2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形3第1課時(shí)倍角公式（教師用書）教學(xué)實(shí)錄北師大版必修4授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課以倍角公式為主線，通過(guò)復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生探究倍角公式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。通過(guò)實(shí)例分析，使學(xué)生理解倍角公式的應(yīng)用，提高學(xué)生的解題技巧。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。通過(guò)探究倍角公式，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)。

學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基本概念、三角函數(shù)的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值。他們對(duì)三角函數(shù)的周期性、奇偶性等基本性質(zhì)有一定的了解，并能夠進(jìn)行基本的三角函數(shù)運(yùn)算。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格。

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科普遍持有較高的興趣，尤其是在解決實(shí)際問(wèn)題中展現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思維。學(xué)生的能力方面，部分學(xué)生能夠較好地理解和運(yùn)用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，而部分學(xué)生可能對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念和公式理解困難。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，學(xué)生中有偏好直觀學(xué)習(xí)的學(xué)生，也有偏好邏輯推理的學(xué)生。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)。

學(xué)生在學(xué)習(xí)倍角公式時(shí)可能遇到的困難包括：對(duì)公式推導(dǎo)過(guò)程的理解困難，難以將公式應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，以及缺乏對(duì)公式的記憶和應(yīng)用技巧。此外，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中可能對(duì)公式的推導(dǎo)過(guò)程感到抽象，難以將理論知識(shí)與實(shí)際情境相結(jié)合。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：結(jié)合實(shí)例講解倍角公式的推導(dǎo)過(guò)程，幫助學(xué)生理解公式背后的邏輯。

2.討論法：引導(dǎo)學(xué)生分組討論倍角公式的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)思考和團(tuán)隊(duì)合作。

3.練習(xí)法：通過(guò)針對(duì)性的習(xí)題練習(xí)，鞏固學(xué)生對(duì)倍角公式的掌握。

教學(xué)手段：

1.多媒體課件：展示公式推導(dǎo)過(guò)程和典型例題，提高課堂的直觀性和趣味性。

2.實(shí)際應(yīng)用案例：利用多媒體展示實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式的理解和應(yīng)用能力。

3.互動(dòng)軟件：利用數(shù)學(xué)教學(xué)軟件進(jìn)行互動(dòng)練習(xí)，提高學(xué)生的參與度和學(xué)習(xí)效果。教學(xué)過(guò)程1.導(dǎo)入（約5分鐘）

-激發(fā)興趣：通過(guò)提問(wèn)“在日常生活中，我們?nèi)绾卫萌呛瘮?shù)解決實(shí)際問(wèn)題？”來(lái)激發(fā)學(xué)生的興趣，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

-回顧舊知：簡(jiǎn)要回顧三角函數(shù)的定義、性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，為學(xué)習(xí)倍角公式做好鋪墊。

2.新課呈現(xiàn)（約20分鐘）

-講解新知：詳細(xì)講解倍角公式的推導(dǎo)過(guò)程，包括正弦、余弦和正切的倍角公式。通過(guò)板書和多媒體課件展示公式的推導(dǎo)步驟，確保學(xué)生能夠理解公式的來(lái)源。

-舉例說(shuō)明：通過(guò)具體例子，如計(jì)算sin(2θ)和cos(2θ)的值，幫助學(xué)生理解倍角公式的應(yīng)用。

-互動(dòng)探究：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，探討如何將倍角公式應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，如求解三角形的邊長(zhǎng)或角度。

3.鞏固練習(xí)（約30分鐘）

-學(xué)生活動(dòng)：布置一系列練習(xí)題，包括填空題、選擇題和解答題，讓學(xué)生獨(dú)立完成，以加深對(duì)倍角公式的理解和應(yīng)用。

-教師指導(dǎo)：在學(xué)生練習(xí)過(guò)程中，教師巡視課堂，觀察學(xué)生的解題過(guò)程，及時(shí)給予個(gè)別學(xué)生指導(dǎo)和幫助。

4.拓展延伸（約10分鐘）

-提出問(wèn)題：引導(dǎo)學(xué)生思考如何將倍角公式與其他三角恒等式結(jié)合使用，解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

-分組討論：將學(xué)生分成小組，讓他們討論如何將倍角公式應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，如工程計(jì)算或物理問(wèn)題。

5.總結(jié)反思（約5分鐘）

-學(xué)生總結(jié)：讓學(xué)生分享他們?cè)趯W(xué)習(xí)倍角公式過(guò)程中的收獲和體會(huì)，以及在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的困難和解決方案。

-教師總結(jié)：對(duì)本次課程進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)倍角公式的重要性，并鼓勵(lì)學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)探索和應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)。

6.課后作業(yè)（約15分鐘）

-布置作業(yè)：布置一些難度適中的課后作業(yè)，包括計(jì)算題和應(yīng)用題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，并提高解題能力。

-提供資源：向?qū)W生推薦一些相關(guān)的學(xué)習(xí)資源，如在線教程、習(xí)題集等，以便學(xué)生自主學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：介紹三角函數(shù)圖像的繪制方法，包括正弦、余弦和正切函數(shù)的圖像特點(diǎn)，以及它們?cè)诓煌笙薜膱D像變化。

-三角恒等式的應(yīng)用：探討三角恒等式在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，如計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)、角度和面積。

-三角函數(shù)的極限與連續(xù)性：介紹三角函數(shù)的極限概念，以及三角函數(shù)在連續(xù)性方面的性質(zhì)。

-復(fù)合函數(shù)的三角變換：探討復(fù)合函數(shù)的三角變換方法，如將復(fù)合函數(shù)分解為基本三角函數(shù)的乘積或商。

-三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用：介紹三角函數(shù)在物理領(lǐng)域中的應(yīng)用，如振動(dòng)、波動(dòng)和電磁場(chǎng)等。

2.拓展建議：

-學(xué)生可以通過(guò)閱讀《數(shù)學(xué)分析中的三角函數(shù)》一書，深入了解三角函數(shù)的理論基礎(chǔ)和分析方法。

-鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽或研究項(xiàng)目，如美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽（AMC）或國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO），以提升自己的數(shù)學(xué)能力。

-建議學(xué)生利用在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，如Coursera或edX，選修相關(guān)的三角函數(shù)課程，以拓寬知識(shí)面。

-推薦學(xué)生閱讀《三角函數(shù)在工程中的應(yīng)用》一書，了解三角函數(shù)在工程領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用。

-建議學(xué)生參加數(shù)學(xué)俱樂(lè)部或?qū)W習(xí)小組，與同學(xué)一起討論和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高解題技巧。

-鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自主探索，嘗試推導(dǎo)三角恒等式，并思考其在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用。

-建議學(xué)生觀看數(shù)學(xué)教育視頻，如YouTube上的數(shù)學(xué)頻道，以獲取更多學(xué)習(xí)資源和靈感。

-推薦學(xué)生參加數(shù)學(xué)講座或研討會(huì)，與專家和同行交流，了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最新研究動(dòng)態(tài)。

-建議學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件，如MATLAB或Mathematica，進(jìn)行三角函數(shù)的數(shù)值計(jì)算和圖像繪制，加深對(duì)公式和性質(zhì)的理解。課堂1.課堂評(píng)價(jià)

-提問(wèn)反饋：在講解倍角公式時(shí)，通過(guò)提問(wèn)學(xué)生來(lái)檢查他們對(duì)公式理解和應(yīng)用的能力。例如，可以提問(wèn)學(xué)生如何推導(dǎo)sin(2θ)的公式，或者如何使用倍角公式解決一個(gè)具體的問(wèn)題。通過(guò)學(xué)生的回答，教師可以即時(shí)了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度。

-觀察學(xué)習(xí)態(tài)度：通過(guò)觀察學(xué)生在課堂上的參與度和學(xué)習(xí)態(tài)度，評(píng)估他們對(duì)倍角公式學(xué)習(xí)的興趣和積極性。例如，注意學(xué)生是否積極舉手回答問(wèn)題，是否能夠主動(dòng)參與討論，以及是否認(rèn)真記錄筆記。

-小組討論評(píng)估：在小組討論環(huán)節(jié)，觀察學(xué)生之間的互動(dòng)和合作情況，評(píng)估他們是否能夠有效地交流思想和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

-實(shí)時(shí)測(cè)試：在課堂結(jié)束時(shí)，進(jìn)行簡(jiǎn)短的小測(cè)驗(yàn)，以評(píng)估學(xué)生對(duì)倍角公式的即時(shí)記憶和理解。測(cè)試可以包括填空題、選擇題或簡(jiǎn)答題，旨在檢查學(xué)生對(duì)公式及其應(yīng)用的掌握情況。

-反饋與調(diào)整：根據(jù)課堂評(píng)價(jià)的結(jié)果，教師可以及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，如提供額外的解釋、修改練習(xí)題或調(diào)整教學(xué)節(jié)奏，以確保所有學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)

-詳細(xì)批改：對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行逐題批改，確保每個(gè)問(wèn)題都被仔細(xì)檢查。在批改過(guò)程中，注意學(xué)生的解題步驟是否正確，邏輯是否清晰，以及是否有創(chuàng)新性的思考。

-及時(shí)反饋：在作業(yè)批改后，及時(shí)將反饋信息傳達(dá)給學(xué)生。對(duì)于錯(cuò)誤，不僅要指出，還要解釋錯(cuò)誤的原因，并提供正確的解題方法。

-鼓勵(lì)進(jìn)步：在評(píng)價(jià)中強(qiáng)調(diào)學(xué)生的進(jìn)步和努力，而不是僅僅關(guān)注錯(cuò)誤。對(duì)于表現(xiàn)出色的學(xué)生，給予肯定和鼓勵(lì)，以增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

-個(gè)性化指導(dǎo)：對(duì)于表現(xiàn)不佳的學(xué)生，提供個(gè)性化的指導(dǎo)和建議，幫助他們理解和掌握倍角公式。

-定期回顧：在新的教學(xué)單元開(kāi)始之前，回顧學(xué)生的作業(yè)，檢查他們對(duì)之前內(nèi)容的理解和應(yīng)用能力，確保知識(shí)的連續(xù)性和深度。板書設(shè)計(jì)①倍角公式推導(dǎo)

-公式：sin(2θ)=2sinθcosθ

-公式：cos(2θ)=cos2θ-sin2θ

-公式：tan(2θ)=2tanθ/(1-tan2θ)

②公式性質(zhì)

-周期性：sin(2θ)和cos(2θ)的周期為π

-奇偶性：sin(2θ)為奇函數(shù)，cos(2θ)為偶函數(shù)

-和差化積：sin(2θ)=sinθcosθ+cosθsinθ

-積化和差：cos(2θ)=cos2θ-sin2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)

③應(yīng)用舉例

-解三角形：利用倍角公式求解三角形的未知邊長(zhǎng)或角度

-解方程：通過(guò)倍角公式化簡(jiǎn)方程，求解三角函數(shù)的值

-應(yīng)用題：將倍角公式應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，如振動(dòng)、波動(dòng)等物理現(xiàn)象的分析重點(diǎn)題型整理1.**倍角公式應(yīng)用題**

-題型：已知θ是銳角，求sin(2θ)的值。

-解題步驟：

1.確定θ的正弦值，例如sinθ=3/5。

2.根據(jù)sin(2θ)=2sinθcosθ，計(jì)算cosθ的值。由于θ是銳角，cosθ為正，可以使用勾股定理計(jì)算cosθ=√(1-sin2θ)。

3.將sinθ和cosθ的值代入倍角公式，得到sin(2θ)=2*(3/5)*√(1-(3/5)2)。

4.計(jì)算最終結(jié)果。

-答案：sin(2θ)=4√6/25。

2.**三角恒等式轉(zhuǎn)換題**

-題型：將cos(2θ)=1-2sin2θ轉(zhuǎn)換為sin(θ)的表達(dá)式。

-解題步驟：

1.從cos(2θ)=1-2sin2θ開(kāi)始。

2.由于sin2θ+cos2θ=1，將cos2θ替換為1-sin2θ。

3.得到cos(2θ)=1-2(1-cos2θ)。

4.簡(jiǎn)化得到cos(2θ)=2cos2θ-1。

5.將cos(2θ)替換為sin(θ)的表達(dá)式，即sin(θ)=√((1+cos(2θ))/2)。

-答案：sin(θ)=√((1+cos(2θ))/2)。

3.**復(fù)合三角函數(shù)化簡(jiǎn)題**

-題型：化簡(jiǎn)表達(dá)式sin(θ)cos(θ)+cos(θ)sin(θ)。

-解題步驟：

1.識(shí)別出sin(θ)cos(θ)+cos(θ)sin(θ)是sin(2θ)的倍角公式形式。

2.使用sin(2θ)=2sinθcosθ。

3.將原表達(dá)式替換為2sinθcosθ。

-答案：sin(θ)cos(θ)+cos(θ)sin(θ)=sin(2θ)。

4.**三角函數(shù)方程求解題**

-題型：解方程sin(2θ)=1/2。

-解題步驟：

1.確定sin(2θ)=1/2的解。

2.由于2θ的取值范圍是[0,2π)，解得2θ=π/6或