函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系分析TOC\o"1-2"\h\u22196摘要 摘要：連續(xù)、可導(dǎo)、可微是函數(shù)的三大分析性質(zhì)，是數(shù)學(xué)分析中的重點內(nèi)容，準(zhǔn)確掌握這三者之間的關(guān)系是我們學(xué)習(xí)分析的關(guān)鍵之一.本文首先介紹一元函數(shù)、二元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的定義，再分別通過相關(guān)定義、定理和例題對一元函數(shù)和二元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系進(jìn)行探討，并歸納總結(jié)出關(guān)系圖，使讀者對函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系有更深刻地理解.關(guān)鍵詞：函數(shù)；連續(xù)；可導(dǎo)；可微引言連續(xù)、可導(dǎo)與可微是函數(shù)的三大分析性質(zhì)，是從不同角度刻畫函數(shù)的局部性態(tài)，是數(shù)學(xué)分析中的重點內(nèi)容，準(zhǔn)確掌握函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系是我們學(xué)習(xí)分析的關(guān)鍵之一.近年來，許多學(xué)者探究了函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系.如文獻(xiàn)[1]首先介紹了函數(shù)連續(xù)、間斷、一致連續(xù)、可導(dǎo)、可微的定義并進(jìn)行了簡單的辨析，進(jìn)而借助定義對間斷、一致連續(xù)、可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系以及可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系進(jìn)行了簡單的分析；文獻(xiàn)[2]借助定理和例題，探討了一元函數(shù)和多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系，并歸納總結(jié)；文獻(xiàn)[3]借助定理和例題，在一元微分學(xué)的基礎(chǔ)上，探討了多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系，歸納總結(jié)并給出了關(guān)系圖；文獻(xiàn)[4]借助定理和例題，對多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系進(jìn)行了簡單的探討；文獻(xiàn)[5]借助定理和例題，采取理論證明和舉反例的方法，對函數(shù)在某一點處連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系進(jìn)行了探討；文獻(xiàn)[6]借助相關(guān)定義和例題，對二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)之間的關(guān)系進(jìn)行分析說明，并歸納總結(jié)；文獻(xiàn)[7]借助定理和例題，簡單地分析了二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[8]詳細(xì)地總結(jié)了二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、偏導(dǎo)連續(xù)、可微之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[9]借助例題，采取舉反例的方法，探討了二元函數(shù)極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[10]對函數(shù)連續(xù)性進(jìn)行認(rèn)知分析.從這些文獻(xiàn)中可以得知，函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系是數(shù)學(xué)分析中我們需要準(zhǔn)確把握的重點內(nèi)容.本文首先介紹一元函數(shù)、二元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的定義，再分別通過相關(guān)定義、定理和例題對一元函數(shù)和二元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系進(jìn)行探討，并歸納概括出關(guān)系圖，再由二元函數(shù)推廣至多元函數(shù).

1.預(yù)備知識1.1函數(shù)的連續(xù)性從直觀的角度看，連續(xù)就是連綿不斷，當(dāng)然在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不能只滿足于這種直觀的認(rèn)識，因此下面介紹一元函數(shù)、二元函數(shù)在某一點處連續(xù)的定義和在區(qū)間上連續(xù)的定義.首先介紹一元函數(shù)在某一點處連續(xù)的定義和在區(qū)間上連續(xù)的定義.定義1[11]設(shè)函數(shù)在某上有定義，若，則函數(shù)在點處連續(xù).令，即函數(shù)在點處連續(xù)等價于.由于一元函數(shù)在某一點處連續(xù)是通過極限來定義的，因此函數(shù)在某一點處連續(xù)的定義也可以用方式來敘述：如果對任意的，總是存在，使得當(dāng)時，有，則函數(shù)在點處連續(xù).定義2[11]若函數(shù)在區(qū)間上的任一點處都連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).在一元函數(shù)連續(xù)的定義基礎(chǔ)上，下面介紹二元函數(shù)在某一點處連續(xù)的定義和在區(qū)間上連續(xù)的定義.定義3[12]設(shè)二元函數(shù)，定義域為，，.對于任意正數(shù)，總是存在相應(yīng)的正數(shù)，使得當(dāng)時，有，則函數(shù)在點處連續(xù).令，則，與一元函數(shù)一樣，二元函數(shù)連續(xù)的定義也可用增量形式來描述，即函數(shù)在點處連續(xù)等價于.定義4[12]如果二元函數(shù)在區(qū)域上任意一點處都連續(xù)，則函數(shù)為區(qū)域上的連續(xù)函數(shù).1.2函數(shù)的可導(dǎo)性上一個部分介紹了一元函數(shù)、二元函數(shù)在某一點處連續(xù)的定義和在區(qū)間上連續(xù)的定義，下面介紹一元函數(shù)與二元函數(shù)在某一點處可導(dǎo)的定義和在區(qū)間上可導(dǎo)的定義.雖然在中學(xué)已經(jīng)接觸過了導(dǎo)數(shù)的概念，并掌握了一些簡單的導(dǎo)數(shù)計算，但是我們不能只滿足于這種簡單的認(rèn)識，應(yīng)該掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)的精確定義.首先介紹一元函數(shù)在某一點處可導(dǎo)的定義和在區(qū)間上可導(dǎo)的定義.定義5[11]設(shè)一元函數(shù)在某上有定義，若極限（1）存在，則函數(shù)在點處可導(dǎo)，且.令，則（1）式可以改寫成.定義6[11]若函數(shù)在區(qū)間上任意一點處都可導(dǎo)，則函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo).為了區(qū)分一元函數(shù)與二元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在二元函數(shù)中，把導(dǎo)數(shù)叫做偏導(dǎo)數(shù)，下面介紹二元函數(shù)在某一點處一階偏導(dǎo)數(shù)存在的定義和在區(qū)間上一階偏導(dǎo)數(shù)存在的定義.定義7[12]設(shè)二元函數(shù)，.若，且在上有定義，當(dāng)極限存在時，則函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)存在，且.同樣定義二元函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)或，，.定義8[12]設(shè)二元函數(shù)，.若，且在上有定義，當(dāng)極限存在時，則函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)存在，且.定義9[12]如果二元函數(shù)在區(qū)域上任意一點處都存在對(或?qū)?的偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在區(qū)域上對(或?qū)?的偏導(dǎo)函數(shù)(或)存在.1.3函數(shù)的可微性上兩個部分介紹了一元函數(shù)、二元函數(shù)在某一點處連續(xù)與可導(dǎo)的定義和在區(qū)間上連續(xù)與可導(dǎo)的定義，下面介紹一元函數(shù)、二元函數(shù)在某一點處可微的定義和在區(qū)間上可微的定義.從本質(zhì)上來說，可導(dǎo)和可微是有巨大區(qū)別的，可導(dǎo)表示的是增量比值的極限，而可微表示的是自變量增量的線性組合，下面介紹一元函數(shù)在某一點處可微的定義和在區(qū)間上可微的定義.定義10[11]設(shè)一元函數(shù)在某上有定義，當(dāng)給一個增量時，相對應(yīng)地得到函數(shù)的增量為，如果存在常數(shù)，使得能表示成，（2）則函數(shù)在點處可微，且或.定義11[11]若函數(shù)在區(qū)間上任一點處都可微，則函數(shù)在上可微，且，，它不僅依賴于，且也依賴于.二元函數(shù)可微的定義與一元函數(shù)可微的定義相比，除了多了一個自變量導(dǎo)致的差異之外，沒有任何區(qū)別，下面介紹二元函數(shù)在某一點處可微的定義和在區(qū)間上可微的定義.定義12[12]設(shè)二元函數(shù)在的某上有定義，對于中的點，若二元函數(shù)在點處的全增量能表示成，（3）其中，則函數(shù)在點處可微，且.（4）在使用上，通常也把（3）式寫成，（5）這里，，.定義13[12]若函數(shù)在區(qū)域上任意一點處都可微，則函數(shù)為區(qū)域上的可微函數(shù).2.一元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系探討由定義1可見，一元函數(shù)在點處連續(xù)就表示函數(shù)在點處極限存在，且極限值等于.由定義5可見，一元函數(shù)在點處可導(dǎo)就表示函數(shù)在點處增量比值的極限存在，且極限值等于.由定義10可見，一元函數(shù)在點處可微就表示函數(shù)在點處函數(shù)增量可表示為自變量增量的線性組合，且函數(shù)增量的線性主部為函數(shù)在點處的微分.在上述分析基礎(chǔ)上，下面探討一元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系.2.1連續(xù)與可導(dǎo)之間的關(guān)系首先探討一元函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)之間的關(guān)系，并用如下定理和例子分析說明.定理1如果一元函數(shù)在點處可導(dǎo)，則函數(shù)在點處連續(xù).證由于函數(shù)在點處可導(dǎo)，則根據(jù)定義1可得根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系可得，其中，對上式兩邊同時乘以得，對上式兩邊同時取極限得，即，故函數(shù)在點處必連續(xù).根據(jù)定理1可知，如果一元函數(shù)在點處可導(dǎo)，則函數(shù)一定在點處連續(xù).但函數(shù)在點處可導(dǎo)只是函數(shù)在點處連續(xù)的充分而不是必要條件，即定理1反之不成立.例1一元函數(shù)在點處連續(xù)但不可導(dǎo).解對于任意，任意的，存在，使得當(dāng)時，有，所以函數(shù)在點處連續(xù).但因為極限不存在，所以函數(shù)在點處不可導(dǎo).即一元函數(shù)在點處連續(xù)但不可導(dǎo).根據(jù)例1可知，一元函數(shù)在點處連續(xù)，但函數(shù)在點處不一定可導(dǎo).綜上所述，若一元函數(shù)在點處可導(dǎo)，則函數(shù)一定在點處連續(xù)；一元函數(shù)在點處連續(xù)，但函數(shù)在點處不一定可導(dǎo).2.2可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系下面探討一元函數(shù)可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系，并用如下定理分析說明.定理2函數(shù)在點處可微的充要條件是在點處可導(dǎo)，且（2）式中.證(必要性)由于函數(shù)在點處可微，根據(jù)（2）式可得.對上式兩邊同時取極限得，即，故函數(shù)在點處可導(dǎo)且.(充分性)由于函數(shù)在點處可導(dǎo)，則（2）式可表示為，由定義10可知函數(shù)在點處可微，且.根據(jù)定理2可知，對一元函數(shù)，若函數(shù)在點處可導(dǎo)，則函數(shù)一定在點處可微；若函數(shù)在點處可微，則函數(shù)一定在點處可導(dǎo)，即函數(shù)在點處可導(dǎo)與可微等價.2.3連續(xù)與可微之間的關(guān)系由定理1和例1可知，若一元函數(shù)在點處可導(dǎo)，則函數(shù)一定在點處連續(xù)；一元函數(shù)在點處連續(xù)，但函數(shù)不一定在點處可導(dǎo)，由定理2可知，一元函數(shù)在點處可導(dǎo)與可微等價.因此，對一元函數(shù)，若函數(shù)在某一點處可微，則函數(shù)一定在點處連續(xù)；函數(shù)在點處連續(xù)，但函數(shù)不一定在點處可微.2.4連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系總結(jié)綜上所述，若一元函數(shù)在點處可導(dǎo)，則函數(shù)一定在點處連續(xù)；一元函數(shù)在點處連續(xù)，但函數(shù)不一定在點處可導(dǎo)；一元函數(shù)在點處可導(dǎo)與可微等價；若一元函數(shù)在點處可微，則函數(shù)一定在點處連續(xù)；一元函數(shù)在點處連續(xù)，但函數(shù)不一定在點處可微.因此，可用如圖1所示關(guān)系圖總結(jié)一元函數(shù)在點處連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系.圖1一元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系3.多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系探討由定義3可知，二元函數(shù)在點處連續(xù)表示函數(shù)在點處全增量的極限等于0.由定義7和定義8可知，二元函數(shù)在點處可導(dǎo)表示函數(shù)在點處對(或?qū)?的偏增量比值(或)的極限存在，且極限值等于(或).由定義12可知，二元函數(shù)在點處可微表示函數(shù)在點處的全增量可表示為自變量增量的線性組合，且全增量的線性主部為函數(shù)在點處的微分.在上述分析基礎(chǔ)上，下面先探討二元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系，再由其推廣至多元函數(shù).3.1連續(xù)與可導(dǎo)之間的關(guān)系首先探討二元函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)之間的關(guān)系，并用如下例子分析說明.例2二元函數(shù)在點處連續(xù)但對的偏導(dǎo)數(shù)都不存在.解因為，所以函數(shù)在點處連續(xù).又因為，極限都不存在，所以函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)都不存在.即二元函數(shù)在點處連續(xù)但對的偏導(dǎo)數(shù)都不存在.例3函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，但在點處不連續(xù).解因為，.所以函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)都存在.又因為，極限值隨變化，所以極限不存在，即函數(shù)在點處不連續(xù).故函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，但函數(shù)在點處不連續(xù).根據(jù)例2可知，函數(shù)在點處連續(xù)，但函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)不一定存在，根據(jù)例3可知，函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)存在，但函數(shù)不一定在點處連續(xù).綜上所述，二元函數(shù)在點處連續(xù)，但函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)不一定存在；反之，二元函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)存在，但函數(shù)不一定在點處連續(xù).3.2可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系上一個部分探討了二元函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)之間的關(guān)系，下面探討二元函數(shù)可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系，并用如下定理和例子分析說明二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)存在、一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與可微之間的關(guān)系.定理3若函數(shù)在點處可微，則函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，且（3）式中的.證由于函數(shù)在點處可微，則，令上式，則，即，故函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，且.根據(jù)定理3可知，若函數(shù)在點處可微，則函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)一定存在.但二元函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)存在只是函數(shù)在點處可微的充分而不是必要條件，即定理3反之不成立.例4函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)存在，但在點處不可微.解因為，，即函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)都存在.因為，所以函數(shù)在點處不可微.即函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)存在，但在點處不可微.根據(jù)例4可知，函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)存在，但函數(shù)不一定在點處可微.二元函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)存在，但函數(shù)不一定在點處可微，不過當(dāng)二元函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)存在且在點處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時，函數(shù)在點處一定可微.定理4若函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)存在，并且對的偏導(dǎo)數(shù)在點處連續(xù)，則函數(shù)在點處可微.證把全增量寫作，根據(jù)拉格朗日中值定理，可得，（6）.由于與在點處連續(xù)，因此有，（7），（8）其中當(dāng)時，.將（7）（8）式代入（6）中得，由（4）式可得，函數(shù)在點處可微.根據(jù)定理4可知，對二元函數(shù)，若函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)存在且在點處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)一定在點處可微.但二元函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)存在且在點處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是函數(shù)在點處可微的充分而不是必要條件，即若函數(shù)在點處可微，則在點處一階偏導(dǎo)數(shù)存在，但在點處一階偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù).例5二元函數(shù)在點處可微，而在點處都存在，但在點處不連續(xù).解由于，所以函數(shù)在點處可微且.當(dāng)時，.當(dāng)時，.因為，上式利用極坐標(biāo)代換得，極限值隨變化，所以上式極限不存在，即當(dāng)時，的極限不存在，即在點處不連續(xù).由對稱性可得，在點處不連續(xù).即函數(shù)在點處可微，且都存在，但在點處不連續(xù).根據(jù)例5可知，若二元函數(shù)在點處可微，則函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)一定存在，但在點處一階偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù).綜上所述，若二元函數(shù)在點處可微，則函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)一定存在；二元函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)存在，但函數(shù)不一定在點處可微；若二元函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)存在且在點處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)一定在點處可微；若二元函數(shù)在點處可微，則在點處一階偏導(dǎo)數(shù)一定存在，但在點處一階偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù).3.3連續(xù)與可微之間的關(guān)系下面探討二元函數(shù)連續(xù)與可微之間的關(guān)系，并用如下定理和例子分析說明.定理5如果二元函數(shù)在點處可微，則函數(shù)在點處一定連續(xù).證由于函數(shù)在點處可微，則，當(dāng)時，有，所以在點處一定連續(xù).根據(jù)定理5可知，若二元函數(shù)在點處可微，則函數(shù)一定在點處連續(xù).但二元函數(shù)在點處可微只是函數(shù)在點處連續(xù)的充分條件而不是必要條件，即定理5反之不成立.例6二元函數(shù)在點處連續(xù)，但函數(shù)在點處不可微.解令，，則，所以函數(shù)在點處連續(xù).因為，所以函數(shù)在點處不可微.即二元函數(shù)在點處連續(xù)，但函數(shù)在點處不可微.根據(jù)例6可知，函數(shù)在點處連續(xù)，但函數(shù)不一定在點處可微.綜上所述，對二元函數(shù)，若函數(shù)在點處可微，則函數(shù)一定在點處連續(xù)；函數(shù)在點處連續(xù)，但函數(shù)不一定在點處可微.3.4連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系總結(jié)綜上所述，二元函數(shù)在點處連續(xù)，函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)不一定存在；二元函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)存在，但函數(shù)不一定在點處連續(xù)；若二元函數(shù)在點處可微，則函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)一定存在；二元函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)存在，但函數(shù)不一定在點處可微；若二元函數(shù)在點處一階偏導(dǎo)數(shù)存在且在點處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)一定在點處可微；若二元函數(shù)在點處可微，則在點處一階偏導(dǎo)數(shù)一定存在，但在點處一階偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)；若二元函數(shù)在點處可微，則函數(shù)一定在點處連續(xù)；函數(shù)在點處連續(xù)，但函數(shù)不一定在點處可微.在二元函數(shù)分析基礎(chǔ)上，將其推廣至多元函數(shù)，即多元函數(shù)在點處連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系也如上所述.因此，可用如圖2所示關(guān)系圖總結(jié)多元函數(shù)在點處連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系.圖2多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系結(jié)束語本文采取理論證明和舉反例的方法探討了函數(shù)在某一點處連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系，得出了以下結(jié)論.對一元函數(shù)在點處連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系可以總結(jié)為：可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)；可導(dǎo)與可微等價；可微必連續(xù)，連續(xù)未必可微.對多元函數(shù)在點處連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系可以總結(jié)為：可導(dǎo)未必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)；可微必可導(dǎo)，可導(dǎo)未必可微；偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)必可微，可微則偏導(dǎo)數(shù)必存在但偏導(dǎo)數(shù)未必連續(xù)；可微必連續(xù)，連續(xù)未必可微.

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