11-13章第十一章靜電場一、選擇題11.1.1.有關“電場”的下列說法，哪一個是不正確的。（）。（A）電場是物質(zhì)存在的一種形式，在電荷的周圍存在著電場這種物質(zhì)；（B）電場強度矢量是描述電場的物理量之一，它是矢量而且是空間的點函數(shù)；（C）電場強度矢量定義為試驗電荷所受到的電場力（庫侖力）與試驗電荷電荷量的比值，因此，空間某處的電場強度與試驗電荷的大小和正負有關。（D）電場強度矢量定義為試驗電荷所受到的電場力（庫侖力）與試驗電荷電荷量的比值，但空間某處的電場強度與試驗電荷的大小和正負無關，它是產(chǎn)生電場的電荷系統(tǒng)和空間點（場點）的函數(shù)。答：C解答：根據(jù)同種電荷相斥、異種電荷相吸引，也就是說電荷與電荷之間存在著相互作用這一實驗事實，我們可以推測，在電荷的周圍存在著一種物質(zhì)，這種物質(zhì)我們稱其為電場。電場是物質(zhì)存在的一種形式。所以A正確。為了定量地描述電場的物質(zhì)屬性，我們引入電場強度矢量這一物理量，它是空間的點函數(shù)?？臻g點不同，這個矢量的大小和方向都有可能不同，所以B是正確的。在電荷系統(tǒng)產(chǎn)生的靜電場當中引入試驗電荷，這個試驗電荷要受到電場力的作用。這個力是庫侖力，它的大小和方向不僅僅與電荷系統(tǒng)產(chǎn)生的電場有關，還與試驗電荷的電荷量的大小以及試驗電荷的正負有關。但這個庫侖力與試驗電荷的比值（包括試驗電荷的電荷量的大小和正負），卻是一個與試驗電荷無關的物理量（矢量）。這個矢量，我們就定義為電場強度矢量，它是電荷系統(tǒng)產(chǎn)生電場的電荷系統(tǒng)以及空間點（場點）的函數(shù)。所以D是正確的，C是錯誤的。11.1.2.帶電量為的粒子（視為點電荷）在帶電量為的點電荷的靜電力作用下，繞點電荷作半徑為的勻速圓周運動。如果帶電粒子和點電荷的電量均增大一倍，，，并且點電荷依然靜止，帶電粒子繞點電荷圓周運動的速度不變，則帶電粒子繞點電荷圓周運動的軌道半徑變?yōu)椋ǎ?。（A）（B）（C）（D）答：D解答：設帶電粒子的電荷增倍后勻速圓周運動的半徑為，則，；，，，11.1.3.如作業(yè)圖11.1.3所示，兩個等量同號點電荷之間的距離為，帶電量為。則P點的電場強度為（）。（A）（B）（C）（D）答：C解答：由電場強度疊加原理，P點的電場強度為11.1.4.如作業(yè)圖11.1.4所示，兩無限大均勻帶電平面A和B，A的電荷面密度為,B的電荷面密度為。則a、b、c處的電場強度大小分別為（）。（A）（B）（C）（D）答：A解答：由無限大帶電平面產(chǎn)生的電場強度，得到三個區(qū)域的電場強度，，11.1.5.如作業(yè)圖11.1.5所示，一帶電量為的點電荷位于立方體的角上，則通過側(cè)面的電場強度通量等于（）。（A）（B）（C）（D）答：C解答：將A點處補充7個正方體，構成點電荷在正中間的大正方體。由高斯定理，穿過大正方體表面的電通量為；而小正方體側(cè)面是大正方體表面的1/24。11.1.6.如作業(yè)圖11.1.6所示，均勻電場的電場強度為，其方向平行于半徑為的半旋轉(zhuǎn)橢球面的軸，則通過此半橢球面的電通量為（）。（A）0（B）（C）（D）答：B解答：將半旋轉(zhuǎn)橢球面與圓面組成一個高斯面。由高斯定理，穿過高斯面的電場強度通量為零，。而，11.1.7.電場中高斯面上各點的電場強度由：（）。（A）分布在高斯面上的電荷決定（B）分布在高斯面內(nèi)的電荷決定（C）空間所有電荷決定（D）高斯面內(nèi)電荷的代數(shù)和決定答：C解答：首先我們說高斯定理是靜電場的一個普遍規(guī)律。穿過一個閉合曲面的電場強度的通量與這個曲面所包圍的電荷量的代數(shù)和成正比。這里特指的是電場強度的通量，而不是電場強度本身。在使用高斯定理要積分的時候，要使用高斯面上的電場強度。高斯面上的電場強度不僅僅是由高斯面內(nèi)的電荷決定、也不是由高斯面內(nèi)的電荷的代數(shù)和決定、更不是高斯面上的電荷決定，是由空間所有電荷及其分布決定。所以A錯誤，B錯誤，C正確，D錯誤。11.1.8.關于真空中靜電場的高斯定理：，下述說法正確的是（）。（A）高斯定理只對具有某種對稱性的靜電場才成立（B）是高斯面內(nèi)外所有電荷的代數(shù)和（C）高斯面上的電場強度只與高斯面內(nèi)的電荷有關（D）電場強度是高斯面內(nèi)、外所有電荷共同激發(fā)的，電荷的代數(shù)和是高斯面所包圍的電荷量的代數(shù)和答：D解答：首先我們說高斯定理是靜電場的一個普遍的規(guī)律，在任何條件下，對于靜電場來說，都是成立的；只不過是，在應用高斯定理來求解靜電場的電場強度的時候，我們得要求這個電荷分布或者說電場強度的分布具有高度的對稱性，那個積分才能夠算得出來，才能夠求得電場強度；至于說高斯定理本身并沒有要求電荷分布或者說電場強度具有高度的對稱性；所以A是錯誤的。在高斯定理中，電荷量的取和是高斯面所包圍著的所有的電荷的代數(shù)和，這個代數(shù)和不包括高斯面外的電荷；所以B是錯誤的。高斯面上的電場強度是所有的電荷共同產(chǎn)生的，不僅僅是高斯面內(nèi)的電荷；所以C是錯誤的。在高斯定理中的電場強度是高斯面內(nèi)外，也就是說整個空間所有的電荷共同激發(fā)的；這個電荷的代數(shù)和，是高斯面所包圍的電荷的代數(shù)和，不包括高斯面外邊的電荷；所以D是正確的。11.1.9.半徑為的均勻帶電球面，若其電荷密度為，則在距離球面處的電場強度的大小為（）。（A）（B）（C）（D）答：C解答：以為半徑做同心球面為高斯面。則穿過高斯面的電通量為高斯面所圍電荷為由高斯定理，得到，11.1.10.如作業(yè)圖11.1.10所示，真空中有一電量為的點電荷位于點，在與它相距為的點另有一電荷量為的點電荷，如果沿半圓到達點，則靜電力做功為（）。（A）（B）（C）（D）0答：D解答：電量為的點電荷產(chǎn)生的靜電場在A、B兩點的電勢相等，對點電荷做功為零。實際上，由于庫侖力是沿著徑向的、而位移是沿著切向的，，11.1.11.如作業(yè)圖11.1.11所示，兩個帶電平行板上各開有一個小孔，距離為。設A板的電勢為，B板的電勢為。帶有電荷的質(zhì)點垂直射入A板的小孔并從B板的小孔出射，則此帶電質(zhì)點的動能增量等于（）。（A）（B）（C）（D）答：B解答：動能的增加等于靜電勢能的減少或者，由電場力（庫侖力）做功等于動能的增量，得到11.1.12.真空中帶電的導體球面與均勻帶電的介質(zhì)球體，它們的半徑和所帶的電量都相同，設帶電球面的靜電能為，帶電球體的靜電能為，則（）。（A）（B）（C）（D）無法確定答：A解答：帶電的導體球面與均勻帶電的介質(zhì)球體在球外空間的電場相同，但帶電的導體球面在球內(nèi)空間的電場為零而均勻帶電的介質(zhì)球體在球內(nèi)空間的電場不為零。因此，均勻帶電的介質(zhì)球體比均勻帶電的導體球面多了球面內(nèi)部的電場的能量。11.1.13.關于靜電場中某點的電勢，下列說法正確的是（）。（A）電勢值只由產(chǎn)生電場的電荷決定（B）電勢值只與電勢的零點選擇有關（C）正電荷產(chǎn)生的電場的電勢一定為正值，負電荷產(chǎn)生的電場的電勢一定為負值（D）電勢值由產(chǎn)生電場的電荷和電勢的零點決定答：D解答：靜電場的電勢值由電場本身的性質(zhì)和電勢零點的選擇有關。而靜電場是由靜止的電荷產(chǎn)生的，所以我們說靜電場的電勢值或者是電勢分布，由產(chǎn)生靜電場的電荷和電勢的零點決定。所以D是正確的。而A說電勢值只能由產(chǎn)生電場的電荷決定，這是不對的，還有電勢零點的選擇呢。而B呢，電勢值只與電勢的零點選擇有關，也是不對的，它還與電場有關呢，或者說與產(chǎn)生靜電場的電荷有關。所以A和B都是錯誤的。再來看C，正電荷產(chǎn)生的電場的電勢一定為正，負電荷產(chǎn)生的電場的電勢一定為負；這也不一定，那還得要看電勢零點的選擇。比如說我們選擇有限遠處為電勢的零點的話，那么離正電荷比這個電勢零點更遠的距離處，電勢值就是負的；而對于負電荷產(chǎn)生的電場，離電勢零點遠的地方，電勢值是正的。當然了，如果選擇無限遠處為電勢的零點，那么正電荷產(chǎn)生的電場的電勢一定為正值，負電荷產(chǎn)生的電場的電勢一定為負值。所以說，靜電場的電勢值與靜電場的性質(zhì)有關，或者與產(chǎn)生靜電場的電荷有關，同時它還與電勢零點的選擇有關。11.1.14.如作業(yè)圖11.1.14所示的電荷量為點電荷電場中，若取P點處為電勢零點，則M點的電勢為（）。（A）；（B）；（C）；（D）。答：C解答：如果取無限遠為電勢零點，則P、M的電勢分別為，靜電場中空間兩點的電勢差與電勢零點的選擇無關，則P、M的電勢差為取P點處為電勢零點（），則M點的電勢為也可以直接積分得到M點的電勢11.1.15.兩個均勻帶電的同心球面，半徑分別為和，所帶電量分別為和，設無窮遠處為電勢零點，則距球心為的點（<<）的電勢為（）。（A）（B）（B）（D）答：A解答：由高斯定理得到電場分布（方向沿徑向），（）；，（）則距球心為的點（<<）的電勢為11.1.16.如作業(yè)圖11.1.16所示，點是兩個相同的點電荷的連線中間，點為中垂線上的一點，則，兩點的電勢和電場強度大小有如下關系（）。（A），（B），（C），（D），答：B解答：（1）取無限遠為電勢零點，負電荷產(chǎn)生的電場的電勢為負，離負電荷越遠電勢越高；再由電勢疊加原理得到，。（2）由電場強度疊加原理，O點電場強度為零，而P點電場強度不為零，則。11.1.17.如作業(yè)圖11.1.17所示，半徑為的均勻帶電球面，總帶點量為，設無窮遠處的電勢為零，則距離球心為（）的P點處的電場強度的大小和電勢為（）。（A），（B），（C），（D），答：B解答：由高斯定理，得到球面內(nèi)、外的電場強度（方向沿徑向），進而求得P點的電勢11.1.18.空間某區(qū)域的三個等勢面如圖16-2所示，已知電勢，設圖中標出、兩點的電場強度大小分別為和，則（）。（A）（B）（C）（4）無法判斷答：A解答：由電場強度與電勢的微分關系，電勢變化大的地方也就是等勢面密的地方，電場強度（大?。┐螅?。11.1.19.如作業(yè)圖11.1.19所示，圖中實線為某電場中的電場線，虛線表示等勢面，由圖可看出電場強度的大小和電勢的高低關系為（）。（A），（B），（C），（D），答：C解答：（1）電場強度的方向指向電勢減小的方向，則。（2）電場線疏密表示電場強度的大小，電場線越密的地方電場強度的值越大。由此可以得出三A、B、C點電場強度大小的關系，。11.1.20.在靜電場中電場線為等間距平行直線的區(qū)域內(nèi)（）。（A）電場強度相同，電勢不同（B）電場強度不同，電勢相同（C）電場強度不同，電勢不同（D）電場強度相同，電勢相同答：A解答：首先我們說電場線的疏密表示了這個區(qū)域電場的強弱。電場線越密的地方，電場強度的值越大；電場線越疏的地方電場強度的值越小。既然這個區(qū)域的電場線是等間距而且是平行直線，那么在這個區(qū)域，電場強度的值是一樣的，也就是說這是均勻電場，電場強度相同。靜電場的電場線指向電勢減弱的方向，如圖所示，既然是均勻電場，那就除了一些等勢面外，比如說我們圖上畫的A、B、C虛線是等勢面，等勢面之間的電勢是不等的。因此在這個區(qū)域中，電勢是不同的。11.1.21.下列說法正確的是（）。（A）等勢面上各點的電場強度的大小一定相等（B）電場強度小的地方電勢不一定低，電勢高的地方電場強度一定大（C）沿電場線方向移動負電荷，負電荷的電勢能是增加的（D）初速度為零的點電荷在電場力的作用下運動，它總是從高電勢處移向低電勢處答：C解答：（1）等勢面說的是在這個空間曲面上各點的電勢相等，不代表電場強度就一定相等。如處于靜電平衡的導體，它的表面是個等勢面，但導體表面曲率不同的地方的面電荷密度不同，從而它的電場強度大小也是不一樣的。A錯誤。（2）由電場強度與電勢的微分關系，電場強度是電勢的梯度。電場強度的大小與電勢的空間變化率成正比，是與電勢的空間變化有關，而不是與電勢的高低有關。所以B錯誤。（3）沿著電場線方向移動負電荷，注意是負電荷，電場力是做負功。因此，這個負電荷的電勢能是增加的。因此C是正確的。（4）初速度為零的點電荷在電場力的作用下運動，電場力一定是做正功，電荷的電勢能一定是減少的；但不代表靜電場的電勢就一定減小。比如，在靜止的正電荷所產(chǎn)生的靜電場當中，如果一個正電荷在這個場中由初速度為零開始在靜電場力的作用下運動，那么正電荷逐漸遠離產(chǎn)生靜電場的正電荷，運動的正電荷確確實實是從高電勢向低電勢處運動；但如果運動電荷是負電荷，那在正電荷產(chǎn)生的靜電場當中，在電場力的作用下，負電荷要向著到正電荷運動，負電荷由低電勢向高電勢處運動。因此D錯誤。11.1.22.當一個帶電導體達到靜電平衡時（）。（A）導體表面上電荷密度較大處的電勢較高（B）導體表面曲率較大處電勢較高（C）導體內(nèi)部的電勢比導體表面的電勢高（D）導體內(nèi)任一點與其表面上任一點的電勢差等于零答：D解答：這個題目涉及到的是達到靜電平衡時導體的電勢問題。達到靜電平衡時，導體是個等勢體，導體的表面是個等勢面。達到靜電平衡時，導體表面上電勢處處相等，與導體表面面電荷密度無關，A錯誤。達到靜電平衡時，導體表面上的電勢處處相等，與導體表面的曲率無關，B錯誤。達到靜電平衡時，導體是個等勢體、導體的表面是個等勢面，導體上的電勢處處相等，導體上的任意兩點（包括表面）的電勢差等于零。C錯誤，D正確。11.1.23.在一個孤立導體球殼內(nèi)，如果在偏離球心處放一個點電荷，則球殼內(nèi)、外表面上將出現(xiàn)感應電荷。則下面哪一個是正確的（）。（A）球殼內(nèi)、外表面感應電荷均勻分布（B）球殼內(nèi)表面感應電荷不均勻分布，外表面感應電荷均勻分布（C）球殼內(nèi)表面感應電荷均勻分布，外表面感應電荷不均勻分布（D）球殼內(nèi)表面感應電荷不均勻分布，外表面感應電荷不均勻分布答：B解答：這是一個有關處于靜電平衡導體表面電荷分布的問題。處于靜電平衡的導體，它的電荷只能分布在導體的表面。因為這個是個球殼，導體表面的曲率處處相等。對于球殼外表面，外部沒有其他的電荷，所以球殼外表面的電荷應該是均勻分布的。對于球殼內(nèi)表面，如果殼內(nèi)沒有電荷，那么內(nèi)表面沒有電荷分布；如果殼內(nèi)有電荷但處在球心處，那么內(nèi)表面有感應電荷而且是均勻分布的；如果殼內(nèi)這個電荷偏離球心，球殼內(nèi)表面感應電荷就不再是均勻分布的。因此這個問題是，外表面的電荷是均勻分布的，球殼內(nèi)表面感應電荷是不均勻分布的。11.1.24.一封閉導體殼C外有一些帶電體，所帶電荷分別為…?！拇笮內(nèi)的電場強度和電勢的影響為（）。（A）對電場強度有影響，對電勢無影響（B）對電場強度無影響，對電勢有影響（C）對電場強度、電勢均有影響（D）對電場強度、電勢均無影響答：B解答：導體殼內(nèi)沒有電荷，但殼外有電荷。由于殼內(nèi)沒有電荷，由高斯定理，導體殼的內(nèi)表面也就不存在電荷。因此外部電荷的大小及其變化（包括位置）對球殼內(nèi)的電場是沒有影響的。但是導體殼外的電荷的大小及其變化（包括位置）對導體殼的外表面的電荷分布有影響，他們共同使得導體內(nèi)的電場強度為零。導體殼外的電荷的大小及其變化（包括位置）要影響殼外的電場。因為電勢是電場強度的第二類曲線積分，導體殼外的電荷的大小及其變化（包括位置）對導體殼內(nèi)的電勢是有影響的。這個問題是，導體殼外的電荷的大小，對殼內(nèi)的電場強度沒有影響，但是對電勢有影響。11.1.25.關于有介質(zhì)的靜電場的高斯定理，下列說法中正確的是（）。（A）若高斯面內(nèi)不包圍自由電荷，則穿過高斯面的電位移矢量通量和電場強度通量均為0（B）若高斯面上的電位移矢量處處為0，則高斯面外自由電荷的代數(shù)和必為0（C）高斯面上各點電位移矢量僅由面內(nèi)自由電荷決定（D）穿過高斯面的電位移矢量通量僅僅與面內(nèi)自由電荷有關，而穿過高斯面的電通量與高斯面內(nèi)的自由電荷和束縛電荷均有關答：D解答：有電介質(zhì)存在時的高斯定理可以表示為，其中，為高斯面，為高斯面上的電位移矢量，為高斯面上的電場強度矢量，為高斯面所圍著的自由電荷的代數(shù)和，為高斯面所圍著的束縛（極化）電荷的代數(shù)。（1）穿過高斯面的電位移矢量通量僅僅與高斯面所圍著的自由電荷有關，而穿過高斯面的電通量不僅僅與自由電荷有關還與高斯面所圍著的束縛（極化）電荷有關。所以D正確。（2）如果高斯面不包圍自由電荷，穿過高斯面的電位移矢量的通量一定是零；但電場強度通量還與高斯面圍著的束縛電荷有關，不一定為零。A錯誤。（3）高斯定理告訴我們，穿過高斯面的電位移矢量通量與高斯面包圍著的自由電荷有關。如果高斯面上的電位移矢量處處為零，積分為零，也就是電位移矢量通量肯定為零，則高斯面所圍著的自由電荷的代數(shù)和必定為零，高斯面內(nèi)的自由電荷的代數(shù)和為零，不是高斯面外的自由電荷的代數(shù)和為零。所以B錯誤。（4）高斯面上各點的電位移矢量不僅僅是由高斯面內(nèi)自由電荷產(chǎn)生的，它是空間所有電荷，包括高斯面內(nèi)、外的自由電荷以及高斯面內(nèi)、外的束縛電荷共同來決定的。高斯面上各點電位移矢量不僅僅由面內(nèi)自由電荷決定。C錯誤。11.1.26.如作業(yè)圖11.1.26所示，半徑為的導體球帶電荷為，球外套一個內(nèi)外半徑分別為的同心介質(zhì)球殼，介質(zhì)的相對介電常數(shù)為，在距離球心處的P點的電場強度為（）。（A）（B）（C）（D）答：D解答：做半徑為的同心球面為高斯面，由高斯定理得到，；，11.1.27.平行板電容器充電后與電源斷開，然后在兩極板間平行插入一導體平板，則電容，極板間電壓，極板空間的電場強度以及電場的能量將（）。（A）減小，增大，增大，增大（B）增大，減小，減小，不變（C）減小，減小，減小，不變（D）減小，減小，減小，減小答：B解答：電容器內(nèi)插入“導體”板，由于電容器已經(jīng)切斷電源，極板上的電荷量不變；在插入的導體板兩面分別感應出等量的異號電荷；因此，電容器極板間電場強度不變（但導體板內(nèi)電場強度為零）。由于電容器極板間電場強度不變，而由于導體板的插入，導致電場存在的空間變小，電場的能量將減少。電容器極板間電場強度不變，而由于導體板的插入，導致電場存在的空間變小，電勢差（電場強度的積分）變小。電容器儲存電荷不變，但極板電勢差變小，電容器電容增大。11.1.28.一個空氣平行板電容器充電后與電源斷開，然后在兩極板間充滿相對介電常數(shù)為的各向同性均勻電介質(zhì)（如煤油），則兩個極板之間的電場強度、電容、極板之間的電勢差和電場能量四個量與未充入電介質(zhì)之前相比（）。（A），，，（B），，，（C），，，（D），，，答：C解答：電容器內(nèi)加入電介質(zhì)，電容器的電容增大；電容器電荷量不變，極板間電勢差減?。粯O板間電勢差減小，極板間電場強度變?nèi)酰粯O板間電場強度變?nèi)?，而由于電荷量不變電位移矢量不變，電場能量減少。11.1.29.一個空氣平行板電容器充電后與電源斷開，然后將電容器兩電極板之間的距離拉大，則兩個極板之間的電場強度、電容、極板之間的電勢差和電場能量四個量與未拉開極板之前相比（）。（A）不變，變小，變大，變大（B）變大，變小，變大，變大（C）變小，變小，變大，變?。―）變小，變小，變小，變小答：A解答：電荷量不變，則兩個極板之間的電場強度不變。極板之間距離增大，而電場強度不變，則電容器兩極板間的電勢差增大。電荷量不變，電勢差增大，電容器的電容減小。電場強度不變，電場存在的空間增大，則電場能量增加。11.1.30.如作業(yè)圖11.1.30所示，當把一個電介質(zhì)板插入圖中兩個相同電容器中的一個的極板間時，則另一個電容器的電場強度、電容、極板之間的電勢差和電場能量四個量會如何變化（）。（A）變大，不變，變大，變大（B）變大，變大，變小，變大（C）變小，不變，變大，變大（D）變小，變小，變小，變小答：A解答：插入電介質(zhì)的電容器的電容增大，；未插入電介質(zhì)的電容器的電容不變，。另一個電容器的電容不變。電容器串聯(lián)，；由于電源不變，電壓不變。由此得到兩個電容器的電壓，由于電增大，而不變，變??；因此，變大。另一個電容器的電壓變大。由于變大，因此，電場強度增大、電容器儲存的電場能量增大。另一個電容器的電場強度變大、電場能量變大。二、填空題11.2.1．電荷的量子性指的是：；電荷的相對論不變性指的是：；電荷守恒定律指的是：。答：電荷總是以一個基本單元的整數(shù)倍出現(xiàn)；一個電荷的電荷量與它的運動狀態(tài)（速度、加速度）無關，電荷量也不因參考系的變換而改變，或者說，在相對運動的參考系中測得的帶電體的電量相等；在一個與外界沒有電荷交換的孤立系統(tǒng)內(nèi)，正負電荷的代數(shù)和在任何物理過程中始終保持不變。11.2.2．“點電荷”指的是：。答：當一個帶電體本身的線度比起我們所研究的問題中所涉及的距離小很多時，該帶電體的大小和形狀以及電荷在帶電體上的分布狀況等因素的影響可以忽略不計，該帶電體就可以看作一個帶電的點。11.2.3．電場強度定義為：；但空間某點的電場強度與試驗電荷，只由產(chǎn)生電場的電荷。答：置于電場中某點的一個試驗電荷所受的力與它的電荷量的比值稱為電場強度；無關；決定。11.2.4．點電荷的電場強度表達式為：，對于正負電荷都適用；其中表示電荷量，表示的距離，表示由指向的單位矢量。答：；場源點電荷到場點；場源點電荷；場點解答：點電荷產(chǎn)生的電場強度為式中，為場源點電荷到場點的距離，為場源點電荷指向場點的單位矢量。11.2.5．電場強度疊加原理表述為：。點電荷系統(tǒng)在空間某點的電場強度表示為：；電荷連續(xù)分布的帶電體的電場強度表示為：。答：靜止點電荷系統(tǒng)產(chǎn)生的靜電場在空間某點的電場強度，等于每一個點電荷單獨存在時，激發(fā)的電場在該點的電場強度矢量和。這被稱為電場強度疊加原理。，；。11.2.6.如作業(yè)圖11.2.6所示，在坐標原點放置一個電荷量為的點電荷，在距離坐標原點為的點放置一個電荷量為的點電荷。則在坐標軸上電場強度大小為零的坐標值為。答：解答：兩個點電荷分別產(chǎn)生電場，由電場強度的疊加原理，某點的電場強度為零，解得和。其中不合題意舍掉。11.2.7.如作業(yè)圖11.2.7所示，在半徑為的圓弧上有三個點電荷，三個點電荷的電荷量為，，，，則O點的電場強度：方向為____________，大小為________________。答：O點的電場強度方向沿指向O點，解答：由于和的電荷量相等而且對稱分布于O點兩側(cè)，O點的電場強度方向沿指向O點。11.2.8.如作業(yè)圖11.2.8所示，有四根帶電的絕緣細桿，每根的上半部和下半部都各有大小為的電荷均勻分布，電荷的正負如圖所示。則圖a中點的電場方向為____________；圖b中點的電場方向為____________；圖c中點的電場方向為____________；圖d中點的電場方向為____________。答：OX；OY；OY；-OY解答：（1）由a圖，上、下個半段電荷在P點的電場強度分別為、，由對稱性可知，由電場強度疊加原理，得到P的電場強度所以，P點的電場強度方向沿OX軸正方向。（2）由b圖，上、下個半段電荷在P點的電場強度分別為、，由對稱性可知，由電場強度疊加原理，得到P的電場強度所以，P點的電場強度方向沿OY軸正方向。（3）由c圖，上、下個半段電荷在P點的電場強度分別為、，由對稱性可知，由電場強度疊加原理，得到P的電場強度所以，P點的電場強度方向沿OY軸正方向。（4）由d圖，上、下個半段電荷在P點的電場強度分別為、，由對稱性可知，由電場強度疊加原理，得到P的電場強度所以，P點的電場強度方向沿OY軸負方向。11.2.9.如作業(yè)圖11.2.9所示，兩根相互平行的“無限長”均勻帶正電直線相距為，其電荷線密度分別為和，則電場強度等于零的點距離1的距離為。答：解答：由電場強度疊加原理，得到，，11.2.10.如作業(yè)圖11.2.10所示，兩個“無限大”均勻帶電平行平面，電荷面密度都為，則a、b、c點的電場強度分別為（設方向向右為正）：，，。答：，，解答：，，11.2.11.點電荷，，和在真空中的分布如作業(yè)圖11.2.11，圖中為閉合曲面，則通過面的電場強度通量，式中的是點電荷在閉合曲面上任一點電場強度的矢量和。答：；、、、解答：高斯定理說明，穿過高斯面的電場強度通量與這個高斯面所包圍著的電荷的代數(shù)和成正比。圖中高斯面S只圍著和，因此穿過高斯面S的電通量為在高斯定理當中，高斯面上的電場強度是空間所有電荷而產(chǎn)生的。圖中，高斯面上的電場強度是、、、單獨在高斯面上產(chǎn)生的電場強度的矢量和。11.2.12.如作業(yè)圖11.2.12所示，在電場強度的電場中，沿軸放置一底面積為,高為的圓柱面，與左底面距坐標原點為，則通過該閉合圓柱面（高斯面）的電通量=。答：解答：11.2.13.真空中靜電場的高斯定理的數(shù)學表達式為：；也就是說：；反映了靜電場是場。答：或；對于真空中的靜電場，電場強度沿任意閉合曲面的積分（稱為電場強度通量或電通量）等于該曲面包圍的所有電荷量的代數(shù)和除以，與閉合面外的電荷無關；有源場。11.2.14.如作業(yè)圖11.2.14所示，電量為的試驗電荷，在帶電量為的點電荷產(chǎn)生的電場中，沿半徑為的圓弧軌道由點移到點，電場力做功為；再從點移到無窮遠處的過程中，電場力做功為。答：0；解答：（1）帶電量為的點電荷產(chǎn)生的電場中，A點和D點的電勢相等，電量為的試驗電荷由點移到點，電場力不做功。（2）無限遠處的電勢為零，D點的電勢為，電量為的試驗電荷從點移到無窮遠處的過程中，電場力做功為11.2.15.如作業(yè)圖11.2.15所示，=，是以為中心、為半徑的半圓；在、處置有帶電量分別為和的點電荷。（1）把帶電量為的點電荷從點沿移到點，電場力所做的功為；（2）把帶電量為的點電荷從點沿移到無窮遠處，電場力所做的功為。答：；解答：取無限遠處為電勢零點，則由電勢疊加原理B、D點的電勢分別為，把帶電量為的點電荷從點沿移到點，電場力所做的功為把帶電量為的點電荷從點沿移到無窮遠處，電場力所做的功為11.2.16.如作業(yè)圖11.2.16所示，一點電荷的電荷量為。三點分別與點電荷相距為、、。如果取無限遠處為電勢零點，則點電勢為___________；如果選取點為電勢零點，點的電勢為____________。答：，解答：（1）取無限遠處為電勢零點，令，則三點的電勢分別為，，（2）B、C點的電勢差為，（3）電勢差不因電勢零點的變化而變化。如果選取B點為電勢零點，則C點電勢為11.2.17.如作業(yè)圖11.2.17所示，兩個無限大的均勻帶電平板、，相距，板上電荷面密度為，板帶正電，板帶負電并接地，則兩板間離板距離處的點的電勢，板的電勢。答：，解答：板間電場強度方向向下，大小為點的電勢為板的電勢11.2.18.如作業(yè)圖11.2.18所示，一半徑為的均勻帶電球面，電荷面密度為，、兩點與球心相距為和，則、兩點之間的電勢差。答：解答：由高斯定理可以計算出空間電場分布。電場強度方向沿徑向，大小為，（）；，（）取無限遠處為電勢零點，則a點電勢為b點電勢為則、兩點之間的電勢差11.2.19.如作業(yè)圖11.2.19所示，在點電荷的電場中，和分別為等勢面上、兩點的電勢，則（填>,<或=）；沿任意路徑移動試驗電荷，由到，則電勢能增量為（取無窮遠處為電勢能零點）。答：；解答：在點電荷的電場中，電場強度方向指向點電荷；所以，指向點電荷的方向為電勢減小的方向，由此，。沿任意路徑移動試驗電荷，由到，則電勢能增量為11.2.20.真空中靜電場的環(huán)路定理的數(shù)學表達式為：；也就是說：；反映了靜電場是場。答：；在靜電場中，電場強度沿任一閉合路徑的線積分（稱為電場強度的環(huán)流）恒為零；無旋場。11.2.21.如作業(yè)圖11.2.21所示，點有點電荷，點有點電荷，、距離為，則、連線中點的電勢。答：解答：取無限遠處為電勢零點。由電勢疊加原理，、連線中點的電勢為11.2.22.邊長為的正三角形，其三個頂點上各放置帶電荷量分別為的點電荷，則此三角形中心處的電勢_____________。答：解答：三個點電荷到正三角形中心處的距離為取無限遠處為電勢零點，由電勢疊加原理，正三角形中心處的電勢為11.2.23.一半徑為的均勻帶電圓環(huán)，電荷線密度為，設無限遠處電勢為零，則圓心處的電勢為。答：解答：取無限遠處為電勢零點，由電勢疊加原理，圓心處的電勢為11.2.24．一半徑為的均勻帶電圓盤，電荷面密度為，設無窮遠處為電勢零點，則圓盤中心點的電勢為。答：解答：在圓盤上取的圓環(huán)，圓環(huán)上的電荷量為；這些電荷到圓盤中心的距離均為，這些電荷在圓盤中心的電勢為則圓盤中心點的電勢為（無限遠處為電勢零點）11.2.25.半徑為的帶電圓盤上電荷分布是非均勻的，其電荷面密度，其中是常數(shù)，是圓盤上某點到圓盤圓心的距離。則圓盤圓心處的電勢______________。答：解答：在圓盤上取的圓環(huán)，圓環(huán)上的電荷量為；這些電荷到圓盤中心的距離均為，這些電荷在圓盤中心的電勢為則圓盤中心點的電勢為11.2.26.電勢相等的點所構成的面稱為，電場中任一點的電場強度矢量等于該點電勢的負值。答：等勢面；梯度11.2.27.一無限長均勻帶電直線沿軸放置，線外某區(qū)域電勢表達式，式中為常量，則該區(qū)域中電場強度的三個分量：=，=，=。答：，，解答：由電勢與電場強度的微分關系，得到11.2.28.在一個半徑為的帶電球內(nèi)電勢的分布隨著半徑變化，若，其中是常量，且。則球內(nèi)的電場分布________________。答：解答：電場強度是徑向分布的，由電勢與電場強度的微分關系，得到11.2.29.導體達到靜電平衡時，導體內(nèi)部各點電場強度為，導體上各點電勢，導體內(nèi)處處無凈電荷，凈電荷只能分布在它的。答：0，相等，表面11.2.30.一負電荷靠近一個不帶電的孤立導體時，導體內(nèi)電場強度的大小為。答：011.2.31.如作業(yè)圖11.2.31所示，把一塊兩個表面電荷面密度之和為的無限大導體平板置于均勻電場中，與板面垂直，則導體左側(cè)表面電荷面密度，左側(cè)表面外附近的電場強度；導體右側(cè)表面電荷面密度，右側(cè)表面外附近的電場強度。答：；；；。解答：導體板內(nèi)的電場由和以及外加電場疊加而成，所以再由電荷守恒，得到，左側(cè)表面外附近的電場強度為或右側(cè)表面外附近的電場強度為或11.2.32.如作業(yè)圖11.2.32所示，兩塊金屬導體板，面積為（忽略邊緣效應，可視為無限大平面）分別帶有電荷和，當達到靜電平衡時，兩金屬板表面的電荷面密度為：_________，_________，__________，___________。答：，，，。解答：由電荷守恒和導體內(nèi)電場強度為零（靜電平衡），得到，，，聯(lián)立方程，得到，11.2.33.一金屬球殼的內(nèi)外半徑分別為和，所帶電荷量為，在球殼內(nèi)距球心為處有一電荷量為的點電荷，則球心處的電勢為。答：解答：由高斯定理可知，金屬球殼的內(nèi)表面帶有電荷（非均勻分布）；由電荷守恒可知，金屬球殼的外表面帶有電荷（均勻分布）。金屬球殼的內(nèi)表面帶有電荷（非均勻分布）在球心處的電勢為金屬球殼的外表面帶有電荷（均勻分布）在球心處的電勢為則由電勢疊加原理，球心處的電勢為11.2.34.兩平行極板之間充滿相對介電常數(shù)為的均勻電介質(zhì)，已知極板電荷面密度分別為和，則極板間電介質(zhì)中電場強度，極化強度，電位移，極化電荷面密度。答：，，，解答：由高斯定理，直接得到電容器內(nèi)電位移矢量的量值由此得到電容器內(nèi)電場強度極化強度極化電荷面密度11.2.35.在間距為的平行板電容器中，平行地插入一塊厚為的金屬大平板，則電容變?yōu)樵瓉淼谋丁Ｈ绻迦氲氖且粔K厚為、相對介電常數(shù)為=4的大介質(zhì)平板，則電容變?yōu)樵瓉淼谋?。答：，解答：設極板的面積為。（沒有插入導體板和電介質(zhì)）假設電容器兩極板帶電量為，則由高斯定理得到，電容器兩極板間的電勢差為電容器電容為，（1）作業(yè)圖11.2.35-1所示，平行地插入一塊厚為的金屬大平板。設電容器兩極板帶電量為，則在金屬板的兩側(cè)感應出電荷。在金屬板內(nèi)的電場強度為零，在電容器兩個極板與金屬板之間存在均勻電場，電場強度為，；，電容器兩極板之間的電勢差為電容器電容為，（2）作業(yè)圖11.2.35-2所示，平行地插入一塊厚為的電介質(zhì)大平板。設電容器兩極板帶電量為，則電介質(zhì)被極化。在電容器內(nèi)存在均勻電場，電場強度為，；，電容器兩極板之間的電勢差為電容器電容為，11.2.36.如作業(yè)圖11.2.36所示，一平行板電容器充滿兩種均勻電介質(zhì)，其厚度分別為和，相對介電常數(shù)分別為和。設兩板間的電勢差為，則兩板上的自由電荷面密度為，兩介質(zhì)分界面上的束縛電荷面密度為。答：，解答：（1）設兩板上的自由電荷面密度為。電位移矢量均勻分布并沿板間方向。由高斯定理，得到電容器內(nèi)電位移矢量的量值，進而得到電容器內(nèi)雙層電介質(zhì)內(nèi)的電場強度；，由此得到兩板間的電勢差和自由電荷面密度的表達式；（2）由得到雙層介質(zhì)中的極化強度，兩介質(zhì)分界面上的束縛電荷面密度為，11.2.37.一平行板電容器，充電后斷開電源，然后在兩極板間充滿相對介電常數(shù)為的各向同性均勻電介質(zhì)，此時2個極板間的電場強度為原來的倍，電場能量是原來的倍。答：，解答：平行板電容器，充電后斷開電源，自由電荷不變，則電位移矢量不變，。；11.2.38.一空氣平行板電容器，充電后仍與電源相連，電源電壓為，極板面積為，極板間距為。將相對介電常數(shù)為的各向同性的介質(zhì)均勻充滿兩極板間，則兩極板間電場強度的大小、電容器電容=_____________、電荷=____________、電場能量=__________________。答：，，，解答：平行板電容器，充電后仍與電源相連，電壓不變（自由電荷變化）。，電容器電容電場能量三計算題11.3.1.如作業(yè)圖11.3.1所示，兩個電荷量都是的點電荷，相距，連線中點為，求連線中垂線上與相距為的P點的電場強度；為多少時P點的電場強度最大？解：如作業(yè)圖11.3.1-1所示，兩個電荷量都是的點電荷在P點的電場強度大小相等兩個點電荷在P點的電場強度關于中垂線對稱，則總電場強度沿中垂線，大小為電場強度大小最大的地方，；11.3.2.如作業(yè)圖11.3.2所示，一根長為的均勻帶電細桿，其電荷線密度為，在桿的延長線上，與桿的一端距離為的P點處，有一電荷量為的點電荷。試求：該點電荷所受的電場力。解：選棒的左端點為坐標原點，軸沿桿的方向。如作業(yè)圖11.3.2-1所示，在處取電荷元：，它在點產(chǎn)生的電場強度為由于各小段電荷在點產(chǎn)生的電場強度方向相同，整個桿上電荷在點的電場強度為點電荷所受的電場力為11.3.3.如作業(yè)圖11.3.3所示，一根很長的均勻帶電絕緣棒，長為，其單位長度上的電荷量為，試求距棒的一端垂直距離為（）的P點處的電場強度。解：選坐標如作業(yè)圖11.3.3-1所示，取距原點處的電荷元，其到點的距離為，在點產(chǎn)生的電場強度大小為方向如圖所示，沿軸的分量為，由于，則，又，于是，所以，點處的電場強度大小為，方向與軸的夾角：11.3.4.如作業(yè)圖11.3.4所示，在邊長為的正方形的頂點處分別放置電荷量為的點電荷，求頂點P處的電場強度與電勢。解：P處的電場強度大小P處的電勢11.3.5.如作業(yè)圖11.3.5所示，一電荷線密度為的導線彎成一段半徑為的圓弧，圓弧所對圓心角為。試求圓心處的電場強度和電勢。解：如作業(yè)圖11.3.5-1所示，在圓形帶電圓環(huán)上的角度處取元電荷。（1）元電荷在圓心處的電場強度大小為由對稱性可知，圓心處的電場強度沿方向，則（2）元電荷在圓心處的電勢圓心處的電勢11.3.6.如作業(yè)圖11.3.6所示，一個半徑為的半圓形帶電細線，其上電荷線密度為，試求環(huán)心處的電場強度和電勢。解：將帶電圓環(huán)看做無數(shù)電荷元組成，如作業(yè)圖11.3.6-1所示，在與軸夾角為處取電荷元，其帶電荷量為其在點處產(chǎn)生的電場強度在沿、軸的分量為，所以，環(huán)心處的電場強度半圓環(huán)在環(huán)心處的電勢為11.3.7.如作業(yè)圖11.3.7所示，一寬為的無限長均勻帶電絕緣薄板，其上電荷面密度為，試求薄板所在平面內(nèi)距薄板邊緣為處的電場強度。解：如作業(yè)圖11.3.7-1所示，無限長均勻帶電平面薄板可以看成由許多平行的無限長帶電直線組成。任取處的寬度為的小長窄條，它在P點產(chǎn)生的電場強度大小為方向如圖所示。由于各小段在點產(chǎn)生的電場強度方向相同，整個帶電平面薄板在P點產(chǎn)生的電場強度為11.3.8.一均勻帶電圓柱面，半徑為，長度為。電荷面密度為，求其底面中心處P點的電場強度。解：如作業(yè)圖11.3.8-1所示，將帶電圓柱面分成許多極窄的圓環(huán)。圓環(huán)上帶電荷量，它在點產(chǎn)生的電場強度為方向沿軸。則整個帶電圓柱面在點產(chǎn)生的電場強度為，方向沿軸。11.3.9.一半徑為的半球殼，均勻帶有電荷，電荷面密度為，求球心處的電場強度的大小和電勢。解：（1）如作業(yè)圖11.3.9-1所示，將半球殼分割為一組平行的細圓環(huán)，可看出所有平行的圓環(huán)在軸線上的電場強度的方向都相同，且任一圓環(huán)所帶電荷量在點處的電場強度由于平行的細圓環(huán)在點激發(fā)的電場強度方向都相同，利用幾何關系，，統(tǒng)一積分變量，有積分得（2）半球殼面上的電荷元在球心處的電勢為球心處的電勢為11.3.10.一半徑為的無線長半圓柱薄筒，其上均勻帶電，單位長度上的帶電荷量為，求半圓柱面軸線上一點的電場強度。解：取無限長半圓柱面薄筒的橫截面，建立直角坐標系，且原點在軸線上，如作業(yè)圖11.3.10-1所示。沿弧長方向取一長度為的細條，此細條單位長度上的電荷量為由無限長帶電直線在附近一點產(chǎn)生的電場強度，可得該帶電細條在點處產(chǎn)生的電場強度大小為方向如圖所示。在沿軸的分量為，整個帶電半圓柱薄筒在點處產(chǎn)生的電場強度為，所以，11.3.11.如作業(yè)圖11.3.11所示，一無限大均勻帶電薄平板，電荷面密度為，在平板中部有一半徑為的小圓孔。求圓孔中心軸線上與平板相距為的一點P的電場強度。解：該題宜用補償法求解。本題的電場分布雖然不具有對稱性，但可利用具有對稱性的無限大帶電平面和帶電圓盤的電場疊加，求出電場分布。若把小圓孔看做等量的正、負電荷重疊而成，挖去圓孔的帶電平板等效于一個完整的帶電平板和一個帶相反電荷（電荷面密度）的帶電圓盤。由此，中心軸線上的電場強度等效于平板和圓盤各自獨立在該處激發(fā)的電場的矢量和。由此可知，無限大帶電平面附近的電場強度帶電圓盤（電荷面密度）軸線上的電場強度點處的合電場強度在圓孔中心處，，則；在距圓孔較遠時，則注：為沿平面外法線的單位矢量。11.3.12.兩個無限長同軸圓柱面，半徑分別為和（>）,帶有等量異號電荷，每單位長度的電荷量為，試分別求出離軸線為處的電場強度：（1）；（2）；（3）。解：如作業(yè)圖11.3.12-1所示，沿同軸方向取半徑為、長的同軸圓柱面做為高斯面。由對稱性可知，高斯面的側(cè)面上電場強度大小處處相等方向沿垂直于側(cè)面的方向，高斯面兩個底面處電場強度與面積元垂直。穿過高斯面的電場強度通量為（1）對于區(qū)域，高斯面所圍電荷為零，由高斯定理，得到，（2）對于區(qū)域，高斯面所圍電荷為零，由高斯定理，得到，（3）對于區(qū)域，高斯面所圍電荷為，由高斯定理，得到，11.3.13.半徑分別為和（）的2個同心球面，小球面上帶電量為，大球面上帶電量為，各球面上的電荷均勻分布。分別求離球心為（1），（2），（3）各處的電場強度。解：如作業(yè)圖11.3.13-1所示，取半徑為的同心球面做為高斯面。由對稱性可知，高斯面的側(cè)面上電場強度大小處處相等、方向沿徑向，高斯面上電場強度與面積元平行。穿過高斯面的電場強度通量為（1）對于區(qū)域，高斯面所圍電荷為零，由高斯定理，得到，（2）對于區(qū)域，高斯面所圍電荷為，由高斯定理，得到，（3）對于區(qū)域，高斯面所圍電荷為，由高斯定理，得到，11.3.14.設在半徑為的球體內(nèi)所帶電荷對稱分布，電荷體密度為其中為一常量。試用高斯定理求電場分布。解：如作業(yè)圖11.3.14-1所示，取半徑為的同心球面做為高斯面。由對稱性可知，高斯面的側(cè)面上電場強度大小處處相等、方向沿徑向，高斯面上電場強度與面積元平行。穿過高斯面的電場強度通量為（1）對于區(qū)域，高斯面所圍電荷為由高斯定理，得到，（2）對于區(qū)域，高斯面所圍電荷為由高斯定理，得到，11.3.15.在點電荷的電場中，若取以為中心、為半徑的球面上的A點作為電勢零點，求距點電荷為處的P點的電勢。解：如作業(yè)題11.3.5-1所示，點電荷激發(fā)的電場的電場強度沿著徑向。如果，即場點（點）在以為半徑的球面內(nèi)，則電場強度先由點沿徑向積分到點、再沿圓弧由點積分到點，得到點的電勢如果，即場點（點）在以為半徑的球面外，則電場強度先由點沿徑向積分到點、再沿圓弧由點積分到點，得到點的電勢總之，無論點在有限遠點的何處，其電勢均表示為11.3.16.如作業(yè)圖11.3.16所示，無限長均勻帶電直線的電荷線密度為，電勢零點選在距離直線的地點，求直線外任一點處的電勢。解：如作業(yè)圖11.3.16-1所示，取點為電勢零點。積分路徑由點沿帶電直線方向到點，再由點沿徑向到點。無限長均勻帶點直線的電場沿徑向，大小為。11.3.17.如作業(yè)圖11.3.17所示，兩個同心的帶電球面，半徑為和，分別均勻地帶有電荷和，求：（1）兩球面間的電場強度分布；（2）兩球面間的電勢差。解：（1）如作業(yè)圖11.3.17-1所示，取半徑為的同心球面做為高斯面。由對稱性可知，高斯面的側(cè)面上電場強度大小處處相等、方向沿徑向，高斯面上電場強度與面積元平行。穿過高斯面的電場強度通量為對于區(qū)域，高斯面所圍電荷為，由高斯定理，得到，（2）取積分路徑為徑向，兩球面間的電勢差為11.3.18.如作業(yè)圖11.3.18所示，一個均勻帶電的球殼，其電荷體密度為，球殼內(nèi)表面半徑為，外表面半徑為，設無窮遠處為電勢零點，求空腔內(nèi)任一點P的電勢。解：如作業(yè)圖11.3.18-1所示，由高斯定理可知，空腔內(nèi)任一點的電場強度。所以，該空腔為一等勢體，任一點的電勢都等于球心點處的電勢。在帶電球殼內(nèi)取半徑為、厚度為的薄球殼，其帶電荷量為帶電球殼電荷在球心處產(chǎn)生的電勢為根據(jù)電勢疊加原理，整個帶電球殼在處產(chǎn)生的電勢為空腔內(nèi)任一點的電勢為11.3.19.電荷量均勻地分布在長為的細棒上。如作業(yè)圖11.3.19所示，取細棒沿軸方向，軸垂直于棒，坐標原點在棒的中心點。求坐標為的一點的電勢，并利用電勢梯度求點處沿方向的電場強度。解：將細棒看做由許多線段元組成，每個線段元帶電荷量為在的電勢為整個細棒在的電勢為點的電場強度在方向的分量為11.3.20.根據(jù)電場強度與電勢的微分關系，求下列電場的電場強度：（1）點電荷的電場；（2）帶電荷量為、半徑為的均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場；（3）電偶極子的電場。解：（1）點電荷電場中的電勢分布點電荷電場中電場強度的分布（2）如作業(yè)圖11.3.20-1所示，在均勻帶電圓環(huán)上取一線元，若電荷線密度為，則其帶電荷量為，其在點激發(fā)的靜電場的電勢整個帶電圓環(huán)在點激發(fā)的靜電場的電勢為整個帶電圓環(huán)在點激發(fā)的靜電場的電場強度（3）如作業(yè)圖11.3.20-2所示，電偶極子中在點的電勢分別為，根據(jù)電勢的疊加原理，點的電勢為對偶極子而言，，所以，于是，上式可寫成點的電場強度在軸上的分量分別為，所以，點的電場強度的值為當時，即點在電偶極矩的延長線上，有當時，即點在電偶極矩的中垂線上，有11.3.21.半徑為的導體球外面同心地罩著一內(nèi)外半徑分別為和的導體球殼。若球和球殼分別帶有電荷和，試求：（1）球和球殼的電勢以及它們的電勢差；（2）若將球殼接地，求它們的電勢差；（3）若用導線將球和球殼連接，其電勢差又是多少？解：（1）如作業(yè)圖11.3.21-1所示，導體球帶電荷只能均勻分布于導體球表面，導體球殼帶電荷只能均勻分布于導體球殼內(nèi)表面和外表面。設導體球殼內(nèi)表面和外表面的電荷為和，則。靜電平衡，導體內(nèi)電場強度為零。由高斯定理求得導體球到導體球殼內(nèi)表面之間以及導體球殼外的電場強度（方向沿徑向）（）；（）。球的電勢（取無限遠為電勢零點）球殼的電勢（取無限遠為電勢零點）導體球與導體球殼的電勢差（2）如作業(yè)圖11.3.21-2所示，球殼接地。導體球電荷不變，球殼外表面電荷為零，球殼內(nèi)表面電荷為。導體球到導體球殼內(nèi)表面之間的電場強度不變。導體球與導體球殼的電勢差不變（3）若用導線將球和球殼連接，則導體球和導體球殼成為一個導體，電勢差為零。11.3.22.如作業(yè)圖11.3.22所示，三塊平行金屬板、、，面積均為。、間距為，、間距為。、兩板都接地，板帶正電荷，（不計邊緣效應）。求:（1）、板上的感應電荷的大??；（2）板的電勢。解：如作業(yè)圖11.3.22-1所示，設導體C、A、B的6個表面的電荷密度依次為、、、、、。由于B、C接地，所以、。由電荷守恒，得到=1\*GB3①由于導體內(nèi)電場強度為零，由高斯定理得到=2\*GB3②=3\*GB3③導體C、A間和導體A、B間的電場強度分別為，由此得到導體C、A間和導體A、B間的電勢差由于，兩式相加，得到=4\*GB3④聯(lián)立方程，得到，，，（1）B、C板上的感應電荷分別為（2）板的電勢11.3.23.如作業(yè)圖11.3.23所示，金屬球殼的內(nèi)外半徑分別為、，在球殼內(nèi)距球心為處有一電荷量為的點電荷。試（1）描述此時感應電荷的分布；（2）計算球心O處的電勢；（3）若使球殼帶電荷，重復討論（1）和（2）。解：如作業(yè)圖11.3.23-1所示，設導體球殼內(nèi)外表面帶有電荷分別為和。（1）由高斯定理可知，；但由于不在球心，導體球殼內(nèi)表面電荷不是均勻分布，靠近點電荷的表面電荷分布密，遠離點電荷的表面電荷分布稀。由于電中性，導體球殼外表面帶有電荷為；而且電荷在導體球殼外表面均勻分布。（2）取無限遠處為電勢零點。點電荷在的球心O處的電勢為導體球殼內(nèi)表面電荷在的球心O處的電勢為導體球殼外表面電荷在的球心O處的電勢為所以，根據(jù)電勢疊加原理，球心O處的電勢為（3）若使球殼帶電荷，則導體球殼外表面帶有電荷為；電荷分布的形式不變。球心O處的電勢為11.3.24.在無限大均勻電介質(zhì)（相對介電常數(shù)為）中有一個半徑為、電荷為的導體球，求介質(zhì)中的電場強度。解：如作業(yè)圖11.3.24-1所示，電荷均勻地分布于半徑為的導體球表面。因此，電荷在介質(zhì)中產(chǎn)生的電場具有球?qū)ΨQ性；從而介質(zhì)中的電位移矢量也具有球?qū)ΨQ性。取半徑為（）的球面為高斯面。則由介質(zhì)中的高斯定理，得到，所以，介質(zhì)中電場強度為11.3.25.一個半徑為的金屬球，帶電荷量為，球外有一層同心球殼的均勻電介質(zhì)，其內(nèi)、外半徑分別為、，相對介電常數(shù)為。求：（1）空間的電位移和電場強度的分布；（2）空間的電勢分布；（3）介質(zhì)內(nèi)極化強度和介質(zhì)層內(nèi)、外表面上的極化電荷面密度。解：（1）由于自由電荷分布具有對稱性，所以電位移分布也具有對稱性。如作業(yè)圖11.3.25-1所示，選取半徑為的同心球面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理可以得到，當時：，；當時：，；當時：，；當時：，。當時，電場強度和電位移方向都沿球半徑向外；當時，電場強度和電位移方向都沿球半徑向內(nèi)。（2）電勢分布當時（金屬球內(nèi)）：當時（金屬球與介質(zhì)殼之間的真空區(qū)域）：當時（介質(zhì)殼內(nèi)）：當時（介質(zhì)殼外的真空區(qū)域）：（3）因為，得到介質(zhì)內(nèi)的極化強度由此得到介質(zhì)層內(nèi)、外表面上的極化電荷面密度分別為11.3.26.如作業(yè)圖11.3.26所示，球形電容器由半徑為的導體球和與它同心的導體球殼構成，球殼內(nèi)半徑為。導體球與球殼之間充滿兩層相對介電常數(shù)分別為和的均勻電介質(zhì)，分界面的半徑為，求該電容器的電容。解：如作業(yè)圖11.3.26-1所示，取半徑為的同心球面為高斯面，由高斯定理，當時（內(nèi)層介質(zhì)內(nèi)）：，；當時（外層介質(zhì)內(nèi)）：，。電容器兩極板間的電勢差為所以，該電容器的電容11.3.27.如作業(yè)圖11.3.27所示，同軸電纜由半徑為的導線和半徑為的導體圓筒構成，在內(nèi)外導體間用介電常數(shù)分別為和的兩層電介質(zhì)隔離，分界面的半徑為。求此電纜單位長度上的電容。解：設同軸電纜內(nèi)，導體單位長度上的帶電荷量為，則電介質(zhì)中離軸心為點的電場強度為，內(nèi)外導體間的電勢差所以，電纜單位長度上的電容為11.3.28.兩個同心金屬球殼，內(nèi)球殼半徑為，外球殼半徑為，中間是空氣，構成一個球形空氣電容器。設內(nèi)外球殼上分別帶有電荷和，求：（1）電容器的電容；（2）電容器儲存的能量解：由高斯定理，可以求得電容器內(nèi)的電場強度和電位移矢量大小（方向沿徑向），（1）電容器兩極板電勢差，電容器的電容為（2）電容器內(nèi)，電場能量密度為在電容器內(nèi)取半徑為的同心球殼，體積為。電容器儲存能量11.3.29.如作業(yè)圖11.3.29所示，一平行板電容器中，充以兩種均勻電介質(zhì)，其相對介電常數(shù)分別為和，厚度分別為和，板極面積為，兩板間電壓為，求：（1）電容器的電容；（2）兩電介質(zhì)中的電場能量體密度。解：（1）設電容器極板帶電量為，由高斯定理可以解得電介質(zhì)中的電位移矢量沿正極板指向負極板，大小為由此得到雙層電介質(zhì)中的電場強度，電容器兩極板的電勢差可以表示為；電容器的電容為（2）兩電介質(zhì)中的電場強度和電位移矢量，，兩電介質(zhì)中的電場能量體密度11.3.30.如作業(yè)圖11.3.30所示，一空間平行板電容器，2個極板面積均為，板間距離為（遠小于極板線度），在2個極板間平行的插入一面積也是，厚度為（）的金屬片，試求平行板電容器的電容。解：如作業(yè)圖11.3.30-1所示，設電容器兩極板帶電荷，則由高斯定理，電容器內(nèi)的金屬板的表面感應電荷為。電場分成兩個區(qū)域，電場強度為，電容器兩極板間的電勢差為電容器的電容為穩(wěn)恒磁場一、選擇題12.1.1.如作業(yè)圖12.1.1所示，一長直載流導線沿直角坐標系的軸放置，電流沿軸正方向，在原點處取一電流元，則該電流元在點處磁感應強度為（）。（A）（B）（C）（D）答：C解答：由畢奧-薩伐爾定律，得到12.1.2.如作業(yè)圖12.1.2所示，有兩條長直導線各有的電流，分別沿、軸正向流動，在處的（）。（A）沿軸負向（B）沿軸正向（C）0（D）無法判斷答：B解答：兩個無限長電流在P點的磁感應強度分別為，由磁感應強度疊加原理，得到P點的磁感應強度沿軸正向12.1.3.如作業(yè)圖12.1.3所示，一無限長載流的導線當中彎成半徑為的半圓弧形，兩段半無限長載流導線的延長線過半圓弧圓心。則圓心處的磁感應強度為（）。（A）垂直面向里，大小為（B）垂直面向里，大小為（C）垂直面向外，大小為（D）垂直面向外，大小為答：A解答：如作業(yè)圖12.1.3所示，兩段半無限長載流導線的延長線過半圓弧圓心，則這兩段半無限長載流導線在半圓弧圓心的磁感應強度為零。圓弧上的電流元在圓心處的磁感應強度表示為，圓弧上的所有電流元在圓心處的磁感應強度方向均沿垂直于紙面向里的方向，因此圓心處的磁感應強度方向沿垂直于紙面向里的方向，大小為12.1.4.如作業(yè)圖12.1.4所示，邊長為的正方形的四個頂點上分別固定有電荷量均為（正電荷）的點電荷。當正方形以角速度繞通過正方形中心點且垂直于正方形平面的軸逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，在點的磁感應強度為（）。（A）垂直面向里，大小為（B）垂直面向里，大小為（C）垂直面向外，大小為（D）垂直面向外，大小為答：C解答：點電荷繞點圓周運動，相當于一個圓形電流，電流強度為一個點電荷形成的圓形電流在點的磁感應強度垂直面向外，大小為4個點電荷分別形成的電流大小相同、方向相同，產(chǎn)生的磁感應強度相同（垂直面向外）、大小相同，所以，在點的磁感應強度方向垂直面向外、大小為12.1.5.對于真空中穩(wěn)恒磁場，下面說法正確的是（）。（A）閉合回路上各點磁感應強度都是0時，回路一定沒有“捆著”電流（B）閉合回路上各點磁感應強度都是0時，回路“捆著”的電流的代數(shù)和必定為0（C）磁感應強度沿閉合回路積分為0時，回路上各點磁感應強度必定為0（D）磁感應強度沿閉合回路積分不為0時，回路上任何一點的磁感應強度不可能為0答：B解答：這是有關安培環(huán)路定理的問題。安培環(huán)路定理說明，穩(wěn)恒磁場的磁感應強度矢量沿閉合回路的積分也就是環(huán)流正比于回路所捆著的電流的代數(shù)和。如果閉合回路上各點的磁感應強度都是零，那這個積分肯定是零；但并不代表回路沒有捆著電流，是回路捆著的電流的代數(shù)和必定是零。A錯誤、B正確。磁感應強度沿閉合回路積分為零時，也就是磁感應強度的環(huán)流為零，回路上各點的磁感應強度不一定為零；積分為零，被積函數(shù)不一定為零。C錯誤。磁感應強度沿閉合回路積分不為零，也并不代表回路上所有點的磁感應強度都不為零，個別地方的磁感應強度也可以等于零。D錯誤。12.1.6.如作業(yè)圖12.1.6所示，兩根無限長平行直導線a、b分別載有電流、，電流方向相反，L為繞導線b的閉合回路，為環(huán)路上c點的磁感應強度的大小，當導線a平行于導線b向上移動時（）。（A）減小，減小（B）不變，不變（C）增加，不變（D）減小，不變答：D解答：無線長直線電流產(chǎn)生的磁場的磁感應強度表示為，方向是右手螺旋方向其中是直導線到場點的垂直距離。距離越遠，磁感應強度值越小。如作業(yè)圖12.1.6-1所示，當無限長直線電流a沒有移動時，直線電流和在c點的磁感強度和方向相同（都是向下）。當a相對于b平行向上移動時，a到c的距離變大，直線電流在c點的磁感強度的值要比的值小，而且方向也不再與在c點的磁感強度的方向平行。因此，直導線a移動后c點的磁感應強度大小要比直導線a沒有移動時c點的磁感應強度大小要?。ǎ?。所以，當導線a平行于導線b向上移動時c點的磁感強度逐漸減小。回路L所捆著的電流僅僅是。由安培環(huán)路定理可知，磁感強度沿閉合回路L一周的積分或者磁感強度繞閉合回路的環(huán)流不變。12.1.7.關于磁場中高斯定理的敘述，下列選項中正確的是（）。（A）磁場中的高斯定理表明磁場是有源場（B）磁場中高斯定理，表明閉合曲面上的各點處的=0（C）在任意磁場處中穿過閉合曲面的磁通量均為0（D）磁場中高斯定理只在均勻磁場中成立答：C解答：磁場中的高斯定理，，這說明穿過一個閉合曲面的磁通量總是等于零的，這也說明磁場線是無頭無尾的閉合的曲線，這反映了磁場是無源場，不是有源場。A錯誤。磁場中的高斯定理表明磁感應強度在閉合曲面上的第二類曲線積分值等于零；積分值為零，不代表被積函數(shù)處處為零，所以B錯誤。磁場中的高斯定理不僅僅是在均勻磁場中成立，對于非均勻的磁場也成立，甚至在非穩(wěn)恒磁場中也成立，它是在任意磁場中都成立。D錯誤。同時說明在任意磁場中穿過閉合曲面的磁通量等于零。C正確。12.1.8.速度為的帶負電荷粒子通過均勻磁場受到洛倫茲力作用。如作業(yè)圖12.1.8所示a、b、c、d四種表示的、、三個矢量的取向正確的是（）。（A）圖a（B）圖b（C）圖c（D）圖d答：B解答：在磁場中運動的帶電粒子將受到洛倫茲力的作用洛倫茲力既與帶電粒子運動速度垂直又與磁場的磁感強度垂直，平行于速度叉積磁感強度，洛倫茲力垂直于速度與磁感強度所組成的平面。另外，垂直還有兩個方向，這兩個方向還得要看帶電粒子電荷的正負。對于a圖，的方向是豎直向下的，但帶電粒子的電荷是負的，所以洛倫茲力應該豎直向上。A錯誤。對于b圖，的方向也是豎直向下，但帶電粒子的電荷是負的，所以洛倫茲力應該豎直向上。B正確。對于c圖，的方向垂直紙面向外，但是帶電粒子帶電量是負的，所以洛倫茲力應該是垂直于紙面向里。C錯誤。對于d圖，的方向應該是向左下方，但帶電粒子的電荷是負的，所以洛倫茲力應該是向右上方。B錯誤。12.1.9.一電荷為的粒子在均勻磁場中運動，下列說法正確的是（）。（A）只要速度大小相同，所受洛倫茲力一定相同（B）只要速度相同，帶電荷為和的粒子所受洛倫茲力大小相同，方向相反（C）質(zhì)量與電荷一定的粒子，受洛倫茲力的作用，粒子的動能、動量都保持不變（D）由于粒子受到的洛倫茲力的方向垂直于速度的方向，所以粒子運動軌道必定是圓答：B解答：洛倫茲力表示為，與速度（大小和方向）、電荷（包括正負）等都有關。帶電粒子運動速度大小相同，但如果運動速度方向不同，則洛倫茲力的方向不同。A錯誤。帶電粒子運動速度相同（大小和方向）、帶電量相同，則粒子所受洛倫茲力大小相同；但洛倫茲力的方向還與電荷的正負有關，帶電荷為和的粒子所受洛倫茲力方向相反。B正確。洛倫茲力盡管不能改變速度的大?。▌幽懿蛔儯梢愿淖兯俣鹊姆较?，動量變化。C錯誤。在磁場中運動的帶電粒子受到的洛倫茲力的方向垂直于粒子運動速度的方向，但粒子運動的軌道不一定是圓；只有運動速度與磁感應強度方向垂直時，帶電粒子在均勻磁場的運動軌道是圓；如果運動速度與磁感應強度方向平行，則帶電粒子受到的洛倫茲力為零，粒子在均勻磁場中將做直線運動；如果運動速度與磁感應強度方向既不平行又不垂直，帶電粒子在均勻磁場的運動軌道是螺旋線。D錯誤。12.1.10.如作業(yè)圖12.1.10所示，一載有電流、半徑為的四分之一圓扇形載流回路，置于磁感應強度為的均勻磁場中，回路磁矩的大小和方向為（）。（A）,方向垂直紙面向里（B）,方向垂直紙面向外（C）,方向垂直紙面向里（D）,方向垂直紙面向外答：D解答：由磁矩的定義，得到為線圈平面的法線方向并與電流成右手螺旋關系的單位矢量，方向垂直紙面向外。12.1.11.如作業(yè)圖12.1.11所示，長方體形N型半導體薄片，在垂直于上下表面的方向加有磁感應強度為的均勻磁場，在左右兩個側(cè)面之間通有恒定電流，則前后兩個側(cè)面上的a、b點之間的電勢差（）。（A）大于零（B）等于零（C）小于零（D）不能確定電勢差的正負答案：A解：型半導體是電子導電，電子在外電壓的作用下，沿電流相反方向漂移。這一定向運動，在外磁場的作用下，電子受到洛倫茲力，，方向由指向，即電子還要向端漂移。這樣，在端積聚負電荷，在端積聚正電荷，形成一個由指向的橫向電場，這一橫向電場阻止電子向端積聚。隨著電子的積聚，橫向電場越來越大，當電子受到的橫向電場的庫侖力與電子受到的洛倫茲力達到平衡時，電子不再宏觀的橫向漂移，形成穩(wěn)定的橫向霍爾電場，在、兩端形成穩(wěn)定的霍爾電壓。由于端是正電荷、端是負電荷，所以，端電勢高、端電勢低。12.1.12.磁介質(zhì)有三種，用相對磁導率表征它們的各自特征時（）。（A）順磁質(zhì)，抗磁質(zhì)，鐵磁質(zhì)，（B）順磁質(zhì)，抗磁質(zhì)，鐵磁質(zhì)（C）順磁質(zhì)，抗磁質(zhì)，鐵磁質(zhì)（D）順磁質(zhì)，抗磁質(zhì)，鐵磁質(zhì)答：C解答：一般來說，磁介質(zhì)分成三種，順磁質(zhì)、抗磁質(zhì)以及鐵磁質(zhì)。順磁質(zhì)和抗磁質(zhì)的相對磁導率都非常的接近于1，稱為弱磁質(zhì)。順磁質(zhì)的相對磁導率稍稍大于1，抗磁質(zhì)的相對磁導率稍稍小于1。鐵磁質(zhì)稱為強磁質(zhì)，它的最大特征就是它的相對磁導率遠遠大于1，而且是非線性的，與磁場強度有關。C正確。12.1.13.一螺線管由細導線均勻密繞而成，其長為，半徑為（），總匝數(shù)為，管內(nèi)充滿相對磁導率為的均勻磁介質(zhì)，若線圈中有穩(wěn)恒電流，則管內(nèi)任一點的（）。（A）磁感應強度大小為（B）磁感應強度大小為（C）磁場強度大小為（D）磁場強度大小為答：C解答：；12.1.14.磁介質(zhì)中磁感應強度與磁場強度關系（）。（A）適用于鐵磁質(zhì)且為常數(shù)（B）適用于各向同性非鐵磁性介質(zhì)且為常數(shù)（C）只適用于順磁質(zhì)且為常數(shù)（D）只適用于抗磁質(zhì)且為常數(shù)答：B解答：這一關系適用于各向同性線性磁介質(zhì)，而且相對磁導率為常數(shù)，包括順磁質(zhì)和抗磁質(zhì)。但對于鐵磁質(zhì)不適用，因為鐵磁質(zhì)的所謂“相對磁導率”不是常數(shù)，它與磁場有關。所以A是錯誤的。C和D說只適用順磁質(zhì)或只適用于抗磁質(zhì)，不全面。所以C和D錯誤。非鐵磁性介質(zhì)的為常數(shù)，就是線性介質(zhì)。所以B正確。12.1.15.如作業(yè)圖12.1.15所示，面積分別為和的兩個線圈1和2組成互感線圈。當兩個線圈通有相同的電流，如果用表