福建省泉州市2025屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（三）數(shù)學(xué)試題及參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題僅有一個(gè)選項(xiàng)正確.1.（）A.B.C.D.2.已知向量合滿足，且，則與的夾角為（）A.B.C.D.3.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.4.已知圓柱的底面半徑與球的半徑均為1，且圓柱的側(cè)面積等于球的表面積，則該圓柱的母線長等于（）A.B.C.D.5.已知的展開式中的系數(shù)為0，則的值為（）A.B.C.D.6.已知拋物線的準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，以為圓心的圓與和軸都相切，則該圓被軸解得的弦長等于（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)，若，，則的值可以是（）A.B.C.D.8.如圖，已知是圓錐的軸截面，分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線垂直的平面截圓錐，截口曲線是拋物線的一部分.若在上，則的最大值為（）A.B.C.D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，現(xiàn)加入兩個(gè)正整數(shù)構(gòu)成新樣本數(shù)據(jù)，與原樣本數(shù)據(jù)比較，下列說法正確的是（）A.若平均數(shù)不變，則B.若極差不變，則C.若，則中位數(shù)不變D.若，則方程不變10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.曲線關(guān)于直線對(duì)稱C.在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)D.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說法正確的是（）A.若是等差數(shù)列，則B.若不是遞增數(shù)列，則C.若，則D.若的最小值為，則三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.等比數(shù)列中，，，則的前4項(xiàng)和等于.13.如圖，假定兩點(diǎn)以相同的初速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)沿直線做勻速運(yùn)動(dòng)，；點(diǎn)沿線段（長度為單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離（）.令與同時(shí)分別從出發(fā)，則數(shù)學(xué)家納皮爾定義為的對(duì)數(shù)中，與的對(duì)應(yīng)關(guān)系就是，其中為自然對(duì)數(shù)的底.若點(diǎn)從線段的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到靠近的四等分點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)從運(yùn)動(dòng)到，則.14.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，線段交軸于點(diǎn).若，且，則的離心率等于.四、解答題：本題共5小題，第15題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求四邊形的面積.16.如圖，四棱臺(tái)中，底面是邊長為4的菱形，，，.（1）證明：平面；（2）證明：平面；（3）若該四棱臺(tái)的體積等于，且，求直線到平面的距離.17.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.18.已知雙曲線，點(diǎn)在上，過分別作軸和軸的垂線，垂足分別為和，記線段的中點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）過的直線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn).證明：（?。?；（ⅱ）.19.編號(hào)為的個(gè)球依次被等可能地涂成黑色或白色，設(shè)編號(hào)為奇數(shù)的黑色球的個(gè)數(shù)為，編號(hào)為偶數(shù)的白色球的個(gè)數(shù)為，記事件“”為，.（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，證明：.參考答案一、選擇題題號(hào)12345678答案ACDBADBC二、選擇題題號(hào)91011答案ACADABD三、填空題12.13.14.四、解答題15.解：（1）在中，由，得，∴，.（2）∵，∴，由（1）可得，在中，由，即，整理得，解得（舍去）或，在中，邊上的高為，故四邊形的面積為.16.解：（1）（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，由四棱臺(tái)，得平面平面，又平面平面，平面平面，∴，又，∴四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，∴平面.（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，，∴，∴，由（1），知，又，∴，∵，∴，又平面，，∴平面.（3）延長交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，，則的中點(diǎn)均為，，，∵，∴，，又平面，，∴平面，又平面，∴平面平面，過點(diǎn)作于，且平面平面，平面，∴平面，故為點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，∵，∴點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，又中，，,，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，∴，解得，∴直線到平面的距離為.17.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又∵，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2），由題意得，，恒成立.令，則，且在上單調(diào)遞增，令，解得，∴當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，∴，又，當(dāng)且僅當(dāng)，故.（3）∵，∴題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，.即，，整理得，∵，∴，故題意等價(jià)于.設(shè)，則，化簡得，令，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取到最小值，即，即，∴，∴當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴的最小值為，故.18.解：（1）設(shè),,則，，.又線段的中點(diǎn)為，∴，即①將①代入得.∴的方程為.（2）①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直線為軸，顯然，又雙曲線的對(duì)稱性易得.②（?。┊?dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，則.由，消去，可得，∴，化簡得.將代入得：，整理得：，又，即，∴，即，解得.又，∴，故.（ⅱ）設(shè). 由，消去，可得，當(dāng)時(shí)，由韋達(dá)定理得，即.∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，即.綜合①②，，.19.解：（1）由涂黑色且編號(hào)為奇數(shù)的球的號(hào)碼和涂白色且編號(hào)為偶數(shù)的球的號(hào)碼構(gòu)成的集合表示樣本點(diǎn)，則2個(gè)球涂色共有4個(gè)基本事件，分別為，其中符合的基本事件的有1個(gè)，故.同理1,2,3三個(gè)球涂色，有8個(gè)基本事件，其中符合的基本事件有4個(gè)，分別為，故，又，故.（2）考察前個(gè)球的涂黑色情況，分為三類.第一類：“奇數(shù)數(shù)號(hào)的黑球個(gè)數(shù)對(duì)于偶數(shù)號(hào)白球個(gè)數(shù)”為事件；第二類：“偶數(shù)號(hào)的白球個(gè)數(shù)多于奇數(shù)號(hào)的黑球個(gè)數(shù)”事件，記為，其概率為，顯然事件是偶數(shù)號(hào)白球的個(gè)數(shù)比奇數(shù)號(hào)黑球的個(gè)數(shù)至少多1個(gè)，∴無論第個(gè)球涂黑色還是白色，都不符合事件，即；第三類：“偶數(shù)號(hào)白球個(gè)數(shù)與奇數(shù)號(hào)黑球個(gè)數(shù)相等”事件為，其概率為，；這三類事件兩兩互斥，且概率之和為1，即.