大招1三角函數中求法大招總結三角函數中的大小及取值范圍經常在選擇壓軸中出現(xiàn),我們在處理這類題目時,一定要結合圖象進行分析。簡單的題可以直接求出的具體值,有些有難度的需要求出的取值范圍,再進行取整。在處理這類題目之前,我們必須掌握一些三角函數的基本結論,大家可以結合圖象理解記憶。1.任意兩條對稱軸之間的距離為半周期的整數倍,即;2.任意兩個對稱中心之間的距離為半周期的整數倍,即;3.任意對稱軸與對稱中心之間的距離為周期加半周期的整數倍,即;4.在區(qū)間內單調且5.在區(qū)間內不單調內至少有一條對稱軸,6.在區(qū)間內沒有零點且7.在區(qū)間內有個零點。至于不等式什么時候加等號,什么時候不加等號,具體情況具體分析,特別要注意自變量的取值范圍是開區(qū)間還是閉區(qū)間。典型例題例1.(2019·新課標II)若是函數兩個相鄰的極值點,則()A.2B.C.1D.解：∵是函數兩個相鄰的極值點,∴∴,故選A.例2.(2012·新課標)已知,直線和是函數圖象的兩條相鄰的對稱軸,則()A.B.C.D.解：因為直線和是函數圖象的兩條相鄰的對稱軸,所以.所以,∵,所以.故選A.例3.(2011·山東)若函數在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,則()A.B.C.2D.3解：由題意可知函數在時取得最大值,就是,所以;只有時,滿足選項.故選B.例4.(2014·天津)已知函數,在曲線與直線的交點中,若相鄰交點距離的最小值為,則的最小正周期為()A.B.C.D.解:∵已知函數,在曲線與直線的交點中,相鄰交點距離的最小值為,正好等于的周期的倍,設函數的最小正周期為,則,故選C.例5.(2020·廣西二模)已知函數,其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為,將函數的圖象向左平移個單位后,得到的圖象關于軸對稱,那么函數的圖象()A.關于點對稱B.關于點對稱C.關于直線對稱D.關于直線對稱解：由函數圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為,可知其周期為,所以,所以;將函數的圖象向左平移個單位后,得到函數圖象.因為得到的圖象關于軸對稱,所以,即;又,所以,所以),令,解得;時,得的圖象關于點對稱,B正確.故選B.例6.(2012·新課標)已知,函數在區(qū)間上單調遞減,則實數的取值范圍是()A.B.C.D.解：法一:令:不合題意排除合題意排除法二:得:,分析得.故選A.例7.（2017春?高平市校級月考)已知函數,若函數在上單調遞減,則實數的取值范圍是()A.B.C.D.解：函數,由函數在上單調遞減,解得,分析得實數的取值范圍是.故選A.例8.(2012·荊州區(qū)校級模擬)使函數的圖象關于原點對稱,且滿足對于內任意兩個數,恒有的的一個取值可以是()A.B.C.D.解：∵函數的圖象關于原點對稱,∴函數是奇函數,滿足,得滿足在區(qū)間內恒有,即函數為減函數令,得集合,且.由此可得:取,得,滿足題設的兩個條件故選D.例9.(2018·佛山二模)已知函數的圖象在區(qū)間(1,2)上不單調,則的取值范圍為()A.B.C.D.解：函數的對稱軸為,即,當時,,解得,當時,,解得,當時,,解得……綜上所述,的取值范圍為,故選B.例10.(2019秋·安徽月考)已知函數在區(qū)間上單調,則的取值范圍是()A.B.C.D.解：函數,在區(qū)間上單調,則求得,即的范圍為,故選C.例11.(2016·新課標I)已知函數為的零點,為圖象的對稱軸,且在上單調,則的最大值為()A.11B.9C.7D.5解：∵為的零點,為圖象的對稱軸,即即即為正奇數,∵在上單調,則,即,解得:,當時,,∵,此時在不單調,不滿足題意;當時,,∵,此時在單調,滿足題意;故的最大值為9,故選B.例12.(2019·新課標III)設函數,已知在有且僅有5個零點.下述四個結論：①在有且僅有3個極大值點②在有且僅有2個極小值點③在單調遞增④的取值范圍是其中所有正確結論的編號是()A.①④B.②③C.①②③D.①③解：當時,,由圖可得在有且僅有3個極大值點,有可能2個或者3個極小值點。故①對,②錯.∵在有且僅有5個零點,，故④正確，因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案,下面判斷③是否正確,當時,,若在單調遞增,則,即,∵,故③正確.故選D.例13.(2019秋·武昌區(qū)期末)設函數,已知在有且僅有5個零點.給出下述三個結論:①在有且僅有2個零點;②在單調遞增;③的取值范圍是其中,所有正確結論的編號是()A.①②B.①③C.②③D.①②③解：當時,,∵在有且僅有5個零點,∴即,所以③正確;(1)當即時,函數在上有3個零點,即①錯誤;(2)當時,,若在單調遞增,則即,符合題意,即②正確；所以正確的有②③,故選C.例14.(2019·開封三模)已知函數為的零點,為圖象的對稱軸,且,則的最大值為()A.5B.4C.3D.2解：∵函數為的零點,為圖象的對稱軸.∴,即為奇數.下面驗證不符合題意,當時,可得,函數,且時,,而,不符合,則的最大值為3,故選C.例15.(2018春·安陽期末)已知函數為的零點,為圖象的對稱軸,且在上單調,則的最大值為()A.3B.4C.5D.6解:根據三角函數的圖象可知,零點與對稱軸之間距離為.則由在上單調,即,可得,則;根據選項,當時,滿足題意.故選C.例16.(2020·貴州模擬)已知函數的圖象在區(qū)間上恰有1個縱坐標是最高點,則的取值范圍為()A.B.C.D.解：當時,,要使的圖象在區(qū)間上恰有1個縱坐標是最高點,即只有一個最大值2,則,即,故選C.例17.（2018秋·宿州期末)已知,函數在區(qū)間上恰有9個零點,那么的取值范圍為()A.B.C.D.解：函數在區(qū)間上恰有9個零點,而且函數是奇函數,0是其中1個零點,則0左側和右側各有4個零點,,求得,故選A.例18.（2019秋·赤峰期末)已知函數,若在區(qū)間內沒有零點,則的取值范圍是()A.B.C.D.解:因為,所以.因為在區(qū)間內沒有零點,所以,,解得.當時;當時,.故選B.例19.（2019·深圳二模)已知函數在區(qū)間上恰有一個最大值點和最小值點,則實數的取值范圍為()A.B.C.D.解：函數,在區(qū)間上恰有一個最大值點和最小值點.,則:,解得:,只有當時有解.故選B.例20.(2019·蕪湖模擬)已知函數,其中為的零點:且恒成立,在區(qū)間上有最小值無最大值,則的最大值是()A.11B.13C.15D.17解：由題意知函數,為圖象的對稱軸,為的零點,∴,在區(qū)間上有最小值無最大值,∴周期,即.∴要求的最大值,結合選項,先檢驗,當時,由題意可得,函數為,在區(qū)間上,,此時在時取得最小值,∴滿足題意.則的最大值為15,故選C.例21.(2018·湖北模擬)已知函數且,若在區(qū)間,上有最大值,無最小值,則的最大值為()A.B.C.D.解：在區(qū)間上有最大值,無最小值,∴,即,直線為的一條對稱軸,且取得最大值;當時，為最大值.故選D.例22.(2018·朝陽三模)已知函數,若,且在區(qū)間,上有最小值,無最大值,則()A.B.C.D.解：函數,由,在區(qū)間上有最小值,無最大值結合三角函數的性質,可得在處取得最小值.可得,化簡可得:∵當時,.當時,,考查此時在區(qū)間內已存在最大值.故選B.二、多選題例23.(2020·濟南二模)已知函數(其中,恒成立,且區(qū)間上單調,則下列說法正確的是()A.存在,使得是偶函數B.C.是奇數D.的最大值為3解：已知函數(其中,恒成立,所以f?π8=0f3(1)故選項A錯誤.(2)由于x=3π(3)由于ω=1+2(4)當f(x)區(qū)間?整理得,?π故:?π所以?π4由于ω>0,所以0<故選BCD.例24．（2020秋·滕州市校級月考)設函數g(x)=sin?ωx(ω>0)向左平移πA.f(x)B.f(x)在(0,2π)C.f(x)D.ω的取值范圍是12解：函數g(x)=sin?ωx(ω>0)向左平移π已知f(x)在[0,2π]當x=π2時,f(x)=sin?ωx當x∈(0,2π)時,ωx當x∈0,π10時,∴f(x)在由求得的ω的取值范圍可知,D正確,故選CD.例25．（2020秋·江門月考)將函數f(x)=sin?ωx(ω>0)的圖象向右平移π4單位長度,所得的圖象經過點3A.2B.4C.5D.6解：將函數f(x)=sin?ωx(ω>0)的圖象向右平移π4單位長度,可得y=sin?ωx?例26．（2019秋·膠州市期末)對于函數f(x)=A.若ω=2,x∈0,B.若ω=2,則函數y=3sin?2xC.若ω=2,則函數y=fD.若函數y=f(x解：f(x)=x則y=f(x)對于B,若ω=2,則函數y=3sin?2x對于C,若ω=2,x∈0,π對于D,若函數y=f(x)的一個對稱中心到與它最近一條對稱軸的距離為π綜上所述,結論正確的是AD.故選AD.三、填空題例27．(2018·湖北模擬)已知函數f(x)=cos?ωx?π3解：由題意:轉化為y=cos?ωx?π3與函數y∴?π當x=0,可得y根據余弦函數的圖象:可得5π解得:2?∴ω的取值范圍是故答案為:2,8例28．(2017·啟東市校級模擬)已知f(x)=3sin?ωx+π3(解：∵f∴f(x故有ω?∴又f(x)故當x=π4故有有ω?∴因為π4恰好為區(qū)間π6,π3的中點,故π故答案為:143例29．（2012秋·大武口區(qū)校級期末)下面有五個命題：(1)扇形的中心角為2π3,弧長為2π(2)終邊在y軸上的角的集合是a∣(3)已知角α的終邊經過點P(?5,12),則sin?α+2cos?(4)函數y=sin?x?(5)已知ω>0,函數f(x)=sin?ωx+π4在解：(1)由弧長公式l=aR可得:α=LR(2)當k=2nn為偶數)時,a(3):∵x(4)∵函數y=sin?x?π2∴函數y=sin?x?(5)ωπ?π2?故答案為:(1)(3)(5).例30．(2020秋·五華區(qū)校級月考)已知函數f((1)若φ=π5,且f(x)在(2)若φ=π4,且f(x)在(3)若φ=π5,且f(x)在(4)若φ=π4,且f(x)在(5)若f(x)的圖象關于x=π4對稱,x其中所有正確結論的編號是．解：(1)若φ=π5,且f由圖可知,f(x)(2)若φ=π4,且f(x)在(3)若φ=π5,由f(x)在[0,2π]上有且僅有5個零點,得∴f(x對于(4),若φ=π4∵f(x)在[0,2π即ω的范圍是158(5)若f(x)的圖象關于x=π4對稱,x=?π4為它的一個零點,則π又當k=5時,ω=11,φ=?π4,f(x)四、解答題例31．(2020秋·龍巖期中)(1)函數f((2)函數f(x)=12sin?(ωx+φ)ω>0,|φ|<(1)求fπ(2)求函數f(x)解：選擇條件(2):依題意,f(x)相鄰兩對稱軸之間距離為π2,則周期為f又g(則g(0)=0,由|?|<從而f(故fπ選擇條件(1)：由題意可得:f即有:f又因為f(x)相飯兩對稱軸之間距離為π2,則周期為從而f(故fπ(2)f(令2kπ解得x∈故f(x)在[0,自我檢測1．(2021·邯鄲校級二模)將函數f(x)=sin?ωx(其中ω>0)的圖象向左平移πA.6B.2C.9D.3答案：將函數f(x)=sin?ωx(其中ω>0)再根據所得圖象關于x=π6對稱,可得ω?π6+2．(2020·廣西二模)已知函數f(x)=sin?(ωx+φ)ω>0,|φ|<A.關于點?πB.關于點π16C.關于直線x=D.關于直線x=?答案:由函數y=f(x)圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π4,可知其周期為將函數y=f(x)的圖象向左平移3π16個單位后,得到函數y=sin?4x+3π16+φ圖象.因為得到的圖象關于y軸對稱,所以4×3π16故選B.3．(2019·丹東二模)已知函數f(x)=sin?(ωx+φ)ω>0,?A.ωB.ωC.ωD.ω答案：∵x=?π4是f(x)圖象的一條對稱軸,∴?π4ω+φ=4．(2020秋·民樂縣校級月考)已知ω>0,函數f(x)=sin?ωxA.1B.1C.1D.1答案：∵函數f(x)=sin?∴函數的周期T=2π再由2kπ+π2?5．(2018春·長安區(qū)校級期中)已知ω>0,函數f(x)=sin?ωxA.5B.1C.0,D.0,答案：∵x且函數f(x)=sin?ωx?π3在π3,即解得52∴ω的取值范圍是5故選A.6．(2017·福州二模)若函數f(x)=sin?(ωx)(A.(0,3]B.(0,4]C.[2,3]D.[2,+∞)答案：∵函數f(x)=sin?(ωx)(ω>0)求得8k令k=0,求得2?故選C.7．(2020春·開封期末)設函數f(x)=sin?ωx+(1)f(x)(2)f(x)(3)f(x)(4)ω的取值范圍是75其中所有正確結論的編號是（）A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(4)D.(3)(4)答案：∵x∈[0,2π].∴wx∴7∴T當2πw+π5>當x∈0,π7時,wx+故選D.8．(2017·夏邑縣校級模擬)已知函數f(x)=sin?(ωx+A.函數f(xB.函數f(x)C.函數f(x)D.函數f(x)答案：函數f(x)=sin?(ωx+φ)∴ω=2πT∵|φ|<π2,∴φ=π3對稱中心橫坐標:2x+π3=kπ,9．(2019·浙江模擬)已知函數f(x)=sin?(ωx+φ)ω>0,|φ|?π2,A.12B.11C.10D.9答案：函數f(x=?π4為f(x∴ω??π4∵f(x)在由(1)(2)可得ω的最大值為11.當ω=11時,由x=π4為故有φ=?π4,ω同時也滿足滿足f(x)故ω=11為ω故選B.10．(2019春·日照期中)已知函數f(x)=sin?(ωx+φ)ω>0,|φ|?π2A.6B.9C.10D.12答案：函數f(x=?π8為f(x∴ω??∴(2)-(1)得,ω=4k'∵f(x)在∴ω?12,又∴ω故選C.11．(2020·貴州模擬)已知函數f(x)=2sin?ωx+A.19B.9C.17D.[4解:函數f(∵x∴ωx圖象在區(qū)間[0,1]上恰有3個最高點,∴9解得:17π故選C.12．(2019·湖北模擬)已知函數f(x)=sin?(ωx+φ),其中ωA.(6,10)B.(6,8)C.(8,10)D.(6,12)答案：依題意得fπ4為f(x又f(x)在區(qū)間0,π4上恰有兩個零點,∴0?π4?5∴由(1)(2)ω∈(6,10)故選A.13．(2020·南崗區(qū)校級模擬)設函數f(x)=sin?ωx+π3A.73B.7C.7D.7答案：∵f(x令ωx+π3=5π令ωx+π3=6故73故選A.14．(2020秋?濟寧期末)已知函數f(x)=sin?(ωx+A.函數f(xB.函數f(x)C.點