第頁，共頁第17頁，共17頁45屆高三春期入學(xué)檢測——數(shù)學(xué)試題難度系數(shù)：0.65時間：120分鐘分?jǐn)?shù)：150分一、選擇題（每小題5分，共8小題40分）1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解對數(shù)不等式求出集合，再求.【詳解】，由，得，解得，所以.故選：B．2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)除法運算得，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念和乘法運算求解即可.【詳解】由題意知，所以，.故選：B3.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用平面向量平行的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】當(dāng)時，，，此時，故，故充分性成立，當(dāng)時，滿足，解得，故此時必要性成立，故C正確.故選：C4.若函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)（）A. B.2 C.2或0 D.0【答案】D【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)極小值點求參數(shù)，注意驗證即可得答案.【詳解】由，則，得或2，時，，在R上單調(diào)遞增，不滿足；時，，在上，在上，所以上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，滿足題設(shè)，所以.故選：D5.在等差數(shù)列中，若，則（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項公式，將條件與目標(biāo)式均化為首項與公差表示即可．【詳解】在等差數(shù)列中，設(shè)首項和公差分別為，則，解得.故選：B.6.已知球O是正三棱錐的外接球，若正三棱錐的高為，底邊，則球心O到平面ABC的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)正三棱錐的底面中心為M，D為BC的中點，連接AD，顯然球心O在直線PM上，由可得外接球半徑，從而得解.【詳解】設(shè)正三棱錐的底面中心為M，D為BC的中點，連接AD，顯然球心O在直線PM上，設(shè)球O的半徑為R，因為，所以球心O到底面ABC的距離為，，由，得，，所以球心O到平面ABC的距離為．故選：A7.已知，函數(shù)在上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分、討論，根據(jù)沒有零點求出的范圍可得答案.【詳解】時，，若無解，則或；時，，若無解，則，則.故選：D．8.已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且．若，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由已知及橢圓概念，可得和，則可由表示，再由，可通過換元及函數(shù)單調(diào)性得到離心率的取值范圍.【詳解】因為，所以．設(shè)，則，在中，，所以，即．則，令，由，得，則，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，即，所以，故離心率．故選：B．二、多選題（每小題6分，共3小題18分）9.在四棱柱中，，，為底面的中心，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由向量加減法的幾何意義判斷AB,利用數(shù)量積和夾角模長公式判斷CD可得答案.【詳解】對于選項A，，正確；對于選項B，，錯誤；對于選項C，，錯誤；對于選項D，易得為正三角形，故，正確；故選：AD．10.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.若在上的值域為，則的取值范圍是B.若在上恰有一條對稱軸，則的取值范圍是C.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D.若在上有且只有兩個不同的零點，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)各項的給定區(qū)間確定的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)及對應(yīng)區(qū)間的值域、對稱軸、零點及單調(diào)性情況列不等式求參數(shù)范圍，判斷各項正誤.【詳解】A：由，則，且值域為，，得，正確；B：由，則，則，得，錯誤；C：由，則上函數(shù)單調(diào)遞增，又，則，得，正確；D：由，則上函數(shù)有且只有兩個不同的零點，所以，得，正確；故選：ACD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的值域為B.是的極小值點C.若，則D.若過點的曲線的切線有且僅有兩條，則a的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，判斷A，B；由題意得，是函數(shù)、函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點A，B的橫坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，可判定C；設(shè)出切點，寫出切線方程，將點P代入，化簡后方程有兩根，即可得到的取值范圍，判斷D.【詳解】根據(jù)題意，，則當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，所以是的極小值點，且，所以的值域為，A錯誤，B正確；由，可得，，令，是函數(shù)、函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點A，B的橫坐標(biāo)，因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，兩點關(guān)于直線對稱，因此，即，C正確；設(shè)切點為，所以切線方程為，因為切線過點，所以，即方程有兩個解，則，解得或，D正確．故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：選項C中把，看成函數(shù)、函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點A，B的橫坐標(biāo)，且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱是解題關(guān)鍵點.三、填空題（每小題5分，共3小題15分）12.已知的展開式中項的系數(shù)為30，則______．【答案】##【解析】【分析】原式展開，設(shè)的二項式展開式通項為，分別求出、的系數(shù)可得答案．【詳解】原式，設(shè)的二項式展開式通項為，令，得的系數(shù)為，令，得的系數(shù)為，所以項的系數(shù)，得：．故答案為：．13.雙曲線的漸近線方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程的求法求得正確答案.【詳解】由得，即，焦點在軸上，所以漸近線方程為.故答案：14.設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最大值是______；【答案】【解析】【分析】不等式恒成立等價于，構(gòu)造函數(shù)，易得在上單調(diào)遞增，故原問題等價于在時恒成立，從而易得的范圍.【詳解】對任意的，不等式恒成立，整理可得，設(shè)，則可知在上單調(diào)遞增，又因為，，且，則在時恒成立，設(shè)，則可知在上單調(diào)遞增，則的最小值為，則，解得，所以最大值是.故答案為：.【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．四、解答題（共5小題77分）15.中，角對應(yīng)的邊分別是，已知．（1）求角的大??；（2）若的面積，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式，求得的值，可得的值．(2)利用余弦定理求得，再利用正弦定理求得的值．【小問1詳解】由，得：，即，即，解得或（舍去）因為，所以．【小問2詳解】由，得，又，解得，由余弦定理：，故，又由正弦定理：，所以，，所以.16.已知拋物線.（1）求拋物線在點處的切線方程；（2）若直線交拋物線于不同于原點的兩點，，經(jīng)研究，下面三個結(jié)論等價，請選擇其中一個作為條件，證明其他兩個成立.①；②直線過定點；③，.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）法一：設(shè)斜率并應(yīng)用點斜式寫出直線方程，聯(lián)立拋物線得到一元二次方程，再由求斜率，即可得直線方程；法二：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程；（2）設(shè)直線聯(lián)立拋物線得到一元二次方程，寫出韋達(dá)公式，根據(jù)所選條件應(yīng)用向量垂直的坐標(biāo)表示并帶入韋達(dá)公式得到參數(shù)關(guān)系證明結(jié)論即可.【小問1詳解】法一：顯然拋物線在處的切線的斜率存在，設(shè)其為，則切線方程為，與拋物線聯(lián)立，得，即，只需，解得，所以切線方程為.法二：要求拋物線在處的切線，則由可得所以在處的切線的斜率，所以切線方程為.【小問2詳解】因為直線交拋物線于，兩點，所以可設(shè)直線由，消去可得，所以，，，，，由①②③：因為，所以，即，所以（舍去）.所以直線經(jīng)過定點，即證②.所以，，即證③.由②①③：因為直線經(jīng)過定點，則由上面可得，，即證③；所以，所以，即證①.由③①②：因為，，所以，所以，即證①.由上面可得，解得，所以直線經(jīng)過定點，即證②.17.高三（1）班有名同學(xué)，在某次考試中總成績在分（含分）以上有人：甲、乙、丙、??；在分—分之間的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中數(shù)學(xué)成績超過分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.（1）從該班同學(xué)中任選一人，求在數(shù)學(xué)成績超過分的條件下，總成績超過分的概率；（2）從數(shù)學(xué)成績超過分的同學(xué)中隨機抽取人.①采取不放回抽樣方式抽取，記為成績在分—分之間的同學(xué)的個數(shù)，求的分布列和期望；②采取放回抽樣方式抽取，記為成績在分—分之間的同學(xué)的個數(shù)，求的值.（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）（2）①分布列見解析，；②.【解析】【分析】（1）解法一：記事件所抽取的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績超過分，記事件所抽取的學(xué)生的總成績超過分，求出、的值，利用條件概率公式可求得所求事件的概率；解法二：確定數(shù)學(xué)成績超過分的學(xué)生人數(shù)，以及數(shù)學(xué)成績超過分中總成績超過分的學(xué)生人數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）①分析可知的可能取值有：、、、，利用超幾何分布可得出隨機變量的分布列，進(jìn)而可求出的值；②由題意可知，利用二項分布的期望公式可求得的值.【小問1詳解】解法一：記事件所抽取的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績超過分，則，記事件所抽取的學(xué)生的總成績超過分，則，所以.即任取一人，在數(shù)學(xué)成績超過分的條件下，總成績超過分的概率為；解法二：數(shù)學(xué)成績超過分的有人，其中包含總成績超過分以上的有人，所以任取一人，在數(shù)學(xué)成績超過分的條件下，總成績超過分的概率為【小問2詳解】①名數(shù)學(xué)成績超過分的同學(xué)包含個總成績在分之間的，所以所有可能的取值為：、、、，，，，所以的分布列為：.②名數(shù)學(xué)成績超過分的同學(xué)包含個總成績在分之間的，按可放回抽樣的方式隨機抽取，則隨機變量，所以.18.如圖1在直角梯形中，，，，，E是AD的中點，O是AC與BE的交點，將沿BE折起到圖2中的位置，得到四棱錐．（1）證明：平面；（2）當(dāng)平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由為正方向可知，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，然后由可證；（2）以O(shè)為原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，然后由向量夾角公式可得.【小問1詳解】，所以為正方形，所以，又，平面，平面，又，且，故四邊形為平行四邊形，平面.【小問2詳解】因為平面平面，平面平面=，平面，所以平面，又平面，所以，又由（1）知：，以O(shè)為原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意知，，則，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，令，則，故則，令，則，故，設(shè)平面與平面的夾角為，.19.已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求證：；(2)討論函數(shù)在R上的零點個數(shù)，并求出相對應(yīng)的a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）時，函數(shù)在上沒有零點；當(dāng)時，函數(shù)在上有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)在上有兩個零點.【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最小值，證明最小值大于.（2）先利用導(dǎo)數(shù)得到的最小值，然后分類討論，根據(jù)零點存在定理，得到每種情況下的零點情況.【詳解】（1）當(dāng)時，，令，則.令，得.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.