2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系教學(xué)實(shí)錄新人教A版必修2學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點(diǎn)教具教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，包括直線平行、直線相交和異面直線。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系：本節(jié)課內(nèi)容與學(xué)生在平面幾何中學(xué)到的直線與直線之間的位置關(guān)系有緊密聯(lián)系，通過將平面幾何中的知識遷移到空間幾何中，幫助學(xué)生理解空間中直線與直線之間的復(fù)雜關(guān)系。教材章節(jié)為新人教A版必修2第二章，具體內(nèi)容涉及空間直線與直線之間的平行、垂直和異面關(guān)系。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.發(fā)展空間觀念，理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系。

2.培養(yǎng)邏輯推理能力，通過證明過程加深對空間幾何關(guān)系的理解。

3.提升幾何直觀，通過圖形的構(gòu)建和分析，增強(qiáng)空間想象能力。

4.增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，學(xué)會將空間幾何知識應(yīng)用于解決實(shí)際問題。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：1.空間中直線與直線平行和相交的判定方法；2.異面直線的概念和性質(zhì)。

難點(diǎn)：1.異面直線概念的理解和證明；2.空間幾何圖形的直觀構(gòu)建與分析。

解決辦法：1.通過實(shí)例和動畫演示，幫助學(xué)生直觀理解直線與直線的位置關(guān)系；2.引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)造輔助線或面，利用已知條件證明直線間的位置關(guān)系；3.設(shè)計(jì)小組合作探究活動，讓學(xué)生在動手操作中加深對異面直線性質(zhì)的理解；4.結(jié)合實(shí)際問題，讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決空間幾何問題，提升解題能力。教學(xué)資源-軟硬件資源：電子白板、筆記本電腦、投影儀

-課程平臺：學(xué)校內(nèi)部數(shù)學(xué)教學(xué)平臺

-信息化資源：空間幾何動畫、教學(xué)視頻、在線幾何繪圖工具

-教學(xué)手段：實(shí)物模型、教學(xué)卡片、多媒體課件教學(xué)過程1.導(dǎo)入（約5分鐘）：

-激發(fā)興趣：展示生活中常見的空間幾何圖形，如建筑物的平面圖、立體模型等，提問學(xué)生：“這些圖形是如何在空間中相互關(guān)系的？”

-回顧舊知：引導(dǎo)學(xué)生回顧平面幾何中直線與直線之間的位置關(guān)系，如平行、垂直等，提問：“你們還記得這些關(guān)系在空間幾何中是如何表現(xiàn)的嗎？”

2.新課呈現(xiàn)（約20分鐘）：

-講解新知：首先介紹空間中直線與直線平行和相交的判定方法，如通過平面角、線面角等。

-舉例說明：通過具體例子，如兩相交平面內(nèi)的直線，展示如何判斷兩條直線是否平行或相交。

-互動探究：分組討論，讓學(xué)生嘗試判斷給定空間中直線與直線的關(guān)系，并說明理由。

3.鞏固練習(xí)（約20分鐘）：

-學(xué)生活動：分發(fā)練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成，題目包括判斷直線與直線的位置關(guān)系、證明直線與直線的位置關(guān)系等。

-教師指導(dǎo)：巡視課堂，對學(xué)生的練習(xí)進(jìn)行個別指導(dǎo)，解答學(xué)生的疑問。

4.實(shí)物演示（約10分鐘）：

-利用實(shí)物模型或教具，如三棱柱、正方體等，展示直線與直線的位置關(guān)系，讓學(xué)生觀察并記錄。

5.小組合作（約15分鐘）：

-分組討論，讓學(xué)生設(shè)計(jì)一個實(shí)驗(yàn)，利用所學(xué)的知識驗(yàn)證空間中直線與直線的關(guān)系。

-每組匯報(bào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，全班討論實(shí)驗(yàn)的可行性和結(jié)果。

6.拓展延伸（約10分鐘）：

-提出一些與空間幾何相關(guān)的問題，如如何判斷空間中一條直線與一個平面的位置關(guān)系。

-引導(dǎo)學(xué)生思考，鼓勵他們提出自己的解答方案。

7.總結(jié)反思（約5分鐘）：

-回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)空間中直線與直線位置關(guān)系的重要性。

-引導(dǎo)學(xué)生反思，思考如何將所學(xué)知識應(yīng)用于解決實(shí)際問題。

8.課后作業(yè)（約5分鐘）：

-布置課后作業(yè)，要求學(xué)生完成相關(guān)練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識。

-提醒學(xué)生注意作業(yè)中的難點(diǎn)，鼓勵他們積極提問。知識點(diǎn)梳理1.空間直線的定義及表示方法

-空間直線是由兩個不同的點(diǎn)所確定，表示為兩點(diǎn)式或向量式。

-直線的方向向量可以通過兩個不同點(diǎn)確定。

2.空間直線的性質(zhì)

-直線上的任意兩點(diǎn)確定一條直線。

-直線的方向向量與直線的斜率有關(guān)。

-直線的長度可以通過兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算。

3.空間直線與平面的位置關(guān)系

-直線與平面平行：直線與平面的法線向量垂直。

-直線與平面垂直：直線的方向向量與平面的法線向量平行。

-直線與平面相交：直線與平面有一個唯一的交點(diǎn)。

4.空間直線與直線的位置關(guān)系

-直線與直線平行：兩直線的方向向量平行。

-直線與直線相交：兩直線的方向向量不平行，且有一條公共直線。

-異面直線：兩直線不在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)。

5.空間直線與平面的垂直判定

-如果直線的方向向量與平面的法線向量垂直，則直線與平面垂直。

-如果直線上任意一點(diǎn)到平面的距離等于該點(diǎn)到直線上的垂足的距離，則直線與平面垂直。

6.空間直線與平面的平行判定

-如果直線的方向向量與平面的法線向量平行，則直線與平面平行。

-如果直線上任意一點(diǎn)到平面的距離等于該點(diǎn)到直線上的垂足的距離，則直線與平面平行。

7.空間直線與直線的垂直判定

-如果直線的方向向量與另一條直線的方向向量垂直，則兩直線垂直。

-如果直線上任意一點(diǎn)到另一條直線上的垂足的距離等于該點(diǎn)到另一條直線上的垂足的距離，則兩直線垂直。

8.空間直線與直線的平行判定

-如果直線的方向向量與另一條直線的方向向量平行，則兩直線平行。

-如果直線上任意一點(diǎn)到另一條直線上的垂足的距離等于該點(diǎn)到另一條直線上的垂足的距離，則兩直線平行。

9.空間直線與平面的距離計(jì)算

-利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算直線與平面的距離。

-利用直線與平面的法線向量計(jì)算直線與平面的距離。

10.空間直線與直線的距離計(jì)算

-利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算直線與直線的距離。

-利用直線與直線的方向向量計(jì)算直線與直線的距離。

11.空間直線與平面的夾角計(jì)算

-利用直線與平面的法線向量計(jì)算直線與平面的夾角。

-利用直線與直線的方向向量計(jì)算直線與直線的夾角。

12.空間直線與平面的投影

-利用投影定理計(jì)算直線在平面上的投影。

-利用投影定理計(jì)算直線在另一條直線上的投影。

13.空間直線與直線的投影

-利用投影定理計(jì)算直線在直線上的投影。

-利用投影定理計(jì)算直線在平面上的投影。

14.空間直線與平面的截面

-利用截面定理計(jì)算直線與平面的截面。

-利用截面定理計(jì)算直線與直線的截面。

15.空間直線與平面的交點(diǎn)

-利用交點(diǎn)定理計(jì)算直線與平面的交點(diǎn)。

-利用交點(diǎn)定理計(jì)算直線與直線的交點(diǎn)。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，包括直線平行、直線相交和異面直線。

2.通過實(shí)例和動畫演示，我們理解了空間直線與直線平行和相交的判定方法。

3.通過小組合作探究，我們加深了對異面直線概念和性質(zhì)的理解。

4.我們學(xué)習(xí)了如何通過證明過程來驗(yàn)證空間中直線與直線之間的位置關(guān)系。

5.通過實(shí)物模型和教具的演示，我們直觀地感受到了空間幾何圖形的特點(diǎn)。

當(dāng)堂檢測：

1.選擇題：

-在空間直角坐標(biāo)系中，若直線l的方向向量為\(\vec{s}=(1,2,3)\)，平面\(\pi\)的法線向量為\(\vec{n}=(2,-1,4)\)，則直線l與平面\(\pi\)的位置關(guān)系是（）。

A.平行B.垂直C.相交D.異面

2.填空題：

-已知空間中兩條直線\(l_1\)和\(l_2\)，其中\(zhòng)(l_1\)的方向向量為\(\vec{s}_1=(1,-1,2)\)，\(l_2\)的方向向量為\(\vec{s}_2=(-2,3,-1)\)，則\(l_1\)與\(l_2\)的位置關(guān)系是______。

3.簡答題：

-簡述空間中直線與直線平行的判定條件。

4.計(jì)算題：

-已知空間直角坐標(biāo)系中，直線\(l\)的方程為\(x=2t+1,y=-t+3,z=t+2\)，平面\(\pi\)的方程為\(2x-y+3z=6\)，求直線\(l\)與平面\(\pi\)的交點(diǎn)。

5.應(yīng)用題：

-在空間直角坐標(biāo)系中，直線\(l\)的方向向量為\(\vec{s}=(1,2,3)\)，平面\(\pi\)的法線向量為\(\vec{n}=(2,-1,4)\)，求直線\(l\)在平面\(\pi\)上的投影。

檢測目的：通過當(dāng)堂檢測，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，檢驗(yàn)學(xué)生對空間中直線與直線位置關(guān)系的理解程度。典型例題講解例題1：

已知空間直線\(l\)的方程為\(x=2t+1,y=-t+3,z=t+2\)，平面\(\pi\)的方程為\(2x-y+3z=6\)，求直線\(l\)與平面\(\pi\)的交點(diǎn)。

解：

將直線\(l\)的參數(shù)方程代入平面\(\pi\)的方程中，得到：

\(2(2t+1)-(-t+3)+3(t+2)=6\)

化簡得：

\(4t+2+t-3+3t+6=6\)

\(8t+5=6\)

\(8t=1\)

\(t=\frac{1}{8}\)

將\(t=\frac{1}{8}\)代入直線\(l\)的方程中，得到交點(diǎn)坐標(biāo)：

\(x=2\left(\frac{1}{8}\right)+1=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}\)

\(y=-\left(\frac{1}{8}\right)+3=\frac{23}{8}\)

\(z=\frac{1}{8}+2=\frac{17}{8}\)

所以，直線\(l\)與平面\(\pi\)的交點(diǎn)為\(\left(\frac{5}{4},\frac{23}{8},\frac{17}{8}\right)\)。

例題2：

已知空間直線\(l\)的方向向量為\(\vec{s}=(1,2,3)\)，平面\(\pi\)的法線向量為\(\vec{n}=(2,-1,4)\)，求直線\(l\)在平面\(\pi\)上的投影。

解：

直線\(l\)在平面\(\pi\)上的投影可以通過計(jì)算直線\(l\)與平面\(\pi\)的法線向量的點(diǎn)積來實(shí)現(xiàn)。投影向量為：

\(\vec{proj}=\frac{\vec{s}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\vec{n}\)

計(jì)算點(diǎn)積：

\(\vec{s}\cdot\vec{n}=(1)(2)+(2)(-1)+(3)(4)=2-2+12=12\)

\(\vec{n}\cdot\vec{n}=(2)(2)+(-1)(-1)+(4)(4)=4+1+16=21\)

所以，投影向量為：

\(\vec{proj}=\frac{12}{21}\vec{n}=\frac{4}{7}\vec{n}=\frac{4}{7}(2,-1,4)=\left(\frac{8}{7},-\frac{4}{7},\frac{16}{7}\right)\)

例題3：

已知空間直線\(l\)的方程為\(x=2t+1,y=-t+3,z=t+2\)，平面\(\pi\)的方程為\(2x-y+3z=6\)，求直線\(l\)與平面\(\pi\)的夾角。

解：

直線\(l\)與平面\(\pi\)的夾角可以通過計(jì)算直線\(l\)的方向向量與平面\(\pi\)的法線向量的點(diǎn)積的絕對值除以兩個向量的模長之積來求得。夾角\(\theta\)為：

\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|}\right)\)

計(jì)算點(diǎn)積：

\(\vec{s}\cdot\vec{n}=(1)(2)+(2)(-1)+(3)(4)=2-2+12=12\)

計(jì)算模長：

\(|\vec{s}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}\)

\(|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{21}\)

所以，夾角\(\theta\)為：

\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{21}}\right)\)

例題4：

已知空間直線\(l\)的方向向量為\(\vec{s}=(1,2,3)\)，平面\(\pi\)的法線向量為\(\vec{n}=(2,-1,4)\)，求直線\(l\)與平面\(\pi\)的截面。

解：

直線\(l\)與平面\(\pi\)的截面可以通過計(jì)算直線\(l\)上的任意一點(diǎn)到平面\(\pi\)的距離來實(shí)現(xiàn)。截面上的點(diǎn)滿足：

\(d=\frac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\)

取直線\(l\)上的任意一點(diǎn)，如\(t=0\)時的點(diǎn)\(P(1,3,2)\)，計(jì)算到平面\(\pi\)的距離：

\(d=\frac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{12}{\sqrt{21}}\)

所以，直線\(l\)與平面\(\pi\)的截面上的點(diǎn)到平面\(\pi\)的距離為\(\frac{12}{\sqrt{21}}\)。

例題5：

已知空間直線\(l\)的方程為\(x=2t+1,y=-t+3,z=t+2\)，平面\(\pi\)的方程為\(2x-y+3z=6\)，求直線\(l\)與平面\(\pi\)的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

解：

已知直線\(l\)與平面\(\pi\)的交點(diǎn)為\(\left(\frac{5}{4},\frac{23}{8},\frac{17}{8}\right)\)，求交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：

\(d=\sqrt{\left(\frac{5