用一元一次不等式組解決方案設(shè)計(jì)問題?一、引言在實(shí)際生活和工作中，我們常常會遇到各種方案設(shè)計(jì)的問題，需要在滿足一定條件的情況下，找出最優(yōu)的解決方案。一元一次不等式組作為數(shù)學(xué)中的重要工具，能夠有效地幫助我們解決這類問題。通過建立不等式組模型，我們可以對實(shí)際問題進(jìn)行分析和求解，從而得到符合要求的方案。本文將詳細(xì)介紹如何運(yùn)用一元一次不等式組來解決方案設(shè)計(jì)問題，通過具體的實(shí)例展示其解題思路和方法，幫助讀者更好地掌握這一實(shí)用的數(shù)學(xué)工具。

二、一元一次不等式組的基本概念（一）不等式用不等號（大于">"、小于"<"、大于等于"≥"、小于等于"≤"）連接兩個(gè)代數(shù)式所成的式子叫做不等式。例如：$x+3>5$，$2y1≤7$等。

（二）一元一次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫做一元一次不等式。其一般形式為$ax+b>0$（$a≠0$）或$ax+b<0$（$a≠0$），如$3x2>0$。

（三）不等式組由幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組叫做一元一次不等式組。例如：$\begin{cases}x+2>3\\2x1<5\end{cases}$

（四）不等式組的解集不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分叫做這個(gè)不等式組的解集。求不等式組解集的過程叫做解不等式組。

解不等式組的方法是：先分別求出每個(gè)不等式的解集，再找出它們的公共部分?？梢酝ㄟ^數(shù)軸直觀地表示出來。

例如，對于不等式組$\begin{cases}x>2\\x<5\end{cases}$，在數(shù)軸上表示為：

```25oo（數(shù)軸上2處空心圓圈表示不包含2，5處空心圓圈表示不包含5）```

其解集為$2<x<5$，即兩個(gè)不等式解集的公共部分。

三、用一元一次不等式組解決問題的一般步驟（一）審題認(rèn)真閱讀題目，理解題意，明確題目中的已知條件和所求問題。找出題目中涉及的數(shù)量關(guān)系和不等關(guān)系。

（二）設(shè)未知數(shù)根據(jù)題目要求，選擇合適的未知數(shù)，并用字母表示。

（三）列不等式組根據(jù)題目中的不等關(guān)系，列出一元一次不等式組。通常需要分析每個(gè)條件所對應(yīng)的不等式，然后將它們組合成不等式組。

（四）解不等式組求出不等式組的解集。

（五）檢驗(yàn)將解集代入原不等式組進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合實(shí)際意義。

（六）作答根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，寫出符合題意的答案，包括方案的具體內(nèi)容和結(jié)論。

四、實(shí)例分析（一）調(diào)配問題例1：某工廠有甲、乙兩種原料，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品。已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要甲原料3千克，乙原料1千克；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需要甲原料2千克，乙原料2千克。現(xiàn)有甲原料13千克，乙原料8千克。設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品$x$件。（1）請用含$x$的代數(shù)式表示生產(chǎn)B產(chǎn)品的件數(shù)；（2）求$x$的取值范圍，并說明有幾種符合題意的生產(chǎn)方案。

解：（1）生產(chǎn)A產(chǎn)品$x$件，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要甲原料3千克，現(xiàn)有甲原料13千克，那么生產(chǎn)A產(chǎn)品用去甲原料$3x$千克，所以生產(chǎn)B產(chǎn)品用的甲原料為$(133x)$千克，又因?yàn)樯a(chǎn)一件B產(chǎn)品需要甲原料2千克，所以生產(chǎn)B產(chǎn)品的件數(shù)為$\frac{133x}{2}$件。

（2）根據(jù)現(xiàn)有乙原料8千克來列不等式組。生產(chǎn)A產(chǎn)品$x$件，需要乙原料$x$千克；生產(chǎn)B產(chǎn)品$\frac{133x}{2}$件，需要乙原料$2\times\frac{133x}{2}=133x$千克。則可得不等式組：$\begin{cases}x+(133x)≤8\\3x≤13\\2\times\frac{133x}{2}≤8\end{cases}$解第一個(gè)不等式：$x+133x≤8$$2x≤813$$2x≤5$$x≥\frac{5}{2}$

解第二個(gè)不等式：$3x≤13$，$x≤\frac{13}{3}$

解第三個(gè)不等式：$133x≤8$$3x≤813$$3x≤5$$x≥\frac{5}{3}$

綜合可得，$\frac{5}{2}≤x≤\frac{13}{3}$，因?yàn)?x$為產(chǎn)品件數(shù)，應(yīng)為整數(shù)，所以$x=3$或$x=4$。當(dāng)$x=3$時(shí)，生產(chǎn)B產(chǎn)品的件數(shù)為$\frac{133×3}{2}=2$件；當(dāng)$x=4$時(shí)，生產(chǎn)B產(chǎn)品的件數(shù)為$\frac{133×4}{2}=\frac{1}{2}$（件數(shù)不能為分?jǐn)?shù)，舍去這種情況）。

所以有兩種符合題意的生產(chǎn)方案：方案一，生產(chǎn)A產(chǎn)品3件，生產(chǎn)B產(chǎn)品2件。

（二）銷售問題例2：某商店計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種商品，已知購進(jìn)甲商品1件，乙商品1件共需100元；購進(jìn)甲商品2件，乙商品1件共需160元。（1）求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）若該商店決定用不少于6700元且不超過6800元的資金購進(jìn)這兩種商品共100件，問有幾種進(jìn)貨方案？（3）在（2）的條件下，若甲商品每件售價(jià)為250元，乙商品每件售價(jià)為180元，哪種進(jìn)貨方案獲利最大？最大利潤是多少？

解：（1）設(shè)甲商品每件的進(jìn)價(jià)為$x$元，因?yàn)橘忂M(jìn)甲商品1件，乙商品1件共需100元，所以乙商品每件的進(jìn)價(jià)為$(100x)$元。根據(jù)購進(jìn)甲商品2件，乙商品1件共需160元，可列方程：$2x+(100x)=160$$2x+100x=160$$x=160100$$x=60$則乙商品每件的進(jìn)價(jià)為$10060=40$元。

（2）設(shè)購進(jìn)甲商品$y$件，則購進(jìn)乙商品$(100y)$件。由題意可得不等式組：$\begin{cases}60y+40(100y)≥6700\\60y+40(100y)≤6800\end{cases}$解第一個(gè)不等式：$60y+400040y≥6700$$20y≥67004000$$20y≥2700$$y≥135$

解第二個(gè)不等式：$60y+400040y≤6800$$20y≤68004000$$20y≤2800$$y≤140$

因?yàn)?y$為商品數(shù)量，應(yīng)為整數(shù)，所以$y$可以取135，136，137，138，139，140，共6種取值，即有6種進(jìn)貨方案。

（3）設(shè)總利潤為$W$元。$W=(25060)y+(18040)(100y)$$=190y+140(100y)$$=190y+14000140y$$=50y+14000$

因?yàn)?50>0$，所以$W$隨$y$的增大而增大。由（2）知$y$最大取140，此時(shí)$W=50×140+14000=7000+14000=21000$元。即購進(jìn)甲商品140件，乙商品$100140=40$（舍去，商品數(shù)量不能為負(fù)數(shù)），這種情況不符合實(shí)際意義。所以當(dāng)$y=139$時(shí)，$W=50×139+14000=6950+14000=20950$元；當(dāng)$y=138$時(shí)，$W=50×138+14000=6900+14000=20900$元；......當(dāng)$y=135$時(shí)，$W=50×135+14000=6750+14000=20750$元。

通過比較可得，當(dāng)購進(jìn)甲商品139件，乙商品$100139=61$件時(shí)，獲利最大，最大利潤是20950元。

（三）工程問題例3：某工程隊(duì)要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人月工資分別為600元和1000元。現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍，問甲、乙兩種工種各招聘多少人時(shí)，可使每月所付工資最少？

解：設(shè)招聘甲種工種的工人$x$人，則招聘乙種工種的工人$(150x)$人。根據(jù)乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍，可列不等式：$150x≥2x$$150≥2x+x$$3x≤150$$x≤50$

設(shè)每月所付工資為$y$元，則：$y=600x+1000(150x)$$=600x+1500001000x$$=400x+150000$

因?yàn)?400<0$，所以$y$隨$x$的增大而減小。又因?yàn)?x≤50$，且$x$為人數(shù)，應(yīng)為正整數(shù)，所以當(dāng)$x=50$時(shí)，$y$有最小值。此時(shí)乙種工種人數(shù)為$15050=100$人。

即招聘甲種工種50人，乙種工種100人時(shí)，每月所付工資最少。

（四）住宿問題例4：學(xué)校組織一批學(xué)生參加社會實(shí)踐活動(dòng)，若單獨(dú)租用35座客車若干輛，則剛好坐滿；若單獨(dú)租用55座客車，則可以少租一輛，且余45個(gè)空座位。（1）求這批學(xué)生的人數(shù)；（2）已知35座客車的租金為每輛320元，55座客車的租金為每輛400元。根據(jù)租車資金不超過1500元的預(yù)算，學(xué)校決定同時(shí)租用這兩種客車共4輛（可以坐不滿）。請你計(jì)算本次社會實(shí)踐活動(dòng)所需車輛的租金。

解：（1）設(shè)單獨(dú)租用35座客車$x$輛，則學(xué)生人數(shù)為$35x$人。根據(jù)單獨(dú)租用55座客車的情況可列方程：$35x=55(x1)45$$35x=55x5545$$35x=55x100$$55x35x=100$$20x=100$$x=5$所以學(xué)生人數(shù)為$35×5=175$人。

（2）設(shè)租用35座客車$y$輛，則租用55座客車$(4y)$輛?？傻貌坏仁浇M：$\begin{cases}35y+55(4y)≥175\\320y+400(4y)≤1500\end{cases}$解第一個(gè)不等式：$35y+22055y≥175$$20y≥175220$$20y≥45$$y≤\frac{9}{4}$

解第二個(gè)不等式：$320y+1600400y≤1500$$80y≤15001600$$80y≤100$$y≥\frac{5}{4}$

所以$\frac{5}{4}≤y≤\frac{9}{4}$，因?yàn)?y$為車輛數(shù)，應(yīng)為整數(shù)，所以$y=2$。則租用55座客車$42=2$輛。租金為$320×2+400×2=640+800=1440$元。

（五）運(yùn)輸問題例5：某物流公司要將300噸物資運(yùn)往某地，現(xiàn)有A、B兩種型號的車可供調(diào)用，已知A型車每輛可裝20噸，B型車每輛可裝15噸。在每輛車不超載的條件下，把300噸物資裝運(yùn)完，問：在已確定調(diào)用5輛A型車的前提下至少還需調(diào)用B型車多少輛？

解：設(shè)還需調(diào)用B型車$x$輛。已知調(diào)用5輛A型車，每輛A型車裝20噸，則A型車裝的物資為$5×20=100$噸。B型車每輛裝15噸，B型車裝的物資為$15x$噸?？闪胁坏仁剑?100+15x≥300$$15x≥300100$$15x≥200$$x≥\frac{40}{3}$

因?yàn)?x$為車輛數(shù)，應(yīng)為整數(shù)，所以$x$取最小整數(shù)為14。即至少還需調(diào)用B型車14輛。

五、總結(jié)通過以上實(shí)例分析，我們可以看到一元一次不等式組在方案設(shè)計(jì)問題中有著廣泛的應(yīng)用。在解決這類問題時(shí)，關(guān)鍵是要仔細(xì)審題，準(zhǔn)確找出題目中的不等關(guān)系，合理設(shè)未知數(shù)，列出不等式組并求解。然后根據(jù)實(shí)際情況對解進(jìn)行檢驗(yàn)和篩選，得到符合