大招4奔馳定理大招總結(jié)【奔馳定理】:若為內(nèi)任意一點(diǎn),有,則.證明:如圖1,取點(diǎn),使得,則,即為的重心, 同理. 即證明.與三角形“四心”的結(jié)合.(1)是的重心.(2)是的內(nèi)心.(3)是的外心.(4)是的垂心.證明:如圖為三角形的垂心,, 同理得.∴.定理的推廣:若在外部,如圖3,則:(1)當(dāng)位于區(qū)域(1)所對(duì)應(yīng)的兩部分時(shí):.(2)當(dāng)位于區(qū)域(2)所對(duì)應(yīng)的兩部分時(shí):.(3)當(dāng)位于區(qū)域(3)所對(duì)應(yīng)的兩部分時(shí):.典型例題例1.已知點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn),且滿足,則的面積之比依次為（）A.B.C.D.解：方法1:延長(zhǎng),使,如圖所示:∵,即是的重心,故的面積相等,不妨令它們的面積均為1,則的面積為的面積為的面積為,故的面積之比依次為,故選.方法,由?馳定理得,,故選A.例2.已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn),,現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在內(nèi),則黃豆落在內(nèi)的概率是（）A.B.C.D.解方法以、為鄰邊作平行四邊形,則,得,由此可得,是邊上的中線的中點(diǎn),點(diǎn)到的距離等于到的距離的.將一粒黃豆隨機(jī)撒在內(nèi),黃豆撒在內(nèi)的?率為.故選C.方法,由奔馳定理得,黃豆落在內(nèi)的概率為,故選C.例3.已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足,設(shè)的面積為,則的面積為（）A.B.C.D.解方法1:如圖所示,設(shè)的中點(diǎn)分別為,由得:點(diǎn)在上,且到邊的距離等于到邊的距離的,則的面積為,故選D.方法,由奔馳定理得,:,則的面積為,故選D.例4.已知是的重心,且滿足,求角_______.解方法是三角形的重忐,∴∴∵∴∴∴∵和不共線,∴∴∴∵∴.故選D.方法2:∵是重心,∴∴由正弦定理,由余弦定理,∵.（2021秋-湖南月考)設(shè)是內(nèi)任意一點(diǎn),表示的面積,,,定義,若是的重心,,則()A.點(diǎn)在內(nèi)B.點(diǎn)在內(nèi)C.點(diǎn)在內(nèi)D.點(diǎn)與點(diǎn)重合解:方法1:由已知得中的三個(gè)坐標(biāo)分別為分所得三個(gè)三角形的高與的的高的比值,∵,∴離線段的距離最近,故點(diǎn)在內(nèi).故選B.方法2:不妨設(shè),根據(jù)奔馳定理重心公式可知 題千要求,所以點(diǎn),必然在過(guò)且平行于的直線上,如右圖,而,所以點(diǎn)必然在線段上且不包括2個(gè)端,點(diǎn),所以點(diǎn)內(nèi)部,選B.例6.(2021春-高新區(qū)校級(jí)月考)為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),且滿足,若與的面積之比為,則實(shí)數(shù)的值為A.B.1C.2D.3解方法1:取邊的中點(diǎn)的中點(diǎn),連接,作圖如下,由可得,即,故點(diǎn)在中位線上,∵與的面積之比為與與的面積之比為,∵這兩個(gè)三角形等高,∴面積之比等于底邊長(zhǎng)度之比,即,故點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),顯然此時(shí).故選.方法2:根據(jù)奔馳定理,得到例7.(2021秋-鉛山縣校級(jí)月考)已知點(diǎn)在內(nèi)部,且,記的面積為的面積為,則的值為解方法,整理得:即:,則:點(diǎn)是邊中線的中點(diǎn),由于的面積為的面積為,則.故答案為:方法2:由得:所以例8.(2021秋-迎澤區(qū)校級(jí)月考)若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足,則與的面積之比值為解方法1:如圖,取的中點(diǎn)為,則,∵,∴∴.故答案為:..方法2:由得所以例9.(2021-連云港模擬)已知點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn),且(其中),:,則解方法1:連接交于,如下圖所示:,,則又與共線,故又故答案為方法將變形得:得,所以例10.(2021-江蘇四模)設(shè)為的垂心(三角形三條高的交點(diǎn)),且,則的值為解方法1:由題,為的垂心(三角形三條高的交點(diǎn)),,.同理,即.設(shè),,,同理可求得,.故答案為:.方法2:,那么再根據(jù)向量和四心可以得到設(shè),解得自我檢測(cè)1.在所在的平面內(nèi)有一點(diǎn),如果,那么的面積與的面積之比是()A.B.C.D.答案：方法1:,即,可知向量方向相反,且模長(zhǎng)是的3倍,即是的四等分點(diǎn),設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,故的面積與的面積之比為.故選A.方法2：,得,

.2.已知的外接圓半徑為1,圓心為,且,則的面積為()A.B.C.D.答案：方法1:如圖,;由得:,;(1)兩邊平方得:;同理(2)(3)兩邊分別平方得:,故選C.方法2:同理證明,則,由奔馳定理得,3.在中,為三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,則A.B.C.D.答案：方法1:由已知,在中,為三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,點(diǎn)在平行于的中位線上,且靠近邊,從而有,有.故選B.方法2:,即,由奔馳定理得,,故選B.4.已知為的垂心,且,則角的值為答案方法1:,取的中點(diǎn)分別為,記,則,故,即,解得或(舍去),故,故答案為.方法2,設(shè),則,又,,解得或(舍去),,故.5.已知點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),且,則答案方法1:連接并延長(zhǎng),交于,則,即,故,則的面積與面積之比為.方法2:由得:,則由奔馳定理得:,所以6.已知點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),,則A.2B.3C.4D.5答案方法1:如圖所示,點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn),滿足,延長(zhǎng)到點(diǎn),以為鄰邊作平行四邊形,連接分別交于點(diǎn).則點(diǎn)是的重心.,不妨設(shè),則,解得.故選C.方法2:因?yàn)樗?所以故選C.7.已知點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),若,設(shè),則和的值分別是()A.B.C.D.答案方法1:如圖,根據(jù)題意不妨設(shè)的邊,,建立如圖坐標(biāo)系,則的方程為,則,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)在三角形內(nèi),則到的距離,則根據(jù),得,解得,由,得解得,.方法2:由得:即:因?yàn)樗怨?選8.已知點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),,且,則答案方法1:如圖,延長(zhǎng)到,使,延長(zhǎng)到,使,連接,取中點(diǎn),并連接,設(shè)交于,連接,則,且,即方法2:由題意易得,,因?yàn)?所以,故9.內(nèi)一點(diǎn)滿足,直線交于點(diǎn),則()A.B.C.D.答案方法1:內(nèi)一點(diǎn)滿足,直線交于,令,則三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,重合..故選A.方法2:因?yàn)?故,由圖易知故2.10.已知是所在平面上的一點(diǎn),若,(其中是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn))則是的（)A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心答案方法由得,即.即.即.再設(shè)為的單位向量,為的單位向量,所以,所以.則說(shuō)明在的角平分線上,同理可得也在