6.2.3向量的數(shù)乘運算【學習目標】1.理解向量數(shù)乘運算的概念與幾何意義.2.掌握向量數(shù)乘運算的運算律,會進行向量的數(shù)乘運算.3.理解向量共線定理的含義,能解決相關(guān)的證明與計算問題.【素養(yǎng)達成】數(shù)學抽象、直觀想象數(shù)學運算邏輯推理、數(shù)學運算一、向量的數(shù)乘運算1.定義:規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,它的長度與方向規(guī)定如下:(1)|λa|=|λ||a|;(2)當λ>0時,λa的方向與a的方向相同;當λ<0時,λa的方向與a的方向相反.2.運算律:設(shè)λ,μ為實數(shù),則有:(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;

(3)λ(a+b)=λa+λb.特別地,有(λ)a=(λa)=λ(a);λ(ab)=λaλb.【教材挖掘】(P15)引入向量數(shù)乘運算后,你能發(fā)現(xiàn)實數(shù)與向量的積與原向量之間的位置關(guān)系嗎?提示:實數(shù)與原向量的積與原向量共線.【版本交融】(人BP150)數(shù)乘向量的幾何意義是什么?提示:把向量沿著它的方向或反方向放大或縮小.二、線性運算1.定義:向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算,向量線性運算的結(jié)果仍是向量.2.運算律:對于任意向量a,b,以及任意實數(shù)λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.三、向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實數(shù)λ,使b=λa.【版本交融】(北師P92)在非零向量a方向上的單位向量如何表示?提示:a|【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)實數(shù)λ與向量a的乘積還是向量.(√)提示:由向量的數(shù)乘的定義知,實數(shù)λ與向量a的乘積還是向量.(2)對于任意實數(shù)m和向量a,b,若ma=mb,則a=b.(×)提示:當m=0時,ma=mb成立,a,b不一定相等.(3)對于非零向量a,8a的模是4a的模的2倍.(√)提示:一個數(shù)m乘一個向量a,結(jié)果是一個向量ma,其模是|m||a|,所以對于非零向量a,8a的模是4a的模的2倍.(4)若a∥b,則一定存在λ∈R,使得b=λa.(×)提示:當a=0,b≠0時,λa=0,此時不存在λ∈R,使得b=λa.類型一向量的線性運算(數(shù)學運算)【典例1】(教材提升·例5)計算:(1)5(3a2b)+4(2b3a);(2)13(a2b)14(3a2b)12((3)(x+y)a(xy)a.【解析】(1)5(3a2b)+4(2b3a)=(15a12a)+(10b+8b)=3a2b.(2)13(a2b)14(3a2b)12(=(13a34a12a)+(23b+12=1112a+13(3)(x+y)a(xy)a=(xaxa)+(ya+ya)=2ya.【總結(jié)升華】向量的線性運算(1)向量的線性運算類似于實數(shù)運算,遵循括號內(nèi)的運算優(yōu)先的原則,將共線的向量看作“同類項”進行合并;(2)要注意向量數(shù)乘的結(jié)果仍是向量,同時要在理解幾何意義的基礎(chǔ)上,熟練運用運算律.【即學即練】計算:(1)2(ab)+3(a+b);(2)12(a+b)+12(a(3)3(a+2b)2(a+3b)2(a+b).【解析】(1)2(ab)+3(a+b)=2a2b+3a+3b=5a+b;(2)12(a+b)+12(a=12a+12b+12=a;(3)3(a+2b)2(a+3b)2(a+b)=3a+6b2a6b2a2b=a2b.類型二向量的線性表示(直觀想象)【典例2】(教材提升·例6)如圖,四邊形ABCD中,已知=2.(1)用,表示;(2)若=2,=34,用,表示.【解析】(1)因為=++,所以=++12=12;(2)因為=+=14=14(),所以=34+14=34·23+14=12+14.【總結(jié)升華】向量的線性表示(1)觀察幾何圖形的特征,確定已知向量與要表示向量之間的關(guān)系;(2)結(jié)合向量運算的三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理,用已知向量表示所求向量.【即學即練】如圖所示,在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點,=23,=a,=b.用a,b表示,,,,.【解析】在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點,則=+=+12=+12()=12+12=12a+12b,故=23=13a+13b=12=12b,==13a+13ba=13b23a==12ba.類型三向量共線定理的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學運算)角度1證明三點共線【典例3】設(shè)a,b是兩個不共線的非零向量,已知=3a2b,=2a+4b,=2a4b,試判斷A,C,D三點是否共線.【解析】共線.理由如下:因為=2a4b,且=+=(3a2b)+(2a+4b)=a+2b,故=2,所以與共線,因為與有公共點C,所以A,C,D三點共線.【總結(jié)升華】證明三點共線(1)利用向量共線定理證明三點構(gòu)成的兩個向量共線;(2)說明兩個向量有公共點.【即學即練】已知e1,e2是兩個不共線的向量,若=2e18e2,=e1+3e2,=2e1e2,求證:A,B,D三點共線.【證明】因為=e1+3e2,=2e1e2,所以==e14e2,又=2e18e2=2(e14e2),所以=2,因為與有公共點B,所以A,B,D三點共線.角度2求參數(shù)的值【典例4】(2024·朔州高一檢測)已知兩個非零向量a,b不共線,且ka+3b與2a+kb共線,求實數(shù)k的值.【解析】因為ka+3b與2a+kb共線,所以存在實數(shù)λ,使ka+3b=λ(2a+kb),即(k2λ)a=(λk3)b.由于a,b不共線,所以k-2λ=0λk即實數(shù)k的值為6或6.【總結(jié)升華】求參數(shù)的值(1)利用向量共線定理引入?yún)?shù),得到兩個向量的關(guān)系式;(2)根據(jù)已知向量不共線得到對應(yīng)系數(shù)相等,解方程組求出參數(shù)的值.【即學即練】設(shè)兩個不共線的向量e1,e2,若向量a=2e13e2,b=2e1+3e2,向量c=2e19e2,問是否存在這樣的實數(shù)λ,μ,使向量d=λa+ub與向量c共線?【解析】存在,λ=2μ.理由如下:因為d=λ(2e13e2)+u(2e1+3e2)=(2λ+2u)e1+(3u3λ)e2,要使d與c共線,則存在實數(shù)k使d=kc,即(2λ+2u)e1+(3λ+3u)e2=2ke19ke2.由2λ得λ=2μ,故存在這樣的實數(shù)λ和μ,只要λ=2μ,就能使d與c共線.【教材深一度】平面內(nèi)三點共線的充要條件若O是直線AB外的任意一點,若=x+y,則A,B,P三點共線的充要條件是x+