大招3矩形大法大招總結(jié)矩形大法:已知為矩形所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)(即使在矩形外也成立,甚至在空間中),則有,我們可以用三種方法來證明:方法一:勾股定理如圖,是矩形里的一點(diǎn),連接,過做兩條直線分別平行于.由勾股定理可知,,易知方法二:建立直角坐標(biāo)系以所在的直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),則:所以所以方法三:向量法如圖:在矩形中,所以又因?yàn)榈湫屠}例1.(2020春-啟東市校級(jí)月考)已知圓,圓,定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)分別在圓和圓上,滿足,則線段的取值范圍________.解:方法1:設(shè)、,則設(shè)中點(diǎn)為,則,∴點(diǎn)的軌跡是以為圓心、半徑等于的圓,∴的取值范圍是,故,故的范圍為,故答案為:.方法2:構(gòu)造矩形,根據(jù)矩形所滿足的性質(zhì)可得,所以,即,所以點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,半徑為的圓上運(yùn)動(dòng),故,即,所以點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,半徑為的圓上運(yùn)動(dòng),故 又因?yàn)?所以 例2.(2018-青浦區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系中,已知兩圓和,又點(diǎn)A坐標(biāo)為是.上的動(dòng)點(diǎn),為上的動(dòng)點(diǎn),則四邊形能構(gòu)成矩形的個(gè)數(shù)為()A.0個(gè)B.2個(gè)C.4個(gè)D.無數(shù)個(gè)解：解方法1:如圖所示,任取圓上一點(diǎn),以為直徑畫圓,交圓與、兩點(diǎn),若,即可得出四邊形是矩形,由的任意性知,四邊形能構(gòu)成無數(shù)個(gè)矩形方法2:取中點(diǎn),聯(lián)結(jié),既∵點(diǎn)的軌跡方程為,設(shè)點(diǎn),∵為中點(diǎn),∴,帶入點(diǎn)的軌跡方程,得,∴上的每個(gè)點(diǎn)都符合題意方法三:當(dāng)四邊形構(gòu)成矩形時(shí),有,因?yàn)?、是上的?dòng)點(diǎn),為上的動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)坐標(biāo)為,故,該等式成立,所以滿足該條件的矩形有無數(shù)個(gè).故選D.例3.(2012-江西)在直角三角形中,點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),則()A.2B.4C.5D.10解：解方法以為原點(diǎn),所在直線為軸,建立如圖坐標(biāo)系,∵是Rt的斜邊,∴以為直徑的圓必定經(jīng)過點(diǎn)設(shè),則∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn),∴可得又∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn),所以:，故選D.方法2:構(gòu)造矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì),有,又因?yàn)榭傻萌羝矫嫦蛄繚M足,且,則的最小值是（）A.1B.C.D.解：解方法1:由得,等式兩邊平方得:令,上式可化為:即∴,即∴,方法2:設(shè),由,得,可以構(gòu)造矩形,則有,可得,則,即故選B.運(yùn)用"矩形大法“解向量模取值范圍問題例5.(2021-漳州模擬)已知,則的取值范圍是（）A.B.C.D.解:如圖1,作,則 以為兩鄰邊構(gòu)造矩形,由矩形性質(zhì)得,因?yàn)?代入上式得,,而即故的取值范圍是,于是選.自我檢測(cè)1.(2013-重慶)在平面上,.若,則的取值范圍是（）A.B.C.D.答案：方法1:根據(jù)條件知構(gòu)成一個(gè)矩形,以所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè),點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,由,得,則∵∴(1)∵,同理,∴∴由(1)(2)知,∵,故選D.方法構(gòu)成一個(gè)矩形,根據(jù)矩形所滿足的性質(zhì),即,因?yàn)榈娜≈捣秶鸀?可知的取值范圍為2.(2012秋-霍邱縣校級(jí)月考)已知向量滿足,則的取值范圍為_____.答案：方法1:∵向量滿足,∴,∴,展開為,∴.∵.故的取值范圍為.故答案為.方法2:設(shè),由,則;過點(diǎn)作平行于的直線,過點(diǎn)作平行于的直線,兩直線相交于點(diǎn),則四邊形為矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì),有,所以,,又因?yàn)?所以:(2015秋-溫州校級(jí)期中)已知圓,圓內(nèi)有定點(diǎn),圓周上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),使,則矩形的頂點(diǎn)的軌跡方程為_____________.答案：方法1:設(shè),又,則.由,得,即.整理得:,即(D)又∵點(diǎn)、在圓上,∴(2)再由,得,整理得:把(1)(2)代人(3)得:.∴矩形的頂點(diǎn)的軌跡方程為:.故答案為:.方法2:因?yàn)?那么當(dāng)為矩形時(shí),有,因?yàn)?所以的軌跡是以原點(diǎn)為中心,以為半徑的圓,則的軌跡方程為:(2017-南通一模)在平面直角坐標(biāo)系中,已知為圓上兩點(diǎn),點(diǎn),且,則線段的長(zhǎng)的取值范圍為_________.答案：方法1:在平面直角坐標(biāo)系中,已知為圓上兩點(diǎn),點(diǎn),且,如圖所示當(dāng)時(shí),取得最小值或最大值.由,可得或,由,可得或,解得, 故答案為:.方法2:因?yàn)?則可以構(gòu)造一個(gè)矩形,由矩形的性質(zhì)可知,又因?yàn)?則,又因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi),所以:5.(2014-廣東考)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn),且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)的軌跡方程.答案：(1)依題意知,求得,∴橢圓的方程為.(2)方法1:(1)當(dāng)兩條切線中有一條斜率不存在時(shí),即、兩點(diǎn)分別位于橢圓長(zhǎng)軸與短軸的端點(diǎn),的坐標(biāo)為,土2),(2)當(dāng)兩條切線斜率均存在時(shí),設(shè)過點(diǎn)的切線為,,整理得,∴,整理得, 把點(diǎn)代人亦成立,∴點(diǎn)的軌跡方程為:.方法2:過點(diǎn)、分別作兩條切線、的對(duì)稱點(diǎn),分別交、于點(diǎn),再連接、、、、,因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)且點(diǎn)是的中點(diǎn),所以,同理可得,因?yàn)樗倪呅问蔷匦?所以,又因?yàn)?所以13,所以點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心,半徑為的圓,故點(diǎn)的軌跡方程為.6.(2021-龍巖期中)已知向量、、滿足:若的最大值和最小值分別為,則等于（）A.B.C.D.答案：如圖2,作,則,由,得,故.以為兩鄰邊構(gòu)造矩形,由矩形性質(zhì)得,因?yàn)?代人上式得.由得,則.由三角形中線長(zhǎng)公式得,則,解得,雨,即,所以,故選D.已知向量:,則的取值范圍是__________.答案：解:由題意畫出大致圖形,可知,可知.在平面直角坐標(biāo)系中,若動(dòng)點(diǎn)到直線的距離分別為,且滿足,則的最大值為_____________.答案：由題意,(轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題).所以.過圓:外一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和,分別交圓于、和、兩點(diǎn),則四邊形面積的最大值為____________.答案：由題意,過作圓的切線且切線長(zhǎng)為1,根據(jù)圓的相交線定理,,理由矩形