高考試題分類解析PAGE考點(diǎn)8函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用選擇題1.(2017·全國(guó)丙卷·理科·T11)同(2017·全國(guó)丙卷·文科·T12)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn),則a=()A.-QUOTE12 B.QUOTE13 C.QUOTE12 D.1【命題意圖】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查學(xué)生的運(yùn)算求解和分析轉(zhuǎn)化能力.【解析】選C.令f(x)=0,則x2-2x=-a(ex-1+e-x+1),設(shè)g(x)=ex-1+e-x+1,則g'(x)=ex-1-e-x+1=ex-1-=QUOTEe2(x-1)-1ex-1,當(dāng)g'(x)=0時(shí),x=1,當(dāng)x<1時(shí),g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)x>1時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)g(x)取得最小值2,設(shè)h(x)=x2-2x,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)h(x)取得最小值-1,若-a<0,h(1)=-ag(1)時(shí),此時(shí)函數(shù)h(x)和-ag(x)有一個(gè)交點(diǎn),即-a×2=-1?a=QUOTE12.【反思總結(jié)】函數(shù)的零點(diǎn)也是對(duì)應(yīng)方程的根,也是對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的交點(diǎn),通過轉(zhuǎn)化求解是常用的方法.2.(2017·山東高考理科·T10)已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí),函數(shù)y=(mx-1)2的圖象與y=+m的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(0,1]∪[2QUOTE3,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,QUOTE2]∪[2QUOTE3,+∞) D.(0,QUOTE2]∪[3,+∞)【命題意圖】本題考查函數(shù)與方程、以及函數(shù)的圖象,意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力,及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.【解析】選B.函數(shù)y=(mx-1)2的圖象的對(duì)稱軸為x=QUOTE1m,當(dāng)QUOTE1m≥1,即0<m≤1時(shí),作出函數(shù)y=(mx-1)2與y=QUOTEx+m的圖象,如圖,則二者只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)QUOTE1m<1,即m>1時(shí),作出函數(shù)y=(mx-1)2與y=QUOTEx+m的圖象,如圖所示,要使二者只有一個(gè)交點(diǎn),則需y=QUOTEx+m在x=1時(shí)的值小于等于y=(mx-1)2值,即m+1≤(m-1)2,解得m≥3,綜上正實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,1]∪[3,+∞).【方法點(diǎn)撥】已知函數(shù)圖象的交點(diǎn)、零點(diǎn)或方程根的情況,求參數(shù)問題的常用的三種方法(1)直接法:直接根據(jù)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法:將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.二、填空題3.(2017·全國(guó)丙卷·理科·T15)設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTEx+1,x≤0,2x,x>0,則滿足f(x)+fQUOTEx-12>1的x的取值范圍是.【命題意圖】本題考查分段函數(shù)及其不等式,考查學(xué)生分類討論的思想.【解析】由題意:令g(x)=f(x)+fQUOTEx-12=QUOTE2x+32,x≤0,2x+x+12,0<x≤12,(2+1)2x-12,x>12,函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,且:gQUOTE-14=1,20+0+>1,QUOTE2+1×QUOTE20-12>1,因此x的取值范圍是:QUOTE-14,+∞.答案:QUOTE-14,+∞4.(2017·江蘇高考·T14)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù),在區(qū)間[0,1)上,f(x)=QUOTEx2,x∈D,x,x?D,其中集合D=QUOTEx|x=n-1n,n∈N+,則方程f(x)-lgx=0的解的個(gè)數(shù)是【命題意圖】考查函數(shù)與方程問題,利用數(shù)形結(jié)合思想判斷方程的零點(diǎn)個(gè)數(shù),突出考查考生分析問題和解決問題的能力.【解析】由于f(x)∈[0,1),則需考慮1≤x<10的情況,在此范圍內(nèi),x∈Q且xZ時(shí),設(shè)x=QUOTEqp,p,q∈N*,p≥2,且p,q互質(zhì),若lgx∈Q,則由lgx∈(0,1),可設(shè)lgx=nm,m,n∈N*,m≥2,且m,n互質(zhì),因此QUOTEnm=QUOTEqp,則10n=QUOTEqpm,此時(shí)左邊為整數(shù),右邊不是整數(shù)矛盾,因?yàn)閘gx∈Q,因此lgx不可能與每個(gè)周期內(nèi)x∈D對(duì)應(yīng)的部分相等,只需考慮lgx與每個(gè)周期x?D的部分的交點(diǎn),畫出函數(shù)圖象,圖中交點(diǎn)除(1,0)外,其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù),屬于每個(gè)周期x?D的部分,且x=1處(lgx)'=QUOTE1xln10=QUOTE1ln10<1,則在x=1附近僅有一個(gè)交點(diǎn),因此方程解的個(gè)數(shù)為8個(gè).答案:8【反思總結(jié)】對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(