重難點專題14利用傳統(tǒng)方法解決二面角問題【題型歸納目錄】題型一：定義法題型二：三垂線法題型三：垂面法題型四：射影面積法題型五：補棱法【方法技巧與總結】二面角的求法法一：定義法在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖在二面角的棱上任取一點，以為垂足，分別在半平面和內作垂直于棱的射線和，則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就相當于求兩條異面直線的夾角即可）．法二：三垂線法在面或面內找一合適的點，作于，過作于，則為斜線在面內的射影，為二面角的平面角．如圖1，具體步驟：①找點做面的垂線；即過點，作于；②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過作于，連接；③計算：為二面角的平面角，在中解三角形．圖1圖2圖3法三：射影面積法凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（，如圖2）求出二面角的大?。环ㄋ模貉a棱法當構成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面積法解題．法五：垂面法由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角．【典型例題】題型一：定義法【例1】（2025·高一·浙江金華·期中）如圖，在三棱錐中，，D為的中點，平面，垂足O落在線段上.(1)證明：；(2)已知，，，且直線與平面所成角的正弦值為.①求此三棱錐的體積；②求二面角的大小.【變式1-1】（2025·高一·全國·課后作業(yè)）如圖，已知四邊形是正方形，平面．若，求平面與平面所成的二面角的大小．【變式1-2】（2025·高一·全國·課后作業(yè)）如圖，已知四邊形是正方形，平面．求：(1)二面角平面角的度數(shù)；(2)二面角平面角的度數(shù)．【變式1-3】（2025·高一·安徽馬鞍山·期末）如圖，圓柱中，是一條母線，是底面一條直徑，C是的中點.(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.題型二：三垂線法【例2】（2025·高一·云南昭通·階段練習）已知如圖甲，在梯形ABCD中，，，，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，，，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如圖乙）．(1)證明：平面ABE；(2)當時，求二面角的余弦值．【變式2-1】（2025·高三·廣東惠州·階段練習）如圖，四棱錐中，底面，，，.(1)若，證明：∥平面；(2)若，且二面角的余弦值為，求.【變式2-2】（2025·高一·廣西賀州·階段練習）如圖，在多面體中，平面是邊長為2的等邊三角形．

(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值．【變式2-3】（2025·高一·江蘇南京·期末）如圖，正三棱柱中，各棱長均相等，???分別為棱???的中點.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)求二面角的余弦值.題型三：垂面法【例3】（2025·高二·四川成都·階段練習）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面底面，為正三角形，E是AB的中點，.

(1)求點C到平面的距離.(2)求二面角的余弦值.【變式3-1】（2025·高一·江蘇蘇州·階段練習）在三棱臺中，，，且平面平面．(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值．題型四：射影面積法【例4】（2025·高一·吉林長春·期末）在四棱臺中，，平面平面，，，，.

(1)求證：平面；(2)若是的中點，求平面與平面的夾角的余弦值.【變式4-1】（2025·高二·廣東廣州·期中）如圖，已知是圓柱下底面圓的直徑，點是下底面圓周上異于的動點，，是圓柱的兩條母線．(1)求證：平面；(2)若，，圓柱的母線長為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【變式4-2】如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，求平面與平面所成二面角的大?。}型五：補棱法【例5】（2025·山東淄博·高一統(tǒng)考期末）如圖，已知正方體的棱長為，、分別為棱、的中點．(1)證明：直線平面；(2)設平面與平面的交線為，求點到直線的距離及二面角的余弦值．【變式5-1】（2025·高一·福建福州·期末）在四棱錐中，四邊形為矩形，平面為垂足，，平面．(1)證明：為等腰三角形．(2)若為等腰直角三角形．設平面與平面的交線為，求二面角的余弦值．【變式5-2】（2025·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？计谀┤鐖D，是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線平面，E，F(xiàn)分別是，的中點.（1）記平面與平面的交線為l，試判斷直線l與平面的位置關系，并加以證明；（2）設，求二面角大小的取值范圍.

【過關測試】1．（2025·高一·湖南邵陽·階段練習）如圖，在四棱錐中，平面，底面是一個直角梯形，，.(1)若為的中點，證明：直線平面；(2)求二面角的余弦值.2．（2025·高一·福建福州·階段練習）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，，側面底面，是的中點.(1)求證:平面；(2)求點到平面的距離；(3)求側面與底面所成二面面角的余弦值.3．（2025·高一·四川涼山·期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，側面底面，是的中點.(1)求證：平面；(2)求側面與底面所成二面角的正弦值.4．（2025·高一·廣西北海·期末）如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，，，，，分別，的中點.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.5．（2025·高一·甘肅蘭州·期末）如圖，正方體的棱長為2.

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.6．（2025·高一·廣東惠州·期末）如圖，四棱錐的底面是正方形，側面是等邊三角形，平面平面，為的中點.(1)求證：平面.(2)求側面與底面所成二面角的余弦值.7．（2025·高一·黑龍江大慶·期末）如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，平面，，分別為的中點，．(1)求證：；(2)求二面角的正弦值．8．（2025·高一·貴州黔西·階段練習）如圖，將邊長為的正方形沿對角線折起使得點到點的位置，連接，為的中點.(1)若平面平面，求的長度.(2)不考慮點與點重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長度.9．（2025·高一·河北張家口·期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面.(1)證明：；(2)證明：平面；(3)當MA為何值時，二面角的余弦值為．10．（2025·高一·天津濱海新·階段練習）如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個不同的動點.

(1)求證：平面；(2)求證：；(3)二面角的大小是否為定值，若是，求出其余弦值，說明理由.11．（2025·高一·湖南株洲·期末）如圖，在三棱柱中，，，在底面的射影為的中點，為的中點.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.12．（2025·高一·廣東韶關·期末）如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點.(1)求證：平面(2)求證：平面平面(3)若，求二面角的余弦值.13．（2025·高一·甘肅白銀·期末）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，底面，，，且，.(1)證明：平面平面.(2)求二面角的大小.14．（2025·高一·吉林長春·期末）已知在平行四邊形中，是邊上一點，且滿足，，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點到達點的位置，且．如圖：(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．15．（2025·高一·湖北咸寧·期末）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面，且的面積為.(1)求證：面；(2)當四棱錐的外接球體積最小時，求平面與平面所成二面角的余弦值.16．（2025·高一·湖南長沙·期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，側面底面是的中點．

(1)求證：平面；(2)求與底面所成角的正切值；(3)設平面平面，求二面角的大?。?7．（2025·高一·吉林白山·期末）如圖，在棱長為的正方體中，為的中點.

(1)求證：平面平面；(2)求平