第1頁/共1頁北外新華2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級期末檢測數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第一部分（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線l：，則直線l的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把一般式轉(zhuǎn)化為斜截式即可得出斜率.【詳解】由題意得：直線的斜截式方程為，所以直線的斜率為.故選：B2.已知等比數(shù)列中，，，則公比（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程，可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得.故選：B.3.直線與直線的位置關(guān)系是（）A.垂直 B.相交且不垂直 C.平行 D.平行或重合【答案】A【解析】【分析】分和討論，其中時(shí)，寫出兩直線斜率，計(jì)算其乘積即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線，直線，此時(shí)兩直線垂直，當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)?，則兩直線垂直，綜上兩直線位置關(guān)系是垂直，故選：A.4.已知為拋物線C：的焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則的周長為（）A. B. C.10 D.11【答案】A【解析】【分析】由的長度的M點(diǎn)坐標(biāo)，求得的周長.【詳解】設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為，由題，，所以，代入拋物線方程得，所以，的周長為.故選：A.5.已知，，且，則和可分別作為（）A.雙曲線和拋物線的離心率 B.雙曲線和橢圓的離心率C.橢圓和拋物線的離心率 D.兩雙曲線的離心率【答案】A【解析】【分析】由題意可得，結(jié)合圓錐曲線離心率范圍即可得解.【詳解】由題意，，且，所以，解得，所以和可分別作為雙曲線和拋物線的離心率.故選：A.6.如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解．【詳解】由已知，故選：D．7.已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，若，則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，從而得到答案.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，滿足，所以，又，故，故選：B8.在空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系，若任意兩條數(shù)軸的夾角均為，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜坐標(biāo)系”下向量的斜坐標(biāo)：已知分別為“空間斜坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸、軸、軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．如圖，在平行六面體中，，以為基底建立“空間斜坐標(biāo)系”，若，且與的夾角為，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由題意，根據(jù)新定義及空間向量的運(yùn)算即可求解．【詳解】設(shè)分別為與同方向的單位向量，則．得，，由題可得，即，即，解得．故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過知識，結(jié)合已掌握的技能，通過推理、運(yùn)算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì).二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9已知直線：與圓：相交于，兩點(diǎn)，則（）A.圓心的坐標(biāo)為 B.圓的半徑為C.圓心到直線的距離為2 D.【答案】ACD【解析】【分析】化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式判斷AB；求出圓心到直線距離判斷C；利用圓的弦長公式計(jì)算判斷D.【詳解】對于AB，圓：的圓心，半徑，A正確，B錯(cuò)誤；對于C，點(diǎn)到直線：的距離，C正確；對于D，，D正確.故選：ACD10.已知雙曲線的離心率，C的右支上的點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最短距離為，則（）A.雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B.雙曲線C的漸近線方程為C.點(diǎn)在雙曲線C上D.直線與雙曲線C恒有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】AB【解析】【分析】由題意求出，，，即可求得雙曲線方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程即可判斷A項(xiàng)、B項(xiàng)；點(diǎn)代入雙曲線方程可判斷C項(xiàng)；求出直線恒過定點(diǎn)，可判斷點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，當(dāng)過該點(diǎn)的直線與漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)焦點(diǎn)即可判斷D項(xiàng).【詳解】由題意知，，解得，所以雙曲線方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線漸近線方程為，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以點(diǎn)不在雙曲線上，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，由整理得，所以直線恒過點(diǎn)，又因?yàn)?，所以點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，所以當(dāng)時(shí)，直線分別與雙曲線的漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.11.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”．記斐波那契數(shù)列為，其前項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用給定定義逐個(gè)選項(xiàng)分析數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】依題意可得，A正確；由，B錯(cuò)誤；，C正確；，累加得，D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列，解題關(guān)鍵是利用題目給定定義，然后結(jié)合累加法得到所證明的等量關(guān)系即可．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，則向量與的夾角為________.【答案】【解析】【分析】利用空間向量夾角的余弦公式可得結(jié)果.【詳解】∵，，∴，，，∴，∴.故答案為：.13.數(shù)列與的所有公共項(xiàng)由小到大構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，則__________.【答案】116【解析】【分析】為首項(xiàng)為2，公差為6的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求通項(xiàng)公式求出答案.【詳解】與的所有公共項(xiàng)由小到大構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列為，故為首項(xiàng)為2，公差為6的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：11614.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是__________.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意，利用向量變形得，如圖在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，再結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到，然后在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，如圖，在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，則點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，,故點(diǎn)與上頂點(diǎn)重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為.（1）求邊所在直線的方程；（2）若的中點(diǎn)為，求邊的垂直平分線的方程；（3）求的外接圓的方程.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用兩直線垂直的斜率關(guān)系可求邊所在直線的方程；（2）求得的中點(diǎn)坐標(biāo)與直線的斜率，可求邊的垂直平分線的方程；（3）設(shè)的外接圓的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程組可求的外接圓的方程.【小問1詳解】由，由兩點(diǎn)式可得邊所在直線的方程為，即邊所在直線的方程；【小問2詳解】由，可得的中點(diǎn)為，又，所以邊的垂直平分線的斜率為，所以由點(diǎn)斜式可得邊的垂直平分線的方程為，即.【小問3詳解】設(shè)的外接圓的方程為，則，解得，所以的外接圓的方程為.16.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量、d列方程求解，即可由定義得出通項(xiàng)公式；（2）由列項(xiàng)相消法求和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)為，公差為d，則，解得.故數(shù)列通項(xiàng)公式；【小問2詳解】，故17.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，即可得到線線垂直；（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求二面夾角的正弦值.【小問1詳解】因?yàn)榈酌?，底面，則，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，又因平面，?【小問2詳解】因?yàn)榈酌妫?，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量為，則，取，可得,易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，所以平面與平面夾角的正弦值為.18.橢圓C：過點(diǎn)P（，1）且離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過F的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，定點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）若面積為3，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及，即可求解.【小問1詳解】由已知可得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線與軸重合時(shí)，不符合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，設(shè)，由韋達(dá)定理可得，，則，則，解得，所以直線的方程為.19.對于，若數(shù)列滿足，則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”．（1）已知數(shù)列1，2m，是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（2）是否存在首項(xiàng)為的等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和使得恒成立?若存在，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由．（3）已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列是否為“K數(shù)列”，并說明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，且，，再解不等式組即可；（2）首先假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，從而得到成立，再分類討論和情況，即可得到答案.（3）首先設(shè)數(shù)列的公比為q，則，根據(jù)題意得到，從而得到為最小項(xiàng)，同理得到為最小項(xiàng)，再利用“數(shù)列”的定義得到，或，，再分類討論即可得到答案.【小問1詳解】由題意得，且，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【小問2詳解】不存在．理由：假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，設(shè)公差為d，則，由得．由題意，得對均成立，即．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)?，所以，與矛盾，所以這樣的等差數(shù)列不存在．【小問3詳解】設(shè)數(shù)列的公比為q，則．因?yàn)榈拿恳豁?xiàng)均為