隨機(jī)過(guò)程引論

隨機(jī)過(guò)程研究的對(duì)象是隨時(shí)間而變化的隨機(jī)現(xiàn)象。例：熱噪聲電壓假如我們對(duì)某電子元件兩端的熱噪聲電壓作一次“長(zhǎng)時(shí)間”觀察測(cè)量，得到如圖中所示的一條電壓－時(shí)間函數(shù)

。如在相同條件下，獨(dú)立地再進(jìn)行一次測(cè)量，得到的電壓－時(shí)間函數(shù)是不同的，可能是或等等。這樣，不斷地獨(dú)立地再進(jìn)行一次次的測(cè)量，就可以得到一簇不同的電壓－時(shí)間函數(shù)，這簇函數(shù)從另一角度刻畫了熱噪聲電壓。t族中得每一個(gè)函數(shù)稱為這個(gè)隨機(jī)過(guò)程得樣本函數(shù)。定義1：設(shè)Ｅ是隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間為 ，若對(duì)每個(gè)總有一個(gè)時(shí)間函數(shù) 與它相對(duì)應(yīng)，這樣對(duì)于所有的 得到一族時(shí)間ｔ的函數(shù)，稱為隨機(jī)過(guò)程。簡(jiǎn)記為記為tS定義2：

設(shè) ，如果對(duì)于每一個(gè) ，都有一個(gè)隨機(jī)變量與它相對(duì)應(yīng)，則稱隨機(jī)變量族 為隨機(jī)過(guò)程。稱為時(shí)間參數(shù)集，稱為時(shí)刻時(shí)過(guò)程的狀態(tài)，而說(shuō)成是時(shí)過(guò)程處于狀態(tài)。對(duì)于一切 所能取的一切值組成的集合，稱為過(guò)程的狀態(tài)空間。通常稱 為隨機(jī)相位正弦波。(1)如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 對(duì)于任意的 都是連續(xù)型隨機(jī)變量，則稱此隨機(jī)過(guò)程為連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程；若對(duì)任意的 是離散型隨機(jī)變量，稱此隨機(jī)過(guò)程為離散型隨機(jī)過(guò)程。 隨機(jī)過(guò)程可以根據(jù)其狀態(tài)空間和參數(shù)集得連續(xù)或離散進(jìn)行分類(2)當(dāng)參數(shù)集為有限區(qū)間或無(wú)限區(qū)間時(shí)，則稱 是連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過(guò)程。以后若沒(méi)特別指出，隨機(jī)過(guò)程一詞總是指連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過(guò)程。若參數(shù)集為離散集合，則稱為隨機(jī)序列；若隨機(jī)序列的狀態(tài)空間還是離散的，則稱為離散參數(shù)鏈。第二節(jié)

隨機(jī)過(guò)程得統(tǒng)計(jì)描述10大家應(yīng)該也有點(diǎn)累了，稍作休息大家有疑問(wèn)的，可以詢問(wèn)和交流科爾莫戈羅夫定理:有限維分布函數(shù)族完全決定了隨機(jī)過(guò)程得統(tǒng)計(jì)特性。第三節(jié)

幾類重要過(guò)程例子:隨時(shí)間推移遲早會(huì)重復(fù)出現(xiàn)得事件自電子管陰極發(fā)射得電子到達(dá)陽(yáng)極意外事故或意外差錯(cuò)得發(fā)生要求服務(wù)得顧客到達(dá)服務(wù)站定理定義1與定義2就是等價(jià)得證:由定義1推出定義2成立,只要由條件②和③式導(dǎo)出增量得分布即可。這可用數(shù)學(xué)歸納法通過(guò)確定概率 來(lái)證明。首先我們來(lái)確定 為此對(duì)充分小的 考慮故由條件①可寫成上式兩邊除以，并令得微分方程:由 把它作為初始條件即得方程得解為:因此當(dāng)k=0時(shí),

增量得分布服從泊松分布式用同樣得方法我們可以確定根據(jù)全概率公式和條件①②③考慮得初始條件設(shè)即假設(shè)取k-1時(shí)增量得分布服從泊松分布式代入上述方程并利用初始條件即可解得:令 即得

所滿足得微分方程由數(shù)學(xué)歸納法可得定義2

。例:某種產(chǎn)品有3個(gè)存貨,求這些存貨維持不了一天得概率。如果貨物得銷售構(gòu)成如下:(1)銷售量就是日平均為4個(gè)得泊松過(guò)程;(2)銷售量就是一個(gè)泊松過(guò)程,她得日平均量就是一個(gè)隨機(jī)變量,以概率0、25、0、50和0、25分別取值3、4、5。則存貨維持不了一天得概率為:解（1）銷售量為泊松過(guò)程，這里取(2)由于她得日平均量就是一個(gè)隨機(jī)變量,所以在(1)中分別取證:例:設(shè)和為兩個(gè)相互獨(dú)立的泊松過(guò)程,強(qiáng)度分別為