利用柱坐標(biāo)計算三重積分步驟考慮是否用柱坐標(biāo)計算化為柱坐標(biāo)系下三重積分積分次序：定限方法：化為累次積分計算累次積分注意對一個變量積分時，將其余變量視為常數(shù)Ω投影為圓或圓一部分f(x,y,z)中含有或三變、一勿忘積分區(qū)域Ω柱坐標(biāo)表示被積函數(shù)體積元素一個勿忘普通先z后ρ再θ投影、發(fā)射第1頁利用球坐標(biāo)計算三重積分步驟考慮是否用球坐標(biāo)計算化為球坐標(biāo)系下三重積分積分次序：定限方法：化為累次積分計算累次積分注意對一個變量積分時，將其余變量視為常數(shù)．Ω球或球一部分f(x,y,z)中含有三變、一勿忘積分區(qū)域Ω球坐標(biāo)表示被積函數(shù)體積元素一個勿忘普通先r后φ再θ．觀察、想象．第2頁三重積分定義和計算在直角坐標(biāo)系下體積元素（計算時將三重積分化為三次積分）小結(jié)方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”第3頁2.確定上下曲面函數(shù)，得z積分限;1.把Ω往xoy平面上投影,得積分區(qū)域D;3.先求關(guān)于z定積分,得x,y二元函數(shù);4.再求關(guān)于x,y二重積分.先一后二”積分法基本步驟:對z∈[a,b]用過點(0,0,z)且平行xOy平面平面去截Ω，得截面Dz;1.把Ω向z軸投影,得z積分限[a,b];3.先求關(guān)于x,y二重積分,得“先二后一”積分法基本步驟:4.最終計算單積分第4頁第三節(jié)一、三重積分概念

二、三重積分計算三重積分第十章第5頁回想用投影法（先一后二）計算三重積分假如積分區(qū)域

在坐標(biāo)面上投影區(qū)域D是圓域則二重積分應(yīng)該考慮用極坐標(biāo)計算.這就等于用柱面坐標(biāo)計算三重積分.2.利用柱坐標(biāo)計算三重積分

第6頁2.利用柱坐標(biāo)計算三重積分

就稱為點M柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面第7頁在柱面坐標(biāo)系中體積元素為所以元素區(qū)域由六個坐標(biāo)面圍成第8頁如圖所表示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為所以其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量相互分離.第9頁常見曲面柱面坐標(biāo)方程曲面直角坐標(biāo)方程柱面坐標(biāo)方程半球面圓錐面旋轉(zhuǎn)拋物面圓柱面圓柱面圓柱面第10頁常見曲面柱面坐標(biāo)方程第11頁2、利用公式用柱面坐標(biāo)計算三重積分普通步驟：1、將區(qū)域往xoy面上投影，確定平面區(qū)域D3、過D內(nèi)任一點（x，y）做平行于z軸直線，穿區(qū)域

確定z上下限；4、在

D上分別確定r、

上下限（類同于平面極坐標(biāo)）次序為：zr將

邊界曲面、被積函數(shù)f（x，y，z）、體積元素、三重積分化為柱面坐標(biāo)系下形式；柱面坐標(biāo)慣用于：圓柱體和圓錐體上三重積分。第12頁例1.

計算三重積分所圍成.與平面其中

由拋物面在柱面坐標(biāo)系下原式=解:

在xOy面上投影區(qū)域D:

上邊界曲面為z=4

下邊界曲面為z.第13頁例2.計算解：故在xOy平面得交線上投影區(qū)域為所圍成.與平面其中

由圓錐面上邊界曲面為z=4

下邊界曲面為z.第14頁解:例3.

計算三重積分所圍成.與拋物面其中

由球面知交線為由原式=上邊界:下邊界:第15頁其中

為例4.計算三重積分所解:在柱面坐標(biāo)系下及平面由柱面圍成半圓柱體.第16頁3.利用球坐標(biāo)計算三重積分

就稱為點M球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面第17頁半平面

及+d

；

半徑為r及r+dr球面；圓錐面

及+d

r

drd

rsin

xz

y0圓錐面

rd

球面r圓錐面+d

球面r+dr元素區(qū)域由六個坐標(biāo)面圍成：d

rsin

d

球面坐標(biāo)下體積元素第18頁元素區(qū)域由六個坐標(biāo)面圍成：球面坐標(biāo)下體積元素半平面

及+d

；

半徑為r及r+dr球面；圓錐面

及+d

r

drd

xz

y0

d

rd

rsin

d

.dv第19頁如圖所表示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為所以有其中第20頁球面坐標(biāo)直角坐標(biāo)球體下面介紹一些區(qū)域球面坐標(biāo)描述第21頁球面坐標(biāo)直角坐標(biāo)球體第22頁球面坐標(biāo)直角坐標(biāo)球頂錐體第23頁常見曲面在球坐標(biāo)下方程第24頁次序為:

r

2.將區(qū)域

往xoy面上投影，確定平面區(qū)域D，4.過原點做射線，穿區(qū)域確定r上下限.1.關(guān)系式3.對任一

，過z軸做半平面，找出

角改變最用球面坐標(biāo)計算三重積分普通步驟：將邊界曲面、被積函數(shù)f（x，y，z）、體積元素、三重積分化為球面坐標(biāo)系下形式；由D找出

上下限；大與截面，確定

上下限注：當(dāng)積分區(qū)域由球面、錐面或其一部分所圍時，選取球面坐標(biāo)計算較簡便。第25頁例5.計算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中

與球面第26頁例6.求半徑為a球面與半頂角為

內(nèi)接錐面所圍成立體體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域為則立體體積為第27頁

求半徑為a球面與半頂角為

內(nèi)接錐面所圍成于是所求立體體積為

此球面方程為x2

y2

(z

a)2

a2

即x2

y2

z2

2az

例6.立體體積

由圓錐面和球面圍成,解:采取球面坐標(biāo)，錐面方程為

在球面坐標(biāo)下球面方程為r

2acos

,

第28頁例7.計算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中

面是由兩個球第29頁第30頁解:

例7.計算三重積分所圍立體.其中

面是由兩個球原式

第31頁z

Oxya.M.r

解:在球面坐標(biāo)系下10(2).計算其中

由不等式

所確定.

第32頁..解:在球面坐標(biāo)系下10(2).計算其中

由不等式

所確定.

第33頁所圍成閉區(qū)域.11(2).計算其中

是由球面解:在球面坐標(biāo)系下第34頁所圍成閉區(qū)域.10(1).計算其中

是由球面解:在球面坐標(biāo)系下第35頁所圍成在第一卦限內(nèi)閉區(qū)域.11(1).計算其中

為柱面解:在柱面坐標(biāo)系下及平面第36頁11(2).求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xOy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yOz面對稱,并與xOy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于xOz

第37頁3.

設(shè)

由錐面和球面所圍成,計算提醒:利用對稱性用球坐標(biāo)第38頁內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡練,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明:三重積分也有類似二重積分換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;第39頁作業(yè)P1649，10，11（1，2）。

第四節(jié)第40頁例7.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xOy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yOz面對稱,并與xOy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于xOz

第41頁3.計算其中解:利用對稱性第42頁1.

將用三次積分表示,其中

由所提醒:思索與練習(xí)六個平面圍成,第43頁44例8解1解2第44頁例9解第45頁例10解第46頁備用題

1.

計算所圍成.其中

由分析：若用“先二后一”,則有計算較繁!采取“三次積分”很好.第47頁所圍,故可思索: