2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（教師用書）教學(xué)實(shí)錄新人教A版選修2-2課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

2.教學(xué)年級和班級：高一年級

3.授課時間：2024年9月15日上午第二節(jié)課

4.教學(xué)時數(shù)：1課時二、核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性的能力，提升數(shù)學(xué)建模與推理的能力，增強(qiáng)邏輯思維和抽象思維能力。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間的數(shù)學(xué)方法，并能夠應(yīng)用這一方法解決實(shí)際問題。同時，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心和成就感。三、學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：

學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本概念、函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及極限的基本概念。他們應(yīng)該能夠識別函數(shù)的增減性，并理解函數(shù)圖像的基本特征。此外，學(xué)生可能已經(jīng)接觸過導(dǎo)數(shù)的初步概念，包括導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

高一學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣普遍較高，但個體差異較大。部分學(xué)生可能對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，善于邏輯推理和抽象思維；而另一些學(xué)生可能對數(shù)學(xué)感到困惑，更傾向于具體和直觀的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生的能力水平參差不齊，部分學(xué)生可能在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面較為扎實(shí)，而有些學(xué)生可能對函數(shù)和導(dǎo)數(shù)等概念理解不夠深入。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時可能會遇到以下困難：一是對導(dǎo)數(shù)的概念理解不透徹，難以將導(dǎo)數(shù)的定義與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來；二是無法正確判斷函數(shù)的單調(diào)性，尤其是在處理復(fù)合函數(shù)時；三是缺乏解決實(shí)際問題的能力，難以將導(dǎo)數(shù)的知識應(yīng)用于解決具體問題。此外，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力不足也可能成為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的障礙。四、教學(xué)方法與策略1.采用講授與討論相結(jié)合的教學(xué)方法，通過講解導(dǎo)數(shù)的定義和單調(diào)性原理，引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念。

2.設(shè)計小組討論活動，讓學(xué)生分析具體函數(shù)案例，共同探討如何判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

3.利用多媒體教學(xué)，展示函數(shù)圖像和導(dǎo)數(shù)變化的動態(tài)過程，幫助學(xué)生直觀理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系。

4.安排實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過計算導(dǎo)數(shù)來觀察函數(shù)變化，增強(qiáng)實(shí)踐操作能力。五、教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課

（教師）同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本性質(zhì)，今天我們將探討導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，特別是函數(shù)的單調(diào)性問題。請大家回顧一下，什么是函數(shù)的單調(diào)性？它是如何影響函數(shù)圖像的？

（學(xué)生）函數(shù)的單調(diào)性指的是函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減。

（教師）很好，那么我們?nèi)绾瓮ㄟ^導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？今天我們就來深入探討這個問題。

二、新課講授

1.導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)

（教師）首先，我們回顧一下導(dǎo)數(shù)的定義。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時變化率，它反映了函數(shù)在該點(diǎn)的變化趨勢。

（學(xué)生）我明白了，導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率。

（教師）正確。接下來，我們來看導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)。導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性等性質(zhì)，這些性質(zhì)對于判斷函數(shù)的單調(diào)性非常重要。

2.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

（教師）現(xiàn)在，我們來探討函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。首先，我們假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。

（學(xué)生）好的，老師。

（教師）如果f'(x)>0在區(qū)間(a,b)內(nèi)恒成立，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)遞增的；如果f'(x)<0在區(qū)間(a,b)內(nèi)恒成立，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)遞減的。

（學(xué)生）我明白了，導(dǎo)數(shù)大于零表示函數(shù)遞增，小于零表示函數(shù)遞減。

3.判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

（教師）那么，如何判斷一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間呢？我們可以按照以下步驟進(jìn)行：

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；

（2）找出f'(x)的零點(diǎn)，即解方程f'(x)=0；

（3）根據(jù)f'(x)在零點(diǎn)兩側(cè)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性。

（學(xué)生）謝謝老師，這個步驟很清晰。

4.案例分析

（教師）下面，我們通過一個案例來實(shí)際操作一下。請看函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4，我們需要判斷其在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)的單調(diào)性。

（學(xué)生）好的，老師。

（教師）首先，我們求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x。然后，我們找出f'(x)的零點(diǎn)，即解方程3x^2-6x=0。解得x=0或x=2。

（學(xué)生）解出來了，老師。

（教師）接下來，我們判斷f'(x)在零點(diǎn)兩側(cè)的符號。當(dāng)x<0時，f'(x)>0；當(dāng)0<x<2時，f'(x)<0；當(dāng)x>2時，f'(x)>0。因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)和(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減。

（學(xué)生）我明白了，老師。

三、課堂練習(xí)

1.請同學(xué)們獨(dú)立完成以下練習(xí)題：

（1）判斷函數(shù)f(x)=x^2-2x+1在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)的單調(diào)性；

（2）判斷函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1在區(qū)間(-1,2)內(nèi)的單調(diào)性。

2.學(xué)生完成練習(xí)后，教師巡視指導(dǎo)，解答學(xué)生的疑問。

四、課堂小結(jié)

（教師）今天我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，特別是函數(shù)的單調(diào)性問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們掌握了判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟，并能夠運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題。

（學(xué)生）謝謝老師，我學(xué)會了如何判斷函數(shù)的單調(diào)性。

五、布置作業(yè)

1.請同學(xué)們完成課后練習(xí)題；

2.預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容，即導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值中的應(yīng)用。

六、課后反思

1.教師對課堂情況進(jìn)行總結(jié)，分析教學(xué)效果，找出不足之處，為今后的教學(xué)提供改進(jìn)方向；

2.學(xué)生對課堂學(xué)習(xí)情況進(jìn)行反思，總結(jié)學(xué)習(xí)心得，為今后的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。六、拓展與延伸六、拓展與延伸

1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《微積分學(xué)導(dǎo)論》：這本書可以作為高級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的參考，其中詳細(xì)介紹了導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)和應(yīng)用，對于想要深入了解導(dǎo)數(shù)的學(xué)生來說是一本很好的讀物。

-《函數(shù)與導(dǎo)數(shù)》：這本書以函數(shù)和導(dǎo)數(shù)為核心，通過實(shí)例和習(xí)題講解了導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，適合想要提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的學(xué)生閱讀。

-《數(shù)學(xué)分析》：這本書是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)教材，其中包含了導(dǎo)數(shù)的定義、性質(zhì)、極限和連續(xù)性等內(nèi)容，對于有志于深入研究數(shù)學(xué)的學(xué)生來說是一本不可或缺的書籍。

2.鼓勵學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-學(xué)生可以嘗試解決一些更復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性問題，例如含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性判斷。

-探究導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，如邊際成本、邊際收益等概念，以及如何利用導(dǎo)數(shù)分析市場供需關(guān)系。

-通過數(shù)學(xué)建模，將導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于實(shí)際問題中，如物理中的速度和加速度、生物中的種群增長等。

-研究導(dǎo)數(shù)在幾何學(xué)中的應(yīng)用，例如如何利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的凹凸性。

-嘗試證明一些關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定理，如拉格朗日中值定理和柯西中值定理，以加深對導(dǎo)數(shù)概念的理解。

3.知識點(diǎn)拓展：

-學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，如導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等。

-探究隱函數(shù)求導(dǎo)和參數(shù)方程求導(dǎo)的方法。

-研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義，如切線斜率、曲率等。

-學(xué)習(xí)洛必達(dá)法則和泰勒公式，了解它們在求極限中的應(yīng)用。

-研究導(dǎo)數(shù)在微分方程中的應(yīng)用，如一階微分方程的求解。

4.實(shí)用性練習(xí)：

-設(shè)計一個實(shí)驗(yàn)，通過測量物體的運(yùn)動軌跡，計算其速度和加速度，并利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分析。

-分析一個實(shí)際的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)集，使用導(dǎo)數(shù)來預(yù)測市場的未來趨勢。

-利用導(dǎo)數(shù)分析一個物理系統(tǒng)，如彈簧振子的運(yùn)動，并繪制速度-時間圖和加速度-時間圖。七、教學(xué)評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：

學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)整體良好，能夠積極參與討論，對于導(dǎo)數(shù)概念的理解和應(yīng)用有較好的掌握。大部分學(xué)生能夠準(zhǔn)確判斷函數(shù)的單調(diào)性，并在案例分析中提出自己的見解。然而，部分學(xué)生在面對復(fù)雜問題時，可能會出現(xiàn)思維混亂，需要進(jìn)一步練習(xí)和指導(dǎo)。

2.小組討論成果展示：

在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生們能夠有效地合作，共同分析函數(shù)案例，并展示他們的討論成果。學(xué)生們能夠提出不同的解題思路，并互相學(xué)習(xí)。在展示過程中，學(xué)生們能夠清晰地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，但部分學(xué)生在表達(dá)時缺乏邏輯性和條理性，需要加強(qiáng)口頭表達(dá)能力的訓(xùn)練。

3.隨堂測試：

隨堂測試結(jié)果顯示，學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解和應(yīng)用能力有了明顯的提高。大部分學(xué)生能夠正確判斷函數(shù)的單調(diào)性，并能夠運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題。然而，部分學(xué)生在處理復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時，仍然存在困難，需要進(jìn)一步鞏固和練習(xí)。

4.學(xué)生自評與互評：

學(xué)生們對自己的學(xué)習(xí)進(jìn)行了自評，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為自己在本節(jié)課中有所收獲，但也意識到自己在某些方面的不足。在互評環(huán)節(jié)，學(xué)生們能夠客觀地評價同伴的表現(xiàn)，并提出建設(shè)性的意見。

5.教師評價與反饋：

針對課堂表現(xiàn)，教師評價與反饋如下：

-對于積極參與討論的學(xué)生，給予表揚(yáng)，鼓勵他們繼續(xù)保持；

-對于在小組討論中表現(xiàn)出色的學(xué)生，給予肯定，并鼓勵他們在全班面前分享自己的觀點(diǎn)；

-對于在隨堂測試中表現(xiàn)不佳的學(xué)生，教師將提供個別輔導(dǎo)，幫助他們理解和掌握相關(guān)知識點(diǎn)；

-對于在表達(dá)時缺乏邏輯性和條理性的學(xué)生，教師將提供寫作和口頭表達(dá)技巧的指導(dǎo)；

-對于在處理復(fù)合函數(shù)單調(diào)性時存在困難的學(xué)生，教師將設(shè)計針對性的練習(xí)題，幫助他們鞏固知識點(diǎn)。

在今后的教學(xué)中，教師將關(guān)注以下幾點(diǎn)：

-加強(qiáng)對導(dǎo)數(shù)概念的理解和應(yīng)用的訓(xùn)練，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；

-通過案例分析和實(shí)際問題解決，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力；

-關(guān)注學(xué)生的個體差異，提供個性化的教學(xué)和輔導(dǎo)；

-鼓勵學(xué)生積極參與課堂討論，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊合作和溝通能力；

-定期進(jìn)行隨堂測試，及時了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，調(diào)整教學(xué)策略。八、內(nèi)容邏輯關(guān)系①本文重點(diǎn)知識點(diǎn)：

-導(dǎo)數(shù)的定義：導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時變化率，表示函數(shù)在該點(diǎn)的變化趨勢。

-函數(shù)單調(diào)性的概念：函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增或遞減，即在該區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值隨自變量的增加而增加或減少。

-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：若導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒大于零，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒小于零，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

②關(guān)鍵詞匯：

-瞬時變化率

-單調(diào)遞增

-單調(diào)遞減

-恒大于零

-恒小于零

③關(guān)鍵句子：

-導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時變化率。

-若導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒大于零，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。

-若導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒小于零，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

①本文重點(diǎn)知識點(diǎn)：

-導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)：連續(xù)性、可導(dǎo)性、