第27章

圓專題7證明圓的切線的常用方法1溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評23456781．[2024贛州二模]如圖，△ABC的頂點(diǎn)A，B在⊙O上，AC交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)BD，已知∠A＝45°.(1)若⊙O的半徑為3，求弦BD的長；(2)當(dāng)∠ABC＋∠ADB＝180°，求證：BC是⊙O的切線．【證明】如圖②，連結(jié)BO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)AE，∵BE為直徑，∴∠EAB＝90°.∴∠E＋∠ABE＝90°.∵∠ABC＋∠ADB＝180°，∠E＋∠ADB＝180°，∴∠E＝∠ABC.∴∠ABC＋∠ABE＝90°.∴∠CBE＝90°，即EB⊥BC.∵BE是⊙O的直徑，∴BC是⊙O的切線．返回2．[2024南充節(jié)選]如圖，C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)P在直徑AB的延長線上，⊙O的半徑為3，PB＝2，PC＝4.求證：PC是⊙O的切線．【證明】如圖，連結(jié)OC，∵⊙O的半徑為3，PB＝2，∴OC＝OB＝3，OP＝OB＋PB＝5.∵PC＝4，∴OC2＋PC2＝OP2.∴△OCP是直角三角形．∴OC⊥PC.∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線．返回3．如圖，已知以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為弧BE的中點(diǎn)，連結(jié)AD交OE于點(diǎn)F，若AC＝FC.求證：AC是⊙O的切線．【證明】如圖，連結(jié)OA，OD，∵D為弧BE的中點(diǎn)，∴OD⊥BC.∴∠DOF＝90°.∴∠D＋∠OFD＝90°.∵AC＝FC，OA＝OD，∴∠CAF＝∠CFA，∠OAD＝∠D.∵∠CFA＝∠OFD，∴∠OAD＋∠CAF＝90°.∴OA⊥AC.∵OA為⊙O的半徑，∴AC是⊙O切線．返回4．[2024亳州開學(xué)]如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC平分∠DAB交⊙O于C，過點(diǎn)C作CD⊥AD于點(diǎn)D.求證：直線CD是⊙O的切線．【證明】如圖，連結(jié)OC，

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC.∴∠OCA＝∠DAC.∴OC∥AD.又∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∵OC是⊙O的半徑，∴直線CD是⊙O的切線．返回5．[2024鎮(zhèn)江]如圖，將△ABC沿過點(diǎn)A的直線翻折并展開，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′落在邊AB上，折痕為AD，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，D.若∠ACB＝90°，判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．【解】BC與⊙O相切．理由：連結(jié)OD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.由翻折知∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA.∴AC∥OD.∵∠ACB＝90°，∴∠ODC＝90°，即OD⊥BC.∵OD是⊙O的半徑，∴BC與⊙O相切．返回6．[2024清遠(yuǎn)連州中學(xué)三模]如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點(diǎn)B，連結(jié)OC交⊙O于點(diǎn)E，弦AD∥OC.求證：CD是⊙O的切線．【證明】如圖，連結(jié)OD，∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠DAB，∠ADO＝∠DOC.∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO.∴∠BOC＝∠DAB＝∠ADO＝∠DOC.返回7．[2024臨沂節(jié)選]如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D，OB與⊙O相交于點(diǎn)E.求證：AC是⊙O的切線．返回【證明】連結(jié)OD，OA，過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AB.∵OF⊥AC，∴OF＝OD，即OF是⊙O的半徑．∴AC是⊙O的切線．8．如圖，在△ABC中，O為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑作圓，與BC相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的延長線于點(diǎn)D，且∠AOD＝∠BAD.(1)求證：AB為⊙O的切線；【證明】如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E.∵⊙O與BC相切于點(diǎn)C，∴AC⊥BC.∵∠AOD＝∠BAD，AD⊥BD，∴∠OAD＝∠ABD.易知∠OAD＝∠OBC，∴∠ABD＝∠O