PAGEPAGE1第2講平面對量基本定理及坐標表示[基礎題組練]1．已知e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，a＝(－1，2)．若a＝λ1e1＋λ2e2，則實數(shù)對(λ1，λ2)為()A．(1，1) B．(－1，1)C．(－1，－1) D．(1，－1)解析：選B.因為e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，所以a＝λ1e1＋λ2e2＝λ1(2，1)＋λ2(1，3)＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)．又因為a＝(－1，2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ1＋λ2＝－1，,λ1＋3λ2＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝－1，,λ2＝1.))故選B.2．(2024·河南新鄉(xiāng)三模)設向量e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，若向量a＝－3e1－e2與b＝e1－λe2共線，則λ＝()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．－3 D．3解析：選B.法一：因為a與b共線，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－eq\f(1,3).故選B.法二：因為向量e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，故由a與b共線可得，eq\f(1,－3)＝eq\f(－λ,－1)，解得λ＝－eq\f(1,3).故選B.3．已知OB是平行四邊形OABC的一條對角線，O為坐標原點，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，3)，若點E滿意eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，則點E的坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))解析：選A.易知eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，則C(－1，－1)，設E(x，y)，則3eq\o(EC,\s\up6(→))＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3－3x＝－1，,－3－3y＝－1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3))).4．(2024·河北豫水中學質(zhì)檢)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點，且∠DAB＝60°，設eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C．3 D．2eq\r(3)解析：選A.如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則B點的坐標為(1，0)，C點的坐標為(0，2)，因為∠DAB＝60°，所以設D點的坐標為(m，eq\r(3)m)(m≠0)．eq\o(AD,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)m)＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，則λ＝m，且μ＝eq\f(\r(3),2)m，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(2\r(3),3).5．設向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，則λ＝．解析：因為a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．因為向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.答案：26．已知點A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，且點P在直線x－2y＝0上，則λ的值為．解析：設P(x，y)，則由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又點P在直線x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)7．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是CD和BC的中點．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝．解析：選擇eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))作為平面對量的一組基底，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))eq\o(AD,\s\up6(→))，于是得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))所以λ＋μ＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)8．已知點O為坐標原點，A(0，2)，B(4，6)，eq\o(OM,\s\up6(→))＝t1eq\o(OA,\s\up6(→))＋t2eq\o(AB,\s\up6(→)).(1)求點M在其次或第三象限的充要條件；(2)求證：當t1＝1時，不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點共線．解：(1)eq\o(OM,\s\up6(→))＝t1eq\o(OA,\s\up6(→))＋t2eq\o(AB,\s\up6(→))＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．點M在其次或第三象限?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t2＜0，,2t1＋4t2≠0，))解得t2＜0且t1＋2t2≠0.故所求的充要條件為t2＜0且t1＋2t2≠0.(2)證明：當t1＝1時，由(1)知eq\o(OM,\s\up6(→))＝(4t2，4t2＋2)．因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4，4)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以A，B，M三點共線．[綜合題組練]1．若α，β是一組基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標，現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐標為(－2，2)，則a在另一組基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐標為()A．(2，0) B．(0，－2)C．(－2，0) D．(0，2)解析：選D.因為a在基底p，q下的坐標為(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以a在基底m，n下的坐標為(0，2)．2.給定兩個長度為1的平面對量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為90°，如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上運動，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：選B.因為點C在以O為圓心的圓弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上，所以|eq\o(OC,\s\up6(→))|2＝|xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))|2＝x2＋y2＋2xyeq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x2＋y2，所以x2＋y2＝1，則2xy≤x2＋y2＝1.又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，故x＋y的最大值為eq\r(2).3．設eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－a，2)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(b，0)，a>0，b>0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為．解析：由已知得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a＋2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(b＋2，－4)，因為A，B，C三點共線，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋2＝λ（b＋2），,－2＝－4λ，))整理得2a＋b＝2，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(2a,b)＋\f(b,a)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2\r(\f(2a,b)·\f(b,a))))＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)(當且僅當a＝2－eq\r(2)，b＝2eq\r(2)－2時等號成立)．答案：eq\f(3,2)＋eq\r(2)4．(2024·黑龍江大慶二模)已知W為△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°，設eq\o(AW,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，則2λ1＋λ2＝．解析：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示．依據(jù)已知條件可知A(0，0)，B(4，0)，C(－1，eq\r(3))．依據(jù)外心的性質(zhì)可知點W在直線x＝2上(如圖所示)．易知線段AC中點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，直線AC的斜率為－eq\r(3)，故線段AC的中垂線l的斜率為eq\f(\r(3),3)(如圖所示)，方程為y－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))).令x＝2，解得y＝eq\f(4\r(3),3)，故Weq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,3)\r(3))).由eq\