/2024-2025學(xué)年上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三年級(jí)下學(xué)期2月月考試卷一?填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.1.復(fù)數(shù)的虛部為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求的代數(shù)形式，結(jié)合虛部定義求結(jié)論.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：.2.不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】不等式等價(jià)于，求解即可.【詳解】不等式，所以不等式的解集為.故答案為：.3.已知與為單位向量，且滿足，則與的夾角__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量垂直，即可得，即可求解.【詳解】因?yàn)榕c為單位向量，則，，又，，，則，又，所以與的夾角為.故答案為：.4.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)計(jì)算可得.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：5.已知隨機(jī)變量，若，則__________.【答案】0.1##【解析】【分析】結(jié)合正態(tài)分布求解相應(yīng)的概率即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以根?jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性得：所以故答案為：0.1.6.已知直線與直線的夾角為，則實(shí)數(shù)______.【答案】或【解析】【分析】設(shè)兩直線夾角為，可得，分和兩種情況，結(jié)合直線的夾角公式運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)直線與直線的夾角為，則，可得，，設(shè)直線的傾斜角為，則，設(shè)直線的傾斜角為，若，則直線即為，可知，可得，，符合題意；若，則，因?yàn)?，可得，即，解得或（舍去）；綜上所述：或.故答案為：或.7.已知圓錐底面半徑為，高為1，則過圓錐的母線的截面面積的最大值為___________．【答案】【解析】【分析】依題意求得圓錐的母線長，確定軸截面的頂角，從而求出截面面積的取值的最大值，由此得解．【詳解】依題意，設(shè)圓錐的母線長為，圓錐的底面半徑為，高為1，，設(shè)圓錐的軸截面的兩母線夾角為，則，，，則過該圓錐的母線作截面，截面上的兩母線夾角設(shè)為，故截面的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故截面的面積的最大值為2．故答案為：2.8.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線與曲線C的左右兩支分別交于點(diǎn)，且，則曲線C的離心率為__________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，表示其他邊長，利用雙曲線定義可得，在和中分別利用余弦定理可得的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率.【詳解】如圖，設(shè)，則，由雙曲線定義得，，，∴，故.在中，，在中，，∵，∴，故，即，∴曲線C的離心率．故答案為：.9.人們通常以分貝（符號(hào)是dB）為單位來表示聲音強(qiáng)度的等級(jí)，其中0dB是人能聽到的等級(jí)最低的聲音，一般地，如果強(qiáng)度為x的聲音對(duì)應(yīng)的等級(jí)為，則有，給出下列四個(gè)結(jié)論：①等級(jí)為0dB的聲音的強(qiáng)度為；②函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；③等級(jí)為80dB的聲音與70dB的聲音強(qiáng)度之比是10；④等級(jí)為60dB的聲音與90dB的聲音強(qiáng)度之比是1000.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①②③【解析】【分析】對(duì)于①，由求出即可；對(duì)于②，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；對(duì)于③，令，，分別求出，，計(jì)算即可；對(duì)于④，令，，分別求出，，計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于①，由即，可得，因此等級(jí)為0dB的聲音強(qiáng)度為，故①正確；對(duì)于②，令，則，易知和在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在定義域上是增函數(shù)，故②正確；對(duì)于③，設(shè)，則，解得．設(shè)，同理可得．因此所求兩種等級(jí)聲音的強(qiáng)度之比為，故③正確；對(duì)于④，設(shè)，則，解得．設(shè)，同理可得．因此所求兩種等級(jí)聲音的強(qiáng)度之比為，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.10.如圖，14塊相同的正方體壘放在桌子上，每次施法會(huì)隨機(jī)讓其中某塊正方體消失，直到所有正方體全部消失不見．如果某次被施法的正方體的正上方仍有其他正方體，那么它正上方的正方體會(huì)豎直掉落下來，我們稱發(fā)生了“坍塌”．那么在全部14次施法過程中，不發(fā)生坍塌的概率為______．【答案】【解析】【分析】利用排列組合求出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中的總數(shù)后可求概率.【詳解】把題設(shè)中的14個(gè)小正方體編號(hào)如下：其中1代表最上方的一個(gè)小正方體，第二層、第三層相應(yīng)的標(biāo)號(hào)如下圖所示.與1號(hào)小正方體在同一個(gè)豎直方向小正方體從上至下記為2,6，標(biāo)號(hào)為3的正方體下面的小正方體標(biāo)號(hào)為7，標(biāo)號(hào)為4的正方體下面的小正方體標(biāo)號(hào)為8，標(biāo)號(hào)為5的正方體下面的小正方體標(biāo)號(hào)為9，若不發(fā)生坍塌，則則全部14次施法過程中，不發(fā)生坍塌的事件總數(shù)為設(shè)事件為：“全部14次施法過程中，不發(fā)生坍塌”，則故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于古典概型的概率計(jì)算問題，我們?cè)谟?jì)算事件總數(shù)時(shí)需借助排列組合的方法，對(duì)于一些比較繁瑣的計(jì)數(shù)問題，我們可以將問題模型化，從而便于計(jì)數(shù).11.已知函數(shù)若關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】先分析分段函數(shù)在上的單調(diào)性，再對(duì)參數(shù)a分情況討論即可求得結(jié)果.【詳解】分析題意，利用函數(shù)單調(diào)性定義顯然得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上函數(shù)對(duì)參數(shù)a分情況討論：當(dāng)時(shí)，分段函數(shù)圖像如上圖所示，易知在區(qū)間上函數(shù)一定與相交，故此時(shí)與分段函數(shù)其他部分不相交；故對(duì)于部分，必有，對(duì)于部分，聯(lián)立,整理得，即，無解；故符合題意；當(dāng)時(shí)，分段函數(shù)，則有實(shí)數(shù)根，和不成立；當(dāng)時(shí)，易知，與分段函數(shù)在必有一個(gè)交點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)分段函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，無交點(diǎn)，故符合題意.綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：12.已知數(shù)列{an}滿足a1＝﹣2，且Sn＝+n（其中Sn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)和），f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（2﹣x）＝f（x），則f（a2021）＝__.【答案】0【解析】【分析】項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝an﹣an﹣1+1，即，可得an＝﹣3n+1.由f（2﹣x）＝f（x），以及f（x）是奇函數(shù)可得f（4﹣x）＝f（﹣x），即f（x）是以4為周期的周期函數(shù).利用二項(xiàng)式定理展開可得a2021＝﹣[42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+…+41（﹣1）2020]+2，即f（a2021）＝f（2），可得解【詳解】∵Sn＝+n，∴Sn﹣1＝an﹣1+n﹣1（n≥2），兩式相減得，an＝Sn﹣Sn﹣1＝an﹣an﹣1+1，化簡(jiǎn)整理得，an﹣1＝3（an﹣1﹣1），∴＝3，即數(shù)列{an﹣1}是以﹣3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴an﹣1＝﹣33n﹣1＝﹣3n，∴an＝﹣3n+1.∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（2﹣x）＝f（x），∴令x＝2，則f（2）＝f（0）＝0，令x＝x﹣2，則f（4﹣x）＝f（x﹣2）＝﹣f（2﹣x），∴f（4﹣x）＝﹣f（x）＝f（﹣x），即f（x）是以4為周期的周期函數(shù).∵a2021＝﹣32021+1＝﹣（4﹣1）2021+1＝﹣[42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+…+41（﹣1）2020+40?（﹣1）2021]+1＝﹣[42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+…+41（﹣1）2020]+2，其中42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+…+41（﹣1）2020能被4整除，∴f（a2021）＝f（﹣32021+1）＝f（2）＝0.故答案為：0.二?選擇題（本人題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.已知集合，則集合A的真子集的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4C.8 D.7【答案】D【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，再求出其真子集個(gè)數(shù).【詳解】集合所以集合A的真子集的個(gè)數(shù)為.故選：D14.已知拋物線準(zhǔn)線為，直線，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)到直線與的距離分別為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由拋物線的定義可知，設(shè)于點(diǎn)N，，當(dāng)三點(diǎn)共線且M在中間時(shí)，取得最小值，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可知.設(shè)于點(diǎn)，則.當(dāng)三點(diǎn)共線，且在中間時(shí)，取得最小值.由拋物線，得，所以的最小值為.故選：B.15.已知，若，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后分三種情況討論，然后根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可得【詳解】令，得，若，則所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，，當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞增，所以，不合題意；當(dāng)時(shí)，，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，，綜上可得，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造判斷單調(diào)性，然后分類討論，利用放縮法對(duì)變形，結(jié)合正余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得.16.已知是面積為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點(diǎn)均位于的內(nèi)部及三邊上，且可在內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分別求出等邊三角形和正方形的邊長及其內(nèi)切圓半徑，根據(jù)所求結(jié)果和正方形可在內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)可知，正方形各個(gè)頂點(diǎn)在三角形的內(nèi)切圓上，建立合適的直角坐標(biāo)系，求出三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)和其內(nèi)切圓的方程，設(shè)出的三角坐標(biāo)，根據(jù)可得到關(guān)于坐標(biāo)中變量的關(guān)系，分類討論代入中化簡(jiǎn)，用輔助角公式分別求出最大值，選出結(jié)果即可.【詳解】解：因?yàn)槭敲娣e為的等邊三角形，記邊長為，所以，解得，記三角形內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)，可得：，解得，因?yàn)檎叫蚊娣e為2，所以正方形邊長為，記正方形外接圓半徑為，所以其外接圓直徑等于正方形的對(duì)角線2，即，根據(jù)正方形的對(duì)稱性和等邊三角形的對(duì)稱性可知，正方形外接圓即為等邊三角形的內(nèi)切圓，因?yàn)檎叫慰稍趦?nèi)任意旋轉(zhuǎn)，可知正方形各個(gè)頂點(diǎn)均在該三角形的內(nèi)切圓上，以三角形底邊為軸，以的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示：故可知，圓的方程為，故設(shè)，，因?yàn)?，即，化?jiǎn)可得，即，解得或，①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)可化為，此時(shí)，所以當(dāng)，即，即，即時(shí)，取得最大值；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)可化為，此時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)，即，即，即時(shí)，取得最大值，綜上可知：取得最大值.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查平面幾何的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于圓錐曲線中點(diǎn)的三角坐標(biāo)的設(shè)法有：（1）若點(diǎn)在圓上，可設(shè)點(diǎn)為，其中；（2）若點(diǎn)在圓上，可設(shè)點(diǎn)為，其中；（3）若點(diǎn)在橢圓上，可設(shè)點(diǎn)為，其中；三?解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.如圖1，在平面四邊形中，，，，.將沿折疊至處，使平面平面（如圖2），為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）取的中點(diǎn)，連接，可得出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BD，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.因?yàn)?，，所以是等邊三角形，所以，所以，所以，即，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平?【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)槠矫?，則平面，因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、，、、、，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.18.已知遞增的等差數(shù)列的前三項(xiàng)之和為27，前三項(xiàng)之積為585，（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2），數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若恒成立，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到關(guān)于的方程組，解出后再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得到答案；（2）利用裂項(xiàng)求和即可得，則得到答案.【小問1詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，則，解得或，又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，所以，，.【小問2詳解】由（1）得，，則，.因?yàn)槭菃握{(diào)遞增，，又，所以有最小值.19.向“新”而行，向“新”而進(jìn)，新質(zhì)生產(chǎn)力能夠更好地推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展.以人工智能的應(yīng)用為例，人工智能中的文生視頻模型（以下簡(jiǎn)稱），能夠根據(jù)用戶的文本提示創(chuàng)建最長秒的逼真視頻.為調(diào)查的應(yīng)用是否會(huì)對(duì)視頻從業(yè)人員的數(shù)量產(chǎn)生影響，某學(xué)校研究小組隨機(jī)抽取了名視頻從業(yè)人員進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表所示.Sora的應(yīng)用情況視頻從業(yè)人員合計(jì)減少未減少應(yīng)用

沒有應(yīng)用

合計(jì)

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成題中表格，并判斷是否有的把握認(rèn)為的應(yīng)用與視頻從業(yè)人員的減少有關(guān)？（2）某公司視頻部現(xiàn)有員工人，公司擬開展培訓(xùn)，分三輪進(jìn)行，每位員工第一輪至第三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為，每輪相互獨(dú)立，有二輪及以上獲得“優(yōu)秀”的員工才能應(yīng)用.（i）求員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用的概率；（ii）已知開展培訓(xùn)前，員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤萬元；開展培訓(xùn)后，能應(yīng)用的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤萬元；培訓(xùn)平均每人每年成本為萬元.根據(jù)公司發(fā)展需要，計(jì)劃先將視頻部的部分員工隨機(jī)調(diào)至其他部門，然后對(duì)剩余員工開展培訓(xùn)，現(xiàn)要求培訓(xùn)后視頻部的年利潤不低于員工調(diào)整前的年利潤，則視頻部最多可以調(diào)多少人到其他部門？附：，其中.【答案】（1）表格見解析，有的把握認(rèn)為的應(yīng)用與視頻從業(yè)人員的減少有關(guān)（2）（i）；（ii）人【解析】【分析】（1）分析數(shù)據(jù)關(guān)系，完善列聯(lián)表，提出零假設(shè)，計(jì)算，比較其與臨界值大小，判斷結(jié)論；（2）（i）設(shè)“員工第輪獲得優(yōu)秀”，“員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用”，則，結(jié)合互斥事件概率加法公式，獨(dú)立事件概率乘法公式求結(jié)論；（ii）設(shè)視頻部調(diào)人至其他部門，為培訓(xùn)后視頻部能應(yīng)用的人數(shù)，則，由條件列不等式可求結(jié)論.【小問1詳解】依題意，列聯(lián)表如下：Sora的應(yīng)用情況視頻從業(yè)人員合計(jì)減少未減少應(yīng)用沒有應(yīng)用合計(jì)零假設(shè)為：的應(yīng)用與視頻從業(yè)人員的減少獨(dú)立，的應(yīng)用前后視頻從業(yè)人員無差異，由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得，.根據(jù)小概率值的的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，所以有的把握認(rèn)為的應(yīng)用與視頻從業(yè)人員的減少有關(guān)；【小問2詳解】（i）設(shè)“員工第輪獲得優(yōu)秀”，且相互獨(dú)立.設(shè)“員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用”，則故員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用的概率是.（ii）設(shè)視頻部調(diào)人至其他部門，為培訓(xùn)后視頻部能應(yīng)用的人數(shù)，則，因此，調(diào)整后視頻部的年利潤為（萬元），令，解得，又，所以.因此，視頻部最多可以調(diào)人到其他部門.20.已知圓，圓，若動(dòng)圓與圓外切，且與圓內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為.（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為0的一條直線，交曲線于、兩點(diǎn)，直線、分別與直線交于、兩點(diǎn).①求證：直線與直線的斜率之積為常數(shù)；②求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義判斷的軌跡為橢圓，進(jìn)而求出橢圓方程；（2）①設(shè)直線，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理求出，，根據(jù)斜率相等求出，然后代入斜率公式表示出化簡(jiǎn)即可得；②由①知，，所以，然后利用基本不等式求出最值即可【小問1詳解】設(shè)動(dòng)圓半徑為，由題意，又，故軌跡為橢圓.，，故的軌跡方程為【小問2詳解】①由（1）知，，設(shè)直線，，，聯(lián)立消去，整理得，則，根據(jù)題意可設(shè)，，則由，可得，由，可得，所以直線與直線的斜率之積所以直線與直線的斜率之積為定值.②由①知，，所以.，，所以當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，所以面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形