試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁遼寧省名校聯(lián)盟2025年高考模擬卷（調(diào)研卷）數(shù)學(xué)（三）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．樣本數(shù)據(jù)50，56,58,48,42,60,55,49的第35百分位數(shù)是（

）A．56 B．58 C．48 D．49【答案】D【分析】先對數(shù)據(jù)排序，然后根據(jù)百分位數(shù)的求解步驟直接求解即可.【詳解】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為42,48,49,50,55,56,58,60，因?yàn)?×35%=2.8，所以該樣本數(shù)據(jù)的第35百分位數(shù)是故選：D2．已知F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，C上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為34，則PFA．32 B．2 C．94【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的方程得準(zhǔn)線方程，再利用拋物線的定義即可求解.【詳解】易知拋物線C：y2=3x的準(zhǔn)線方程為由C上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為34，得點(diǎn)P到直線x=?34由拋物線的定義可知PF=故選：A.3．在正方體ABCD?A1BA．AD1B．A1C⊥C．存在過AC的平面α，使得AD．存在過AC的平面β，使得A【答案】D【分析】由AD1∥BC1根據(jù)線面平行的判定定理可判斷A；由BD⊥平面ACC1A1根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得BD⊥A1C，同理C1D⊥A1C【詳解】對于A，因?yàn)锳D1∥BC1，AD1所以AD1//對于B，易證BD⊥平面ACC1A1，又A1同理可得C1D⊥A1C，又C1D所以A1C⊥平面對于C，由A1B∥D1C，A1B?平面ACD1所以平面ACD1即為平面對于D，假設(shè)A1B⊥β，因?yàn)锳C?β，所以又A1B⊥BC，AC，BC?平面ABCD，所以A1B⊥平面故選：D.4．已知函數(shù)fx=2x?1A．0,2 B．0,1 C．?∞,2 【答案】C【分析】分x≤0和x>0兩種情況，解不等式，得到不等式解集.【詳解】由題意可知當(dāng)x≤0時(shí)，0<2x≤1當(dāng)x>0時(shí)，令log3x+1≤1，即0<x+1≤3，解得?1<x≤2綜上，x≤2.故選：C5．從高一新生中選出3名男生、3名女生組成護(hù)旗方隊(duì)，方隊(duì)共2排3列，第1排是a，b，c，3名女生，第2排是甲、乙、丙3名男生，且女生a與男生甲不同列，則不同的排法種數(shù)為（

）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】C【分析】先求出排法總數(shù)及女生a與男生甲同列時(shí)的排法為C31A【詳解】由題意得第1排和第2排任意排的排法總數(shù)為A3當(dāng)女生a與男生甲同列時(shí)，排法總數(shù)為C3所以女生a與男生甲不同列排法總數(shù)為A3故選：C.6．已知點(diǎn)M0,2，N43,0，過點(diǎn)M作直線交圓O：x2+y2=9于A，BA．13 B．23 C．1 【答案】B【分析】依題意可得MQ⊥OQ，則點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)′0,1為圓心，1為半徑的圓，從而求出【詳解】因?yàn)镼為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)Q⊥AB，設(shè)Qx,y，因?yàn)镸Q⊥OQ所以點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)′0,1為圓心，故NQ的最小值為O'故選：B.7．如圖，在△ABC中，AB=2AC=4，M為BC的中點(diǎn)，D為BC上一點(diǎn)，且AD⊥BC，AM?AD=165A．0或45 B．45 C．35【答案】A【分析】根據(jù)AM?AD=165求出|AD|，令∠BAC=θ【詳解】因?yàn)锳M?所以AD=45則S△ABC即BC=25sinθ，在△ABC中，由余弦定理得BC2=20sin故選：A.8．設(shè)函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域均為R，記gx=f′x，已知fx+3+fx+1A．?3 B．?2 C．?1 D．0【答案】B【分析】由fx+3+fx+1=fx+2和fx+2+fx=fx+1得fx+3+fx【詳解】由fx+3+fx+1兩式相加得fx+3兩邊取導(dǎo)數(shù)得f′x+3+則gx+6=?gx+3由函數(shù)gx2的圖象關(guān)于直線x=2對稱，得則g1?x2=g1+由fx+2+fx則gx+2令x=0，得g2=g1?g0令x=1，得g3=g2?g1令x=3，得g5=g4?g3所以g1因?yàn)?025=6×337+3，所以i=12025故選：B二、多選題9．已知復(fù)數(shù)z1，z2，則下列結(jié)論正確的是（A．若z1=zB．若z12C．若z1?D．若z1+z2=z【答案】BC【分析】設(shè)z1=a+bia,b∈R，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)定義和復(fù)數(shù)運(yùn)算即可判斷選項(xiàng)A，利用復(fù)數(shù)運(yùn)算即可判斷選項(xiàng)B，設(shè)【詳解】對于A項(xiàng)，設(shè)z1則z2=a+bi，z當(dāng)b=0時(shí)，z1對于B項(xiàng)，由z12=即z1?z對于C項(xiàng)，設(shè)z1=a由z1?z1=所以z1=z2，又對于D項(xiàng)，取z1=1+i滿足z1+z2=z1故選：BC10．甲、乙、丙、丁4人報(bào)名參加周末公益活動(dòng)，有M,N,Q，3個(gè)單位需要招志愿者，每個(gè)單位各招1人，設(shè)事件S=“M單位招到甲或乙”，事件T=“N單位招到甲或丙”，事件E=“Q單位招到丙或丁”，事件H=“Q單位招到甲或乙”，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．事件S,T相互獨(dú)立 B．事件S,E相互獨(dú)立C．事件S,H相互獨(dú)立 D．事件E,H相互獨(dú)立【答案】BCD【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式驗(yàn)證即可.【詳解】M，N兩個(gè)單位招志愿者的不同選法種數(shù)為A4因?yàn)槭录T所包含的基本事件為（M招甲、N招丙），（M招乙、N招甲），（M招乙、N招丙），共3個(gè)，所以PST=312=PSPEPSPH因?yàn)镋,H為對立事件，所以PEH故選：BCD11．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在A．若點(diǎn)M的坐標(biāo)為?1,3，則C的離心率的取值范圍為B．若a=2，b=5，則C．若a=2，b=1，則MN的最小值為4D．若a=1，b=3，則OM【答案】ABD【分析】對于A，由點(diǎn)M在漸近線y=?bax的下方得到kOM>?ba，推理即得離心率范圍；對于B，利用雙曲線的定義和焦半徑M【詳解】對于A，因點(diǎn)M在C的一條漸近線y=?bax的下方，則k故離心率e=1+對于B，由a=2，b=5，得c=由雙曲線的定義可知MF2?于是MF因?yàn)镸F1≥c?a=1對于C，因a=2，b=1，則c=5當(dāng)N在C的右支上時(shí)，因?yàn)樵谶^焦點(diǎn)且與雙曲線的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)的弦中，最短弦的弦長為實(shí)軸長2a=4，故MN≥4當(dāng)N在C的左支上時(shí)，因?yàn)樵谶^焦點(diǎn)且與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn)的弦中，當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，MN最小，此時(shí)M(?5,1故MN的最小值為1，故C錯(cuò)誤；對于D，由a=1，b=3，可知c=2，則F1?2,0當(dāng)點(diǎn)M為雙曲線的左頂點(diǎn)時(shí)，OM2當(dāng)點(diǎn)M不在雙曲線的左頂點(diǎn)時(shí)，因∠MOF1+∠MO由余弦定理得OF又OF1=因M則MF2?綜上，OM2?M故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的定義，性質(zhì)的應(yīng)用，解題思路在于解決與焦點(diǎn)有關(guān)的線段時(shí)，?？紤]定義式或焦半徑、焦點(diǎn)弦有關(guān)結(jié)論的應(yīng)用，有時(shí)還要考慮雙曲線的漸近線，通經(jīng)，以及三角形中正余弦定理的運(yùn)用.三、填空題12．已知集合I=xx<1，A=xx3<x，B=xx【答案】1【分析】化簡集合，根據(jù)A∩B=?和A∪B=I，可得B=x【詳解】由題意得集合A=x因?yàn)锳∩B=?，A∪B=I，所以B=x則?1+0=?m，?1×0=n，解得m=1，n=0，所以m+n=1.故答案為：113．已知函數(shù)fx=Mcosωx+φM>0,ω>0的圖象與直線y=1在區(qū)間0,2π上恰有4個(gè)交點(diǎn)，從左向右依次為A，B，C，D，且【答案】11【分析】利用周期性來研究交點(diǎn)得到的線段長，再與總區(qū)間長度2π進(jìn)行比較分析即可得到ω范圍，再利用與直線y=1的交點(diǎn)坐標(biāo)可解得M=2【詳解】由題意得AC=2πω所以AB=CD=4π3ω所以AD=AC+CD=AC+AB=2πω解得53又因?yàn)閒x?φω=Mcos解得M=2，所以M+ω的取值范圍是113故答案為：11314．設(shè)minP表示數(shù)集P中最小的數(shù)，若4b>a>b>0，則min1a【答案】1【分析】由基本不等式可得a4b?a≤4b2，4ba?b【詳解】設(shè)min1則1a2≥t，14b因?yàn)?b>a>b>0，所以a4b?a≤a+4b?a當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)兩個(gè)不等式同時(shí)取等號，所以4t≤1又1a當(dāng)且僅當(dāng)a=1，b=12時(shí)取等號，所以4t≤4，則t≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=1，故min1故答案為：1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是能夠通過觀察4個(gè)元素，從最值角度出發(fā)，考慮基本不等式，a4b?a≤a+4b?a22四、解答題15．如圖，在圓臺OO1中，A，B，C是下底面圓周上的三點(diǎn)，AC為下底面圓的直徑，M為(1)證明：AB⊥平面O1(2)若OO1=OA=AB，求直線AC【答案】(1)證明見解析(2)21【分析】（1）由圓臺的性質(zhì)知OO1⊥底面ABC，從而得OO1⊥AB；再由AC為下底面圓的直徑結(jié)合（2）建立空間直角坐標(biāo)系，按照求直線與平面夾角的公式，按步驟求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)镺O1⊥平面ABC，AB?平面ABC因?yàn)锳C為下底面圓的直徑，所以BC⊥AB，因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥BC，所以O(shè)M⊥AB，又OM∩OO1=O，OM，O所以AB⊥平面O1（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，OM，OO1的方向分別為x軸、軸、不妨設(shè)OO則A?1,3,0，B1,3則AB=2,0,0，BO設(shè)平面O1AB的一個(gè)法向量為則m?AB=2x=0,m?設(shè)直線AC與平面O1AB所成角為則sinθ=故直線AC與平面O1AB所成角的正弦值為16．已知函數(shù)fx=x+aln(1)求a；(2)若關(guān)于x的不等式fx<mln【答案】(1)a=1；(2)?∞【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)x0,2x0?1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a=（2）問題化為x<m?1lnx【詳解】（1）設(shè)fx的圖象與直線y=2x?1切于點(diǎn)x0,2f′x=1+ax，則f令?x=ln當(dāng)x∈0,1時(shí)，?′x<0，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，?′x>0所以?x≥?1故x0=1，即（2）由題意得x+lnx<mln令gx=x?m?1若m?1<0，則0<e1m?1若m?1=0，即m=1，則gx若m?1>0，當(dāng)x∈0,m?1時(shí)，g′x<0，當(dāng)x∈m?1,+∞時(shí)，g′x>0所以gxmin=g綜上，m的取值范圍為?∞17．第12屆世界運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2025年在中國四川成都舉行，其中棍網(wǎng)球比賽被同學(xué)們關(guān)注：甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行棍網(wǎng)球攻防3次訓(xùn)練，甲進(jìn)攻乙防守，根據(jù)以往訓(xùn)練結(jié)果，在乙的防守下，甲每次能夠射門的概率為34，射門一次進(jìn)球的概率為13，射門兩次進(jìn)球的概率為12(1)設(shè)X表示甲能夠射門的次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)求甲射門進(jìn)球的概率.【答案】(1)分布列見解析，E(2)69【分析】（1）求出X的可能取值，判斷X服從的分布，求出X各值的概率，求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）利用全概率公式即可求解.【詳解】（1）由題意可知X的可能取值為0，1，2，3，且X～B3,所以PX=0PX=1PX=2PX=3X的分布列為X0123P192727EX（2）記甲射門i次為事件Ai則由（1）可知PA1=964記甲射門進(jìn)球?yàn)槭录﨎，則PB∣A1=1由全概率公式可知PB=PB∣故甲射門進(jìn)球的概率為6912818．已知A1,0，B4,0，動(dòng)點(diǎn)S滿足SB=2SA，作SH⊥x軸于點(diǎn)H，T為直線SH上一點(diǎn)，且滿足TH=(1)求E的方程；(2)若M是E上的動(dòng)點(diǎn)，過M作橢圓C：x22+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，【答案】(1)x2(2)?【分析】（1）設(shè)Tx,y，Sx′,y′，根據(jù)向量關(guān)系得到x′（2）設(shè)Mx0,y0，切線斜率存在時(shí)，x0≠±2，設(shè)切線方程，與橢圓x22+y2=1聯(lián)立，利用根的判別式為0得到方程，設(shè)關(guān)于k的方程的兩根為k1，k2，得到兩根之和，兩根之積，得到P,Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合【詳解】（1）設(shè)Tx,y，Sx′因?yàn)門H=22故x′?x=0,?y=?由SB=2SA，得x′將x′=x,y故E的方程為x2（2）設(shè)Mx0,y0，過M設(shè)斜率為k，切線方程為y=kx+y聯(lián)立y=kx+y0?k則Δ=16即x0設(shè)②中關(guān)于k的方程的兩根為k1，k則k1①式中，當(dāng)k取k1時(shí)，得xyP將k1換成k2，得故OP=y其中y=2?x又k1k21+4k故OP?因?yàn)閤0所以O(shè)P?當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，x24+y2由對稱性不妨設(shè)M?2,1，此時(shí)設(shè)P此時(shí)OP?綜上，OP?OQ的取值范圍是【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．19．對于給定的正項(xiàng)數(shù)列an，定義：i=1nai=a1?a2?a3???an，其中，ai(1)寫出首項(xiàng)為2的“2數(shù)列”的前4項(xiàng)；(2)若數(shù)列an是首項(xiàng)為1的“T數(shù)列”，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且i=1nai4=(3)設(shè)數(shù)列an為“T數(shù)列”，a1>1，T<0，記Sn為an的前n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列1a【答案】(1)a1=2，a2=(2)B(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)a1=2，（2）根據(jù)i=1nai4=i=1nai2+log2（3）構(gòu)造函數(shù)fx=2ln【詳解】（1）由a1=2，得a22=a32=a42=（2）設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，q>0由i=1nai兩式相減得an+1由i=1nai整理得T?1a又an是首項(xiàng)為1的“T數(shù)列”，所以a12=1，則T?11?T=T?log2q,又a12=1，a所以bn又n?1b所以Bn（3）令fx=2ln所以fx在區(qū)間0,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，且當(dāng)x>1時(shí)，fx<0，即又a1>1，T<0，所以則a2>1，依次迭代可知所以2lnan所以lna12<a將這