第一章優(yōu)化設計數(shù)學模型3/23/20251第1頁第一章優(yōu)化設計數(shù)學模型

對任何一位設計者來說，總愿意作出最優(yōu)設計方案，使所設計產(chǎn)品或工程設施有最好使用性能和最低材料消耗與制造成本，方便取得最正確經(jīng)濟效益和社會效益。為此，自古以來，慎重工程設計人員經(jīng)常提供幾個候選設計方案，再從中擇其“最優(yōu)”者。

3/23/20252第2頁常規(guī)設計與優(yōu)化設計區(qū)分

常規(guī)設計特點

因為設計時間和經(jīng)費限制，使所設計候選方案數(shù)目受到很大限制。所以用常規(guī)設計方法進行工程設計，尤其是當影響設計原因很多時，只能得到有限候選方案中最好方案、不可能得到一切可能方案“最優(yōu)設計方案”。3/23/20253第3頁常規(guī)設計與優(yōu)化設計區(qū)分

優(yōu)化設計特點

“最優(yōu)化設計”是在當代計算機廣泛應用基礎上發(fā)展起來一項新技術(shù)。是依據(jù)最優(yōu)化原理和方法綜合各方面原因，以人機配合方式或“自動探索”方式，在計算機上進行半自動或自動設計,能夠選出在現(xiàn)有工程條件下最正確設計方案一個當代設計方法。其設計標準是最優(yōu)設計；設計伎倆是電子計算機及計算程序；設計方法是采取最優(yōu)化數(shù)學方法。實踐證實，最優(yōu)化設計是確保產(chǎn)品含有優(yōu)良性能，減輕自重或體積，降低工程造價一個有效設計方法。同時也可使設計者從大量繁瑣和重復計算工作中解脫出來，使之有更多精力從事創(chuàng)造性設計，并大大提升設計效率。3/23/20254第4頁優(yōu)化設計發(fā)展50年代以前，用于處理最優(yōu)化問題數(shù)學方法僅限于古典微分法和變分法。50年代末數(shù)學規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設計中求優(yōu)方法理論基礎。數(shù)學規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來一個新數(shù)學分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。另外，還有動態(tài)規(guī)劃、幾何規(guī)劃和隨機規(guī)劃等。在數(shù)學規(guī)劃方法基礎上發(fā)展起來最優(yōu)化設計，是60年代初電子計算機引入結(jié)構(gòu)設計領(lǐng)域后逐步形成一個有效設計方法。利用這種方法，不但使設計周期大大縮短，計算精度顯著提升，而且能夠處理傳統(tǒng)設計方法所不能處理比較復雜最優(yōu)化設計問題。大型電子計算機出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應用數(shù)學中一個主要分支，并在許多科學技術(shù)領(lǐng)域中得到應用。

3/23/20255第5頁優(yōu)化設計應用領(lǐng)域近十幾年來，最優(yōu)化設計方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、自動控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機、電器等工程設計領(lǐng)域，并取得了顯著效果。其中在機械設計方面應用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得了豐碩結(jié)果。3/23/20256第6頁最優(yōu)化設計工作包含以下兩部分內(nèi)容：

(1)將設計問題物理模型轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學模型。建立數(shù)學模型時要選取設計變量，列出目標函數(shù)，給出約束條件。目標函數(shù)是設計問題所要求最優(yōu)指標與設計變量之間函數(shù)關(guān)系式。(2)采取適當最優(yōu)化方法，求解數(shù)學模型?？蓺w結(jié)為在給定條件(比如約束條件)下求目標函數(shù)極值或最優(yōu)值問題。3/23/20257第7頁機械最優(yōu)化設計就是在給定載荷或環(huán)境條件下，在對機械產(chǎn)品性態(tài)、幾何尺寸關(guān)系或其它原因限制(約束)范圍內(nèi)，選取設計變量，建立目標函數(shù)并使其取得最優(yōu)值一個新設計方法。設計變量、目標函數(shù)和約束條件這三者在設計空間(以設計變量為坐標軸組成實空間)幾何表示中組成設計問題。3/23/20258第8頁1-1優(yōu)化設計實例例1-1一塊邊長為6m正方形鋁板，四角各裁去一個小方塊，做成一個無蓋盒子。試確定裁去四個小方塊邊長，以使做成盒子含有最大容積。設裁去四個小方塊邊長為;則盒子容積可表示成函數(shù)：上述問題可描述為：

求變量

使函數(shù)

極大化3/23/20259第9頁1-1優(yōu)化設計實例例1-2某工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每種產(chǎn)品所需材料、工時、電力和可取得利潤，以及能夠提供材料、工時和電力見表1-1，試確定兩種產(chǎn)品天天產(chǎn)量，以使天天可能取得利潤最大。產(chǎn)品材料/kg工時/h電力/（kW*h）利潤/元甲93460乙4105120供給量360300200

表1-1生產(chǎn)條件與供給數(shù)據(jù)3/23/202510第10頁設天天生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件

天天可取得利潤可用函數(shù)表示

天天消耗材料可用函數(shù)表示，

天天消耗工時可用函數(shù)表示，

天天消耗電力可用函數(shù)

表示，

1-1優(yōu)化設計實例3/23/202511第11頁1-1優(yōu)化設計實例上述生產(chǎn)計劃問題可歸結(jié)為：

求變量

使函數(shù)

滿足條件

這就是該問題數(shù)學模型。最大化3/23/202512第12頁其中：

代表設計目標，稱為目標函數(shù)

代表5個已知生產(chǎn)指標，稱為約束函數(shù)

5個不等式代表5個生產(chǎn)條件，稱為約束條件

1-1優(yōu)化設計實例因為目標函數(shù)和全部約束函數(shù)均是設計變量線性函數(shù)，故此問題屬線性約束優(yōu)化問題，顯然這么問題無法直接使用極值條件求解。

3/23/202513第13頁1-1優(yōu)化設計實例例1-3一個承受扭轉(zhuǎn)空心傳動軸，已知傳遞扭矩為T，試確定此傳動軸內(nèi)、外徑，以使其用料最少?？招膫鲃虞S截面積：扭轉(zhuǎn)強度條件：扭轉(zhuǎn)剛度條件：

3/23/202514第14頁1-1優(yōu)化設計實例分別用代表外徑和內(nèi)徑，則上述設計問題能夠歸結(jié)為以下數(shù)學模型：求設計變量

使函數(shù)

極小化滿足條件

這是一個含有4個約束條件二元非線性約束優(yōu)化問題，一樣無法直接用極值條件求解。3/23/202515第15頁1-2設計變量與設計空間

在設計過程中進行選擇并最終必須確定各項獨立參數(shù)，稱為設計變量。在選擇過程中它們是變量，但這些變量一旦確定以后，則設計對象也就完全確定。最優(yōu)化設計是研究怎樣合理地優(yōu)選這些設計變量值一個當代設計方法。

在機械設計中慣用獨立參數(shù)有結(jié)構(gòu)總體布置尺寸，元件幾何尺寸和材料力學和物理特征等等。在這些參數(shù)中，凡是能夠依據(jù)設計要求事先給定，則不是設計變量，而稱為設計常量。只有那些需要在設計過程中優(yōu)選參數(shù)，才可看成是最優(yōu)化設計中設計變量。3/23/202516第16頁1-2設計變量與設計空間設計變量數(shù)目稱為最優(yōu)化設計維數(shù)，如有n(n＝1，2，…)個設計變量，則稱為n維設計問題。只有兩個設計變量二維設計問題可用圖1-1(a)所表示平面直角坐標表示；有三個設計變量三維設計問題可用圖1-1(b)所表示空間直角坐標表示。3/23/202517第17頁1-2設計變量與設計空間在普通情況下，若有n個設計變量，把第i個設計變量記為xi。則其全部設計變量可用n維向量形式表示成：這種以n個獨立變量為坐標軸組成n維向量空間是一個n維實空間，用Rn表示，假如其中任意兩向量又有內(nèi)積運算，則稱n維歐氏空間，用En表示。當向量X中各個分量xi，(i＝1，2，…，n)都是實變量時則稱X決定了n維歐氏空間En中一個點，并用符號X∈En(X屬于En)表示。3/23/202518第18頁1-2設計變量與設計空間在最優(yōu)化設計中由各設計變量坐標軸所描述這種空間就是所謂“設計空間”，它是一個主要概念。3/23/202519第19頁1-3目標函數(shù)在設計中，設計者總是希望所設計產(chǎn)品或工程設施含有最好使用性能(性能指標)、最小質(zhì)量或最緊湊體積(結(jié)構(gòu)指標)和最小制造成本及最大經(jīng)濟效益(經(jīng)濟指標)。在最優(yōu)化設計中，可將所追求設計目標(最優(yōu)指標)用設計變量函數(shù)形式表示出來，這一過程稱為建立目標函數(shù)。即目標函數(shù)是設計中預期要到達目標，表示為各設計變量函數(shù)表示式：目標函數(shù)是設計變量標量函數(shù)。最優(yōu)化設計過程就是優(yōu)選設計變量使目標函數(shù)到達最優(yōu)值，或找出目標函數(shù)最小值(或最大值)過程。3/23/202520第20頁1-3目標函數(shù)在最優(yōu)化設計問題中，能夠只有一個目標函數(shù)，稱為單目標函數(shù)，如式(1—3)所表示。當在同一設計中要提出多個目標函數(shù)時，這種問題稱為多目標函數(shù)最優(yōu)化問題。在普通機械最優(yōu)化設計中，多目標函數(shù)情況較多。目標函數(shù)愈多，設計綜合效果愈好，但問題求解亦愈復雜。

3/23/202521第21頁1-3目標函數(shù)目標函數(shù)與設計變量之間關(guān)系，可用曲線或曲面表示

圖1—4表示目標函數(shù)f(X)與兩個設計變量x1和x2所組成關(guān)系曲面上等值線(亦稱等高線)，它是由許多含有相等目標函數(shù)值設計點所組成平面曲線。當給目標函數(shù)以不一樣值時，可得到一系列等值線，它們組成目標函數(shù)等值線族。在極值處目標函數(shù)等值線聚成一點，并位于等值線族中心。3/23/202522第22頁1-4約束條件在最優(yōu)化設計中，對設計變量取值時限制條件，稱為約束條件或設計約束，簡稱約束。約束形式，可能是對某個或某組設計變量直接限制(比如，若應力為設計變量，則應力值應小于其許用值，組成直接限制)，這時稱為顯約束；也可能是對某個或某組設計變量間接限制(比如，若結(jié)構(gòu)應力又是一些設計變量如力和截面積函數(shù)時，則這些設計變量間接地受到許用應力限制)，這時稱為隱約束。

約束條件能夠用數(shù)學等式或不等式來表示。

邊界約束和性能約束

3/23/202523第23頁1-4約束條件等式約束對設計變量約束嚴格，起著降低設計自由度作用，其形式為在機械最優(yōu)化設計中不等式約束更為普遍，不等式約束形式為

3/23/202524第24頁1-4約束條件對于等式約束來說，設計變量x所代表設計點必須在式(1-9)所表示面(或線)上．這種約束又稱為起作用約束或緊約束。對于不等式約束來說，其極限情況gu(x)＝o所表示幾何面(線)將設計空間分為兩部分：一部分中全部點均滿足約束條件式(1-10)或式(1-11)，這一部分空間稱為設計點可行域，并以D表示，可行域中點是設計變量能夠選取，稱為可行設計點或簡稱可行點，假如最優(yōu)點在可行域之內(nèi)．則其全部約束條件都不是起作用約束。另一部分中全部點均不滿足約束條件式(1-10)或式(1-11)．在這個區(qū)域假如選取設計點則違反了約束條件，它就是設計非可行域．該域中點稱為非可行點。假如設計點落到某個約束邊界面(或邊界限)上，則稱邊界點，邊界點是允許極限設計方案。3/23/202525第25頁1-4約束條件3/23/202526第26頁1-5優(yōu)化設計數(shù)學模型普通形式最優(yōu)化問題也稱為數(shù)學規(guī)劃問題:線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃3/23/202527第27頁對簡單二維優(yōu)化問題，能夠在設計平面內(nèi)直觀地作出約束可行域，畫出目標函數(shù)一簇等值線，以此確定最優(yōu)點位置，這種方法稱為圖解法。1-6優(yōu)化設計圖解法例題用圖解法求解min

s.t.

最優(yōu)點必定位于可行域內(nèi)目標函數(shù)在下降方向等值線與可行域邊界最終一個交點。3/23/202528第28頁1-6優(yōu)化設計圖解法ezplot('-x+y-2')ezplot('x^2-y+1')ezcontour('x^2+y^2-4*x+4')ezplot('x^2+y^2-4*x+4-3.5')MATLAB繪圖命令：試探迫近：3/23/202529第29頁1-6優(yōu)化設計圖解法幾何意義：無約束優(yōu)化問題等值面（線）公共中心為目標函數(shù)最優(yōu)點，該點對應最優(yōu)設計方案。約束優(yōu)化問題最優(yōu)點可能在可行域內(nèi)或在可行域邊界上。3/23/202530第30頁1-6優(yōu)化設計圖解法3/23/202531第31頁1-6優(yōu)化設計圖解法補充例題用圖解法求解min

3/23/202532第32頁k1=8.8;k2=1.1;L1=11;L2=11;F1=4.5;F2=4.5;[x1,x2]=meshgrid(linspace(-5,15,15),linspace(-5,15,15));PE1=0.