，如果在1～9這九個(gè)自然數(shù)中至少有六個(gè)數(shù)是N的因數(shù)，則稱N是一個(gè)“六合數(shù)”，則在大于2000的自然數(shù)中，最小的“六合數(shù)”是

．【答案】

2016【分析】

N為奇數(shù)，則2、4、6、8不是N的因數(shù)，所以N為偶數(shù)．當(dāng)N不為3的倍數(shù)，則N不為6的倍數(shù)，N不為9的倍數(shù)，所以，必須滿足其他條件，是8、7、5的倍數(shù)，N>2000，最小是2240．當(dāng)N為3的倍數(shù)．那么N為6的倍數(shù)．N>2000，當(dāng)N=2004時(shí)，5不能整除2004，7不能整除2004，8不能整除2004，9不能整除2004，不滿足題意；當(dāng)N=2010時(shí)，4不能整除2010，7不能整除2010，8不能整除2010，9不能整除2010，不滿足題意；則N最小為2016．22.abc是三位數(shù)，若a是奇數(shù)，且abc是3的倍數(shù)，則最小是

．【答案】

102【分析】

a為奇數(shù)，且要求最小，則a=1，b=0．又要求為3的倍數(shù)，則a+b+c為3的倍數(shù)，所以b=0，c=2．23.若六位數(shù)201ab7能被11和13整除，則兩位數(shù)ab=

【答案】

48【分析】

由11的整除特征可知：(7+a+0)-(2+1+b)=a+4-b=0若a+4-b=11,a-b=7,只有8-1=9-2=7,六位數(shù)201817、201927都不能被13整除．若a+4-b=0,則a+4=b,只有0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9等情況，構(gòu)成的六位數(shù)201047，201157，201267，201377，201487，201597中只有201487能被13整除，則ab=4824.若四位數(shù)2AB7能被13整除，則兩位數(shù)AB的最大值是

．【答案】

97【分析】

13∣2007÷13??5,所以AB013∣利用數(shù)字謎或倒除法，可確定AB=97．?dāng)?shù)字謎方法如下：根據(jù)乘積的個(gè)位，可確定第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位為5，因?yàn)闃?gòu)造最大值，所以十位為最大為7，積為97525.若四位數(shù)2ABC能被13整除，則A+B+C的最大值是

．【答案】

26【分析】

因1001=7×11×13,能被13整除的特征：“末三位數(shù)字組成的數(shù)”與“末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)”之差能被13整除；ABC-2是13的倍數(shù)，ABC-2最大為988，ABC可以是990，977，964，??數(shù)字和比9+7+7大的有：9、7、8與9、8、8與9、8、9和9、9、9，百位是9的排除，百位是8有(899-2)÷13=897÷13=69,則8+9+9=26.26.有20個(gè)約數(shù)，且被42整除最小的自然數(shù)是

．【答案】

336【分析】

因?yàn)楸?2整除，所以一定含有質(zhì)因數(shù)2，3，7．20=1×20=2×10=4×5=2×2×5,有20個(gè)約數(shù)的自然數(shù)有：因?yàn)楸仨毢?個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)，所以最小的只能是：2×2×2×2×3×7=336;所以有20個(gè)約數(shù)且被42整除的最小自然數(shù)是336．27.非零數(shù)字a，b，c能組成6個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且這6個(gè)數(shù)的和是5994，則這6個(gè)數(shù)中的任意一個(gè)數(shù)都

被9整除（填”能”或“不能”）．【答案】

不能．【分析】

a，b，c組成的所有三位數(shù)都是由a，b，c三個(gè)數(shù)字組成，且a，b，c在個(gè)位、十位、百位都出現(xiàn)兩次，所以和應(yīng)該為：(a+b+c)×2×1+(a+b+c)×2×10+(a+b+c)×2×100=5994,a+b+c=27,a=b=c=9,與題意矛盾，故不能．28.找出4個(gè)不同的自然數(shù)，使得對(duì)于其中任何兩個(gè)數(shù)，它們的和總可以被它們的差整除．如果要求這4個(gè)數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)的和盡可能的小，那么這4個(gè)數(shù)里中間兩個(gè)數(shù)的和是多少？【答案】

7【分析】

我們?cè)O(shè)這四個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)為a，要求4個(gè)最大的數(shù)與最小的數(shù)的和盡可能小，則先盡量讓a最?。?dāng)a=1，設(shè)4個(gè)數(shù)中另外三個(gè)數(shù)中某個(gè)數(shù)為b，有b+1b-1等必須為整數(shù)，而b+1b-1=1+2b-1，則2能被(b-1)整除，顯然(b-1)只能為2或1，對(duì)應(yīng)b只能是3當(dāng)a=2，設(shè)4個(gè)數(shù)中另外三個(gè)數(shù)中某個(gè)數(shù)為c，有c+2c-2必須為整數(shù)，而c+2c-2=1+4c-2，則4能被(c-2)整除，有(c-2)可以為4、2、1，對(duì)應(yīng)c可以為6驗(yàn)證6、4、3、2是滿足條件的數(shù)組，它們的中間兩個(gè)數(shù)的和為4+3=7即為題中條件下的和．29.已知整數(shù)1a2a3a4a5a能被11整除，求所有滿足著個(gè)條件的整數(shù)．【答案】

1323334353【分析】

因?yàn)?1整除1a2a3a4a5a，所以根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征可知： 1+2+3+4+5的和與5a之差應(yīng)是11的倍數(shù)，5a-15是11的倍數(shù)，可以是0，11，-11，22，-22?只有當(dāng)a=3時(shí)，11∣15-5a．符合題意的整數(shù)只有1323334353．30.（1）判斷下列各數(shù)，哪些能被4、8、25、125、3、9、11整除：437250、96255、42104、6875、752604、308；（2）判斷1027、45038，哪個(gè)能被13整除，哪個(gè)能被7整除？【答案】

（1）能被4整除的：42104、752604、308；能被8整除：42104；能被25整除的：437250、6875；能被125整除的：6875；能被3整除的：437250、96255、752604；能被9整除：96255；能被11整除的：6875、308；（2）1027能被13整除；45038能被7整除．【分析】

（1）能被4整除的：42104、752604、308；能被8整除：42104；能被25整除的：437250、6875；能被125整除的：6875；能被3整除的：437250、96255、752604；能被9整除：96255；能被11整除的：6875、308；（2）1027能被13整除；45038能被7整除．31.有一個(gè)四位數(shù)3aa1，它能被9整除，則a代表幾？【答案】

7【分析】

根據(jù)被9整除的數(shù)的性質(zhì)： 9∣32.用1,2,3,4各一次組成四位數(shù)，使得它是11的倍數(shù)．有多少種不同的方法？【答案】

8．【分析】

用1,2,3,4各一次組成四位數(shù)，四個(gè)數(shù)字的和為10，若為11的倍數(shù)，則奇位和與偶位和的差只能為0，奇位填1,4，偶位填2,3，考慮到1,4可以互換，2,3可以互換，故共有2×2=4種填法，同理奇位填2,3，偶位填1,4，也有4種填法，共8種填法．33.用1,2,3,4,5,8,9組成不重復(fù)的七位數(shù)，其中有多少個(gè)能被11整除？【答案】

432．【分析】

能被11整除，說明這個(gè)七位數(shù)奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和的差是11的倍數(shù)，而奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和的和是1+2+3+4+5+8+9=32，那么奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和可以都是16，或者是27和5，后面這種情況不可能，偶數(shù)位有3個(gè)數(shù)字，和為16可能是9+5+2,9+4+3,8+5+3，那么一共可以組成A44×34.用數(shù)字6，7，8各兩個(gè)，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能被168整除，這個(gè)六位數(shù)是多少？【答案】

768768【分析】

因?yàn)?68＝8×3×7，所以組成的六位數(shù)可以被8、3、7整除，能夠被8整除的數(shù)的特征是末三位組成的數(shù)一定是8的倍數(shù)，末兩位組成的數(shù)定是4的倍數(shù)，末位為偶數(shù)，在題中條件下，驗(yàn)證只有688、768是8的倍數(shù)，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍數(shù)，abcabc形式的數(shù)一定是7、11、13的倍數(shù)，所以768768一定是7的倍數(shù)，???688的?不管怎么填都得不到7的倍數(shù)．至于能否被3整除可以不驗(yàn)證，因?yàn)檎?的數(shù)的規(guī)律是數(shù)字和為3的倍數(shù)，在題中給定的條件下，不管怎么填數(shù)字和都是定值，所以768768能被35.173?是個(gè)四位數(shù)，數(shù)學(xué)老師說：“我在這個(gè)?中先后填入3個(gè)數(shù)字，所得到的3個(gè)四位數(shù)，依次可被9、11、6整除，”問：數(shù)學(xué)老師先后填入的3個(gè)數(shù)字的和是多少？【答案】

19【分析】

用1730試除，1730÷9＝192?2，1730÷11＝157?3，1730÷6＝288?2，所以依次添上(9-2＝)7、(11-3＝)8、(6-2＝)4后得到的1737、36.三個(gè)連續(xù)自然數(shù)依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么這三個(gè)自然數(shù)最小為多少？【答案】

20；21；22【分析】

設(shè)這三個(gè)自然數(shù)分別為x-1，x，x不看三個(gè)數(shù)，只用兩個(gè)數(shù)做和諧．???5????7其倍數(shù)x-1???x其倍數(shù)2x-2??2x其倍數(shù)2x-7??2x-7所以2x-7既是5的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，那么2x-7是35的倍數(shù)．設(shè)2x-7＝35k，觀察當(dāng)k是多少的時(shí)候，x＋1是11的倍數(shù)．從k＝1開始，x＝21，則x＋37.一個(gè)四位數(shù)各個(gè)數(shù)字都不相同，且這個(gè)數(shù)字能被13整除，則這個(gè)數(shù)最大是多少？【答案】

9867【分析】

最值思想，先找到最大的四位數(shù)9876，然后試除9876÷13??9,即最大的四位數(shù)為9876-9=9867.38.在所有各位數(shù)字之和等于34，且能被11整除的四位數(shù)中最大的一個(gè)是多少？最小的一個(gè)是多少？【答案】

9988；8899【分析】

最大9988，最小8899；abcd四位數(shù)，根據(jù)能被11整除的特征(d+b)-(c+a)能被11整除包括0．假設(shè)d+b=x?c+a=y?x+y=34,因?yàn)閤跟y都是2個(gè)個(gè)位數(shù)之和，所以x跟y都是小于20的數(shù)．能夠看出x跟y都是17，既x-y=0可以假設(shè)x-y=11或者更大（比如22、33、44）結(jié)果得出都是不行的．自己可以算算看．17=8+9其他都不符．39.有八個(gè)連續(xù)三位數(shù)，第1個(gè)數(shù)被1整除、第2個(gè)數(shù)被2整除、第3個(gè)數(shù)被3整除、??依此類推；那么第7個(gè)數(shù)字是多少？【答案】

847【分析】

設(shè)第7個(gè)數(shù)也就是7的倍數(shù)的為N；N的前一個(gè)數(shù)N-1應(yīng)是6的倍數(shù)，即必須是能被3整除的偶數(shù)，所以應(yīng)考察的7的倍數(shù)為奇數(shù)；N的前面第二個(gè)數(shù)N-2應(yīng)是被5整除的數(shù)，故N應(yīng)是以7結(jié)尾的數(shù)；綜上，應(yīng)從以7為結(jié)尾的7的倍數(shù)的三位數(shù)中找N，并且，由于N-1被6整除，而N以7結(jié)尾，故N的百位和十位數(shù)字組成的兩位數(shù)應(yīng)被3整除；所以，所求的N應(yīng)是217、427、637、847中的一個(gè)；而N+1被8整除，則排除218、428、638，只有848滿足；所以第七個(gè)數(shù)字是847．40.已知3a7×b0c是495的倍數(shù)，其中a、b、c分別代表不同的數(shù)字．請(qǐng)問：三位數(shù)【答案】

865【分析】

由495=5×9×11，得：3a7×b0c要同時(shí)能被5、9、11整除．由個(gè)位數(shù)字可以推斷，3a7不能被5整除；又由11的整除性質(zhì)可以推斷，3a7不能被11整除．所以b0c既是5的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)，只能是605．由于605不能被9整除，所以3a7必須能被9整除．由3+a+7是9的倍數(shù)，推出a=8，所以41.應(yīng)當(dāng)在?中填上哪一個(gè)數(shù)碼，才能使得所得的101位整數(shù)66?6?50個(gè)【答案】

2或9【分析】

由于111111=111×1001可被7整除，因此如果將所得的數(shù)的頭和尾各去掉48個(gè)數(shù)碼，并不改變其對(duì)7的整除性，于是還剩下“66?55”．從中減去63035，并除以10，即得“3?2”可被7整除．此時(shí)不難驗(yàn)證，具有此種形式的三位數(shù)中，只有322和392可被7整除．所以?處應(yīng)填2或9．42.20092009?2009?n個(gè)200909【答案】

5【分析】

20092009?2009?n個(gè)200909中奇位數(shù)減偶位數(shù)的差為(9-2)×n+9=7n+9，當(dāng)n=5時(shí)，7n+9是1143.四位數(shù)1?2?既是3的倍數(shù)，還是5倍數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)有幾種可能？【答案】

7【分析】

這個(gè)四位數(shù)為5的倍數(shù)，因此末位為0或5．末位數(shù)字是0時(shí)，1?20，要是3的倍數(shù)，方框內(nèi)為3，6，9或0，即1020，1320，1620，1920；末位是5時(shí)，1?25，要是3的倍數(shù)，方框內(nèi)1，4，7，也就是有1125，1425，1725．總共有七種可能．44.在865后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)被3、4、5整除．且使這個(gè)數(shù)值盡可能的大，最大是多少？【答案】

856980【分析】

這個(gè)數(shù)能被3、4、5整除，則這個(gè)數(shù)能被[3,4,5]=60整除．865999÷60=14433??19，所以所得六位數(shù)的最大值是865999-19=865980．45.11個(gè)連續(xù)兩位數(shù)的乘積能被343整除，且乘積的末4位都是0，那么這11個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？【答案】

45【分析】

（1）因?yàn)?43=73，由于在11個(gè)連續(xù)的兩位數(shù)中，至多只能有2個(gè)數(shù)是7的倍數(shù)，所以其中有一個(gè)必須是49的倍數(shù)，那就只能是49或98；（2）因?yàn)槌朔e的末4位都是0，所以這連續(xù)的11個(gè)自然數(shù)至少應(yīng)該含有4個(gè)因數(shù)5，連續(xù)的11個(gè)自然數(shù)中至多只能有3個(gè)是5的倍數(shù)，至多只能有1個(gè)是25的倍數(shù)，所以其中有一個(gè)必須是25的倍數(shù)，那么就只能是25、50或75；（3）所以這11個(gè)數(shù)中應(yīng)同時(shí)有49和50，且除50外還有兩個(gè)是5的倍數(shù)，只能是40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50，它們的平均數(shù)即為它們的中間項(xiàng)46.從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)字中選出五個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，使它能被3、5、7、13整除，這個(gè)數(shù)最大是多少？【答案】

94185【分析】

本題采用試除法．因?yàn)?，5，7，13的最小公倍數(shù)為1365，100000÷1365=73??355,所以在100000之內(nèi)最大的1365的倍數(shù)為99645但是不符合數(shù)字各不相同的條件，于是繼續(xù)減1365依次尋找第二大，第三大的數(shù)，看是否符合即可．有99645-1365=98280,所以，滿足題意的5位數(shù)最大為94185．47.在數(shù)列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些數(shù)能被4整除，哪些數(shù)能被3整除，哪些數(shù)能被11整除？【答案】

能被4整除的數(shù)有3124、312、5588；能被3整除的數(shù)有312、5289、7314；能被11整除的數(shù)有3124、5588．48.有一個(gè)四位數(shù)3aa1，它能被3整除，則a代表幾？【答案】

1，4，7【分析】

根據(jù)被3整除的數(shù)的性質(zhì)： 3∣49.張經(jīng)理給45名員工發(fā)完工資，將總錢數(shù)記在一張紙上，后來記賬的這張紙破了兩個(gè)洞，只剩下67?8?元，張經(jīng)理只記得每位員工的工資都一樣，并且都是整數(shù)元，那么這45名員工的總工資可能是多少錢呢？【答案】

67680或67185【分析】

由于該數(shù)為45的倍數(shù)，則末位為5的倍數(shù)，所以末位能為0或者5．若末位為0，則令該五位數(shù)為：67a80，則數(shù)字和應(yīng)為9的倍數(shù)，有：21+a應(yīng)為9的倍數(shù)，所以a=6，這時(shí)的五位數(shù)為67680；若末位為5，則令該五位數(shù)為：67a85，則數(shù)字和應(yīng)為9的倍數(shù)，有：26+a應(yīng)為9的倍數(shù)，所以a=1這時(shí)的五位數(shù)為67185．50.{如果六位數(shù)1992??能被105整除，那么它的最后兩位數(shù)是多少？【答案】

90【分析】

因?yàn)?05=3×7×5，所以這個(gè)六位數(shù)同時(shí)滿足能被3、7、5整除的數(shù)的特征即可，方法一：利用整除特征末位只能為0或5．①如果末位填入0，那么數(shù)字和為1+9+9+2+?+0=21+?，要求數(shù)字和是3的倍數(shù)，所以?可以為0，3，6，9，驗(yàn)證200-199=1，230-199=31，260-199=61，290-199=91，有91是7的倍數(shù)，即199290是7的倍數(shù)，所以題中數(shù)字的末兩位為90，②如果末位填入5，同上解法，驗(yàn)證沒有數(shù)同時(shí)滿足能被3、7、5整除的特征，所以題中數(shù)的末兩位只能是90．方法二：采用試除法用199200試除，199200÷105=1897??15，余15可以看成不足，105-15=90，所以補(bǔ)上90，即在末兩位的方格內(nèi)填入90即可．51.有如下5個(gè)自然數(shù)：3124、3823、45235、5289、5588．其中能被11整除的有哪些？【答案】

3124，5588【分析】

簡(jiǎn)答：判斷能否被11整除，看奇位和偶位和的差．52.在方框中填上兩個(gè)數(shù)字，可以相同也可以不同，使4?32?是9的倍數(shù)，（1）請(qǐng)隨便填出一種，并檢查自己填的是否正確；（2）一共有多少種滿足條件的填法？【答案】

（1）43326（答案不唯一）；（2）12【分析】

一個(gè)數(shù)是9的倍數(shù)，那么它的數(shù)字和就應(yīng)該是9的倍數(shù)，即4+?+3+2+?是9的倍數(shù)，而4+3+2=9，所以只需要兩個(gè)方框中的數(shù)的和是9的倍數(shù)，（1）依次填入3、6，因?yàn)?+3+3+2+6=18是9的倍數(shù)，所以43326是9的倍數(shù)；（2）經(jīng)過分析容易得到兩個(gè)方框內(nèi)的數(shù)的和是9的倍數(shù)，如果和是9，那么可以是（9，0）；（8，1）；（7，2）；（6，3）；（5，4）；（4，5）；（3，6）；（2，7）；（1，8）；（0，9），共10種情況，還有（0，0）和（9，9），所以一共有12種不同的填法．53.一個(gè)六位數(shù)各個(gè)數(shù)字都不相同，且這個(gè)數(shù)字能被17整除，則這個(gè)數(shù)最小是多少？【答案】

102357【分析】

最值思想，先找到最小的六位數(shù)102345，然后試除102345÷17??5，即最小的六位數(shù)為102345+17-554.一個(gè)五位數(shù)8?25?，方格中的數(shù)未知．請(qǐng)問：（1）如果該數(shù)能被72整除，這個(gè)五位數(shù)是多少？（2）如果該數(shù)能被55整除，這個(gè)五位數(shù)是多少？【答案】

（1）86256；（2）85250【分析】

（1）能被72整除的數(shù)，即能被8和9整除．若8?25?能被8整除，個(gè)位應(yīng)填6．再考慮能被9整除，千位應(yīng)填6．因此這個(gè)五位數(shù)是86256．（2）能被55整除，即能被5和11整除．若8?25?能被5整除，個(gè)位應(yīng)填0或5．當(dāng)個(gè)位填0時(shí)，若能被11整除，千位應(yīng)填5．當(dāng)個(gè)位填5時(shí)，千位無論填幾都不能滿足條件，因此滿足條件的數(shù)為85250．55.把三位數(shù)5ab接連重復(fù)的寫下去，共寫2011個(gè)5ab，所得的數(shù)5ab5ab?5ab?2011個(gè)恰是77【答案】

39【分析】

因?yàn)?7=7×11，且(7,11)=1．75ab5ab?5ab? 根據(jù)一個(gè)數(shù)能被7或11整除的特征可知： 原數(shù)5ab5ab?5ab?2011個(gè)能被7當(dāng)且僅當(dāng)5ab5ab?5ab?2010個(gè)-5ab也就是5ab5ab?5ab000?2009個(gè)5ab能被也就是5ab5ab?5ab?2009個(gè)能被7每次減兩組，依次下去，最終5ab能被7及11整除，也就是被77整除．77×7=539,所以可能的就是ab=3956.一位后勤人員買了72本筆記本，可是由于他吸煙不小心，火星落在帳本上，把這筆帳的總數(shù)燒去兩個(gè)數(shù)字，帳本是這樣的：72本筆記本，共?67.9?元（?為被燒掉的數(shù)字），請(qǐng)把?處數(shù)字補(bǔ)上，并求筆記本的單價(jià)．【答案】

3；2；5.11元【分析】

把?67.9?元作為整數(shù)?679?分，既然是72本筆記本的總線數(shù)，那就一定能被72整除，又因?yàn)?2=8×9，(8,9)=1，所以8∣?679?，9∣?679?，根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，8∣79?，通過計(jì)算個(gè)位的?=2，又9∣?6792，根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，9∣(?+6+7+9+2)，顯然前面的?應(yīng)是3，所以這筆帳筆記本的單價(jià)是：367.92÷72=5.11(元57.在?內(nèi)填上合適的數(shù)字，使?679?能同時(shí)被8、9整除．【答案】

3；2【分析】

由被8整除的特征知最后一個(gè)?填2，由被9整除的特征知第一個(gè)?填3．58.173?是一個(gè)四位數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)老師說：“我在其中的方框內(nèi)先后填入3個(gè)數(shù)字，所得到的3個(gè)四位數(shù)：依次可被9，11，6整除．”問：數(shù)學(xué)老師先后填入的3個(gè)數(shù)字的和是多少？【答案】

19【分析】

9∣ 11∣ 6∣ 三數(shù)的和是4+7+8=19.59.六位自然數(shù)1082??能被23整除，末兩位數(shù)有多少種情況．【答案】

4【分析】

試除法．因?yàn)?08200÷23=4704??8，把余8看做不足15．所以，方框中的數(shù)為15、38、61、84四種情況時(shí)，六位數(shù)能被23整除．所以末兩位數(shù)有4種情況．60.一個(gè)各位數(shù)字均不為0的三位數(shù)能被8整除，將其百位數(shù)字、十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字分別劃去后可以得到三個(gè)兩位數(shù)（例如，按此方法由247將得到47、27、24）．已知這些兩位數(shù)中一個(gè)是5的倍數(shù)，另一個(gè)是6的倍數(shù)，還有一個(gè)是7的倍數(shù)．原來的三位數(shù)多少？【答案】

656【分析】

設(shè)這個(gè)三位數(shù)為abc，則得到的三個(gè)兩位數(shù)為bc、ac和ab，由于a、b和c均不為0，且三個(gè)兩位數(shù)中有一個(gè)是5的倍數(shù)，則b或c為5．考慮到能被8整除，因此c不為5，這樣b一定為5．考慮到bc為4的倍數(shù)，則bc只能為52或56．其中52既不是6的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)，舍去．因此bc只能為56．再考慮ac為6的倍數(shù)只能為66．因此這個(gè)三位數(shù)為656．61.已知ABABAB是154的倍數(shù)，求AB的最小值．【答案】

22【分析】

事實(shí)上ABABAB而10101=3×7×13×37,所以只要保證AB能被22整除即可，又AB不能為0，所以AB的最小值為22．62.有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，他們是1號(hào)到15號(hào)．1號(hào)同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，2號(hào)說：“這個(gè)數(shù)能被2整除”，3號(hào)說：“這個(gè)數(shù)能被3整除”??依次下去，每位同學(xué)都說，這個(gè)數(shù)能被他的編號(hào)數(shù)整數(shù)，1號(hào)作了一一驗(yàn)證，只有編號(hào)相鄰的兩位同學(xué)說得不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)，問：（1）說得不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你，1號(hào)同學(xué)寫的數(shù)是五位數(shù)，請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)．（寫出解題過程）【答案】

（1）編號(hào)為8和9；（2）60060【分析】

（1）首先可以斷定編號(hào)是2、3、4、5、6、7號(hào)的同學(xué)說的一定都對(duì)．不然，其中說得不對(duì)的編號(hào)乘以2后所有編號(hào)也將說得不對(duì)，這樣就與“只有編號(hào)相鄰的兩位同學(xué)說得不對(duì)”不符合．因此，這個(gè)數(shù)能被2、3、4、5、6、7都整除．其次利用整除性質(zhì)可知這個(gè)數(shù)也能被2×5、3×4、2×7都整除，即編號(hào)為10、12、14的同學(xué)說得也對(duì)，從中斷定編號(hào)11、13、15的同學(xué)說得也對(duì)，不然，說得不對(duì)的編號(hào)不是連續(xù)的兩個(gè)自然數(shù)．現(xiàn)在我們可以斷定說得不對(duì)的兩個(gè)同學(xué)的編號(hào)只能是8和9．（2）這個(gè)數(shù)是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍數(shù)，由于上述十二個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是[2,3,4,5,6,7,10,l1,12,13,14,15]=2因?yàn)?0060是一個(gè)五位數(shù)，而十二個(gè)數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號(hào)同學(xué)寫的數(shù)就是60060．63.有一組密碼有7個(gè)數(shù)字組成，它們不是2就是1，并且數(shù)字2比數(shù)字1的數(shù)量多，已知這個(gè)密碼能被3和4整除，試求出這個(gè)密碼．【答案】

2122212【分析】

密碼中2比1多，所以2可能有4、5、6、或7個(gè)，經(jīng)試驗(yàn)2有5個(gè)的時(shí)候，數(shù)字和為12，且末兩位只能為12，所以這個(gè)密碼可能是2122212（答案不唯一）．64.在小于100的正整數(shù)中，能被2或3整除，且不能被6整除的數(shù)共有多少個(gè)？【答案】

50個(gè)．【分析】

小于100的正整數(shù)中，能被2整除的有49個(gè)，能被3整除的正整數(shù)有33個(gè)，能同時(shí)被2和3整除的有16個(gè)，則滿足條件的數(shù)有49+33-16×2=50個(gè)．65.一個(gè)四位數(shù)38a4，能夠被4整除，那么a可以是多少？如果這個(gè)數(shù)能夠被8整除，那么a可以是多少？【答案】

2或8．【分析】

被4整除，末兩位a4能夠被4整除．a(chǎn)可以是0，2，4，6，8． 被8整除，末三位8a4能被8整除，a可以是2，或者8．66.對(duì)任意的自然數(shù)n，證明A=2903n-【答案】

271【分析】

1897=7×271，7與271互質(zhì)，因?yàn)?903≡5(?mod?7)，803≡5(?mod?7)，所以A故A能被7整除． 又因?yàn)?903≡193(?mod?271)，803≡261(?mod所以A故A能被271整除． 因?yàn)?與271互質(zhì)，所以A能被1897整除．67.173?是一個(gè)四位數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)老師說：“我在其中的方框內(nèi)先后填入3個(gè)數(shù)字，所得到的3個(gè)四位數(shù)：依次可被9,11,6整除．”問：數(shù)學(xué)老師先后填入的3個(gè)數(shù)字的和是多少？【答案】

19【分析】

173?，設(shè)填入的數(shù)為a，由能被9整除知，1+7+3+a=11+a是9的倍數(shù)，由于a是一位數(shù)，所以a=7，即第一次填入的數(shù)是7；由能被11整除知，(7+a)-(1+3)=3+a是11的倍數(shù)，a=8，即第二次填入的數(shù)是8；由能被6整除知，這個(gè)數(shù)能被2、3同時(shí)整除，所以a是偶數(shù)且1+7+3+a=11+a是3的倍數(shù)，所以a=4，即第三次填入的數(shù)是4．三個(gè)數(shù)的和是7+8+4=19．68.某個(gè)七位數(shù)1993???能夠同時(shí)被2,3,4,5,6,7,8,9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是多少？【答案】

3,2,0【分析】

一個(gè)數(shù)能同時(shí)被2,3,4,5,6,7,8,9整除，相當(dāng)于能被[2,3,4,5,6,7,8,9]=5×7×8×9=2520整除，1993999÷2520=791??679，所以1993999-679=1993320能被2520整除，即1993320為所求的這個(gè)數(shù)．69.求一個(gè)四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字及后兩位數(shù)字分別相同，而該數(shù)本身等于一個(gè)整數(shù)的平方【答案】

7744【分析】

設(shè)所求的四位數(shù)為x=aabbx=1000a+100a+10b+b=11其中0<a?9，0?b?9．可見平方數(shù)x被11整除，從而x被112整除．因此，數(shù)100a+b=99a+a+b能被11整除，于是a+b能被11整除．但0<a+b?18，以a+b=11，于是x=112×9a+1，由此可知9a+1是某個(gè)自然數(shù)的平方．對(duì)a=1,2,3,……9，逐一檢驗(yàn)，易知僅a=770.一個(gè)十位數(shù)，如果各位上的數(shù)字都不相同，那么就稱為“十全數(shù)”，例如，3785942160就是一個(gè)十全數(shù)．現(xiàn)已知一個(gè)十全數(shù)能被1，2，3，?，18整除，并且它的前四位數(shù)是4876，那么這個(gè)十全數(shù)是多少？【答案】

4876391520【分析】

這個(gè)十全數(shù)能被10整除，個(gè)位數(shù)字必為0；能被4整除，十位數(shù)字必為偶數(shù)，末兩位只能是20．設(shè)這個(gè)十全數(shù)為4876abcd20．由于它能被11整除，所以奇位數(shù)上的數(shù)字之和與偶位數(shù)上的數(shù)字之和的差能被11整除，即8+6+b+d+0-(4+7+a+c+2)=b+d+1-(a+c)被11整除，可能是b+d+1=a+c+11,由于a、b、c、d四個(gè)數(shù)分別為1、3、5、9中的一個(gè)，只能是b+d+1=a+c+11,即b+d=a+c+10.所以b、d是9和5；a、c是3和1，這個(gè)十全數(shù)只能是4876391520，4876351920，4876193520，4876153920中的一個(gè)．由于它能被7、13、17整除，經(jīng)檢驗(yàn)，只有4876391520符合條件．71.有如下9個(gè)三位數(shù)：452,387,228,975,525,882,715,775,837．這些數(shù)中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能被2整除？哪些能被5整除？哪些能被4整除？哪些能被25整除？【答案】

見解析．【分析】

能被3整除的數(shù)應(yīng)為數(shù)字和為3的倍數(shù)，有：387,228,975,525,882,837；能被9整除的數(shù)應(yīng)為數(shù)字和9的倍數(shù)，有：387,882,837；能被2整除的數(shù)應(yīng)該末位能被2整除，有：452,228,882；能被5整除的數(shù)應(yīng)該末位能被5整除，有：975,525,715,775；能被4整除的數(shù)應(yīng)該末兩位能被4整除，有：452,228；能被25整除的數(shù)應(yīng)該末兩位能被25整除，有：975,525,775．72.對(duì)于一個(gè)自然數(shù)N，如果具有這樣的性質(zhì)就稱為“破壞數(shù)”：把它添加到任何一個(gè)自然數(shù)的右端，形成的新數(shù)都不能被N+1整除，那么在1至9這9個(gè)自然數(shù)中有多少個(gè)“破壞數(shù)”？【答案】

6【分析】

很明顯奇數(shù)一定是“破壞數(shù)”，4也是“破壞數(shù)”．0、2、6、8都不是“破壞數(shù)”，其中0添加到任何一個(gè)自然數(shù)的右端都能被1整除，2添加到自然數(shù)1的右端能被3整除，6添加到自然數(shù)5的右端能被7整除，8添加到自然數(shù)1的右端能被9整除．所以所求“破壞數(shù)”只有1、3、4、5、7、9這6個(gè)．73.六位數(shù)2009??能被99整除，它的最后兩位數(shù)是多少？【答案】

70【分析】

方法一：試除法 200999被99除商2020余29，所以這個(gè)六位數(shù)最后兩位是99-29=70時(shí)，它能被99整除； 方法二：99=9×11，2009??能被99整除，所以各位數(shù)字之和為9的倍數(shù)，所以方框中數(shù)字的和只能為7或16；又根據(jù)數(shù)被11整除的性質(zhì)，方框中兩數(shù)字的差為7，所以它的最后兩位數(shù)是70．74.大約1500年前，我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之，計(jì)算出π的值在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個(gè)把π的值精確到7位小數(shù)的人．現(xiàn)代人利用計(jì)算機(jī)已經(jīng)將π的值計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后515億位以上．這些數(shù)排列既無序又無規(guī)律．但是細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：由左起的第一位3是質(zhì)數(shù)，31也是質(zhì)數(shù)，但314不是質(zhì)數(shù)，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是質(zhì)數(shù)？【答案】

314159【分析】

注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，質(zhì)數(shù)是314159．75.從401到1000的所有整數(shù)中，被8除余數(shù)為1的數(shù)有幾個(gè)？【答案】

75【分析】

因?yàn)楸?除余數(shù)為1的整數(shù)組成公差是8的等差數(shù)列，最小的是401，最大的是993，于是項(xiàng)數(shù)=(993-401)÷8+1=75．76.請(qǐng)寫出所有各位數(shù)字互不相同的三位奇數(shù)，使得它能被它的每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字整除．【答案】

135、315、175、735【分析】

依題意，組成這個(gè)三位奇數(shù)的數(shù)字是1、3、5、7、9中的三個(gè)不同的數(shù)字．因?yàn)槌?以外的任意2個(gè)奇數(shù)之和都不是9的倍數(shù)，所以9不能在這個(gè)3位數(shù)中出現(xiàn)．那么，只有可能是135、137、157、357這4種數(shù)字組合，分別嘗試得到四個(gè)滿足題意的數(shù)為135、315、175、735．77.試說明一個(gè)5位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的差一定是99的倍數(shù)（如：12367為原序數(shù)，那么它對(duì)應(yīng)的反序數(shù)為76321，它們的差63954=99×646是99的倍數(shù)．）【答案】

略【分析】

設(shè)原序數(shù)為abcde，則反序數(shù)為edcba，其中a?e，則abcde因?yàn)榈仁降挠疫吥鼙?9整除，所以abcde-edcba能被78.六位數(shù)356a29能被3整除，數(shù)字a=？【答案】

2，5或8．【分析】

3+5+6+a+2+9=25+a使25+a能被3整除，數(shù)字a只能是2，5或8．即符合題意的a是2，5或8．79.三位數(shù)的百位、十位和個(gè)位的數(shù)字分別是5、a、b，將它連續(xù)重復(fù)寫2009次成為：5ab5ab?5ab?2009個(gè)5ab．如果此數(shù)能被【答案】

546【分析】

因?yàn)?1=7×13，所以5ab5ab?5ab?2009個(gè)5ab也是7和13的倍數(shù)，因?yàn)槟鼙?和13整除的特點(diǎn)是三位一段，用截?cái)喾?，由此可?ab也是7和13的倍數(shù)，百位是5能被7和13即91整除的數(shù)字是：80.請(qǐng)將1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合適的順序?qū)懗梢恍校沟眠@一行的數(shù)中的任意一個(gè)數(shù)都能整除它前面所有數(shù)之和．【答案】

6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11【分析】

構(gòu)造方式不唯一，從最后思考，總和66，把11放到最后，剩55，放個(gè)5，剩50?找規(guī)律可得．81.用1、2、3、4、5、7這6個(gè)數(shù)字各一次組成六位數(shù)，并且使這個(gè)六位數(shù)是11的倍數(shù)．有多少種不同的方法？【答案】

72．【分析】

用1,2,3,4,5,7各一次組成六位數(shù)，六個(gè)數(shù)字的和為22，若為11的倍數(shù)，則奇位和與偶位和的差只能為0，奇位填1,3,7，偶位填2,4,5，考慮到1,3,7可以互換，2,4,5可以互換，故共有A33×A33=36種填法，同理奇位填2,4,582.試求6個(gè)不同的正整數(shù)，使得它們中任意兩數(shù)之積可被這兩個(gè)數(shù)之和整除．【答案】

27720，55440，83160，110880，138600及166320【分析】

取六個(gè)數(shù)1，2，3，4，5，6，并把它們兩兩相加得到15個(gè)和：1+2，1+3，?，5+6．這15個(gè)和的最小公倍數(shù)是：2把它依次乘所取的六個(gè)數(shù)得：27720，55440，83160，110880，138600及166320．這六個(gè)數(shù)就滿足題目的要求．83.求出所有正整數(shù)n，使得25+n能整除25×n．【答案】

100、600【分析】

依題意得25+n∣25n，變形得25+n∣25n+625-625,整理得25+n∣25(n+25)-625.由于25+n∣25(n+25),所以25+n∣625,寫出625所有的約數(shù)：1、625、5、125、25，符合的n為125-25=100和625-25=600．84.一個(gè)各位數(shù)字均不為0的三位數(shù)能被8整除，將其百位數(shù)字、十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字分別劃去后可以得到三個(gè)兩位數(shù)（例如，按此方法由247將得到47、27、24）．已知這些兩位數(shù)分別能被5、6、7整除，那么原來的三位數(shù)是多少？【答案】

656【分析】

由于尾數(shù)不可能是5，所以只能中間數(shù)是5，那么個(gè)位就是2或6，但52不能被6、7整除，則只能是56，被7整除，再結(jié)合百位和個(gè)位能被6整除判斷出三位數(shù)為656．85.判斷下面11個(gè)數(shù)的整除性：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407．（1）這些數(shù)中，有哪些數(shù)能被4整除？哪些數(shù)能被8整除？（2）哪些數(shù)能被25整除？哪些數(shù)能被125整除？（3）哪些數(shù)能被3整除？哪些數(shù)能被9整除？（4）哪些數(shù)能被11整除？【答案】

見解析．【分析】

（1）末兩位能被4整除，該數(shù)即能被4整除；末三位能被8整除，該數(shù)即能被8整除．所以，能被4整除的數(shù)有：3568,5880,6512,864；能被8整除的數(shù)有：3568,5880,6512,864；（2）末兩位是25的倍數(shù)，該數(shù)就能被25整除；末三位是125的倍數(shù)，該數(shù)就能被125整除．所以能被25整除的數(shù)有：8875,93625；能被125整除的數(shù)有：8875,93625；（3）數(shù)字和是3的倍數(shù)即能被3整除，數(shù)字和為9的倍數(shù)即能被9整除．所以，能被3整除的數(shù)有：23487,6765,5880,198954,864；能被9整除的數(shù)有：198954,864；（4）從末位開始，奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差如果為11的倍數(shù)，即為11的倍數(shù)．則為11的倍數(shù)的有：6765,6512,407．86.在下面的圓圈和方框中，分別填入適當(dāng)?shù)淖匀粩?shù)，使等式成立．問在方框中應(yīng)填多少？1【答案】

32或36．【分析】

記圓圈里填入的是a，方框里填入的是b，那么1即29由于29是個(gè)質(zhì)數(shù)，故29∣11a-12，從而a除以29余9．于是29故b?36．另外，29b>29×即b?32．分別驗(yàn)證b=32，33，34，35，36各種情況，可知只有當(dāng)b=32和b=36時(shí)符合條件．87.如果(a+2b)是7的倍數(shù)，求證：(3a-b)也是7的倍數(shù)．（a、b都是自然數(shù)）．【答案】

見解析【分析】

法一：由于(a+2b)是7的倍數(shù)，所以3(a+2b)＝3a+6b也是所以3a-b＝3a+6b-7b是法二：設(shè)a+2b＝7k，則a＝所以(3a-b)也是7的倍數(shù)．88.已知n是正整數(shù)，規(guī)定n!=1×2×?×n，令m=1!×1+2!×2+3!×3+?+2007!×2007，則整數(shù)m除以2008的余數(shù)為多少？【答案】

2007【分析】

m= 2008能夠整除2008!，所以2008!-1的余數(shù)是2007．89.有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，他們是1號(hào)到15號(hào)．1號(hào)同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，2號(hào)說：“這個(gè)數(shù)能被2整除”，3號(hào)說：“這個(gè)數(shù)能被3整除”，??，依次下去，每位同學(xué)都說，這個(gè)數(shù)能被他的編號(hào)數(shù)整除．1號(hào)作了一一驗(yàn)證：只有編號(hào)連續(xù)的兩位同學(xué)說得不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)．問：（1）說得不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你，1號(hào)寫的數(shù)是五位數(shù)，請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)．【答案】

（1）8、9；（2）60060【分析】

（1）列出這14個(gè)除數(shù)：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15．注意到如果這個(gè)數(shù)不能被2整除，那么一定不能被4、6、8、10?等整除，顯然超過兩個(gè)自然數(shù)；類似這種情況的還有3～6、9?；4～8、12?；5～10、15?；6～12?；若不能被7整除，那么一定不能被14整除，而這兩個(gè)自然數(shù)不連續(xù)；若不能被12整除，那么4和3中至少有一個(gè)不能整除1號(hào)所說的自然數(shù)，而12與3、4均不連續(xù)；類似這種情況的還有10（對(duì)應(yīng)2和5）；14（對(duì)應(yīng)2和7）；15（對(duì)應(yīng)3和5）；這樣只剩下8、9、11、13，而連續(xù)的只有8、9．所以說的不對(duì)的兩位同學(xué)的編號(hào)為8、9這兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)．（2）由（1）知，這個(gè)五位數(shù)能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15整除．所以[2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15]=所以1號(hào)寫出的五位數(shù)為60060．90.如果六位數(shù)2010??能被105整除，那么它的最后兩位數(shù)是多少？【答案】

75【分析】

采用試除法 用201000試除，201000÷105=1914??30,余30可以看成不足(105-30)=75．所以補(bǔ)上75，即在末兩位的方格內(nèi)填入75即可．91.如果a+b+c是5的倍數(shù)，2a+3b+4c也是5的倍數(shù)，求證a-c是5的倍數(shù)．（a、b、c都是自然數(shù)）【答案】

見解析【分析】

a-c=3(a+b+c)-(2a+3b+4c)，所以a-c能被5整除．92.某個(gè)七位數(shù)1993???能夠同時(shí)被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是多少？【答案】

320【分析】

本題可采用整除數(shù)字的判定特征進(jìn)行判斷，但是太過繁瑣，采用試除法比較方便，若使得7位數(shù)能夠同時(shí)被2，3，4，5，6，7，8，9整除，只要讓七位數(shù)是2，3，4，5，6，7，8，9最小公倍數(shù)的倍數(shù)即可，[2，3，4，5，6，7，8，9]＝2520，用1993000試除，1993000÷2520＝790??2200，余2200可以看成不足2520-220093.將4個(gè)不同的數(shù)字排在一起，可以組成24個(gè)不同的四位數(shù)．將這24個(gè)四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個(gè)是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個(gè)是不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的第五個(gè)與第二十個(gè)的差在3000～4000之間．求這【答案】

7543【分析】

設(shè)這4個(gè)數(shù)字分別是a>b>c>d，那么從小到大的第2個(gè)就是dcab，它是5的倍數(shù)，因此b=0或5，注意到b>c>d，所以b=5；從大到小排列的第2個(gè)是abdc，它是不能被4整除的偶數(shù)；所以c是偶數(shù)，c<b=5，c=4或2；從小到大的第二十個(gè)是adbc，第五個(gè)是dacb，它們的差在3000到4000之間，所以a=d+4；因?yàn)閍>b，所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4．而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍數(shù)，和條件矛盾．因此d=3，從而a=d+4=3+4=7這24個(gè)四位數(shù)中最大的一個(gè)顯然是abdc，我們求得了a=7,b=5,c=4,d=3,所以這24個(gè)四位數(shù)中最大的一個(gè)是7543．94.以多位數(shù)142857314275為例，說明被7、11、13整除的規(guī)律．【答案】

見解析．【分析】

142857314275=因?yàn)楦鶕?jù)整除性質(zhì)知，等式右邊第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)能被7、11、13整除，再根據(jù)整除性質(zhì)，要判斷142857314275能否被7、11、13整除，只需判斷857-142+275-314能否被7、11、13整除，因此結(jié)論得到說明．142857314275能被13整除，不能被7和11整除．95.下面五個(gè)自然數(shù)：128114、94146、64152、6139、491678，哪些能被7整除？哪些能被11整除？哪些能被13整除？【答案】

被7整除：128114,6139；被11整除：64152,491678；被13整除：94146．【分析】

因?yàn)?28-114=14，146-94=52，152-64=88，139-6=133，678-491=187，所以能被7整除的有：128114,6139；能被11整除的有：64152,491678；能被13整除的有：94146．96.有些數(shù)既能表示成3個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和；還能表示成5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和．請(qǐng)你找出700至1000之間，所有滿足上述要求的數(shù)，并簡(jiǎn)述理由．【答案】

750、810、870、930、960【分析】

3個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被3整除；4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被2整除，且除以2所得的商是奇數(shù)，也就是說它不能被4整除，除以4所得余數(shù)為2；5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被5整除．3、2、5的最小公倍數(shù)是30，所以滿足上述三個(gè)條件的最小的數(shù)是30．3、4、5的最小公倍數(shù)是60，所以60的整數(shù)倍加上30就可以滿足條件．700=60×11+40，所以第一個(gè)符合題意的數(shù)是750=60×12+30，最大的一個(gè)數(shù)是990=60×16+30，共計(jì)16-12+1=5個(gè)數(shù)，分別為750、810、870、930、960．97.已知兩個(gè)三位數(shù)abc與def的和abc+def能被37整除，試說明：六位數(shù)abcdef也能被【答案】

見解析【分析】

abcdef=abc×1000+def=abc×999+(abc+def)，因?yàn)?99能被37整除，所以abc×999能被98.如果abcde能被6整除，那么2(a+b+c+d)-e也能被6整除．【答案】

見解析．【分析】

因?yàn)?=2×3，所以2∣abcde，所以2∣e，所以6∣3e 因?yàn)?∣abcde，所以3∣a+b+c+d+e，所以6∣2(a+b+c+d+e)，所以6∣2(a+b+c+d+e)-3e，所以6∣2(a+b+c+d)-e99.把三位數(shù)3ab接連重復(fù)的寫下去，共寫2011個(gè)3ab，所得的數(shù)3ab3ab?3ab?2011個(gè)恰是91【答案】

73【分析】

因?yàn)?1=7×13，且(7,13)=1． 73ab3ab?3ab?2011 根據(jù)一個(gè)數(shù)能被7或13整除的特征可知： 原數(shù)3ab3ab?3ab?2011個(gè)能被7 當(dāng)且