第1頁第五章定積分及其應用第2頁本章內容第一節(jié)定積分概念與性質第二節(jié)微積分基本公式第三節(jié)定積分計算第四節(jié)廣義積分第五節(jié)定積分在幾何上應用第六節(jié)定積分在物理上應用第3頁第五章第一節(jié)定積分概念與性質第4頁本節(jié)主要內容一、定積分定義三、定積分幾何意義二、可積函數(shù)類四、定積分性質第5頁引例1求右圖中曲邊梯形面積。思緒：將曲邊梯形分割成若干個小曲邊梯形，用小矩形面積近似小曲邊梯形面積。oxyab曲邊梯形第6頁曲邊梯形如圖所表示，則曲邊梯形面積oxyab第7頁曲邊梯形面積為第8頁引例2（求變速直線運動旅程）思緒：上設某物體作直線運動，已知速度是時間間隔求物體在這段時間內所經過旅程。

一個連續(xù)函數(shù)，且度看作不變，求出各小段旅程再相加，便得到旅程近似值，最終經過對時間無限細分過程求得旅程準確值。把整段時間分割成若干小段，每小段上速第9頁（1）分割部分旅程值（3）求和（4）取極限旅程準確值（2）取近似旅程近似值求曲邊梯形面積求直線運動旅程第10頁一、定積分定義定義若干個分點第11頁符號名稱

積分號被積函數(shù)被積表示式積分變量積分區(qū)間積分下限積分上限第12頁幾點說明：1、兩個任意性：積分值與區(qū)間分割方法以及ξi選取方法無關；2、定積分值只決定于被積函數(shù)和積分區(qū)一個結論：當能夠判定定積分存在時，可采取特殊間，因而與積分變量寫法無關；分割方法和對ξi特殊取法，經過定義求積分值3、定積分本質第13頁二、可積函數(shù)類定理1定理2定理3第14頁xyabo=曲邊梯形面積；=曲邊梯形面積負值；三、定積分幾何意義xyoba第15頁3、普通情況下ab第16頁第17頁例1依據定積分幾何意義知，此定積分是以R為解：OYXR半徑圓面積四分之一故第18頁例2解：由定積分幾何意義知oYX2ππ+－第19頁練習第20頁例

利用定義計算定積分解第21頁第22頁證實第23頁

在下面討論中，假定定積分都存在，且不四、定積分性質兩個補充要求說明：證：性質1(k為常數(shù))。

考慮積分上下限大小，有特殊要求除外。第24頁證:（此性質能夠推廣到有限多個函數(shù)之和情況）性質2第25頁說明：不論相對位置怎樣,上式總成立。比如:若（定積分對于積分區(qū)間含有可加性）則性質3第26頁證:性質4性質51第27頁注意第28頁推論：證:第29頁補充第30頁解：令于是第31頁證:性質6第32頁證:注：此性質可用于預計積分值大致范圍。性質7最大值及最小值，則

估值不等式第33頁解：第34頁解：第35頁第36頁證：由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理知性質8（積分中值定理）則在積分區(qū)間[a,b]上最少存在一個點

即第37頁積分中值公式幾何解釋：注意：定理中函數(shù)在[a,b]區(qū)間oXY上連續(xù)條件不能減弱，若被積函數(shù)不連續(xù)，則結論可能不成立。第38頁解：由積分中值定理知有使第39頁第40頁第41頁第42頁小結１．定積分實質：特殊和式極限。２．定積分思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限準確值——定積分以直代曲，以不變