/廣東省深圳市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024屆高三教學(xué)情況測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（

）A． B． C． D．23．已知向量，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．4．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公差不為，若，，構(gòu)成等比數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．5．北京故宮博物院展示著一件來(lái)自2200年前的寶物——秦詔文權(quán)（如圖1）.此文權(quán)下部呈圓臺(tái)形，上部為鼻鈕，被譽(yù)為最美、最具文化、最有政治和歷史意義的文物之一.某公司仿照該文權(quán)制成一紙鎮(zhèn)（如圖2），已知該紙鎮(zhèn)下部的上、下底面半徑分別為，，高為，則該紙鎮(zhèn)下部的側(cè)面積與體積分別為（

）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象恰為橢圓x軸上方的部分，若，，成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)（s，t）的軌跡是（

）A．線段（不包含端點(diǎn)） B．橢圓一部分C．雙曲線一部分 D．線段（不包含端點(diǎn)）和雙曲線一部分8．已知其中則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在正方體中，直線平面，直線平面，直線平面，則直線的位置關(guān)系可能是（

）A．兩兩垂直 B．兩兩平行C．兩兩相交 D．兩兩異面10．已知，為方程的兩個(gè)實(shí)根，則（

）A． B．C． D．11．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，圓，直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．C．若，則 D．為定值三、填空題（本大題共3小題）12．害蟲(chóng)防控對(duì)于提高農(nóng)作物產(chǎn)量具有重要意義.已知某種害蟲(chóng)產(chǎn)卵數(shù)（單位：個(gè)）與溫度（單位：）有關(guān)，測(cè)得一組數(shù)據(jù)，可用模型進(jìn)行擬合，利用變換得到的線性回歸方程為.若，則的值為.13．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，A是的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸的垂線交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)，連接交另一條漸近線于點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為.14．如圖為幾何體的一個(gè)表面展開(kāi)圖，其中的各面都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，將放入一個(gè)球體中，則該球表面積的最小值為；在中，異面直線與的距離為.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在直四棱柱中，四邊形為平行四邊形，，.

(1)證明：與平面的交點(diǎn)為的重心；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：面與面所成角的正切值為.16．為方便居民休閑娛樂(lè)，某市計(jì)劃在一塊三角形空地上修建一個(gè)口袋公園，如圖所示.在公園內(nèi)部計(jì)劃修建景觀道路（道路的寬度忽略不計(jì))，已知把三角形空地分成兩個(gè)區(qū)域，區(qū)域?yàn)閮和瘖蕵?lè)區(qū)，區(qū)域?yàn)樾蓍e健身區(qū).經(jīng)測(cè)量，米，米.若兒童娛樂(lè)區(qū)每平方米的造價(jià)為元，休閑健身區(qū)每平方米的造價(jià)為元，景觀道路每米的造價(jià)為元.(1)若，求景觀道路的長(zhǎng)度；(2)求為何值時(shí)，口袋公園的造價(jià)最低？17．某項(xiàng)游戲的規(guī)則如下：游戲可進(jìn)行多輪，每輪進(jìn)行兩次分別計(jì)分，每次分?jǐn)?shù)均為不超過(guò)10的正整數(shù)，選手甲參加十輪游戲，分?jǐn)?shù)如下表：輪次一二三四五六七八九十第一次分?jǐn)?shù)76898597107第二次分?jǐn)?shù)87910898779若選手在某輪中，兩次分?jǐn)?shù)的平均值不低于7分，且二者之差的絕對(duì)值不超過(guò)1分，則稱(chēng)其在該輪“穩(wěn)定發(fā)揮”.(1)若從以上十輪游戲中任選兩輪，求這兩輪均“穩(wěn)定發(fā)揮”的概率；(2)假設(shè)甲再參加三輪游戲，每輪得分情況相互獨(dú)立，并對(duì)是否穩(wěn)定發(fā)揮以頻率估計(jì)概率.記為甲在三輪游戲中“穩(wěn)定發(fā)揮”的輪數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)選手乙參加輪游戲，每輪的兩次分?jǐn)?shù)均不相同.記為各輪較高分的算數(shù)平均值，為各輪較低分的算數(shù)平均值，為各輪兩次的平均分的算數(shù)平均值.試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）.18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)記曲線在，兩點(diǎn)處的切線斜率分別為，直線的斜率為，其中，求證：當(dāng)時(shí)，有.19．已知，數(shù)列A：，，…中的項(xiàng)均為不大于的正整數(shù).表示，，…中的個(gè)數(shù)（）.定義變換，將數(shù)列變成數(shù)列：，，…其中.（1）若，對(duì)數(shù)列：，寫(xiě)出的值；（2）已知對(duì)任意的（），存在中的項(xiàng)，使得.求證：（）的充分必要條件為（）；（3）若，對(duì)于數(shù)列：，，…，令：，求證：（）.

參考答案1．【答案】D【分析】由補(bǔ)集的定義求出，，再由交集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，，?.故選：D.2．【答案】D【分析】先求出，再結(jié)合虛部定義可解．【詳解】，則，則，虛部為．故選D.3．【答案】A【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示形式，可直接得到值.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，解得，故選A.4．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)計(jì)算出，根據(jù)等比數(shù)列中項(xiàng)得，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，所以，得，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，因?yàn)?，解得，，，所?故選D.5．【答案】C【分析】先根據(jù)上下半徑及高求出母線，再利用圓臺(tái)側(cè)面積公式和體積公式求解即可.【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)紙鎮(zhèn)下部的上、下底面半徑分別為，，高為，所以圓臺(tái)的母線為長(zhǎng)，則該紙鎮(zhèn)下部的側(cè)面積為，該紙鎮(zhèn)下部的體積為.故選C.6．【答案】B【分析】令，則方程即，結(jié)合函數(shù)解析式分段求得t的值，繼而再解，即可求得的解，即得答案.【詳解】令，則方程即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若，則，符合題意；若，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，若，則，符合題意；若，則，符合題意，即方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為3，故選B.7．【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合橢圓方程進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恰為橢圓x軸上方的部分，所以，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以有，且有成立，即成立，由，化簡(jiǎn)得：，或，當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)?，所以平面上點(diǎn)（s，t）的軌跡是線段（不包含端點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)椋?，而，所以不成立，故選A.8．【答案】C【分析】先根據(jù)兩角和與差得正弦余弦公式構(gòu)造并計(jì)算出，，再根據(jù)同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系計(jì)算出，同理計(jì)算出，最后代入即可算出.【詳解】因?yàn)?，，得，所以，所以，，所以，因?yàn)?，，得，所以，，，所以，所?故選C.9．【答案】ACD【分析】在正方體中可分別取兩兩垂直、兩兩相交，兩兩異面的直線，即可判斷A，C，D選項(xiàng)，結(jié)合線面平行的判定以及性質(zhì)定理可判斷B.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)l為，m為，n為時(shí)，兩兩垂直，A正確；對(duì)于B，不妨假設(shè)，和不重合，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，又平面，平面平面，故，則，又平面，平面，故，則，即不可能兩兩平行，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)l為，m為，n為時(shí)，兩兩相交，C正確；對(duì)于D，當(dāng)l為，m為，n為時(shí)，兩兩異面，D正確，故選ACD.10．【答案】ACD【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求出，，然后再結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】由題意得：，，，；對(duì)于A項(xiàng)：，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)：由，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：，所以，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)：當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D項(xiàng)正確.故選ACD.11．【答案】BD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，得，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，設(shè)，由，得，則，所以，因?yàn)橹本€恒過(guò)圓心，所以，所以，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)橹本€過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以，解得，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)橹本€過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以，所以為定值，所以D正確，故選BD.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】對(duì)于A，由拋物線的準(zhǔn)線方程可求出的值進(jìn)行判斷，對(duì)于B，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系，再求出，由于直線過(guò)圓心，則由圓的性質(zhì)可得，從而可進(jìn)行判斷，對(duì)于C，利用弦長(zhǎng)公式求出，而，然后由題意列方程可求出的值，對(duì)于D，由題意可得，再結(jié)合拋物線的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可.12．【答案】【分析】將非線性模型兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，再將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程可得，即可計(jì)算出.【詳解】對(duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，即，可得.由可得，代入可得，即，所以.故答案為：.13．【答案】2【分析】根據(jù)題意即可得出，所以，再由可得為的中點(diǎn)，即，代入另一條漸近線可得，即可計(jì)算出離心率為.【詳解】如下圖所示：

易知，則過(guò)點(diǎn)作軸的垂線方程為，不妨設(shè)與漸近線交于點(diǎn)，則可得，又可得，為的中點(diǎn)，即；又在另一條漸近線上，即，解得；所以雙曲線的離心率為.故答案為：2.14．【答案】；【分析】結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)幾何體是由兩個(gè)相同的正四棱錐共底構(gòu)成，比較與的大小，可得當(dāng)球恰好外接時(shí)該球表面積的最小值，則該球表面積的最小值可求；找出的平行線，而與相交構(gòu)成平面，則異面直線與的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，然后等體積法求之即可.【詳解】因?yàn)榈母髅娑际沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以結(jié)合圖象可知，幾何體是由兩個(gè)相同的正四棱錐共底構(gòu)成.正四棱錐中將放入一個(gè)球體中，當(dāng)球恰好外接時(shí)該球表面積的最小值，此時(shí)球半徑為，該球表面積的最小值為，因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線的交點(diǎn),平分與，所以四邊形為平行四邊形，則,而與相交構(gòu)成平面，則異面直線與的距離即點(diǎn)到平面的距離，三棱錐的體積,令點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，異面直線與的距離為.故答案為：；.15．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)條件選擇見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)題意，連接交于點(diǎn)，連接，由條件可得，再由為邊上的中線即可得到證明；（2）若選擇條件①：作，垂足為，證得面，即可得到為與平面所成角.若選擇條件②：作交直線于點(diǎn)，連接，然后作，則，即可得到為與平面所成角.【詳解】（1）

如圖，連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)槊?，所以?所以為面與面的公共點(diǎn).因?yàn)槊婷?，所?在矩形中，由得.因?yàn)樵谥校瑸檫吷系闹芯€，所以為的重心.（2）若選擇條件①：.因?yàn)閹缀误w為直四棱柱，所以面，BD在面ABCD內(nèi)，所以.因?yàn)椋?，所以?面，所以.四邊形為平行四邊形，所以四邊形為菱形.如圖，作，垂足為.因?yàn)槊?，，所以面，面，?由，面，所以面，即為與平面所成角.設(shè)，則，所以.若選擇條件②：面與面所成角的正切值為，面面，所以面與面所成角的正切值為.如圖，作交直線于點(diǎn)，連接，由面，面，則，，面，故面，又面，所以，所以二面角的平面角為，則.設(shè)，則，所以.所以，即為線段的中點(diǎn)（與重合）.因?yàn)?，，面，所以?如圖，作，因?yàn)槊?，，所以面，面，?由，面，所以面.

即為與平面所成角.因?yàn)椋?16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，，則，，所以在中，，由正弦定理得，，所以景觀道路的長(zhǎng)度為米.（2）設(shè)，在中，，所以又所以所以投資總額因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí)，取最小值.所以當(dāng)為時(shí)，口袋公園的造價(jià)最低.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】（1）確定，再利用正弦定理計(jì)算得到答案.（2）設(shè)，，計(jì)算和得到，確定公園造價(jià)的表達(dá)式，利用三角恒等變換結(jié)合均值不等式計(jì)算最值即可.17．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望(3)【分析】（1）該選手在第1、3、4、5、7、8輪穩(wěn)定發(fā)揮，由此即可求解；（2）首先求出甲在某一輪中發(fā)揮穩(wěn)定的概率為0.6，從而可知服從二項(xiàng)分布，進(jìn)一步即可求得分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）首先求得關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)一步即可比較大小.【詳解】（1）直接計(jì)算知該選手在第1、3、4、5、7、8輪穩(wěn)定發(fā)揮，故；（2）甲在每輪游戲中“穩(wěn)定發(fā)揮”的概率為，，的可能取值為0，1，2，3，，，這就得到的分布列為0123二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望.（3）設(shè)在第輪中，較高分和較低分分別為和，則，且，，故，且從而.即.18．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）時(shí)求出可得答案；（2）求出，，，要證，設(shè)，則只需證，設(shè)，則只需證，利用在上單調(diào)性得，設(shè)，利用的單調(diào)性可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）因?yàn)椋?，所以，，要證，只需證，即證，不妨設(shè)，則只需證，即證，設(shè)，則只需證①，由（1）可知在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，所以要證①，只需證，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增.所以，得證.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)解題的關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證，，本題考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，而構(gòu)造函數(shù)的解題思路恰好是這種思想的良好體現(xiàn).19．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)定義,表示,,…中的個(gè)數(shù),即可由數(shù)列得的值.（2）根據(jù)對(duì)任意的（）,存在中的項(xiàng),使得,由充分必要條件的判定,分必要性與充分性?xún)刹椒謩e證明